Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://mmmf.msu.ru/zaoch/archive/2008/task2008.doc Äàòà èçìåíåíèÿ: Thu Mar 17 14:13:23 2011 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Mon Oct 1 21:13:45 2012 Êîäèðîâêà: koi8-r

Âñòóïèòåëüíàÿ ðàáîòà

1. Âîëê ïîáåæàë çà Çàéöåì ïî êîëüöåâîé äîðîãå, óâèäåâ åãî íà 1/3 êðóãà
âïåðåäè ñåáÿ. Ñêîðîñòü Çàéöà, êîòîðûé â òîò æå ìîìåíò ïîì÷àëñÿ ïðî÷ü
îò Âîëêà, ñîñòàâëÿåò 5 êðóãîâ â ÷àñ. Ñêîðîñòü Âîëêà ðàâíà 7 êðóãîâ â
÷àñ. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ Âîëê äîãîíèò Çàéöà?

2. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 11.1 + 22.2 + . + 99.9 (êàæäîå ñëàãàåìîå ñîñòîèò
èç 2008 öèôð) äåëèòñÿ íà 9.

3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x2(x2 - 1)(x2 + 3) ( 0.

4.  âûïóêëûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ ABCD è A1B1C1D1 âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà AB
= A1B1, BC = B1C1, CD = C1D1, DA = D1A1. Êðîìå òîãî, èçâåñòíî, ÷òî
íàèìåíüøàÿ ñòîðîíà ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ðàâíà íàèáîëüøåé ñòîðîíå
÷åòûðåõóãîëüíèêà A1B1C1D1. Âåðíî ëè, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèêè ABCD è
A1B1C1D1 ðàâíû (äâå ôèãóðû íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè èõ ìîæíî
ñîâìåñòèòü íàëîæåíèåì)?

5. Ïåðåìåííûå x1, x2, ..., x100 ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ 0 èëè 1.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç S ñóììó x1x2x3 + x1x2x4 + ... + x98x99x100 (â ñóììó
âõîäÿò ïî îäíîìó ðàçó âñå ñëàãàåìûå âèäà xixjxk, ãäå 1 ˜ i < j < k ˜
100). Ìîæåò ëè S ðàâíÿòüñÿ 5?

6. Ïî êðóãó ðàññòàâëåíû öèôðû 1, 2, 3, ..., 9 â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå
(êàæäàÿ öèôðà âñòðå÷àåòñÿ îäèí ðàç). Êàæäûå òðè öèôðû, ñòîÿùèå ïîäðÿä
ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, îáðàçóþò òðåõçíà÷íîå ÷èñëî. ×åìó ðàâíà ñóììà âñåõ
äåâÿòè òàêèõ ÷èñåë? Óêàæèòå âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû.

7. Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ ðåáóñà


|+ |ÂÀÃÎÍ |
| |ÂÀÃÎÍ |
| |ÑÎÑÒÀÂ |

(îäèíàêîâûìè áóêâàìè çàøèôðîâàíû îäèíàêîâûå öèôðû, ðàçíûìè - ðàçíûå).

8.  âûïóêëîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD èçâåñòíû òðè óãëà: [pic] [pic] [pic];
èçâåñòíî òàêæå, ÷òî ñòîðîíû CD è AD ðàâíû. Äîêàæèòå, ÷òî BC + CD = AB.

9. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé:

[pic]

10. Íåñêîëüêî äðóçåé ðåøèëè óñòðîèòü òóðíèð ïî èãðå â «êàìåíü-íîæíèöû-
áóìàãó». Êàæäûé ñûãðàë ñ êàæäûì ïî îäíîìó ïîåäèíêó. Çà ïîáåäó â êàæäîì
ïîåäèíêå èãðîêó íà÷èñëÿëîñü îäíî î÷êî, çà ïîðàæåíèå îäíî î÷êî
âû÷èòàëîñü, à íè÷üÿ ÷èñëî íàáðàííûõ î÷êîâ íå èçìåíÿëà. Îêàçàëîñü, ÷òî
îäèí èç ó÷àñòíèêîâ íàáðàë +7 î÷êîâ, à äðóãîé íàáðàë (-2) î÷êà. Âåðíî
ëè, ÷òî õîòÿ áû îäíà èãðà íà òóðíèðå çàâåðøèëàñü âíè÷üþ?