Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://xray.sai.msu.ru/~popova/papers/lit28.ps Дата изменения: Wed Jul 26 16:20:36 2006 Дата индексирования: Mon Oct 1 22:45:16 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п

УДК 531.26
ВИХРЕПОДОБНЫЕ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ
РЕШЕНИЯ В n-МЕРИИ
А.Д. Попова
Государственный астрономический институт
им П.К. Штернберга, МГУ,
Университетский пр-т 13, Москва 119899
Аннотация
Представлены решения некоторых эллиптических уравнений типа вихревых
колец и потенциалов точечных источников в n-мерном пространстве, обладаю-
щие необычными асимптотиками: 3-мерной или 2-мерной для произвольного числа
нечетных или четных измерений соответственно.
В конце XIX в. существовала вихревая теория строения вещества У.
Томсона (Кельвина) [1], в начале XX в. была популярной теория строе-
ния квантов света, как замкнутых силовых фарадеевых трубок (в прежней
трактовке, в отличие от современной, силовые линии и трубки считались
реально существующими объектами), связанная с именами Дж. Дж. Том-
сона [1, 2] и Н. П. Кастерина [2, 3]. Целью этих теорий было объяснение
непосредственного строения и взаимодействия материи, но впоследствии
они были оставлены, по-видимому, по двум причинам. Во-первых, вслед-
ствие создания и успехов квантовой механики, самодостаточной теории, ко-
торая в них не нуждалась, во-вторых, из-за утраты понятия эфира (в связи
с созданием теории относительности)  необходимого звена обеих теорий.
Опыт развития теоретической физики в прошедшем XX в. позволяет глуб-
же понять и оценить как квантовую теорию и теорию относительности,
так и многочисленные дочерние теории, их возможности и границы при-
менимости. XX в. привнес много новаторских идей, среди которых  идеи
многомерия и компактификации размерностей, идеи струн и суперструн
[4], однако удовлетворительной теории строения материи не существует.
1

На роль такой теории не подходит квантовая теория: волновая функция
не описывает структуры элементарных частиц  в математическом описа-
нии они предполагаются материальными точками. На эту роль претендует
теория суперструн, однако эти претензии еще достаточно спорны. Предла-
гаемое вниманию математическое исследование еще очень далеко от фи-
зической теории и, тем более, от подобных претензий, но, возможно, оно
будет интересным для теоретической физики и найдет свои приложения.
Обобщение понятия вихревых колец на n-мерное пространство (n > 2)
привело к ряду интересных результатов и выводов. Во-первых, были по-
лучены решения для функций тока, которые названы вихреподобными,
поскольку не соотнесены пока с вращением с помощью каких-либо физиче-
ски значимых коэффициентов. (Они могут быть интерпретированы и как
решения для магнитного потенциала кольца с током.) Решения состоят из
конечного ряда членов, лидирующими из которых на больших расстояниях
от кольцевого источника являются члены пропорциональные 1/R в случае
нечетных n # 3 и пропорциональные ln 1/R в случае четных n # 2. Иными
словами, нечетномерные решения имеют 3-мерную асимптотику, а четно-
мерные решения  2-мерную, хотя для полей скоростей, определяемых из
функций тока, это не так.
Во-вторых, естественным образом возникло понятие класса операторов
второго порядка эллиптического типа, отличных от оператора Лапласа, ко-
торые мы назвали анти-лапласианами. Один из представителей этого клас-
са позволяет получить решения с точечным источником, которые обладают
аналогичныими свойствами и асимптотиками; такие решения названы ре-
шениями типа потенциала.
В третьих, было найдено общее преобразование, переводящее решение в
(n - 2)-мерном пространстве в решение в n-мерном, одинаковое для нечет-
ных и четных n, причем оно точно так же действует на левые части уравне-
ний. Это преобразование явилось неоценимым подспорьем в задаче выделе-
ния точечных источников по известным решениям однородных уравнений.
2

Сама по себе такая задача нетривиальна из-за неприменимости стандарт-
ной процедуры, которая работает в случае уравнения Лапласа (см. напр.
[5]). Конечно, анти-лапласианы связаны с лапласианами, ниже эта связь по-
казана явно. Оказалось, что для лапласианов и соответствующих решений
тоже существует (другое) преобразование с теми же самыми свойствами.
Ниже последовательно излагаются намеченные проблемы, начиная с
некоторых свойств лапласианов, уравнений Пуассона и их решений, на ко-
торые не обращалось внимание раньше. Более подробные выкладки можно
найти в работе [6]. Некоторые важные вопросы, а именно геометрическая
и физическая интерпретация полученных результатов будут рассмотрены
в следующих публикациях.
1. Лапласова совокупность: уравнения, решения, преобразова-
ния.
Как известно, уравнение Пуассона (с лапласианом в левой части и то-
чечным источником в правой части)
# (n) # n = -# n #(R) # s(R) (1)
имеет решения # n = (n - 2) -1 |R| -n+2 для n > 2 и # 2 = - ln |R| для n = 2,
где R  радиус-вектор с началом в точечном источнике,
# n =
2# n/2
#(n/2)
(2)
 площадь поверхности единичной (n - 1)-сферы, #  гамма-функция.
Построим специальную систему координат. Возьмем [2+(n-2)]-разбиение
пространства R n : R n = R 2
ЧR n-2 . В каждом подпространстве, R 2 и R n-2 ,
выберем сферическую систему координат с радиальными координатами r
и z соответственно. Зависимость всех величин только от r и z будем назы-
вать двойной сферической симметрией.
В указанной симметрии точечный источник в (1) имеет вид (n > 2)
s (n) (R) = -# n #(r)#(z) = -
1
n - 2
# + (r)
r
# + (z)
z n-3 #
1
n - 2
s (n)
r,z , (3)
3

где использованы формальное соотношение #(x) = # + (x)/# k x k-1 в k-мерии
и легко проверяемое с помощью (2) равенство
# n =
# 2 # n-2
n - 2
, (4)
здесь n #= 2. Заметим, что # 2 = 2# и # 1 = 2.
С учетом (4) множитель (n - 2) можно исключить и из источника (3),
и из соответствующего решения, так что уравнение (1) с источником s (n)
r,z :
# (n)
r,z # n (r, z) # # 1
r
#
#r
r
#
#r
+
1
z n-3
#
#z
z n-3 #
#z
# # n (r, z) = -
# + (r)
r
# + (z)
z n-3
при n > 2 имеет решение
# n (r, z) =
1
R n-2
, (5)
где R(r, z) = # r 2 + z 2  модуль радиус-вектора.
Случай n = 2 является вырожденным из-за отсутствия координаты z,
и уравнение Пуассона
# (n)
r,z # 2 (r) = # (2) # 2 (r) =
1
r
#
#r
r
#
#r
# 2 = -
# + (r)
r
(6)
имеет тривиальное решение
# 2 (r) = ln
1
r
. (7)
Введем понятие лапласовой совокупности трех ниже перечисленных ве-
личин, L n :
L n = {# n , # (n)
r,z # n , s (n)
r,z }.
Рассмотрим дифференциальный оператор
f (n,n-2)
L = -
1
n - 4
1
z
#
#z
. (8)
Любая из величин L n в пространстве R n = R 2
ЧR n-2 может быть получе-
на из подобной величины в пространстве с размерностью на две единицы
меньше, R n-2 = R 2
Ч R n-4 (n > 4), преобразованием
L n = f (n,n-2)
L L n-2 . (9)
4

Очевидно, что нечетномерные величины получаются из нечетномерных,
начиная с n # 5, а четномерные из четномерных начиная с n # 6 (в силу
вырожденности величины L 2 из нее не может быть получена величина L 4 ).
Заметим, что для вторых величин в L n , а именно # (n)
r,z # n , равенство (9)
имеет место в силу дифференциальной перестановки
1
z
#
#z
# (n-2)
r,z = # (n)
r,z
1
z
#
#z
.
Третьи величины в L n , s (n)
r,z , известны, и для них (9) проверяется непосред-
ственно с использованием равенства z# # + (z) = -#+ (z). 1
2. Получение анти-лапласиана из лапласиана.
Оставляя в стороне рассмотренный выше случай разбиения простран-
ства, проаназизируем более общий случай. Пусть при разбиении R n =
R k
Ч R n-k задана сферическая система координат в пространстве R k с
радиальной координатой x и угловыми переменными # j , j = 1, . . . , k - 1,
что задает метрику
dl 2 = dx 2 + x 2 (d# 2
1 + sin 2 # 1 (d# 2
2 + sin 2 # 2 (. . . Ч
(d# 2
k-2 + sin 2 # k-2 d# 2
k-1 ) . . .))).
Тогда оператор Лапласа # (n) можно представить в виде
# (n) = # (k)
x +
1
x 2 # (k) +# (n-k)
#
1
x k-1
#
#x
x k-1 #
#x
+
1
x 2 # (k) +# (n-k) ,
где # (k)
x  радиальная часть лапласиана # (k) , # (k)  оператор, зависящий
только от угловых переменных:
# (k) =
k-1
#
j=1
1
sin 2 # 1 sin 2 # 2 . . . sin 2 # j-1 sin k-j-1 # j
#
## j
sin k-j-1 # j
#
## j
,
(см. также выражение для него в [6]), # (n-k)  не зависящая от x и # j часть,
т. е. лапласиан, относящийся к пространству R n-k .
1 Отметим также, что оператор преобразования типа (8) существует и в других разбиениях R n .
5

Для произвольной функции, зависящей только от x и переменных про-
странства R n-k , F (x, . . .), имеет место перестановочное соотношение
# (n) e i
x k-1
F (x, . . .) =
e i
x k-1
# (n)
x F (x, . . .), (10)
где e i = x i /x, x i  любая из декартовых координат в R k , выражаемая через
x и # j (i = 1, . . . , k, e i e i = 1). Оператор в правой части (10),
# (n)
x # x k-1 #
#x
1
x k-1
#
#x
+# (n-k) =
# 2
#x 2 -
k - 1
x
#
#x
+# (n-k) ,
назовем анти-x-лапласианом.
Существуют также дифференциальные соотношения, связывающие ла-
пласианы с анти-лапласианами:
x n-1 #
#x
# (n)
x F (x, . . .) = # (n)
x x n-1 #
#x
F (x, . . .),
1
x n-1
#
#x
# (n)
x F (x, . . .) = # (n)
x
1
x n-1
#
#x
F (x, . . .). (11)
Очевидно, что (11) являются тождествами после подстановки явного вида
операторов.
3. Решения типа потенциалов точечных источников.
В двойной сферической симметрии решения однородного уравнения с
анти-z-лапласианом
# (n)
z # n # # 1
r
#
#r
r
#
#r
+ z n-3 #
#z
1
z n-3
#
#z
# # n = 0, (12)
сингулярные только в одной точке r = 0, z = 0, имеют различный вид для
нечетных и четных n.
В нечетномерном случае решение (12) есть
# n (r, z) =
n
#
k=3
#
a k,n
z k-3
R k-2
, (13)
где штрих у знака суммы означает суммирование только по нечетным k, а
коэффициенты a k,n связаны рекуррентным соотношением a k+2,n = a k,n (k -
2)(n-k)[(k-1)(n-k-1)] -1 . Для каждого n коэффициент a 3,n может быть
6

выбран произвольно. Сделаем специальный выбор a 3,n = (n- 3)!!/(n - 4)!!,
тогда
a k,n =
(k - 4)!! (n - k - 1)!!
(k - 3)!! (n - k)!!
.
В четномерном случае решениями (12) являются функции
# 4 (r, z) = ln
1
R
, (14)
и при n # 6 (два штриха означают суммирование только по четным k)
# n (r, z) = ln
1
R
+
n
#
k=6
## 1
k - 4
z k-4
R k-4
. (15)
Решения (14) и (15) обладают полезным свойством:
#
#z
# n = -
z n-3
R n-2
. (16)
4. Вихреподобные решения.
При рассмотрении движения несжимаемой жидкости в двойной сфери-
ческой симметрии следует положить v r = -(rz n-3 ) -1 ## n /#z, v z = (rz n-3 ) -1 ## n /#r
для радиальных компонент скорости v в R 2 и R n-2 соответственно, где # n
 функция тока (ср. с [7]). Условие обращения в нуль ротора 2 v почти
везде (за исключением некоторых сингулярных точек решения) приводит
к уравнению с оператором, названным анти-дубль-лапласианом:
# (n) # n # # r
#
#r
1
r
#
#r
+ z n-3 #
#z
1
z n-3
#
#z
# # n = 0.
В предположении, что решение является сингулярным в множестве точек
r = a, z = 0, получим
# n (r, z) =
r
#
#
# 0
d# cos # # n (#, z), (17)
где в подынтегральное выражение входит функция (13), (14) или (15) с
заменой R(r, z) на R(#, z), # 2 = r 2 +a 2
-2ar cos #. Выражение (17) записано
единообразно для всех n и выбран некоторый общий коэффициент, однако
2 См. обсуждение понятия ротора в R n в работе[6].
7

это решение также имеет принципиально различный характер в нечетно-
и четномерных случаях.
5. Преобразования в случае анти-лапласианов.
Подобно предыдущему введем две совокупности, из трех величин каж-
дая, анти-z-лапласову и анти-дубль-лапласову,
Z n = {# n , # (n)
z # n , 
s (n)
z },
D n = {# n , # (n) # n , s (n)
},
где 
s (n)
z и s (n)  искомые точечные источники в уравнениях # (n)
z # n = 
s (n)
z
и # (n) # n = s (n) соответственно. Рассмотрим оператор (n # 5)
f (n,n-2)
A = -
z n-3
n - 4
#
#z
1
z n-4
. (18)
Применение оператора (18) к любой из величин A n-2 = {Z n-2 , D n-2 } дает
преобразование с "повышающим эффектом", подобное (9):
A n = f (n,n-2)
A A n-2 ; (19)
для вторых величин из Z n и D n использованы дифференциальные пере-
становки
z n-3 #
#z
1
z n-4
# (n-2)
z = # (n)
z z n-3 #
#z
1
z n-4
,
z n-3 #
#z
1
z n-4
# (n-2) = # (n) z n-3 #
#z
1
z n-4
.
6. Выделение точечных источников.
Трансформационные свойства # (n)
z # n (см. (19)), были получены без уче-
та результата подстановки # n в данный оператор. Фактически результатом
этой подстановки и является точечный источник, так что n-мерный источ-
ник должен быть связан с (n - 2)-мерным тем же соотношением (19).
Для нечетных n имеет место факт совпадения L 3 c Z 3 , поэтому наиболее
формально искомый источник можно получить посредством применения
нужного числа преобразований f (n,n-2)
A к известному источнику s (3)
r,z (см.
(3) при n = 3). Результат такого применения,
 s (n)
z = -
# + (r)
r
# + (z),
8

не зависит явно от n благодаря специальному выбору коэффициента a 3,n .
Можно пойти и менее формальным путем. В силу того, что операторы
(10) и (18) имеют одинаковый (первый) дифференциальный порядок, после
несложных выкладок Z n выражается алгебраически через L 3 , L 5 , . . . L n-2 , L n
и степени z:
Z n =
n
#
k=3
#
a k,n z k-3 L k . (20)
(в этой связи ср. (13) с (5)). Выбирая вторые величины из обеих совокуп-
ностей, Z n и L k , с помощью (20) можно выразить поверхностные члены,
появляющиеся как результат сверток # (n)
z # n с гладкими основными функ-
циями, через поверхностные члены, возникающие при аналогичном сверты-
вании # (k)
r,z # k , и применить стандартную предельную процедуру, что опять
ведет к (20).
Аналогичный подход для кольцевых источников дает
s (n) = -#(r - a) # + (z).
Для четных n ситуация сложнее. Источник 
s (n)
z мог бы быть получен
с помощью преобразования (19) из известного 
s (4)
z . Чтобы построить 
s (4)
z ,
решим явно следующее уравнение для функции '
# 4 (r, z):
# (4)
z
'
# 4 (r, z) =
# + (r)
r
#+ (z), (21)
где #+ (z) есть ступенчатая функция Хевисайда:
#+ (z) = # # #
0, z # 0;
1, z > 0.
Свяжем '
# 4 с решением общего уравнения Пуассона при n = 4 через соот-
ношение (10):
# (4) # #
e # i
z
'
# 4 (r, z) # # =
e # i
z
# (4)
z
'
# 4 (r, z) = e # i
# + (r)
r
#+ (z)
z
, (22)
где e # i = z i /z, z i  декартова координата в R n-2 . Несмотря на некомпакт-
ность источника в (22), его свертка с фундаментальным решением урав-
нения Пуассона существует, и интегрирование по R 4 приводит к искомому
9

решению:
'
# 4 (r, z) = ln
1
R - ln
1
r
. (23)
Второй член в правой части (23) есть решение (7) уравнения (6), а значит,
и z-независимое решение (12) при n = 4, поэтому комбинация '
# 4 + # 2
совпадает с функцией (14), # 4 = '
# 4 + # 2 , и удовлетворяет уравнению
# (4)
z # 4 = -
# + (r)
r
[1 -#+ (z)] #  s (4)
z .
Применение оператора (18) к 
s (4)
z с учетом z# + (z) = 0 окончательно дает

s (n)
z =  s (4)
z = -
# + (r)
r
[1 -#+ (z)].
Очевидно, что источник  s (n)
z конечен в сингулярной точке решения и его
нельзя было бы получить с помощью основных функций. Интересно, что
производная по z от 
s (n)
z пропорциональна # + (z), это можно проверить неза-
висимо, комбинируя равенства (11), (16) и уравнение (5):
1
z n-3
#
#z
# (n)
z # n = -# (n)
r,z
# 1

R n-2
# =
# + (r)
r
# + (z)
z n-3
.
Для вихреподобных решений аналогично вычисляется s (4) и затем, в
соответствии с преобразованием (19), s (n) :
s (n) = -#(r - a) [1 -#+ (z)].
Итак, основные результаты исследования изложены: определены опера-
торы и преобразования, получены решения и выделены точечные источ-
ники. В следующих работах будет показано, что анти-лапласианы имеют
непосредственную связь с оператором # 2 , примененным к векторам и по-
ливекторам в n-мерии. Что касается физической значимости полученных
результатов, то они открывают простор далеко идущим спекуляциям. За-
метим, что вся макро- и микрофизическая картина мира основана на за-
коне обратных квадратов спадания электромагнитных и гравитационных
сил, а также освещенностей и пр. (В n-мерии при n > 2 стандартный закон
10

имел бы вид 1/R n-1  как производная от скалярного потенциала # n в п.
1.) Теперь, если представить, например, что полученные решения типа по-
тенциала описывают микрообъекты (на уровне элементарных частиц), то
возникает вопрос, что такое реальная физическая размерность, не является
ли она динамической по сути? Не живем ли мы в каком-то большом нечет-
номерии, которое динамически проявляется как 3-мерие?  Своебразная
альтернатива упомянутой выше компактификации размерностей.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Томсон Дж. Дж. Электричество и материя. (Прилож.: Томсон В. О
вихревых атомах). М.;Л.: Госиздат, 1928. [2] Тимирязев А. К. Введение в
теоретическую физику. М.;Л.: ГТТИ, 1933. [3] Кастерин Н. П. Philosophical
Mag. II, 1926. [4] Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн: в 2
т. М.: Мир, 1990. [5] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции
и действия над ними. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1958. [6] Popova A. D.
Impossible solutions? E-print Archive: math-ph/0010022. [7] Ламб Г. Гидро-
динамика. М.: Гостеортехиздат, 1947.
11