Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://compmech.math.msu.su/progkurs/spcm.doc Дата изменения: Mon Jul 26 20:54:30 2004 Дата индексирования: Sat Apr 9 21:32:23 2016 Кодировка: koi8-r

Спектральные задачи вычислительной механики.
Профессор А.Л. Афендиков
Полугодовой
спецкурс.
Почти все процессы в природе в малом линейны, и линеаризация является
одним из

основных инструментов математического естествознания. Структура линейного
опера-

тора определяется его спектральными свойствами. Задачи о бифуркации течений
жид-

кости, устойчивость работы ядерных реакторов, проблемы квантовой теории
твердого

тела, самофокусировка в оптических волноводах, задачи устойчивого
экономического

развития и т.д. требуют численной информации о спектре соответствующих
операто-

ров.
Спецкурс по выбору кафедры предназначен для студентов 3-5 курсов и
предполагает:
A) Научить ориентироваться в среде существующих пакетов программ (LAPAK,

IMSL, LINPAK) и систем символьных вычислений (Matematica, Maple),
предназначен-

ных для решения конечномерных спектральных задач. В эту часть входят и
обсуждение

вопросов о пределах возможностей ЭВМ в определении спектра матриц, и
постановка

задачи о вычислениях с гарантированной точностью.
B) На конкретных примерах задач гидродинамики, квантовой механики,
нелинейной оптики и др. показать типичные методы дискретизации спектральных
задач и обсудить

их достоинства и недостатки.
C) Подвести желающих к некоторым актуальным проблемам, требующим создания

новых методов и алгоритмов численного определения дискретной составляющей
спект-

ра. (Темы курсовых и дипломных работ будут предложены в процессе чтения
курса.)
Программа курса:
U). Символьные вычисления с матрицами (Mathematica, Maple) и пределы их
воз-

можностей. (Символьный анализ дисперсионных соотношений линеаризации
системы

моментов Грэда-Эрмита в окрестности состояния равновесия.)
1). Локализация спектра матрицы (круги Гершгорина и овалы Кассини). Теория
возмущений.
2) Полная проблема собственных значений для матриц (обзор методов решения).

Разреженные матрицы. Методы Якоби, Крылова и Ланцоша. Форма Хессенберга, QR-
метод.
3). Понятие гарантированной точности вычислений, апостериорные оценки и
преде-

лы возможностей ЭВМ.
4). Частичная проблема собственных значений. Интеграл Данфорда и дихотомия
спектра, уравнение Ляпунова.
5). Вариационные методы. Принцип Релея-Ритца и метод конечных элементов.
6). Спектральная задача Штурма-Лиувилля. Сравнение разностных, проекционных

и вариационных методов решения. Понятие ненасыщаемого алгоритма.

7). Устойчивость течений жидкости и численное решение спектральных задач
Орра-

Зоммерфельда, Куэтта и Колмогорова. Коллокационные методы Бабенко-Орзага.
8). Задача Орра-Зоммерфельда; альтернативные подходы. Методы стрельбы (Го-

дунов, Абрамов) иметод составных матриц (Ng, Reid). Непрерывная
ортогонализация

и геометрическое интегрирование на многообразиях Штифеля и Грассмана
(Bridges,

Munthe-Kaas, Zanna).
9) Главное собственное значение. Степенные методы с регуляризацией.

а). Двумерная спектральная задача для оператора Шредингера с периодическим
по-

тенциалом. Метод выделения сингулярности. в). Спектральная задача Дж.
Тейлора.

с). Устойчивость квазистационарных режимов работы ядерных реакторов.
10). Спектральные задачи нелинейной оптики. Индуцированные задачи на
простран-

ствах внешних форм. Изоспектральные потоки, геометрические интеграторы
Мунте-

Кааса и методы вычисления функции Эванса. Связь с теорией
характеристических

классов Черна.