... Центром тяжести треугольника принято называть точку M пересечения его медиан. ... Центр тяжести отрезка [pic] лежит в точке L, которая делит отрезок [pic] в отношении к [pic], считая от вершины [pic]. ... В любом треугольнике [pic], [pic] и центр I вписанной окружности лежат на одной прямой (прямой Нагеля), причем [pic] делит отрезок [pic] в отношении 2:1. ... Найдем точку [pic]. ... Точка [pic] лежит на отрезке [pic], где L - точка пересечения диагоналей четырехугольника, и делит его в отношении 3...

СТУДЕНЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ МЕХМАТА МГУ И. В. Аржанцев, 1 В. И. Богачев, 2 А. А. Заславский, 3 В. Ю. Протасов, 4 А. М. Райгородский, 5 А. Б. Скопенков 6 n=1 Мы приводим задачи всемехматовских олимпиад 2001 (второй тур), 2008 и 2009 годов, а также указания, решения и комментарии. ... 2008-1. ... Обозначим через m(k) максимальное число попарно не ортогональных векторов из {-1; 0; 1}2k , ровно k координат каждого из которых нулевые. (а) Докажите, что m(k) 22k-1 при нечетном k. (б) Докажите, что 80 m(4) 140. ...