Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matan.math.msu.su/files/zorich/2%20Uchebnye%20materialy/7%20Introduct%20Lecture%20Ryad.pdf Дата изменения: Fri May 14 15:01:20 2010 Дата индексирования: Sun Apr 10 21:26:00 2016 Кодировка: Windows-1251

Некоторые материалы из лекций по анализу

РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ
Вводная лекция

Рассмотрены примеры задач, демонстрирующие инструмент рядов в работе. Поставлены основные теоретические вопросы, относящиеся к действиям с рядами.
I. Задачи, эвристические действия, теоретические вопросы.

В геологии сначала найдут, разведают месторождение, а потом разрабатывают. В математике так же. Аксиоматика и полезный формализм возникают как результат решения конкретных вопросов и задач. Они не падают с неба, как это может показаться неопытному студенту, когда все начинается с аксиом. Этот семестр в значительной степени посвящен рядам, т.е. по существу пределу последовательности. Он идейно прост и довольно техничен. Чтобы замечательно эффективный аппарат теории рядов не свелся к абстрактному исследованию сходимости ряда (существованию некоего предела), дадим хотя бы начальное представление о том, где и как работает этот инструмент. a) Букашка на резинке (задача, предложенная Л.Б.Окунем А.Д.Сахарову). 1 ћ Вы держите один конец резинового шнура длиной 1 км. От второго его конца, который закреплен, к вам со скоростью 1 см/с ползет букашка. Каждый раз, как только она проползает 1 см, вы растягиваете резинку на 1 км. Доползет ли букашка до вашей руки? Если да, то приблизительно сколько ей на это потребуется времени?
Мартин Гарднер в своей книге ?Путешествие во времени?(Москва, Мир, 1990, c.133) пишет: "Эту замечательную задачу в духе парадокса Зеннона об Ахиллесе и черепахе придумал Д.Уилкин из Новой Каледонии. Впервые она была опубликована в декабре 1972 г. в разделе занимательных задач французского ежемесячника Science et Vie, который с присущим ему блеском ведет Пьер Берлокен."
1
1

0. Разминка.


2

b) Интеграл и оценка сумм. После некоторого размышления для ответа на предыдущий во1 1 прос вам может оказаться полезной сумма Sn = 1 + 1 + 3 + ... + n . 2 n1 ћ Вспомните интеграл и покажите, что Sn - 1 < 1 x dx < Sn-1 . c) От обезьяны до доктора наук всего 106 лет. Литлвуд в своей известной книжке ?Математическая смесь?, говоря о больших числах, писал, что 106 лет время, необходимое для превращения обезьяны в доктора наук 2. ћ Поспеет ли букашка на защиту или хотя бы к концу света? a) Степенные разложения функций exp , cos , sin. Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа 1 1 1 ex = 1 + 1! x + 2! x2 + . . . + n! xn + rn (x), 1 где rn (x) = (n+1)! e ћ xn+1 и | | < |x|;
-1) 1 1 cos x = 1 - 2! x2 + 4! x4 - . . . + ((2n)! x2n + r2n (x), где r2n (x) = (2n1 cos + (2n + 1) x2n+1 и | | < |x|; +1)! 2 -1) 1 1 sin x = x - 3! x3 + 5! x5 - . . . + ((2n+1)! x2n+1 + r2n+1 (x), где r2n+1 (x) = (2n1 sin + (2n + 2) x2n+2 , и | | < |x|. +2)! 2
n+1 n

1. Экспонента.

Поскольку для любого фиксированного значения x R при n остаточный член в каждой из приведенных формул очевидно стремится к нулю, то пишут 1 1 1 1 1 1 ex = 1 + 1! x + 2! x2 + 3! x3 + 4! x4 + 5! x5 + . . . + n! xn + . . . ,
1 1 cos x = 1 - 2! x2 + 4! x4 - . . . + 1 1 sin x = x - 3! x3 + 5! x5 - . . . + (-1)n (2n)!

x

2n

+ ..., + ....

(-1)n+1 (2n+1)!

x

2n+1

b) Выход в комплексную область и формула Эйлера. Подставим в правую часть первого из этих равенств вместо x комплексное число ix. Тогда после простых арифметических преобразований мы вслед за Эйлером получим замечательное соотношение eix = cos x + i sin x. Положив здесь x = , найдем, что ei + 1 = 0. Это знаменитое равенство, соединяющее фундаментальные константы математики: e - анализ, i-алгебра, -геометрия, 1-арифметика, 0-логика.
2Дж. Литлвуд, Математическая смесь. Москва, Физматлит, 1962, с. 111.


3

Мы определили функцию exp для чисто мнимых значений аргумента и получили формулу Эйлера eix = cos x + i sin x, из которой очевидно также следует, что 1 cos x = 1 (eix + e-ix ) и sin x = 2i (eix - e-ix ). 2 c) Экспонента как предел. x Мы знаем, что (1 + n )n ex при n и x R . Естеz z ственно полагать, что e := limn (1 + n )n , где теперь z = x + iy произвольное комплексное число. Подсчет этого предела дает ez = ex (cos y + i sin y ). ћ Проверьте это и получите формулы для cos z и sin z . d) Умножение рядов и основное свойство экспоненты. Выражение ex (cos y + i sin y ) для ex+iy естественнee получить прямо из соотношения ex+iy = ex eiy , если, конечно, оно справедливо и для комплексных значений аргумента функции exp. Проверим это прямым умножением. Пусть u и v комплексные 1 1 числа. Полагая eu := k! uk и ev := =0 m! v m , находим k=0 m

eu ћ ev = ( =
n=0

1k 1m k=0 k! u ) ћ ( m=0 m! v ) = k=0 11 km 1 n k+m=n k! m! u v = n=0 n! (u + v )

=e

11 km m=0 k! m! u v u+v

=

.

Мы здесь воспользовались тем, что поскольку uv = v u.

n! km k+m=n k! m! u v

= (u + v )n ,

е) Экспонента от матрицы и роль коммутативности. А что если в выражении 1 1 1 eA = 1 + 1! A + 2! A2 + . . . + n! An + . . . , считать A квадратной матрицей, полагая, что и 1 обозначает единичную матрицу I того же размера? Например, если A единичная матрица, то, как легко проверить, eA окажется диагональной матрицей с элементами e на главной диагонали. ћ Вычислите exp A для следующих матриц A:

00 , 00

10 , 0 -1

01 , -1 0

00 , 10

01 , 00

010 001 . 000

ћ Пусть А1 и А2 последние две матрицы второго порядка. Найдите eA1 , eA2 и убедитесь, что eA1 ћ eA2 = eA1 +A2 . В чем тут дело? ћ Покажите, что etA = I + tA + о(t) при t 0. ћ Проверьте, что det(I + tA) = 1 + t ћ tr A + о(1), где tr A след квадратной матрицы A. ћ Выведите важное соотношение: det eA = etr A .


4

f ) Экспонента от оператора и формула Тейлора. d Пусть P (x) многочлен, а A = dx оператор дифференцирования. Тогда (АP )(x) = dP (x) = P (x). dx d ћ Проверьте, что соотношение exp(t dx )P (x) = P (x + t) является знакомой вам формулой Тейлора. ћ Кстати, сколько членов ряда для ex надо взять, чтобы получить многочлен, позволяющий вычислять ex на отрезке [-3, 5] с точностью до 10-2 ?

2. Бином Ньютона.
a) Степенное разложение функций (1 + x) . Зная для натуралных значений формулу степени бинома
(1 + x) = 1 + 1! x + (-1) x2 + . . . + (-1)...(!-n+1) xn + . . . , 2! n Ньютон понял, что она справедлива для любых , только сумма при этом может быть бесконечной. Например, (1 + x)-1 = 1 - x + x2 - x3 + . . ., если |x| < 1. b) Интегрирование ряда и разложение log(1 + x). Проинтегрировав последний ряд по отрезку [0, x], найдем, что log(1 + x) = x - 1 x2 + 1 x3 + . . . при |x| < 1. 2 3 c) Разложения (1 + x2 )-1 и arctg x. Аналогично, написав разложение (1 + x2 )-1 = 1 - x2 + x4 - x6 + . . . и проинтегрировав его по отрезку [0, x], получим разложение arctg x = x - 1 x3 + 1 x5 - . . ., 3 5 1 из которого при x = 1, вроде бы, следует, что = 1 - 1 + 5 - 1 + . . .. 4 3 7 Может быть это и так (и действительно это так), но чувствуется, что мы уже выходим на границы дозволенного. Следующий пример только усилит наши опасения. d) Разложение (1 - x)-1 и вычислительные странности. При x = 1 разложение (1 + x)-1 = 1 - x + x2 - x3 + . . . приводит к равенству 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + . . .. 2 Расставив в нем скобки, можно получить 1 = (1-1)+(1-1)+. . . = 2 0, а можно получить и 1 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + . . . = 1. 2 После такого приходится ставить под сомнение почти все, что мы так успешно и беззаботно делали, перемножая бесконечные суммы (ряды), переставляя и группируя в них члены, интегрируя их. Во всем этом явно надо разобраться. Этим мы вскоре займемся, а пока упомянем еще одну область использования рядов.

3. Решение дифференциальных уравнений.


5

a) Метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим простейшее уравнение x + x = 0 гармонических коЕ лебаний и будем искать его решение в виде ряда x(t) = а0 + а1 t + а2 t2 + . . .. Подставляя ряд в уравнение, собирая члены с одинаковыми степенями t и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в обеих частях уравнения, получим бесконечную систему соотношений: 2а2 + а0 = 0, 2 ћ 3а3 + а1 = 0, 3 ћ 4а4 + а2 = 0, . . . Если начальные условия x(0) = x0 и x (0) = v0 даны, то из x(t) = а0 + а1 t + а2 t2 + . . . и x (t) = а1 + а2 t + . . . при t = 0 находим а0 = x0 и а1 = v0 . Зная а0 и а1 , теперь можно последовательно однозначно найти остальные коэффициены разложения. Например, если x(0) = 0 и x (0) = 1, то 1 1 x(t) = t - 3! t3 + 5! t5 - . . . = sin x, а если x(0) = 1 и x (0) = 0, то 1 1 x(t) = 1 - 2! t2 + 4! t4 - . . . = cos x. b) Использование экспоненты. А что если решение искать в виде x(t) = еt ? Тогда x + x = еt (2 + 1) = 0 и, следовательно, Е 2 + 1 = 0, т.е. = i или = -i. Но что это за странные комплексное колебания x(t) = еit -it е или x(t) = c1 еit + c2 е-it ? ћ Проанализируйте ситуацию и доделайте все же задачу ца, например, если x(0) = 0 и x (0) = 1 или если x(0) = 1 и x Вспомните формулу Эйлера и сравните ваши результаты ченными выше.

, x(t) = до кон(0) = 0. с полу-

a) Смысл позиционной системы счисления. Иррациональные числа. Вспомним, что означает привычная запись = 3, 1415926... или вообще десятичная дробь a0 , a1 a2 a3 ... Ведь это сумма a0 100 +a1 10-1 + a2 10-2 + a3 10-3 + ... Мы знаем, что конечные дроби отвечают рациональным числам, а запись иррационального числа требует бесконечного числа десятичных знаков и, следовательно, требует рассмотрения бесконечного числа слагаемых и бесконечных сумм рядов. Если мы обрываем этот ряд на каком-то месте, мы получаем рациональное число. С ним мы обычно и работаем. Что при этом произошло? Мы упростили объект, позволив себе некоторую ошибку. Т.е. мы приближаем сложный объект (здесь иррациональное

4. Общая идея приближения и разложения.


6

число) удобными нам объектами (здесь рациональными числами), допуская при этом некоторую ошибку, которую называем точностью приближения. Улучшение точности приводит к усложнению приближающего объекта. Компромисс приходится искать в соответствии с конкретными обстоятельствами. b) Разложение вектора по базису и аналогии в рядах. В линейной алгебре и геометрии мы раскладываем векторы по 1 базису. Традиционная для анализа запись f (x) = f (0) + 1! f (0)x + 1 f (x)x2 + ... фактически означает то же самое, если считать, что 2! базисом является набор функций еn = xn . Это ряд Тейлора функции f в точке x0 = 0. Аналогично, если какой-то периодический сигнал или процесс f (t) подвергают спектральному анализу, то интересуются его раз ложением f (t) = n=0 an cos nt + bn sin nt на простейшие гармонические колебания. Такие ряды называются классическими (или тригонометрическими) рядами Фурье. Новое, что тут имеет место в сравнении с ситуацией линейной алгебры состоит в том, что рассматривается бесконечная сумма, которая понимается как некоторый предел конечных сумм. Значит, кроме структуры линейного пространства, в пространстве наших объектов должно быть определено то или иное понятие близости объектов, позволяющее говорить о пределе последовательности самих объектов или их сумм. c) Расстояние. Близость объектов определяется наличием того или иного понятия окрестности объекта (окрестности точки пространства). Это называется заданием топологии пространства. В топологических пространствах можно говорить о пределе и непрерывности. Если в пространстве тем или иным способом введено расстояние между объектами точками пространства, то автоматически определена и окрестность точки, и даже точнее, любая ее -окрестность. Расстояние между точками одного и того же пространства можно измерять по-разному. Например, расстояние между двумя непрерывными функциями на отрезке можно измерять максимумом модуля разности функций на этом отрезке (равномерная метрика), а можно измерять величиной интеграла от модуля разности функций на этом отрезке (интегральная метрика). Выбор метрики диктуется содержанием рассматриваемой задачи. Итак, надо перейти к разработке намеченных идей и выяснению возникших вопросов, связанных с понятием ряда как бесконечной суммы.