Определения и основные факты

    Многочленом степени от переменной называется алгебраическое выражение вида , где - некоторые числа, называемые коэффициентами многочлена, причем .
    Например, - многочлен нулевой степени, а - многочлен первой степени от переменной .
    На множестве многочленов можно очевидным способом определить операции сложения, вычитания и умножения. Например, суммой многочленов и является многочлен , а произведением многочленов и - многочлен . Однако не каждый многочлен можно разделить на другой нацело, то есть для данных многочленов и не всегда можно найти такой многочлен , что . К примеру, невозможно разделить нацело многочлен на многочлен . Но, как и для целых чисел, можно сказать, что поскольку , то (неполным) частным от деления на является многочлен , а остатком - многочлен . Итак, введем строгое определение.
    Разделить многочлен на многочлен с остатком означает найти два таких многочлена и , что , причем степень многочлена должна быть меньше степени многочлена .
    Последнее условие аналогично требованию, чтобы остаток от деления на число не превосходил самого этого числа. Как и в случае деления с остатком целых чисел, деление многочленов может быть также выполнено "столбиком".

    Пример 1.1. Разделить с остатком многочлен на многочлен .
    РЕШЕНИЕ. Воспользуемся делением "столбиком":

    ОТВЕТ: .

    Деление многочленов с остатком может быть полезно при решении задач, связанных со свойствами целых чисел.

    Пример 1.2. При каких натуральных значениях выражение является целым числом?
    РЕШЕНИЕ. Разделим числитель дроби на знаменатель с остатком:

    Таким образом, исходное выражение равно , что является целым числом тогда и только тогда, когда нацело делится на . Поскольку целыми делителями числа являются числа и только они, получаем
    ОТВЕТ: .