Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://mmmf.msu.ru/archive/20142015/z8/?print
Дата изменения: Sun Apr 10 01:50:11 2016
Дата индексирования: Sun Apr 10 01:50:11 2016
Кодировка: Windows-1251
Кружок 8 класса
Руководитель Евгений Александрович Асташов 2014/2015 учебный год
Незнайка должен был разрезать квадрат на 100 квадратов (не обязательно равных).
После тщательного подсчета оказалось, что он разрезал его не на 100, а только на 97 квадратов.
Помогите Незнайке исправить положение и получить ровно 100 квадратов, не переделывая всю работу.
б)
Теперь Незнайке нужно получить 130 квадратов. Как ему это сделать побыстрее?
в)
Пока Незнайка резал квадрат, он задумался: а можно ли получить 131 или 132 квадрата
(или еще какое-нибудь число квадратов)? Ответьте и вы на этот вопрос.
В мешке 64 кг гвоздей. Как с помощью только чашечных весов без гирь отвесить:
а)
32 кг гвоздей;
б)
8 кг гвоздей;
в)
23 кг гвоздей;
г)
n кг (1 ≤ n ≤64, n — целое)?
Пусть требуется доказать утверждение вида «Для каждого натурального n верно, что…».
Это то же самое, что доказать бесконечную цепочку утверждений: «Для n = 1 верно,
что…», «Для n = 2 верно, что…», «Для n = 3 верно, что…» и так далее.
Чтобы доказать всю цепочку утверждений методом математической индукции, достаточно:
1) доказать первое утверждение: «Для n = 1 верно, что…» (база индукции);
2) для каждого натурального k доказать, что если «Для n = k верно,
что…», то и «Для n = k + 1 верно, что…» (шаг индукции).
У бородатого многоугольника во внешнюю сторону растет щетина.
Его пересекает n прямых, на каждой из которых с одной из сторон тоже
растет щетина (см. рисунок выше).
В результате многоугольник оказался разбитым на некоторое число частей.
Докажите, что хотя бы одна из частей окажется бородатой снаружи.
Бодрый студент на лекции записывал по 90 слов в минуту.
Сонный студент сначала был совсем сонный и за первую минуту лекции записал только одно слово.
Потом он начал понемногу просыпаться и за вторую минуту лекции записал уже три слова,
за третью — пять, за четвертую — семь, и так далее.
а)
Сколько времени длилась лекция, если в итоге оба студента записали слов поровну?