Полная версия этой страницы: Поток вектора через сферу
Добрый день, помогите решить задачку, пожалуйста:
нужно найти поток вектора F = X^3i + Y^3j + Z^3k
через сферу X^2 + Y^2 + Z^2 = X
Вот мои рассуждения:
П = (тройной интеграл по V)divF*dV
divF = 3(X^2 + Y^2 + Z^2) = 3X
переходя к сферическимкоординатам
(U - это "фи", O -это "тэтта")
{X = R cosU sinO (0<= R <=cosUsinO)
{Y = R sinU sinO (-pi/2<= U <=pi/2)
{Z = R cosO ((0<= O <=pi))
dV = dX*dY*dZ=|J|*dR*dU*dO = R^2*sinO*dR*dU*dO
тогда поток равен П= 3*(интеграл от 0 до pi)sin^2(O)*dO * (интеграл от 0 до pi)cosU*dU * (интеграл от 0 до cosUsinO)R^3
вычисляю, получается pi/16 (это не правильный ответ).
Вообще задача 4445.1 из Деминовича, ответ pi/5
помогите пожалуйста
Буду очень благодарен любой помощи))
Редактиро
Во-первых, непонятно, почему divF = 3X?
Во-вторых, удобнее переходить к обобщенным сферическим координат(со смещенным началом координат). Ваше уравнение описывает сферу с центром в точке (1/2, 0, 0) и радиусом 1/2 => надо выбрать такую систему координат x - 1/2 = r*sinOcosU y = r*cosOsinU z = r*sinO Якобиан перехода будет r^2sinO Интегрировать надо трижды: по U - от 0 до 2pi; по O - от 0 до pi; по r от 0 до 1/2
Вообщем-то можно интегрировать и так, как делали Вы, только ось ОХ удобно pзаменить на ОZ и определиться с пределами интегрирования...
Во-вторых, удобнее переходить к обобщенным сферическим координат(со смещенным началом координат). Ваше уравнение описывает сферу с центром в точке (1/2, 0, 0) и радиусом 1/2 => надо выбрать такую систему координат x - 1/2 = r*sinOcosU y = r*cosOsinU z = r*sinO Якобиан перехода будет r^2sinO Интегрировать надо трижды: по U - от 0 до 2pi; по O - от 0 до pi; по r от 0 до 1/2
Вообщем-то можно интегрировать и так, как делали Вы, только ось ОХ удобно pзаменить на ОZ и определиться с пределами интегрирования...
там ошибка одна в ^ посте, но не важно ...
сфера:
; 
,^2 "s=(x-1/2)^2")
;
^2+y^2+z^2) "div \vec{F} = 3((s+1/2)^2+y^2+z^2)")
.
замена коорд. \cdot sin(\theta), y=r\cdot sin(\phi) \cdot sin(\theta), z=r \cdot cos(\theta) "s=r\cdot cos(\phi) \cdot sin(\theta), y=r\cdot sin(\phi) \cdot sin(\theta), z=r \cdot cos(\theta)")
.
Поток^2+y^2+z^2)\,dx\,dy\,dz = \int \limits_{0}^{2\pi}\int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_0^{1/2} 3\left(r^2+1/4+r \cdot sin(\theta)\cdot cos(\phi)\right) \cdot r^2 \cdot sin(\theta) \,dr\,d \theta\, d\phi = \frac{\pi}{5} "A=\int \int \int 3((s+1/2)^2+y^2+z^2)\,dx\,dy\,dz = \int \limits_{0}^{2\pi}\int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_0^{1/2} 3\left(r^2+1/4+r \cdot sin(\theta)\cdot cos(\phi)\right) \cdot r^2 \cdot sin(\theta) \,dr\,d \theta\, d\phi = \frac{\pi}{5}")
сфера:
замена коорд.
Поток
что-то формулы то не работают...
Спасибо Вам большое Tkm и Blinkenlichten, очень вам признателен за помощь. Задача решена)
Еще раз благодарю всех))))))))
Еще раз благодарю всех))))))))
Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.