Программа курса

Краткая программа курса "Выпуклый анализ"
313 группа ф-та ВМК, весна 2007 г.
Лектор -- проф. А.В. Дмитрук

1. Выпуклые множества и выпуклые конусы. Элементарные свойства.
2. Топологические свойства выпуклых множеств.
3. Теоремы об отделимости двух выпуклых множеств.
4. Геометрические свойства выпуклых множеств (крайние и выступающие точки, рецессивные направления).
5. Двойственнные выпуклые множества: поляра и сопряженный конус.
6. Теорема Дубовицкого--Милютина о непересечении выпуклых конусов.
7. Конечнопорожденные и конечногранные конусы. Лемма Фаркаша.
8. Выпуклые и сублинейные функции. Надграфик и неравенство Йенсена. Опорная функция и функция Минковского.
9. Критерии выпуклости дифференцируемых функций.
10. Непрерывность и липшицевость выпуклых функций.
11. Полунепрерывные функции. Замыкание выпуклой функции. Аффинные миноранты выпуклой функции.
12. Субдифференциал выпуклых и сублинейных функций. Субдифференциал суммы и максимума функций.
13. Производная выпуклой функции по направлению и ее представление через опорные.
14. Двойственнные выпуклые функции: преобразование Лежандра--Юнга--Фенхеля.
15. Задача о минимуме выпуклой функции на выпуклом множестве. Необходимое и достаточное условие минимума. Теорема Куна--Таккера.
16. Теорема о минимаксе.

Рекомендуемая литература - основная:

1. Р.Рокафеллар. Выпуклый анализ. М., Мир, 1973.
2. Ф.П.Васильев. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1988 (глава 4).
3. С.А.Ашманов, А.В.Тимохов. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М., Наука, 1991 (глава 3).
4. Е.В.Шикин. Линейные пространства и отображения. М., МГУ, 1987 (глава 7 и Добавление).
5. Е.Г.Белоусов. Введение в выпуклый анализ и целочисленное программирование. М., МГУ, 1984 (главы I, II).
6. В.Г.Болтянский. Оптимальное управление дискретными системами. М., Наука, 1973 (глава III).

Рекомендуемая литература - дополнительная:

1. А.Д.Иоффе, В.М.Тихомиров. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974.
2. В.М.Алексеев, В.М.Тихомиров, С.В.Фомин. Оптимальное управление. М., Наука, 1979.
3. И.В.Гирсанов. Лекции по математической теории экстремальных задач. МГУ, 1970.
4. Б.Н.Пшеничный. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М., Наука, 1980.
5. Б.Н.Пшеничный. Необходимые условия экстремума. М., Наука, 1982.
6. В.И.Благодатских. Введение в оптимизацию. М., Высшая школа, 2001.
7. Б.Т.Поляк. Введение в оптимизацию. М, Наука, 1983.
8. Х.Никайдо. Выпуклые структуры и математическая экономика. М., Мир, 1972.
9. Е.В.Шикин. Выпуклые множества: топологическая структура и дифференциальные свойства. М., МГУ, 1984.
10. Г.Г.Магарил-Ильяев, В.М.Тихомиров. Выпуклый анализ и его приложения. М., УРСС, 2000.
11. Е.С. Половинкин, А.В. Балашов. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М., Физматлит, 2004.