Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/gidromeh/osmss.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:56:11 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:05:16 2016 Кодировка: koi8-r

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
1/2 года, 2 курс, отделение механики
проф. М.Э. Эглит
Введение.
Предмет механики сплошной среды. Основные проблемы, область приложений,
перспективные направления. Понятие сплошной среды. Процессы, в которых это
понятие можно использовать для моделирования поведения реальных тел.
1. Основные понятия, используемые для описания движения и
деформации сплошной среды.
1.1. Лагранжево и эйлерово описание движения сплошных сред.
. Лагранжево описание движения. Лагранжевы (материальные) координаты.
Закон движения точек сплошной среды. Вычисление компонент вектора
скорости по закону движения. Вычисление ускорения по скорости при
лагранжевом описании.
. Эйлерово описание движения. Пространственные координаты. Вычисление
поля ускорений по полю скоростей при эйлеровом описании.
Индивидуальная (материальная, полная) и локальная производные по
времени.
. Переход от лагранжева описания к эйлерову и обратный переход.
1.2. Тензоры и тензорные поля в евклидовом пространстве.
. Криволинейные системы координат. Ковариантные и контравариантные
векторы базиса. Определение тензора, метрический тензор.
Ковариантные, контравариантные и физические компоненты. Операции
над тензорами. Инварианты тензоров.
. Тензорные поля. Ковариантное дифференцирование. Дивергенция и ротор
вектора, градиент скалярной функции.
. Тензоры второго ранга. Разложение на сумму симметричного и
антисимметричного тензоров. Тензорная поверхность, главные оси,
главные компоненты, инварианты симметричного тензора второго ранга.
Шаровой тензор и девиатор. Представление антисимметричного тензора
второго ранга в трехмерном пространстве аксиальным вектором. Тензор
Леви-Чивита.
. Тензорные функции. Тензор второго ранга как функция одного или
нескольких тензоров второго ранга. Тождество Гамильтона-Кэли.
Формула Лагранжа- Сильвестра.
. Среды, обладающие симметрией. Изотропные, трансверсально-
изотропные, ортотропные среды.
1.3. Деформация.
. Тензоры конечных и бесконечно малых деформаций. Механический смысл
компонент. Главные оси и главные компоненты тензоров деформации.
Выражение для относительного изменения объема через инварианты
тензоров деформации - при конечных и малых деформациях.
Механический смысл первого инварианта тензора деформации в случае
малых деформаций.
. Выражение компонент тензоров деформаций через компоненты вектора
перемещения. Линейные формулы в случае малых деформаций и малых
относительных поворотов. Выражение для относительного изменения
объема через вектор перемещения в случае малых деформаций и малых
поворотов.
. Уравнения совместности для компонент тензоров деформаций. Уравнения
совместности Сен-Венана в случае малых деформаций.
. Тензор скоростей деформаций. Выражение его компонент через
производные от компонент скорости. Кинематический смысл компонент в
декартовой системе координат. Механический смысл дивергенции
вектора скорости. Условие несжимаемости среды.
. Формула Коши-Гельмгольца для распределения скоростей в малой
окрестности любой точки сплошной среды.
. Вектор вихря. Определение. Кинематический смысл вектора вихря.
Циркуляция скорости. Формула Стокса.
. Потенциал скорости. Эквивалентность понятий потенциального и
безвихревого движения.
2. Универсальные законы сохранения и уравнения механики сплошной среды.
2.1. Некоторые операции над интегралами.
. Формула Гаусса-Остроградского. Кинематический смысл. Понятие потока
вектора через поверхность. Дифференцирование по времени интеграла
по подвижному объему.
2.2. Закон сохранения массы.
. Формулировка закона сохранения массы для конечного индивидуального
объема сплошной среды. Уравнение неразрывности при Эйлеровом и при
Лагранжевом описании среды. Уравнение неразрывности для несжимаемой
среды.
2.3. Закон сохранения количества движения.
. Силы, действующие на сплошную среду: массовые и поверхностные.
Вектор напряжений. Закон сохранения количества движения для
конечного индивидуального объема сплошной среды.
. Формула Коши, связывающая вектор напряжений на любой площадке c
векторами напряжений на трех фиксированных взаимно перпендикулярных
площадках. Тензор напряжений. Физический смысл компонент в
декартовой системе координат.
. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды.
2.4. Закон сохранения момента количества движения.
. Формулировка закона сохранения момента количества движения для
конечного объема сплошной среды. Дифференциальное уравнение момента
количества движения.
. Условия, при которых симметрия тензора напряжений является
следствием закона сохранения момента количества движения.
3. Простейшие модели сплошных сред.
. Жидкости и газы. Тензор напряжений в покоящейся жидкости. Давление.
. Идеальная жидкость. Уравнения Эйлера. Полные системы механических
уравнений для несжимаемой жидкости и для баротропных движений
сжимаемой жидкости. Условие непроницаемости на поверхности твердых
тел.
. Вязкая жидкость. Линейно-вязкая (ньютоновская) жидкость. Связь
между компонентами тензоров вязких напряжений и скоростей
деформаций в изотропной линейно-вязкой жидкости (закон Навье-
Стокса). Первый и второй коэффициенты вязкости (коэффициенты
сдвиговой и объемной вязкости). Кинематический коэффициент
вязкости. Уравнения Навье-Стокса. Граничное условие прилипания на
поверхности твердых тел. Полная система уравнений несжимаемой
линейно-вязкой жидкости.
. Упругая среда. Линейно-упругая среда. Закон Гука для изотропной
линейно-упругой среды при изотермическом деформировании. Модуль
Юнга, коэффициент Пуассона, модуль объемного сжатия. Уравнения
Навье-Ламе. Типичные граничные условия.

Литература
1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1,2. М., Наука, 5-е издание,
1994.
2. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М., МГУ, 1990.
3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М., Наука, 1978.
4. Механика сплошных сред в задачах. Т. 1, 2. Под ред. М.Э. Эглит. М.,
Московский Лицей, 1996.
5. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М., Наука, 1978.