Нашел недавно такую забавную задачку. Если уже обсуждалась - сорри...
Вы на телепередаче типа "Поле чудес". Перед вами три коробки, в одной из которой гарантированно приз. Ведущий предлагает выбрать одну. Вы выбираете, собираетесь ее уже открыть, но тут ведущий открывает одну из оставшихся коробок и она оказывается пустой. Вопрос: должны ли вы все-равно открыть выбранную коробку или выгоднее ее поменять на другую неоткрытую?
P.S. Разумеется, не открыв коробку никакими действиями определить наличие/отсутствие в ней приза невозможно - ни по весу, ни по бултыханию...

На первый взгляд, это неважно...

+1. Никак не въеду, в чем "забавность" задачи. Может, с условием косяк?..

"Забавность" в том и состоит, что на первый взгляд это не важно, а на самом деле вроде как важно. По крайней мере, имеется решение, утверждающее, что важно. Эта задачка даже получила собственное название - парадокс Монти Хола.

А ведущий знает, что открывает пустую коробку, или он открывает любую из оставшихся, а она оказывается пустой?

Хе, даже ссылка нарылась.
И еще откуда-то:


ЗЫ Имхо дурь это.

А что это меняет? Давайте рассмотрим оба варианта.


Эх, зря я про Монти Хола написал... Сразу ссылок нарыли. Лучше же самим поломать голову!

Из всего написанного представляется логичным пункт 2. Потому что ситуация изменилась. Тока если я не изменю свой выбор, я опять же сделаю выбор в новой ситуации, просто он будет таким же.

Цитата

А что это меняет?

Ничего, верно. Я спутал эту задачку с задачей, когда за какую-то часть приза можно узнать, в какой коробке приза нет=)

Так непонятно, над чем голову ломать .) Если есть решение то в студию его!

Задача обсуждалась, и наверно, не раз.
Решение такое: М - приз П - пусто. Тогда все пространство событий такое:
МПП ПМП ППМ
Пусть мы выбираем 1 коробку. После этого можно зачеркнуть любую из 2 других
Неправильный подход дает:
МП ПМ ПМ
Видно, что вероятность найти приз в первоначально выбранной коробке (т.е. 1) - 1/3
Если мы переменим решение, и выберем вторую оставшуюся из 2 коробок, то вероятность найти там приз - 2/3.
Т.е. как бы выгодно переменить решение.

Но это неверно. Рассмотрим событие МПП. Мы выбрали 1 коробку, ведущий убирает из 2 оставшихся какую то пустую. Но пустых там 2. Какую из них он уберет?
Т.е. это событие порождает 2 новых: МП1П2 -> МП1,МП2.
Тогда все пространство событий выглядит так:
МП МП ПМ ПМ
Т.е. вероятность найти приз в первоначально выбранной коробке равно вероятности найти приз в оставшейся из 2 других - 1/2, что полностью совпадает с интуитивными представлениями.

Здесь многое от игры зависит. Я подозреваю, что эта задача в действительности скорее на психологию...

1)С точки зрения тер вер: шансы равны. В самом деле, приз с равной вероятностью (по условию) находится в любой коробке. Ведущий просто напросто уменьшает количество возможных исходов с 3 до 2 (если я правильно понял условие и он знает, где приз). А одна "удачная" коробка остается, мы ее выберем с вероятностью 1/2.
2)Заходил по ссылке, решение не менял, "машину выиграл". Их цифры с моими рассуждениями расходятся, но это ровным счетом ничего не говорит. Кто их знает, что там накодили? Я могу написать так, что хоть меняй коробку, хоть нет, ничего не выиграешь. Во всех играх и игровых автоматах, я уверен, генераторы случайных чисел генерируют далеко не случайные числа.
3)С точки зрения психологии задача сложнее. В первом приближении надо менять выбранную коробку, так как ведущий своими действиями явно подталкивает нас к открыванию неправильной коробки.

Согласен.

Ну-ну...
Ни при чем здесь психология. Задача на теорвер. И действительно, столько раз уже обсуждалась...

Хочется интуитивных представлений? Пожалуйста.
Пусть коробок сначала 100. Вы выбираете одну. После чего ведущий открывает 98 из остальных 99 -- и они оказываются пустыми. И тут ведущий великодушно предлагает вам изменить выбор. Но вы, безусловно, не будете этого делать, правда ведь? Потому чтоОстанетесь без приза, товарищи!..

почему?

?! В смысле?
Как раз потому, что выше было убедительно доказано, что вероятность строго 1/2.

С точки зрения психологии проблема в том, что каждое следующее приближение кардинально противоречит предыдущему...

Что за 1/2? При оптимальной стратегии выбирающего он берет приз с вероятностью 2/3.

Решение seggah и АлексАндер-а неверно.

Есть два варианта - вы изначально угадали коробку (1/3), и вы изначально не угадали коробку (2/3).
После того, как какую-то открыли и убрали, вероятность того, что вы изначально угадали/не угадали, не изменилась.

Никакой психологии, надо просто независимо ни от чего менять свое решение. Тот, кто ищет здесь психологию и пытается построить стратегию вида "если ведущий моргнет, то не меняю коробку, а если не моргнет, то меняю", уменьшает матожидание с 2/3 до 1/2 (или даже до 1/3, если у ведущего спички в веки воткнуты).

PS На форуме уже обсуждалась вроде.

Поэтому, меняя решение, Вы получаете вероятност 2/3. То есть, другими словами, "я буду менять" означает ставку на две гругие коробки сразу -- ставку на "не угадал".

Вроде ясно, но все равно виглядит как мистика.

Bероятность была бы 1/2, если бы ведущий перемешал оставшиеся коробки и дал выбрать заново.

Вероятно, вы уже настолько поумнели, что просто забыли такое школьное понятие как условная вероятность. А зря. Его не просто так придумывали!

Условная вероятность -- понятие хорошее. Ттолько применять его надо к месту.
Вы мне скажите, с сотней коробок -- тоже 1/2?

Вообще, интересная аргументация. Вот Owen привел рассуждение, которое дает 1/3 -- 2/3. Возражение на него такие: Эх, брат, тут надо применять Условную Вероятность. И если Ее применить, получается 1/2 -- 1/2.

А если применить метод конечных приращения и теорему Римана-Роха, получится 0.17 -- 0.83!

Что, по вашему, неверно в приведенном рассуждении? Подсказка: оно верное, поэтому ошибку проще поискать в вашем собственном...

Объясняю, что неверно.
Изначально вероятность того, что выбор правильный, равна 1/3.
Вероятность в данном случае - отношение количества "хороших" результатов к общему количеству результатов.
Условие, данное нам, отсекает часть "плохих" результатов. Общее количество результатов уменьшается, а количество "хороших" результатов сохраняется. Поэтому вероятность успеха изменяется.

Кстати, чем выбранная нами коробка отличается от второй?
Только тем, что мы ее выбрали.
Вы утверждаете, что вероятность успешного исхода зависит от того, что мы думаем?

Интуитивно задачу можно понять так:
Условие задачи звучит: человек выбирает одну коробку, и ситуация может развиваться дальше m способами, из которых n приведет к выигрышу. И надо сравнить число выигрышных ситуаций, если человек изменил и не изменил свой выбор. Собственно, отсюда и получим ответ на вопрос задачи, в котором спрашивается, что выгоднее.
Если вы привлекаете сюда мат. аппарат теории вероятнотей, нужно делать это аккуратно.

Марсианин:
Коробки отличаются тем, что ведущий никогда не откроет выбранную челом, т.е. отличаются объективно.

Я согласна с ответом Owen, в какой-то степени наверное повторюсь.
Есть три варианта:
1. Вы не изменяете свой выбор. Тогда, как и было ранее, ваш шанс угадать - это шанс угадать с самого начала коробку с призом, т.е. 1/3.
(Вы никак не используете ни полученную информацию, ни совершенное ведущим действие. Это равносильно тому, что просто начали открывать коробки и смотреть, что в них, не с вашей, а с другой - какая разница?!)

2. Вы изменяете свой выбор. Тогда с самого начала вам надо угадать пустую коробку, а поскольку таких 2, то шанс 2/3.
(Вы использовали то, что ведущий открыл пустую коробку)

3. Вы делаете "рандомный" выбор между двумя коробками. Только в этом случае, имхо, шансы будут равновероятны и равны 1/2. (шансы получить и не получить приз)
(Вы использовали то, что число коробок сократилось, но не использовали информацию о том, по какому принципу)

2 Марсианин:
Ага. Или я встречу динозавра, или не встречу. 50%.
Это утверждение верно только для равновероятных "результатов".
И вы мне, кстати, не ответили про 100 коробок. Там, по-моему, все очевидно даже интуитивно!

2 Azure: Все правильно.

Ну что же...
Стоп. Поясните пожалуйста, как вы воспринимаете фразу

Если как "Ведущий открывает одну из коробок, зная заранее, что она пустая", то тогда я с вами согласен. Действительно, 1/3 за выбранную коробку и 2/3 за оставшуюся.
Но до сего момента я рассматривал эту фразу как "Ведущий открывает случайным образом одну из оставшихся коробок, и оказывается, что она пустая". И тогда вероятность действительно 1/2 для каждой коробки.
Верно я понял, что вы выбрали первый смысл?

2 Марсианин:

Позвольте мне процитировать вам ваши же слова.Как это у вас вероятность найти приз зависит от того, знал чего-то ведущий заранее или не знал? Мы-то -- не ведущий. И чего он там знал или не знал, нам все равно. Мы выбрали коробку А. Ведущий открыл коробку B и выяснилось, что она пустая. Все.
Если угодно, можете воспронимать это с позиций Условной Вероятности. Какой ответ, при Условии, что коробка, которую открыл ведущий, пустая?

А про 98 коробок... Ну тут уж я прям не знаю. То есть ваш здравый смысл подсказывает вам, что вероятность обнаружить приз в оставшихся коробках и правда 50 на 50? Математическая вероятность -- понятие хоть и абстрактное, но со здравым смыслом не так уж расходится...
Вы понимаете, если вы с первого раза угадали коробку с призом (вероятность 1/100), то ведущий, конечно, может открывать любые 98 из оставшихся 99. Но если вы не угадали, что гораздо более вероятно, ему должно очень сильно повезти, чтобы открыть именно коробки без приза. Ну или если для вас это так важно, он просто должен знать, где именно приз.
Неужели не очевидно, что соотношение вероятностей -- 99 : 1 ?!

Варианты "Ведущий выбирает случайно" и "Ведущий знает, где приз" принципиально различны. Это очень существенно.

Вот я хочу заметить, как тут было правильно сказано, мы - не ведущий. Пусть ведущий не знает, в какой корбке приз, а мы не угадали, где он, с первого раза. Вы утверждаете, что ему должно сильно повезти, чтобы открыть пустые коробки (98), и не открыть приз.

Но мы - не ведущий=) И если произошло так, как описано в задаче (открывает, и она оказывается пустая), значит, ему уже повезло. И ситуация теперь - принципиально другая, коробок всего две, они равновероятны с точки зрения нахождения приза.

Позволю себе аналогию с честной монеткой. Бросили 100 раз, выпало 100 орлов. В 101-м испытании орел и решка равновероятны, хотя нам и очень повезло предыдущие 99 раз.

Так и здесь, после действий ведущего остается 2 коробки - начальная вероятность нахождения в них приза одинакова. Повезло ведущему, или он знал, неважно=)

Кхм, поняла. Если считать, что ведущий тоже "играет в угадайку", то даже если вы выбрали пустую коробку, ведущему надо тоже угадать пустую. (в противном случае, например, переигрываете). То есть, результат действительно зависит от того, по какому принципу действует ведущий.
Марсианин, респект, толково объяснили.

Спасибо, Azure. Стараюсь.

2 Марсианин:
А, я понял, что вы имеете ввиду. Да, все правильно. Я понял, что действительно трактую условие именно как "ведущий заранее знает". Если же он заранее не знает, то выходит, что среди допустимых вариантов событие "мы с самого начала выбрали коробку с призом" реализуется чаще, чем "мы сначала выбрали данную конкретную пустую коробку", потому что во втором случае еще надо пережить выбор ведущего. Если он ошибется, придется начинать заново. Статистика другая.
Если приз в коробке A, то во втором случае (ведущий "не знает") равновероятны:
Мы выбрали A, ведущий открыл В
Мы выбрали A, ведущий открыл С
Мы выбрали В, ведущий открыл А -- х
Мы выбрали В, ведущий открыл С
Мы выбрали С, ведущий открыл А -- х
Мы выбрали С, ведущий открыл В
И в итоге 50 на 50.

2 Jesper Нет, если ведущий "знает", то 1/3 - 2/3. Все-таки разница есть.

2 Fred Golm:
Нет, объясните мне пожалуйста, как тупому...

Сначала ведущий открывает коробки, а потом мы выбираем, так? Если ведущий уже открыл коробки, не все ли на равно, с какой вероятностью он их открывал, и какой рукой?

апдейт.
Не, ничего не понял

Все, спасибо, убедительно

А мне все-таки кажется, что имеет смысл поменять коробку, хотя, вроде бы, здравый смысл этому противоречит... Но давайте предположим, что мы играем в такую игру много раз, допустим, 30. Тогда, грубо говоря, приз оказывается в первоначально выбранной коробке в 10 случаях из 30, а в оставшихся двух В 20 СЛУЧАЯХ ИЗ 30. И неважно, знает ведущий где приз, или нет - в условии сказано, что он открывет пустую коробку. Следовательно, в 20 СЛУЧАЯХ ИЗ 30 приз окажется в неоткрытой коробке у ведущего. Теперь уже здравый смысл говорит, что стоит поменять...

P.S. Но, правда, здесь есть некоторое допущение - распространение условия задачи на повторяющиеся события. Не знаю, насколько это корректно...

А я нарисовал коробочки и понял, что 1/3, и надо менять!

АлексАндер
Нарисуйте еще раз, с условием, что если ведущий случайно откроет приз - то переигрывание. И все получится, я так тоже проверяла

Сколько вам говорить, что шансы зависят от того, знает ли ведущий, где приз.

1/3, если знает, конечно!

Прочтите посты 23, 27 и 31.
Они содержат решение в обоих случаях.

Разумеется надо менять, что повышает общую вероятность выигрыша с 1/3 до 2/3, поскольку по стратегии "менять" для выигрыша необходимо и достаточно не угадать приз с раздачи (ну *цензура* с первого хода).
Баян. Задавалаь Owenом и я дал самый исчерпывающий ответ.

Стоп, стоп, стоп... По условию задачи ведущий открывает ПУСТУЮ КОРОБКУ. Он не может открыть приз! Ну так сформулировано условие! И поэтому нам наплевать, знает он что-то или нет.

Ан нет, не наплевать. Читайте то, что выше написано. Даже я понял...

В формулировках в постах выше этот вариант условия равнозначен тому, что ведущий знает, где приз.

Ну нельзя же так узко понимать члово "выше" ! В предыдущих постах все написано и про один случай, и про другой!

В том и только том случае, если ведущий знает, где приз.



Нет, нам не наплевать. Если ведущий не знает, то обе коробки равновероятны. Рассуждения:

• Допустим, ведущий ничего не знает и может открыть приз
• Тогда с вероятностью 1/3 приз в выбранной коробке
• С вероятностью 1/3 его открывает ведущий
• С вероятностью 1/3 он остается в последней нетронутой коробке
• Нам известно только то, что не происходит второй случай
• Исключим его, а чтобы сумма вероятностей была равна 1, разделим все оставшиеся вероятности на их сумму
• И получим 1/2

Попробуйте вникнуть.
Для справки - Условная вероятность (Wikipedia).

Ведущий знает где приз.

О великий, ты знаешь все!
Что, неужели нельзя решать эту задачку для случая, когда ведущий не знает? Или Высший Разум запрещает?

В этом случае она не интересна. Кроме того правила игры требуют уточнения.