Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей. Формулировка такая:
Груз подвешен на невесомой эластичной нити (на резинке) в поле силы тяжести. В результате нить растянулась на длину Δl. Груз оттянули вниз так, что растяжение нити стало равно 3Δl, и отпустили без начальной скорости. Найдите период вертикальных колебаний груза. Потерями механической энергии можно пренебречь.
Непонятка такая= можно ли считать справедливым закон Гука и, соответственно, использовать потенциальную энергию a-la гармонический осциллятор (а то и сразу формулу для периода гарм. колебаний). Или здесь имеются в виду ангармонические колебания -- тогда в каком виде представить потенциальную энергию?
Полная версия этой страницы: Задача - help
Цитата(Екклезиаст)
И нет ничего нового под Солнцем
Закон Гука, конечно, здесь выполняется, пока эта резинка растягивается. А когда груз поднимается выше положения равновесия, он движется свободно (влиянием резинки можно пренебречь).
Спасибо за помощь, кажется понял. 
Только, наверное, сила упругости не будет действовать на груз, когда он выше положения конца нерастянутой нити (без груза)? Или нет?
Только, наверное, сила упругости не будет действовать на груз, когда он выше положения конца нерастянутой нити (без груза)? Или нет?
Цитата(Oscar @ 16.6.2009, 19:48) 
Спасибо за помощь, кажется понял. Только, наверное, сила упругости не будет действовать на груз, когда он выше положения конца нерастянутой нити (без груза)? Или нет?
Да, конечно. Это я ошибся насчет положения равновесия. Только, наверное, сила упругости не будет действовать на груз, когда он выше положения конца нерастянутой нити (без груза)? Или нет?
а прежде чем задавать подобного рода вопросы вы не смогли почитать задачники и решебники?там такие простые вопросы обычно разбираются....жалко что студенты уже так обленелись(((
Занятная задача. Ее по-разному можно решать, но, я думаю, подразумевается все же решение с помощью явного выражения для периода (формула (10.5) в 'Механике' Ландау - Лифшица). Я еще полгода назад так до конца для себя и не решил, действует ли упругая сила, когда груз находится выше конца нерастянутой нити, хотел тогда написать об этом на форуме, но почему-то руки не дошли. Я понимаю, конечно, что все это детский сад, но: Ладно, иногда бывает. Так вот, я считал, что сила упругости действует в любой точке, нить же эластичная. Ну а дальше как обычно. Свяжем начало отсчета с концом нерастянутой нити (без груза) и направим ось 
вверх. Тогда:
1) в положении равновесия сила тяжести уравновешивает силу упругости:
;
2) потенциальная энергия системы в произвольной точке:=\frac{\(kx^2}2+\(mgx "\(U(x)=\frac{\(kx^2}2+\(mgx")
;
3) полная энергия системы равна потенциальной энергии в нижней точке (как и в верхней):^2}2\(-\(mg(3\Delta{\l})=\(k\frac{\(3(\Delta{\l})^2}2 "\(E=\frac{\(k(3\Delta{\l})^2}2\(-\(mg(3\Delta{\l})=\(k\frac{\(3(\Delta{\l})^2}2")
.
Подставляя выражения для
и  "\(U(x)")
в (10.5), получаем: }}=...=2\sqrt{\frac{\Delta{\l}}g}\int\limits_{-2\Delta{\l}} ^{2\Delta{\l}} \frac{dy}{\sqrt{(2\Delta{\l})^2-\(y^2}}\equiv\left.2\sqrt{\frac{\Delta{\l}}g}\arcsin{\frac{\(y}{2\Delta{\l}}\right|_{-2\Delta{\l}}^{2\Delta{\l}}=2\pi\sqrt{\frac{\Delta{\l}}g}\approx\(6.28\sqrt{\frac{\Delta{\l}}g} "\(T=\sqrt{2m}}\int\limits_{-3\Delta{\l}} ^{\Delta{\l}} \frac{dx}{\sqrt{\(E-\(U(x)}}=...=2\sqrt{\frac{\Delta{\l}}g}\int\limits_{-2\Delta{\l}} ^{2\Delta{\l}} \frac{dy}{\sqrt{(2\Delta{\l})^2-\(y^2}}\equiv\left.2\sqrt{\frac{\Delta{\l}}g}\arcsin{\frac{\(y}{2\Delta{\l}}\right|_{-2\Delta{\l}}^{2\Delta{\l}}=2\pi\sqrt{\frac{\Delta{\l}}g}\approx\(6.28\sqrt{\frac{\Delta{\l}}g}")
, где 
.
Но можно считать по-другому. Можно считать, что при положительных
упругая сила отсутствует ('свободный полет'), то есть =\(mgx "\(U(x)=\(mgx")
. Тогда интеграл для 
распадается на два, и в итоге получится: \sqrt{\frac{\Delta{\l}}g}\approx\(7.64\sqrt{\frac{\Delta{\l}}g} "\(T=2(\sqrt{3}+\frac{2\pi}3)\sqrt{\frac{\Delta{\l}}g}\approx\(7.64\sqrt{\frac{\Delta{\l}}g}")
, чуть больше, чем в первом случае, за счет отсутствия упругой возвращающей силы при 
. Почему-то многие делают именно так (см. посты 27, 34, 35). Не знаю почему, казалось бы, первый вариант проще. Хотя разница, конечно, невелика.
1) в положении равновесия сила тяжести уравновешивает силу упругости:
2) потенциальная энергия системы в произвольной точке:
3) полная энергия системы равна потенциальной энергии в нижней точке (как и в верхней):
Подставляя выражения для
Но можно считать по-другому. Можно считать, что при положительных
А почему нить выше положения равновесия действует на груз? Она ж провисать будет!
Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.