Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://xray.sai.msu.ru/~mystery/html/MainFile/node14.html
Дата изменения: Wed May 26 22:09:12 2004
Дата индексирования: Tue Oct 2 13:46:15 2012
Кодировка: koi8-r
Поисковые слова: р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п
|
<< C. Вычисление интегралов
| Оглавление |
Литература >>
В данном приложении будет рассмотрена задача о поиске
аналитического решения для уравнений движения ядра кометы (первая
пара системы (50)). Рассмотрим второе
уравнение системы (50)
![](img436.gif) |
(78) |
Произведем замену переменных вида
. Тогда
(78) можно переписать в виде:
![](img438.gif) |
(79) |
откуда
![](img439.gif) |
(80) |
Интегрируя последнее выражение, получаем
или
![](img441.gif) |
(81) |
здесь
- постоянная площадей (удвоенная секторная скорость)
[2].
Следовательно, первое уравнение системы
(50) можно представить в виде:
![](img443.gif) |
(82) |
Для решения последнего уравнения произведем замену переменных
, тогда
- радиальная составляющая скорости ядра (линейная
орбитальная скорость). В итоге (83) можно представить в
виде:
![](img446.gif) |
(83) |
Здесь учтено, что
. Проинтегрируем
последнее соотношение.
Откуда
![](img449.gif) |
(84) |
иначе
![](img450.gif) |
(85) |
где
- постоянная интегрирования. Учтем также, что
следовательно
откуда
![](img454.gif) |
(86) |
Проинтегрируем (87)
![](img455.gif) |
(87) |
Произведем замену переменных вида
, тогда
, следовательно (88) можно
представить в виде:
![](img458.gif) |
(88) |
Произведем замену переменных вида
![](img459.gif) |
(89) |
следовательно, (89) можно представить в виде:
![](img460.gif) |
(90) |
произведем в (91) замену следующего вида
, тогда последнее выражение может быть
представлено в виде:
![](img462.gif) |
(91) |
откуда получаем
![](img463.gif) |
(92) |
Вернемся к исходной переменной
, тогда (93)
можно представить в виде:
![](img465.gif) |
(93) |
где
![](img466.gif) |
(94) |
- эксцентриситет орбиты. Если направление на
афелий взять за начальное направление радиуса-вектора, то
постоянная интегрирования
и уравнение орбиты
принимает вид:
![](img469.gif) |
(95) |
где
. Следовательно, выражение
(86) в терминах новых параметров может быть
представлено в виде:
![](img471.gif) |
(96) |
учитывая определение большой полуоси орбиты ядра
:
![](img473.gif) |
(97) |
выражение (97) можно переписать в виде:
![](img474.gif) |
(98) |
Подставляя
из (96) в (82) и интегрируя,
получаем
![](img475.gif) |
(99) |
![](img476.gif) |
(100) |
Ситуация 1: Параболическая орбита
(
).
Тогда после интегрирования в правой части (101) и
учитывая, что
, где
- перигелийное расстояние
ядра, будем иметь:
![](img480.gif) |
(101) |
Принимая за начало шкалы времени момент времени, когда ядро
находится в афелии (
), то получаем:
![](img482.gif) |
(102) |
Решая последнее уравнение относительно
, получаем
зависимость
. Подставляя последнее
выражение в (96), получаем явную зависимость
. Таким образом, найден закон движения ядра кометы,
движущегося по параболической орбите.
Ситуация 2: Эллиптическая орбита
(
).
В данном случае непосредственное интегрирование (101)
затруднительно. В этом случае удобно ввести вспомогательный угол
- эксцентрическую аномалию и выразить
,
в
функции этого угла (смотри рис. 27).
|
Рис. 27.
К определению угла E.
|
На большой оси как на диаметре строим окружность. Проводим через
положение ядра кометы (точка
) перпендикуляр
к большой оси
орбиты до пересечения с окружностью. Угол
и есть
эксцентрическая аномалия
. Очевидно, что
или
![](img495.gif) |
(103) |
Здесь по-прежнему
. С другой стороны
(96) можно представить в виде:
![](img496.gif) |
(104) |
или
Подставляя значение
из
(104), получаем
![](img499.gif) |
(105) |
Исключая из (105) и (106) переменную
, имеем
![](img500.gif) |
|
|
(106) |
(перед корнем берем знак "+", поскольку
имеет
тот же знак, что и
). Остается найти зависимость
.
Заметим, что на основании (107)
![](img504.gif) |
(107) |
Подставим значение
и выражение для
из
(106) в (82). В результате интегрирования
(82) получаем уравнение Кеплера.
![](img506.gif) |
(108) |
Решая последнее уравнение относительно переменной
, получаем
зависимость
, а, следовательно, и закон движения ядра
кометы
.
Ситуация 3: Гиперболическая
орбита (
).
В случае гиперболической орбиты ядра кометы
,
, а
![](img511.gif) |
(109) |
где
. Поэтому (96) принимает вид:
![](img513.gif) |
(110) |
Для интегрирования (101) введем вспомогательный угол
следующим образом. На оси гиперболы
(смотри рис.
28), как на диаметре, строим окружность. Из
положения ядра кометы (точка
) опускаем перпендикуляр
на
ось
.
|
Рис. 28.
К определению угла F.
|
Из
проводим касательную к окружности и через точку касания
проводим прямую
; угол
. Имеем
или
![](img525.gif) |
(111) |
Исключая
из (111) и
(112), получаем окончательно
![](img526.gif) |
(112) |
Используя (111), получаем окончательно
![](img527.gif) |
|
|
(113) |
на основании (114) имеем
![](img528.gif) |
(114) |
Подставляя значение
и выражение для
из
(115), (113) в (82), получаем
![](img530.gif) |
(115) |
и производя замену следующего вида
получаем окончательно
![](img532.gif) |
(116) |
Решая последнее уравнение относительно переменной
, получаем
зависимость
, а, следовательно, и закон движения ядра
кометы
.
Таким образом, имея элементы орбиты кометы, можно всегда
определить ее закон движения.
<< C. Вычисление интегралов
| Оглавление |
Литература >>