Кружок 7 класса

Занятие 20 (2 апреля 2016 года). Остатки (продолжение)

1.

На какую цифру оканчивается число а) \(777^{777}\); б) \(7^{7^7}\)?

2.

Докажите, что \(2222^{5555}+5555^{2222}\) делится на 7.

3.

У Ивана-царевича есть два волшебных меча, а у Змея Горыныча — сто голов. Первым мечом Иван всегда отрубает Змею Горынычу 21 голову, вторым — 4, но тогда у Змея Горыныча отрастает 2006 новых голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы? (Если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то отрубить их не получится.)

4.

Докажите, что сумма цифр полного квадрата не может быть равна 2015.

5.

Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести квадратов нечетных чисел?

6.

В небольшой шотландской школе учатся 1000 школьников, и у каждого есть шкафчик для одежды. Шкафчики занумерованы числами от 1 до 1000, и после уроков школьники их запирают. А еще в этой школе обитают привидения — их тоже тысяча. Однажды ночью они начали по очереди шалить: сначала первое привидение открыло все шкафчики, затем второе закрыло шкафчики с четными номерами, а каждое следующее привидение меняло состояние шкафчиков с номерами, кратными своему номеру (закрывало открытые шкафчики и открывало закрытые). И вот, когда последнее привидение поменяло состояние тысячного шкафчика — пропел петух, и все привидения срочно убрались восвояси. Сколько школьников на следующее утро с удивлением обнаружили свои шкафчики открытыми?

Дополнительные задачи

7.

Докажите, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел. Например, \(52=4^3+(-3)^3+2^3+2^3+(-1)^3\).

8.

Коля и Вася выписывают две периодические последовательности букв: Коля — с периодом 7, Вася — с периодом 13:

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a1

...

b1

b2

b3

b4

b5

b6

b7

b8

b9

b10

b11

b12

b13

b1

b2

...

Среди букв a₁, ..., a₇ есть разные и среди букв b₁, ..., b₁₃ есть разные. Какова максимальная длина начального куска, который может совпаcть у этих последовательностей?

9.

За круглым столом совещались 2n депутатов. После перерыва эти же 2n депутатов расселись вокруг стола, но уже в другом порядке. Докажите, что найдутся два депутата, между которыми как до, так и после перерыва сидело одинаковое число человек.