Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cmc.msu.ru/Home/Opus/a54.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:52:06 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:31:52 2012 Кодировка: koi8-r

Научные доклады высшей школы. ? 1б 1959

А.Н Тихонов, А.А. Самарский.

О разложении по параметру интегралов с ядром типа [pic]- функции




§1.

В настоящей статье мы будем рассматривать интегралы вида
[pic] (1)
где
[pic] (2)
Нетрудно убедиться в том, что при соответствующих условиях (см.
теорему 1) существует предел интеграла (1) равный
[pic] (3)
Таким образом, ядро интеграла (1) при [pic] имеет характер [pic]-функции,
нормированной к [pic].
Цель настоящей статьи - найти асимптотическое разложение
[pic] (4)
где [pic] при [pic].
Пользуясь обозначениями, смысл которых указан ниже, можно написать
выражения для [pic] в виде
[pic]
[pic], (5)
где [pic] значение производной [pic]-го порядка в точке [pic],
[pic]
[pic]
остаточный член в формуле Тейлора, [pic]коэффициенты асимптотического
разложения функции [pic] при [pic]:
[pic]коэффициенты [pic] определяются формулами
[pic]
Черта сверху над интегралом указывает на то, что интеграл берется в смысле
главного значения в точке [pic] (или [pic] ).

§ 2.

Теорема 1. Если 1) функция [pic] ограничена, [pic] и непрерывна в
точке [pic] , 2) функция [pic] абсолютно интегрируема, [pic] , то
существует предел
[pic]
Пусть дано некоторое число [pic] Покажем, что можно найти такое
[pic] , что будет выполняться неравенство
[pic], если [pic]
Возьмем разность
[pic]
и представим [pic] в виде суммы трех интегралов
[pic]
В силу непрерывности функции [pic] в точке [pic] можно указать
такое [pic] , что [pic], если только [pic]. Отсюда следует, что
[pic]
Если [pic] достаточно мало, то
[pic]
что следует из абсолютной интегрируемости [pic] . Аналогично убеждаемся в
том, что для [pic] имеет место оценка
[pic]
В результате получаем
[pic]
если только [pic] достаточно мало: [pic]
В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями: [pic]
и [pic] - четная и нечетная части функции [pic] , [pic], [pic] - четная и
нечетная части функции [pic] , причем, очевидно, справедливы следующие
соотношения:
[pic], [pic],
[pic], [pic]

§ 3.

Теорема 2. Существует предел
[pic] (6)
где [pic]дается формулой (5), если выполнены следующие условия:
Функция [pic] ограничена, [pic]а в точке [pic] имеет дифференциал
порядка [pic] , так что
[pic]
где
[pic]
Функция [pic] абсолютно интегрируема на бесконечной прямой [pic] и при
[pic]имеет следующее асимптотическое представление
[pic] (7)
где [pic] при [pic].

§ 4.

Покажем сначала, что при четном [pic] функции
[pic] и[pic]
а при нечетном значении [pic] функции
[pic] и[pic]
абсолютно интегрируемы, если функция [pic] удовлетворяет условиям 2 теоремы
2.
В самом деле, при четном [pic] имеем
[pic] при [pic], (8)
[pic] (9)
Далее, можно написать
[pic]
Каждое из слагаемых в правой части существует, что следует из
приведенных выше формул (8) и (9). Аналогично убеждаемся в абсолютной
интегрируемости функций [pic] и [pic], [pic] для нечетного [pic].
В формулировке теоремы 2 используется обозначение
[pic] (10)
где
[pic] (11)
[pic] (12)
Лемма 1. Если выполнены условия 1 и 2 теоремы 2, то интегралы,
входящие в формулу для [pic] имеют смысл.
В самом деле,
|[pic] | |
| |для четного |
| |[pic] |
| | |
| | |
| | |
| |для нечетного|
| |[pic] |

Выше было показано, что интегралы в правой части существуют.
Рассмотрим теперь интеграл
[pic]
Первый интеграл понимается в обычном смысле, так как
[pic] при [pic]
а второй интеграл понимается в смысле главного значения и может быть
вычислен:
[pic]
Тем самым лемма 1 доказана.

§ 5.

Введем следующие обозначения
[pic]
[pic] (13)
[pic]
Нетрудно убедиться в том, что
[pic]
Покажем, что имеет место реккурентная формула
[pic] (14)
где
[pic]
[pic]
[pic]определяется формулой (13). В самом желе, простые преобразования
дают:
[pic]
В частности, если [pic], то
[pic]
[pic].
Последовательно применяя реккурентную формулу (14), получим следующее
выражение для [pic]:
[pic] (15)
Лемма 2. Если выполнены условия теоремы 2, то
[pic] (16)
[pic] (17)
где [pic] определяется формулой (12).
В самом деле, пользуясь при больших [pic] асимптотическим
представлением для
[pic]
нетрудно получить формулу для [pic].
Рассмотрим сумму
[pic]
где
[pic]
Меняя порядок суммирования, будем иметь
[pic]


§ 6.

Лемма 3. Если выполнена условия теоремы 2, то существует предел
[pic] при [pic]
Из предыдущего следует, что
[pic]
Если [pic] четно, то [pic] и
[pic]Функции [pic] и [pic] абсолютно интегрируемы. Поэтому к интегралам в
правой части предыдущего равенства применима теорема 1, в силу которой оба
эти интеграла стремятся к нулю при [pic]:
[pic]
[pic]
Кроме того, из формулы (16) видно, что [pic]при [pic] для любого [pic].
Поэтому можно написать
[pic],
где [pic] при [pic].
Если [pic] нечетно, то [pic]и в предыдущих рассуждениях достаточно
лишь [pic] и [pic] поменять местами (точнее [pic] и [pic], [pic]и [pic]).
Из леммы 3 следует, что при выполнении условий теоремы имеет место
оценка
[pic] при [pic].
Собирая все полученные выше оценки и пользуясь формулой (15), будем
иметь
[pic]
где
[pic]
Тем самым доказано существование предела
[pic]

§ 7.

Если [pic] то все [pic]и выражение для [pic]упрощается:
[pic] (18)
Если, кроме того, функция [pic] такова, что все [pic], то формулы
для [pic] еще более упрощаются:
[pic]
Это соответствует тому случаю, когда при [pic]
[pic] для всех [pic]
Таким свойством обладает, например, ядро интеграла Пуассона для уравнения
теплопроводности, равное
[pic]
В этом случае разложение интеграла [pic] в ряд по степеням [pic]может быть
получено элементарно, так как все элементы [pic] функции [pic] существуют.
Производя замену переменных [pic] и разлагая [pic] в ряд
Тейлора, сразу получим
[pic]
где
[pic]
Если функция [pic] четная, то все моменты нечетного порядка [pic]
равны нулю и разложение идет только по четным степеням [pic]
Однако этот прием получения разложения невозможен, например, для функции

[pic] (19)
которая является ядром интеграла Пуассона, дающего решение задачи Дирихле
для полуплоскости [pic]
[pic]
Нетрудно заметить, что для функции (19) моменты [pic] не существуют
уже для [pic] и поэтому разложение вида (18) невозможно.
Между тем, в силу теоремы 2, функция [pic]имеет следующее
асимптотическое представление
[pic]
где
[pic]
При этом мы используем разложение
[pic]
В условии теоремы 2 содержатся предположения об ограниченности
функции [pic]и о ее поведении в окрестности точки [pic]. Таким образом,
асимптотическое разложение [pic] имеет место во всех точках, отличных от
точек разрыва функции [pic] и ее производных.
Предположим теперь, что ядро [pic] имеет асимптотику вида:
[pic]
т.е. [pic]
Представляя [pic]в виде суммы
[pic]
Для интеграла [pic] имеет место вся изложенная выше теория.
Таким образом, в разложении (5) изменится лишь формула для [pic]:
[pic]
Нетрудно заметить, что развитый выше метод разложения интеграла
[pic] по степеням [pic] без существенных изменений переносится на случай
многих переменных.

Московский государственный университет.
им. М.В. Ломоносова