6. Решение жесткой задачи Коши для уравнений
и систем уравнений первого порядка

Жесткие системы уравнений - это такие уравнения, которые моделируют процессы, обладающие явлением жесткости [ 9, 18 ]. Такие процессы описываются функциями двух видов: функциями с большими по модулю производными и функциями с малыми по модулю производными, причем функции с большими производными быстро убывают. Такие задачи часто встречаются при исследовании динамических систем в химической кинетике, электротехнике, в механике сплошной среды, при исследовании работы ядерного pеактоpа, в теории управления и т.д. Для жестких систем, как правило, существуют два участка решения с существенно различным хаpактеpом поведения его составляющих, причем длина первого участка, называемого пограничным слоем, значительно меньше длины второго. Необходимость выделения таких уравнений в отдельный класс вызвана трудностями, которые встречаются при их численном интегрировании традиционными методами, например, явными методами типа Рунге - Кутта, Адамса. Для численного воспроизведения быстропротекающих процессов в пограничном слое необходим малый шаг интегрирования, однако вне погранслоя, где существенны функции с малыми производными, увеличение шага приводит к резкому возрастанию погрешности влекущему за собой качественное изменение поведения решения. Описанное явление происходит потому, что указанные методы обладают, как уже отмечалось выше, ограниченной областью устойчивости. Поэтому для решения жестких систем предложены методы с неограниченной областью устойчивости; некоторые из этих методов реализованы в подпрограммах Библиотеки.

Решается жесткая задача Коши для следующих видов уравнений:

(4)          Y '  =  F ( x, Y ) , 
(5)          Y '  =  A(x) Y + f(x) ,   A(x)  =  ( ai j(x) ) , 
(6)          Y '  =  A(x) Y , 
(7)          Y '  =  A Y ,      A  =  (ai j ) ,    ai j  =  const 
(8)          Y '  =  A Y + φ(x) ,
              φ(x)  =  ( α1 exp( β1 x ), α2 exp( β2 x ), ... , αM exp( βM x ) ) 
(9)          Y '  =  A Y + U( x, Y ) , 

 с начальными условиями 
(10)               Y (xN )  =  YN 
 Здесь
              Y  =  ( y1, ..., yM ) ,
  F ( x, Y )  =  ( f1( x, y1, ..., yM ), ... , fM( x, y1, ..., yM ) ). 

Для решения нелинейной задачи общего вида (4), (9) предлагается многозначный жестко - устойчивый метод Гира переменного порядка [ 6, 7, 18 ], использующий, как, впрочем, и все другие методы решения жестких систем, матрицу Якоби

              ∂F / ∂Y  =  ( ∂f i / ∂yj )  

системы (4). Для линейной системы (5) пpедлагается  A - устойчивый неявный метод Рунге - Кутта 5 - ого порядка точности [ 7 ], а для сильно жестких систем (6), (7) и (8) - экспоненциальный метод, основанный на представлении решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами в виде матричной экспоненты [ 1, 9, 10, 11, 18 ].

Предполагается, что система вида (9) является квазилинейной. Это означает, что константа Липшица функции U (x, Y) по переменной  Y невелика по сравнению с характеристическими корнями матрицы  A и функция U (x, Y) является достаточно малой. Для квазилинейной системы (9), а также для квазилинейной системы, заданной в общем виде (4), предлагается метод Лоусона 4 - ого порядка точности [ 16 ].

Если в линейной системе (5) функция  f (x) является достаточно малой, то для решения этой системы также может быть предложен метод Лоусона; в частности он может быть использован для решения задачи (6).

Следует иметь в виду, что численные алгоритмы решения жестких задач исследованы на эффективность не столь подробно, как алгоритмы для нежестких задач, поэтому предлагаемые в данном пункте рекомендации по использованию тех или иных методов не следует рассматривать как окончательные.

Укажем свойства жестких линейных систем с постоянными коэффициентами. Матрица такой системы, как правило, обладает большим числом обусловленности

                μ  =  [ max | λi | / min | λi | ]  >>  1 ,  

при этом большие по модулю собственные числа должны обладать большими по модулю отрицательными действительными частями. Наиболее типичен случай линейной жесткой системы, когда собственные числа матрицы отчетливо разделяются по величине их модулей на две группы. Собственные числа первой группы с большими модулями определяют поведение решения в пограничном слое и соответствующие им составляющие быстро убывают, а собственные значения второй группы с малыми модулями характеризуют поведение решения вне погранслоя. Однако возможны и другие случаи, когда собственные числа расположены на вещественной оси достаточно pавномеpно.

Судить о жесткости линейной системы с переменными коэффициентами по собственным числам  λ_i (x) ее матрицы А (x) можно, если собственные векторы изменяются не слишком сильно [ 9 ].

Если нелинейную систему можно достаточно близко аппроксимировать линейными системами с постоянной матрицей на отрезках, значительно привышающих по длине пограничный слой (так называемые системы с кусочно - постоянной жесткостью), даже когда число таких отрезков велико, то выполнение указанных условий для собственных чисел матрицы Якоби нелинейной системы является также признаком ее жесткости [ 9 ].

Hа pис. 3 приводится дерево решений для выбора метода численного интегрирования жесткой задачи Коши.

Рис. 3. Дерево решений для выбора метода интегрирования жесткой задачи Коши.