Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://xray.sai.msu.ru/~moulin/5lec/
Дата изменения: Thu Apr 3 18:26:46 1997 Дата индексирования: Mon Oct 1 21:11:54 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: sts-64 |
Лекция 5.
§5.1. Распространение света. Красное смещение.
Рассмотрим фотон частоты , испускаемый
в точке с координатой
на фоне расширяющейся Вселенной.
Пусть приемник расположен в точке с координатой
(напомним, что в расширяющейся Вселенной
,
поэтому расстояние между 2 точками с постоянными координатами
изменяется со временем
).
Пользуясь нерелятивистским эфф. Допплера (т.е. рассматривая
не слишком удаленные точки, что на самом деле оказывается
несущественным), находим
Устремляя получаем дифференциальное уравнение
и учитывая выражение постоянной Хаббла через
масштабный фактор и интегрируя получаем
Аналогично, энергия ,
температура
, импульс частиц
,
длины волн (в т.ч. де Бройлевская длина волны)
.
Наглядная аналогия - замкнутая Вселенная, рассматриваемая как
резонатор. Если есть стоячая волна с n узлами, при расширении число
узлов сохраняется n=const ===>
.
§5.2. Горизонт.
На больших расстояниях необходимо учитывать эфекты кривизны пространства -времени. Поправки за кривизну порядка
где - гравитационный радиус области с радиусом r.
Поставим вопрос: с каких расстояний можно в принципе принимать
информацию в расширяющейся Вселенной? ГОРИЗОНТ событий во Вселенной
определяется как поверхность сферы, образованной совокупностью частиц,
испустивших свет в момент времени t=0, который принимается
наблюдателем в момент времени T. Уравнение распространения света
ds=0 в метрике Робертсона-Уокера принимает вид
(угловые переменные )
и уравнение горизонта
(знак минус т.к. луч распространяется от периферии к центру).
Пример: Плоский мир, , пылевая стадия, P=0,
, ===>
; радиационно-доминированная
стадия
,
===>
Во фридмановской космологии
, а
,
и рано или поздно любая точка в расширяющейся Вселенной оказывается
под горизонтом.
Подчеркнем, что наблюдаемой величиной является красное смещение
z. Масштабный фактор связан с z как .
Связь времени распространения света с расстояний,
соответствующих красному смещению z, осуществляется по формуле:
Зависимость времени от красного смещения т.о. сильно нелинейная.
ПРИМЕР: в плоской Вселенной , z=0. ==> t=0,
а
, т.е. объекты с
красным смещением 3 образовались 7/8 (Хаббловское время)
тому назад.
§5.3. Угловое и фотометрическое расстояние.
В евклидовой геометрии определим угловое расстояние как расстояние,
определяемое по видимому угловому размеру объекта :
, где D - собственный размер объекта перпендикулярно
к лучу зрения. Пусть свет был испущен в момент времени
(это
время задается условием, что свет принимается сегодня, т.е. при
, z=0), а координата объекта была
(NB: координата
объекта НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ в ходе расширения!). Из элемента метрики находим
, и т.о.
. Отметим, что вблизи
горизонта
,
,
,
,
т.е. угол
, под которым виден удаляющийся объект конечных
размеров проходит через минимум (наглядная аналогия - в замкнутом
мире с топологией поверхности сферы).
Можно определить расстояние до объекта и по-другому: пусть объект имеет постоянную собственную светимость L, а принимаемый поток излучения от него F. Положим по определению фотометрическое расстояние до объекта
В расширяющейся Вселенной
откуда
Обратите внимание, что на горизонте , но теперь
!
В отличие от углового расстояния, фотометрическое расстояние монотонно
растет с красным смещением.
§5.4 Горячая Вселенная
Решение Фридмана дает при
(напомним, что на ранних стадиях
независимо от наличия давления и значения
!).
Рассмотрение состояния материи при высоких плотностях
должно удовлетворять требованиям:
1. Остаются в силе основные физические принципы: сохранение барионного и лептонного числа, эл. заряда, I и II начала термодинамики.
2. Скорость установления равновесия скорости расширения ===>
расширение происходит адиабатически, TdS=0, энтропия не
изменяется.
3. Состояние равновесия определяется энтропией и др. сохраняющимися величинами и НЕ ЗАВИСИТ от путей перехода к равновесию.
Идея горячей Вселенной - в работах Алфера, Бете и Гамова
(1948), рассмотревших состояние вещества, при котором
. Их идея состояла в получении
через ядерные реакции наблюдаемый химический состав. Предсказали наличие
реликтового микроволнового излучения с
K, оставшегося
от эпохи, когда горячее вещество (плазма) было непрозрачно
для излучения и вещество находилось в состоянии термодинамического
равновесия с излучением.
В расширяющейся Вселенной температура падает как ,
а плотность вещества
===> отношение
в ходе расширения. Но это как раз и есть энтропия на 1 барион:
(a - постоянная излучения).
Рассмотрим состояние из нуклонов, фотонов, нейтрино, антинейтрино,
электронов, позитронов ( можно рассматривать как релят. частицы
при
), причем
.
Тогда давление
,
,
плотность энергии излучения
, а плотность
энергии релятивистских частиц запишем как
,
где
- число сортов частиц - >1. Отсюда
,
или в числах
Это основная формула тепловой истории ранней Вселенной. Можно обратить эту формулу: время до достижения температуры T после начала расширения
Последняя формула годится до K (при более высоких температурах
число сортов частиц точно неизвестно).
ПРИМЕР. Рассмотрим электроны и позитроны в момент t=1 c, когда
температура равнялась (см (2)) МэВ. Плотность
частиц определим из условия
, где 4kT есть
средняя энергия релятивистской частицы в термодинамическом равновесии
с температурой T. Имеем:
частиц в куб. см, т.о. примем
. Сечение взаимодействия электронов и позитронов грубо есть
, где
см -
комптоновская длина волны электрона,
. Скорость релятивистских частиц порядка скорости света,
, и характерное время взаимодействия
Это означает, что реакция
с большим запасом обеспечивает равновесие электронов, позитронов и фотонов
в момент t=1 c. Вообще, равновесие процесса с сечением
при концентрации частиц n на фоне расширения
с характерным временем
требует
.
Когда в ходе расширения
, частицы становятся
свободными, невзаимодействующими. Так, для нейтрино
c, и реликтовый нейтринный ``фон'' имеет в настоящее время
температуру около 2 градусов.
§5.5. Первичный нуклеосинтез (первые три минуты)
При темпераутрах T>1 МэВ ядра существовать не могли, т.к. они
эффективно разрушались при столкновениях с фотонами, электронами и
позитронами. Имелись лишь протоны и нейтроны.
По мере расширения Вселенной и снижения температуры ( )
концентрация нейтронов снижалась в соответствии с распределением Больцмана
в расновесном газе:
где разность масс покоя нейтрона и протона МэВ. Равновесие поддерживалось реакциями слабого
взаимодействия. Если бы термодинамическое расновесие поддерживалось по мере
остывания и дальше, то очевидно, концентрация нейтронов экспоненциально
стремилась бы к нулю, и ни о каком нуклеосинтезе не было бы и речи.
Однако остывание приводит к нарушению равновесия при такой температуре
(
МэВ),
что отношение концентраций протонов и нейтронов ``застывает''
(англ. ``freezing'') на значении 0.19. Нейтроны соединяются с
протонами с образованием ядер дейтерия
, а энергии фотонов
уже не хватает для разрушения образовавшихся ядер. Происходит накопление
ядер и идут дальнейшие реакции:
Дальше реакции не идут, т.к. в природе нет устойчивых хим. элементов
с атомным номером 5, а концентрация ядер He еще слишком низка, чтобы
могли эффективно идти реакции ,
.
Эпоха первичного нуклеосинтеза завершается к моменту
с.
Таким образом, хим. состав дозвездного вещества предсказывается:
,
,
,
,
. Эти цифры хорошо согласуются с новейшими определениями
химсостава вещества на больших красных смещениях (см. Рис.)
Замечательно, что наблюдения первичного химсостава (особенно -
первичного дейтерия по УФ-линии A, т.к. он наиболее
чувствителен к потности: чем больше плотность, тем быстрее дейтерий
вступает в дальнейшие реакции и тем самым тем меньше его относительное
содержание; в звездах дейтерий быстро превращается в более тяжелые
элементы) налагают независимые ограничения на плотность барионного
вещества во Вселенной:
(даже с учетом
неопределенности в современном значении постоянной Хаббла).
Наблюдения светящегося вещества в галактиках дает оценку
Отсюда вывод: во Вселенной
должно существовать невидимое барионное вещество, масса которого
возможно в десятки раз превышает массу светящегося (т.е. испускающего
свет) вещества. Из независимых соображений (рост возмущений,
формирование крупномасштабной структуры Вселенной) делают вывод о
необходимости пристуствия еще и небарионной скрытой массы (см. ниже,
отдельный параграф).