Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cs.msu.ru/Home/Opus/a55.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:52:30 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:41:24 2012 Кодировка: koi8-r

А.Н. Тихонов и А.А. Самарский.

Об асимптотическом разложении интегралов

с медленно убывающим ядром.


§1.

Рассмотрим интеграл вида
[pic] (1)
ядро которого [pic] при [pic] имеет характер [pic]-функции, если [pic]
В работе [1] было получено разложение интеграла [pic]по целым
степеням [pic]:
[pic] (2)
в предположении, что функция [pic] абсолютно интегрируема на бесконечной
прямой и имеет при [pic] следующее разложение:
[pic](3)
В настоящей статье изучается асимптотика при [pic] интеграла (1)
для того случая, когда ядро [pic] медленно убывает на бесконечности и его
разложение при [pic] содержит член порядка [pic], причем пределы [pic] и
[pic], вообще говоря, различны. Иными словами, функция [pic] при [pic]
допускает представление
[pic](4)
Оба эти разложения полезно заменить единой формулой:
[pic](4()
где
[pic]
Нетрудно заметить, что к интегралу [pic]с ядром, имеющим разложение
(4(), нельзя применить теорему 1 работы [ 1], так как интеграл
[pic]
при [pic] не существует даже в смысле главного значения. Поэтому в
дальнейшем конечность пределов интегрирования [pic] и [pic] играет
существенную роль.
Простейшим примером может служить интеграл
[pic]
с ядром
[pic]

§2.

В дальнейшем мы пользуемся следующими обозначениями [pic]- значение
производной функции [pic]порядка [pic]в точке [pic],
[pic]
[pic] - остаточный член в формуле Тейлора,
[pic]
[pic]
[pic]
так что
[pic]
Нетрудно заметить, что
[pic]
Функция [pic] при [pic] имеет второй порядок малости:
[pic]
т. е. [pic] - абсолютно интегрируема по любому бесконечному промежутку
[pic]или [pic]где [pic]
Теорема. Для интеграла (1) имеет место асимптотическое при [pic]
разложение
[pic]
[pic] (5)
где
[pic] (6)
[pic]
[pic] (7)
[pic] (8)
если выполнены условия:
1) функция [pic] ограничена в [pic]и имеет в точке [pic]
дифференциал [pic]- го порядка,
2) функция [pic] абсолютно интегрируема на любом конечном
промежутке и допускает при [pic] представления (4).

§ 3.

Представим [pic] в виде суммы
[pic]
где
[pic]
Прибавляя и вычитая интегралы
[pic]
получим
[pic]
где
[pic]
[pic]
[pic]
[pic].
Отсюда видно, что разложение [pic] по [pic] сводится к разложению интеграла
[pic]того же типа, а также интеграла [pic].
С помощью аналогичных рассуждений нетрудно убедиться в
справедливости реккурентной формулы
[pic] (10)
где приняты следующие обозначения:
[pic] (11)
[pic] (12)
или
[pic] (12()
[pic] (13)
Пользуясь формулами (9) и (10), находим
[pic] (14)
Чтобы вычислить коэффициенты при степенях [pic], надо найти разложение
[pic] по [pic].
Предыдущее изложение носило чисто формальный характер, поскольку не
выяснились требования, которым должны при этом удовлетворять функция [pic]
и ядро [pic].

§ 4.

Перейдем теперь к разложению интеграла
[pic]
При этом будем учитывать асимптотику для [pic]:
[pic]

Перепишем выражение для [pic]в виде суммы
[pic]
[pic]
[pic] (15)

[pic]
где
[pic]
Учитывая соотношения
[pic]
[pic]
находим
[pic]
[pic] (16)
Если подставить (16) в (15) , то получим для [pic] следующее
асимптотическое разложение
[pic]
[pic] (17)
где
[pic]
В формуле (14) фигурирует сумма [pic][pic]. Пользуясь выражением
(17), преобразуем ее к виду:
[pic]
где [pic] и [pic] - постоянные не зависящие от [pic].
Перепишем [pic]в форме:
[pic]
[pic] (18)
где
[pic].
Тогда будем иметь
[pic]
[pic]
После изменения в двойной сумме [pic]порядка суммирования
[pic]
получим
[pic] (19)
где
[pic]

§ 5.

Подставляя выражение (19) для [pic]в формулу (14), приходим к
следующей формуле:
[pic], (20)
где
[pic]
[pic]
Лемма. Если функция [pic] имеет в точке [pic]дифференциал порядка
[pic], а функция [pic] удовлетворяет условиям теоремы из § 2, то
существует предел
[pic]
для любого [pic]
В самом деле
[pic] (21)

где
[pic] (22)
Интеграл [pic] представим в виде суммы трех интегралов: [pic] с
пределами интегрирования [pic]и [pic], [pic] с пределами от [pic] до [pic]
и [pic] с пределами от [pic] до [pic]. В силу непрерывности [pic]в точке
[pic]будем иметь: если [pic] , то [pic]причем [pic] при [pic] Поэтому
[pic]
Из условий для функции [pic] следует, что функция [pic]абсолютно
интегрируема на любом конечном интервале (ср. [1]).
Полагая для определенности [pic] получим
[pic]
Интеграл [pic] преобразуем следующим образом:
[pic]
Первое слагаемое в правой части, в силу ограниченности в [pic] и
непрерывности в точке [pic]функции [pic], а также абсолютной
интегрируемости на бесконечном интервале [pic]ядра [pic], имеет оценку
[pic]
В самом деле, в силу непрерывности [pic] в точке [pic]имеем
[pic]
Интеграл
[pic]
следует разбить на сумму двух интегралов I и II с пределами от [pic] до
[pic]и от [pic]до [pic], причем [pic]при [pic]. Интеграл I стремиться к
нулю при [pic] в силу непрерывности [pic] при [pic]и интегрируемости [pic]
на [pic], интеграл II - в силу ограниченности [pic], интегрируемости [pic]
и условия [pic].
Рассмотрим разность
[pic]
[pic] (23)
Нетрудно заметить, что она стремится к нулю при [pic], если, например,
[pic] Если же существует дифференциал порядка [pic], то [pic] и выражение
(21) имеет порядок [pic]при [pic].
Таким образом, если выполнены условия леммы, то
[pic]
Аналогично находим
[pic]
Формула (21) принимает вид:
[pic]
где [pic]при [pic].
Принимая во внимание разложение (17):
[pic]
будем иметь
[pic]
Отсюда и следует утверждение леммы.
Замечание. Если [pic] то в условиях леммы требуется, чтобы функция
[pic] была дифференцируема в точке [pic]. Тогда утверждение леммы означает
существование предела
[pic]
где
[pic]
[pic]
[pic]
Нетрудно, впрочем, заметить, что требование дифференцируемости [pic] сильно
завышено; фактически достаточно потребовать существование интегралов
[pic] и [pic]
для этого, например, достаточно, чтобы [pic] удовлетворяла в некоторой
заданной окрестности точки [pic]условию Гельдера порядка [pic].
Пользуясь выражением (20), а также только что доказанной леммой,
которая позволяет оценить член
[pic]
легко убеждаемся в справедливости теоремы, сформулированной в § 2.
[pic]
где [pic] при [pic].

§ 6.

Отметим, что члены, содержащие [pic], появляются только в том случае,
когда
[pic].
Если же все [pic] т.е. все [pic] то разложение [pic]идет по целым
степеням [pic] и коэффициент [pic] может быть записан в виде:
[pic]
где
[pic]
Черта сверху означает, что интеграл понимается в смысле главного значения.
В частности, при [pic] имеем
[pic]
Если же, кроме того, [pic]то
[pic]
и мы приходим к случаю, рассмотренному в работе [1].


Литература

1. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, О разложении по параметру интегралов с
ядром типа [pic]-функции , Научн. докл. высш. шк., с. ф.-м. н., ? 1, 54-
61, 1959.


Московский Государственный университет им. М.В. Ломоносова