Если можно, объясните мне смысл условия этой задачи. Чем по условию ограничена "некоторая другая постоянная скорость" u ? (уж не скоростью света ли?)
Здесь же не задается вопрос, при каком соотношении скоростей ему будет выгодно двигаться по одному из 2 возможных маршрутов?

Простая задача на закон преломления света. Правда, думаю, если человек не учился в физмате и ему не рассказывали почему закон преломления именно такой, то решить задачу на самой олимпиаде у него не хватит времени. Какая разница чем ограниченны скорости? Плохая задача

2 Seriya_Pashena
Ну так скорость u и определяется тем, что маршрут, при котором он пересекает ребро посередине, обеспечивает минимальное время путешествия.

То есть вы хотите сказать, что в этой задаче скорость u определяется однозначно? И не может быть ни на один миллиметр в секунду больше? (Может быть я ошибаюсь, но если вы сразу видите в этой задаче свойства преломления света в различных средах, то это натасканность именно на эту задачу, и Вас даже не смущает, что ответ не однозначный, а множество.)

Скорость u определяется из условий, что 1) ребро муравей пересек посредине, 2) время минимально.
Ответов, если я правильно помню, там два.
Но задачу можно решить и без преломления - записать время пути как функцию положения точки, в которой муравей пересек грань, и исследовать ее на минимум. Мне кажется, в 11 классе это умеют (впрочем, я могу ошибаться).
Но, по-моему, две различные скорости и условие минимума времени сразу намекают на "оптический" способ решения. Вообще, в физике любят всякие такие аналогии...

Там в условии записано, что он пересек ребро посередине. Так зачем определять положение этой точки на ребре? Нужно определить значение скорости, с которой он может двигаться по горизонтальной поверхности. (Например:Если она окажется в несколько раз меньше, чем по вертикальной грани, то ему надо идти другим маршрутом: только по вертикальным поверхностям.)

2 Seriya_Pashena
Не, для меня это всего лишь тупая счетная задача с двумя параметрами, ничего больше. Техник все правильно написал:



Если обозначить через t время прохождения, x - координату пересечения ребра (несущественную константу a можно отбросить), то надо поставить задачу так: найти x такое, что при заданном u функция t(x,u) принимает минимальное значение. Подставляя x_min=0.5, получаем условие, из которого определяется u.

"Оптический" метод, IMHO, действительно трюк, который надо выучить заранее, что, впрочем, является основой всяких олимпиад.

Я согласна, что через исследование функции можно найти, что минимум будет при пересечении ребра посередине. Но ведь это и так дано в условии. Тогда был бы вопрос: найдите оптимальную траекторию движения если он пересек только одно ребро (найти точку на этом ребре). Это была бы задача по алгебре-геометрии. Здесь же нужно определить скорость U и время t. Вот Вы утверждаете, что можете найти скорость при котором время будет минимальным. (не дано ни то ни другое). Разве при скорости U+dU , время не будет еще меньше?

2 Seriya_Pashena


А du может иметь любой знак, вообще говоря.

Пусть мы нашли такую скорость u*, при которой оптимальной является траектория, пересекающая ребро посередине, тогда при скорости u* + du эта же самая траектория, вообще говоря, уже не будет оптимальной, так что противоречия никакого нет.


Еще раз: t зависит от двух параметров. Мы хотим найти такое значение x* (зависящее, очевидно, от u, т.е. (1) x*=x*(u)), что при некотором заданном наперед u траектория, пересекающая ребро в точке x, будет обеспечивать минимальное время. Таким образом я предлагаю реализовать условие оптимальности траектории, причем в самом общем виде. Это первый шаг. Второй шаг - воспользуемся условием, что оптимальная траектория проходит именно через середину ребра, а именно, подставим x*=0.5 в уже полученное выражение (1). Тем самым, с математической точки зрения, мы ответим на вопрос, при каком значении параметра u оптимальная траектория будет соответствовать x*=0.5.

К чему я все это расписываю тут - типичный пример математической задачи с параметрами, а такие неплохо бы уметь решать. (IMHO, гораздо полезнее, чем натаска на олимпиадные трюки)

Тем фактом, что время минимально, надо воспользоваться при решении задачи. Для этого и нужно записать условие минимума. При скорости U+dU при dU > 0 время может быть, конечно, меньше, но минимальное время будет достигаться при движении по траектории, пересекающей ребро в другом месте.

Ура. Наконец-то все понятно. Оказывается не зря я задавала вопрос про условие. Его может понять только тот, кто натаскался на на таких задачах и при упоминании о "муравьишке" сразу вспоминает про закон преломления света. Оказывается время стало минимальным благодаря правильно выбранной траектории при заданных u и v. Где про это в условии?
Если же последовательно вчитываться в задачу, то кажется, что траектория жестко определена условием. То есть рисуем кирпич, ставим размеры сторон, отмечаем на каждой стороне середину и выбираем маршруты. Получается две пары симметричных маршрутов при которых пересекается только одно ребро на пути к дальнему углу. То есть никакой параметр X (координата на ребре) не меняется, т.е. не может быть параметром. Она строго посередине ребра. После этого надо найти скорость по горизонтали при которой время t будет минимальным. (скорость стремится к бесконечности??) Что за бред.
Спасибо.

Скорости муравья по вертикальным и горизонтальным граням постоянны и заданы. Но одна из них Вам неизвестна. Зная обе эти скорости, муравей выбирает траекторию так, чтобы время было минимально возможным. Выбирая, он как бы мысленно пробегает по всем траекториям, пересекая ребро в разных точках, а потом выбирает одну. Только в этом смысле координата на ребре меняется. И оказывается, что он пересек ребро точно посередине. Тогда Вас просят найти его скорость по горизонтальной грани.

Не переживайте . Задача действительно на оптическую аналогию, что уж тут. Просто Вам не рассказывали про принцип Ферма, и все. А если его знать, то оптическая аналогия очевидна.
Но, по-моему, кто-то все же решил эту задачу правильно, находя минимум функции.

Я, конечно, извиняюсь, но налицо феноменальная тупость, помноженная на куда более феноменальную упертость , если, конечно, все это писалось в трезвом виде, 8 марта на дворе, как-никак.

Ничего, что скорость u так случайно постоянна, а минимальность времени движения по данной траектории означает всего лишь, очевидно, что время движения по любой другой траектории больше? Если это было так непонятно на олимпиаде, то вопрос надо было задать. Ну и таки да, пора в список анекдотов заносить перлы типа:







Это точно!

PS Извиняюсь, не удержался. Просто это еще похлеще закона сложения скоростей имени Лешия будет.

А я-то думаю, с чего вдруг сегодня так хорошо икается.
Извините, вырвалось. Меня, конечно же, здесь не было.

Поняв условие так, как разжевал его техник, я элементарно могла бы решить эту задачу безо всякой оптической аналогии.
Мне до сих пор кажется, что условие сформулировано некорректно,по тексту не видно связи между параметрами, определяющими причину получившегося минимального времени. Хотя сейчас все понятно. Спасибо.


PS
Распределение количества участников олимпиады получивших соответствующий балл за каждую задачу.
Видно сильное отличие от остальных на графике первой задачи:

Например так можно было бы сформулировать:
Двигаясь от верхнего угла кирпича к самому дальнему нижнему, муравей пересек горизонтальную грань с неизвестной постоянной скоростью U , и вертикальную грань с известной постоянной скоростью V. В результате того, что он пересек ребро кирпича точно посередине, время прохождения всего маршрута оказалось минимальным. Найдите скорость U.

Мне теперь растолкуйте, пожалуйста.
Муравей ползет по вертикальной грани со скоростью v. Т.е. , где не равно u (в условии этого нет и не надо говорить, что имеется в виду. Условие есть условие. Не хватало еще, чтобы решающие занимались телепатией.). Так?

В условии этого нет и не требуется. И так очевидно, что если не сказано иное, то речь идет о суммарной скорости, а не о какой-то из ее проекций.
А что вы обозначили за и ? Если проекции скорости муравья на направления двух ребер, то да, все так.

В последнем сообщении перепутал v и u. Исправил.
Сначала показалось, что чем выше скорость, тем лучше. Теперь условие задачи до меня дошло.