Вопрос про теорию групп: матричные элементы оператора <b style="color:black;background-color:#66ffff">деформации</b> - Студенческий форум Физфака МГУ

Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://wasp.phys.msu.ru/forum/index.php?showtopic=13494
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Sun Apr 10 06:25:43 2016
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: механических деформаций

Вопрос про теорию групп: матричные элементы оператора <b style="color:black;background-color:#66ffff">деформации</b> - Студенческий форум Физфака МГУ

IPB

Студенческий сайт Физфака МГУ

Правила форума

Помощь Поиск Пользователи Музыкальные открытки

Репутация

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

Студенческий форум Физфака МГУ > Наука физика > Есть проблема

Reply to this topic

Start new topic

Вопрос про теорию групп: матричные элементы оператора деформации

nanema Просмотр профиля	24.1.2008, 18:11 Сообщение #1
мимо проходил Группа: Участники Сообщений: 7 Репутация: нет Предупреждения: (0%)	Проблема в следующем: есть оператор деформации, описывающий изменение спектра электронов в кристалле под воздействием механических деформаций. Впервые был выведен в книге Бир, Пикус "Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках" $W=\varepsilon_{ij}\Xi_{ij}-\frac {\hbar}{m}\sum_{i,j}\varepsilon_{ij}k_{i}p_{j}$ , $i,j = x, y, z$ где $\varepsilon_{ij}$ - это тензор деформации; $\Xi_{ij}=-\frac {p_{i}p_{j}}{m}+V_{ij}$ $V_{ij}$ -изменение кристаллического потенциала вследствие механических деформаций кристалла $p_{i},p_{j}$ -это компоненты оператора импульса $p_{i}=-i\hbar\nabla_{i}$ Задача такова: с помощью теории групп определить отличные от нуля матричные элементы этого оператора на волновых функциях, классифицируемых в соответсвии с неприводимыми представлениями точечной группы кристалла кремния (алмаза $О^h$ ). Базис состоит из 15 волновых функций (центр зоны Бриллюэна, т. е. точка $\Gamma$ ) Вычисление таких матричных элементов было уже проделано в статье: "Strained Si, Ge and SiGe alloys modeling with full-zone kp method optimized from first principle calculation" Но непонятно, как авторы это сделали, как их вычислять - пока не знаю. Например, если вычислять матричный элемент на состояниях $\Gamma_{2'u}$ , то $\langle xyz\|W\|xyz \rangle=\varepsilon_{xx}\langle xyz\|\Xi_{xx}\|xyz \rangle+\varepsilon_{xy}\langle xyz\|\Xi_{xy}\|xyz \rangle+\varepsilon_{xz}\langle xyz\|\Xi_{xz}\|xyz \rangle+<br />$ $+\varepsilon_{yx}\langle xyz\|\Xi_{yx}\|xyz \rangle+\varepsilon_{yy}\langle xyz\|\Xi_{yy}\|xyz \rangle+\varepsilon_{yz}\langle xyz\|\Xi_{yz}\|xyz \rangle+$ $+\varepsilon_{zx}\langle xyz\|\Xi_{zx}\|xyz \rangle+\varepsilon_{zy}\langle xyz\|\Xi_{zy}\|xyz \rangle+\varepsilon_{zz}\langle xyz\|\Xi_{zz}\|xyz \rangle-$ $-\frac {\hbar}{m}(\varepsilon_{xx}k_{x}\langle xyz\|p_{x}\|xyz \rangle+\varepsilon_{yx}k_{y}\langle xyz\|p_{x}\|xyz \rangle+\varepsilon_{zx}k_{z}\langle xyz\|p_{x}\|xyz \rangle+$ $+\varepsilon_{xy}k_{x}\langle xyz\|p_{y}\|xyz \rangle+\varepsilon_{yy}k_{y}\langle xyz\|p_{y}\|xyz \rangle+\varepsilon_{zy}k_{z}\langle xyz\|p_{y}\|xyz \rangle+$ $+\varepsilon_{xz}k_{x}\langle xyz\|p_{z}\|xyz \rangle+\varepsilon_{yz}k_{y}\langle xyz\|p_{z}\|xyz \rangle+\varepsilon_{zz}k_{z}\langle xyz\|p_{z}\|xyz \rangle)$ $\varepsilon_{xx}\langle xyz\|\Xi_{xx}\|xyz \rangle=-\hbar^2\varepsilon_{xx}\langle xyz\|\frac {\partial^2}{\partial x^2}\|xyz \rangle=-\hbar^2\varepsilon_{xx}\langle xyz\|0\rangle = 0$ Т.е просто продифференцировали произведение координат два раза по х. У авторов же все диагональные элементы отличны от нуля на волновой функции, соответсвующей данному представлению (стр. 22 статьи). Неясно, как вычисляются и другие матричные элементы $\varepsilon_{xy}\langle xyz\|\Xi_{xy}\|xyz \rangle$ . При вычислениях мы всегда полагаем, что матричные элементы кристаллического потенциала $V_{ij}$ на всех волновых функциях базиса равны нулю (т. н. приближение жестких ионов). Как вычисляются матричные элементы оператора $-\frac {\hbar}{m}\sum_{i,j}\varepsilon_{ij}k_{i}p_{j}$ понятно. Там из соображений четности состояний. Базис состоит из 15 волновых функций (центр зоны Бриллюэна, т. е. точка $\Gamma$ ), симметрия которых, при преобразованиях точечной группы кристалла, определяется следующими неприводимыми представлениями (в скобках приведены обозначения с учетом четности состояний): $\Gamma_{2'u}$ ( $\Gamma_{2}^{-}$ ) (такому представлению соответствует плоская волна с вектором обратной решетки [200], соответствующая симметрия атомной волновой функции $s^{-}$ . Кратность вырождения данного состояния: 1. Симметрия базисных функций (при преобразованиях точечной группы кристалла преобразуется как произведение координат) $\|xyz\rangle$ $\Gamma_{25'u}$ ( $\Gamma_{5}^{+}$ ) (такому представлению соответствует плоская волна с вектором обратной решетки [200], соответствующая симметрия атомной волновой функции $d^{+}$ . Кратность вырождения данного состояния: 3. Базисные функции: { $\|xy\rangle$ , $\|yz\rangle$ , $\|zx\rangle$ } $\Gamma_{12'}$ ( $\Gamma_{3}^{-}$ ) (такому представлению соответствует плоская волна с вектором обратной решетки [200], соответствующая симметрия атомной волновой функции $d^{-}$ . Кратность вырождения данного состояния: 2. Базисные функции: { $\|\sqrt(3)(y^2-Z^2)\rangle$ , $\|3x^2-r^2\rangle$ } $\Gamma_{1u}$ ( $\Gamma_{1}^{+}$ ) (такому представлению соответствует плоская волна с вектором обратной решетки [111], соответствующая симметрия атомной волновой функции $s^{+}$ . Кратность вырождения данного состояния: 1. Базисные функции: $\|1\rangle$ $\Gamma_{1l}$ ( $\Gamma_{1}^{+}$ ) (такому представлению соответствует плоская волна с вектором обратной решетки [000], соответствующая симметрия атомной волновой функции $s^{+}$ . Кратность вырождения данного состояния: 1. Базисные функции: $\|1\rangle$ $\Gamma_{15}$ ( $\Gamma_{4}^{-}$ ) (такому представлению соответствует плоская волна с вектором обратной решетки [111], соответствующая симметрия атомной волновой функции $p^{-}$ . Кратность вырождения данного состояния: 3. Базисные функции: { $\|x\rangle$ , $\|y\rangle$ , $\|z\rangle$ } $\Gamma_{2'l}$ ( $\Gamma_{2}^{-}$ ) (такому представлению соответствует плоская волна с вектором обратной решетки [111], соответствующая симметрия атомной волновой функции $s^{+}$ . Кратность вырождения данного состояния: 1. Базисные функции: $\|xyz\rangle$ $\Gamma_{25'l}$ ( $\Gamma_{5}^{+}$ ) (такому представлению соответствует плоская волна с вектором обратной решетки [111], соответствующая симметрия атомной волновой функции $p^{+}$ . Кратность вырождения данного состояния: 3. Базисные функции: { $\|x\rangle$ , $\|y\rangle$ , $\|z\rangle$ }

peregoudov Просмотр профиля	25.1.2008, 23:39 Сообщение #2
ломовая лошадь Группа: VIP Сообщений: 937 Репутация: 50 Предупреждения: (0%)	Если с технической точки зрения, то Ваша ошибка в том, что Вы считаете, будто волновая функция равна , а на самом деле она преобразуется как . Это разные вещи. Скажем, функция тоже будет преобразовываться как . Но Вы, наверное, хотели спросить, как вообще теория групп и их представлений позволяет делать выводы о равенстве некоторых матричных элементов нулю?

nanema Просмотр профиля	28.1.2008, 20:35 Сообщение #3
мимо проходил Группа: Участники Сообщений: 7 Репутация: нет Предупреждения: (0%)	Я понимаю, что волновая функция не равна $xyz$ , и что на самом деле она преобразуется как $xyz$ . Если мы выпишем все 48 элементов симметрии кристалла кремния в виде матриц 3 на 3: вращения всех порядков, центр отражения, зеркальные плоскости. То действие всех таких операторов (это множество матриц и представляет собой одно из возможных представление точечной группы кристалла) на ВФ данного состояния сведется к действию этих операторов на $xyz$ . Например, центр инверсии $I\|xyz\rangle> = \|-x\cdot-y \cdot -z \rangle$ Вообще же все матричные элементы записаны символически. Это не те матричные элементы, которыми описываются дипольные оптические переходы в атоме водорода (в этой задаче нам, как раз известны ВФ) и четности состояний. Да, я согласен, что можно использовать и такую базисную функцию $xyzf(x^2+y^2+z^2)$ . Вот как я рассуждал, когда необходимо было рассчитать матричные элементы оператора импульса. Матричный элемент между оператором $р$ и двумя волновыми функциями $\Psi_{1}$ и $\Psi_{2}$ отличается от нуля, только если прямое произведение представлений $р$ и $\Psi_{1}$ содержит неприводимое представление $\Psi_{2}$ . $\Gamma_{4}\otimes \Gamma_{1} = \Gamma_{4}$ $\Gamma_{4}\otimes \Gamma_{2} = \Gamma_{5}$ $\Gamma_{4}\otimes \Gamma_{3} = \Gamma_{4}\oplus \Gamma_{5}$ $\Gamma_{4}\otimes \Gamma_{4} = \Gamma_{4}\oplus \Gamma_{5} \oplus \Gamma_{3} \oplus \Gamma_{1}$ $\Gamma_{4}\otimes \Gamma_{4} = \Gamma_{4}\oplus \Gamma_{5} \oplus \Gamma_{3} \oplus \Gamma_{2}$ В итоге у нас будут отличны от нуля 10 матричных элементов: $M_{1} = \langle \Gamma_{1}\|{\bf p}\|\Gamma_{4} \rangle = \langle \Gamma_{4}\|{\bf p}\|\Gamma_{1} \rangle$ $M_{2} = \langle \Gamma_{2}\|{\bf p}\|\Gamma_{5} \rangle = \langle \Gamma_{5}\|{\bf p}\|\Gamma_{2} \rangle$ $M_{3} = \langle \Gamma_{3}\|{\bf p}\|\Gamma_{4} \rangle = \langle \Gamma_{4}\|{\bf p}\|\Gamma_{3} \rangle$ $M_{4} = \langle \Gamma_{3}\|{\bf p}\|\Gamma_{5} \rangle = \langle \Gamma_{5}\|{\bf p}\|\Gamma_{3} \rangle$ $M_{5} = \langle \Gamma_{4}\|{\bf p}\|\Gamma_{4} \rangle$ $M_{6} = \langle \Gamma_{4}\|{\bf p}\|\Gamma_{5} \rangle = \langle \Gamma_{5}\|{\bf p}\|\Gamma_{4} \rangle$ $M_{7} = \langle \Gamma_{5}\|{\bf p}\|\Gamma_{5} \rangle$ Если еще принять во внимание четность представлений оператора и состояний, то число ненулевых матричных элементов сократится до 4-х: $M_{1} = \langle \Gamma_{1}\|{\bf p}\|\Gamma_{4} \rangle = \langle \Gamma_{1}^{+}\|\Gamma_{4}^{-}\|\Gamma_{4}^{-} \rangle \neq 0$ $M_{2} = \langle \Gamma_{2}\|{\bf p}\|\Gamma_{5} \rangle = \langle \Gamma_{2}^{-}\|\Gamma_{4}^{-}\|\Gamma_{5}^{+} \rangle \neq 0$ $M_{3} = \langle \Gamma_{3}\|{\bf p}\|\Gamma_{4} \rangle = \langle \Gamma_{3}^{-}\|\Gamma_{4}^{-}\|\Gamma_{4}^{-} \rangle = 0$ $M_{4} = \langle \Gamma_{3}\|{\bf p}\|\Gamma_{5} \rangle = \langle \Gamma_{3}^{-}\|\Gamma_{4}^{-}\|\Gamma_{5}^{+} \rangle \neq 0$ $M_{5} = \langle \Gamma_{4}\|{\bf p}\|\Gamma_{4} \rangle = \langle \Gamma_{4}^{-}\|\Gamma_{4}^{-}\|\Gamma_{4}^{-} \rangle = 0$ $M_{6} = \langle \Gamma_{4}\|{\bf p}\|\Gamma_{5} \rangle = \langle \Gamma_{4}^{-}\|\Gamma_{4}^{-}\|\Gamma_{5}^{+} \rangle \neq 0$ $M_{7} = \langle \Gamma_{5}\|{\bf p}\|\Gamma_{5} \rangle = \langle \Gamma_{5}^{+}\|\Gamma_{4}^{-}\|\Gamma_{5}^{+} \rangle = 0$ Кроме того, в исходном базисе состояния с симметрией $\Gamma_{1}^{+}$ встречается дважды $\Gamma_{1u}$ , $\Gamma_{1l}$ поэтому существует два матричных элемента вида $M_{1}$ : $M_{1} = \langle \Gamma_{1u}\|{\bf p}\| \Gamma_{15} \rangle$ $M_{1}^{\prime} = \langle \Gamma_{1l}\|{\bf p}\| \Gamma_{15} \rangle$ Аналогичная ситуация со вторым матричным элементом, только здесь дважды встречается как бра состояние, так и кет состояние $M_{2} = \langle \Gamma_{2'u}\|{\bf p}\| \Gamma_{25'u} \rangle$ $M_{2}^{\prime} = \langle \Gamma_{2'u}\|{\bf p}\| \Gamma_{25'l} \rangle$ $M_{2}^{\prime \prime} = \langle \Gamma_{2'l}\|{\bf p}\| \Gamma_{25'u} \rangle$ $M_{2}^{\prime \prime \prime} = \langle \Gamma_{2'l}\|{\bf p}\| \Gamma_{25'l} \rangle$ Четвертый матричный элемент также "удваивается": $M_{4} = \langle \Gamma_{12'}\|{\bf p}\| \Gamma_{25'u} \rangle$ $M_{4}^{\prime} = \langle \Gamma_{12'}\|{\bf p}\| \Gamma_{25'l} \rangle$ И для 6-го матричного элемента имеем: $M_{6} = \langle \Gamma_{15}\|{\bf p}\| \Gamma_{25'u} \rangle$ $M_{6}^{\prime} = \langle \Gamma_{15}\|{\bf p}\| \Gamma_{25'l} \rangle$ Насколько я понимаю нам требуется не только характер неприводимого представления данного состояния, его четность (те же характеристики нужны для оператора импульса), но все-таки вид волновых функций. Например, если мы будем вычислять матричный элемент $M_{6}$ на скалярном произведении волнового вектора и оператора импульса: $M_{6} = \left ( {\bf k} \cdot \langle \Gamma_{15}\|{\bf p}\| \Gamma_{25'u} \rangle \right )= k_{x}\langle \Gamma_{15}\|p_{x}\| \Gamma_{25'u} \rangle+k_{y}\langle \Gamma_{15}\|p_{y}\| \Gamma_{25'u} \rangle+k_{z}\langle \Gamma_{15}\|p_{z}\| \Gamma_{25'u} \rangle$ $k_{x}\langle \Gamma_{15}\|p_{x}\| \Gamma_{25'u} \rangle = -i\hbar k_{x}\langle x\|\frac{\partial }{\partial x}\|xy\rangle = -i\hbar k_{x} \langle x\|y \rangle = 0$ Аналогично, будут равны нулю матричные элементы вида: $\langle x\|\frac{\partial }{\partial x}\|yz\rangle = -i\hbar k_{x} \langle x\|0 \rangle = 0$ $\langle x\|\frac{\partial }{\partial x}\|zx\rangle = -i\hbar k_{x} \langle x\|z \rangle = 0$ и т.д . Отличными от нуля будут матричные элементы вида: $\langle x\|\frac{\partial }{\partial z}\|zx\rangle$ $\langle x\|\frac{\partial }{\partial y}\|xy\rangle$ $\langle y\|\frac{\partial }{\partial x}\|xy\rangle$ $\langle y\|\frac{\partial }{\partial z}\|yz\rangle$ $\langle z\|\frac{\partial }{\partial y}\|yz\rangle$ $\langle z\|\frac{\partial }{\partial x}\|zx\rangle$ Видимо, координатное представление ВФ для случая оператора деформации не совсем работает (или может быть необходимо взять другие базисные функции?) Я правда не знаю как приписать оператору $\frac {\partial^2}{\partial x_{i} \partial x_{j} }$ то или иное представление, думаю, что если бы знать как расписать прямые произведения неприводимых представлений оператора и базисной функции, подобно тому, что написано для оператора мпульса, то тогда можно достаточно просто сказать какой матр элемент отличен от нуля, а какой нет.. Необходимо ли координатное представление базисных функций?

peregoudov Просмотр профиля	30.1.2008, 20:41 Сообщение #4
ломовая лошадь Группа: VIP Сообщений: 937 Репутация: 50 Предупреждения: (0%)	Извините, по первому посту я не вполне понял, в чем Ваша проблема. Я думал, Вы не понимаете, откуда берутся правила отбора. Меня смутила запись типа (Вы ее и во втором посте повторяете) Цитата(nanema @ 28.01.2008, 20:35) $\langle x\|\frac{\partial }{\partial x}\|yz\rangle = -i\hbar k_{x} \langle x\|0 \rangle = 0$ Если использовать тот вид функций, что я предложил (это не наиболее общий вид), то в координатном представлении матричный элемент запишется как $\int xf(x^2+y^2+z^2)\frac\partial{\partial x}yzg(x^2+y^2+z^2)\,dx\,dy\,dz$ Результат дифференцирования вовсе не нуль, это функция , преобразующаяся как . Но интеграл все равно равен нулю, поскольку подынтегральная функция нечетна по y и z. Равенство матричного элемента нулю можно доказать и более абстрактным методом, если обозначить через $\sigma_{xy}$ отражение в плоскости xy (это ведь одно из преобразований Вашей группы?). Тогда имеет место цепочка равенств $\langle x\|\frac\partial{\partial x}\|yz\rangle=-\langle x\|\frac\partial{\partial x}\sigma_{xy}\|yz\rangle=-\langle x\|\sigma_{xy}\frac\partial{\partial x}\|yz\rangle=-\langle x\|\frac\partial{\partial x}\|yz\rangle$ , из которой и следует равенство матричного элемента нулю. Цитата(nanema @ 28.01.2008, 20:35) Я правда не знаю как приписать оператору $\frac {\partial^2}{\partial x_{i} \partial x_{j} }$ то или иное представление, Это достаточно просто. Вы знаете представления, по которым преобразуются сомножители ( $-i\hbar\,\partial/\partial x_i=p_i$ преобразуется как ). Нужно просто разложить произведение этих представлений на неприводимые. Вы формулы такого типа писали Цитата(nanema @ 28.01.2008, 20:35) $\Gamma_{4}\otimes \Gamma_{3} = \Gamma_{4}\oplus \Gamma_{5}$ Впрочем, в Вашем случае все настолько элементарно, что разложение просто угадывается по тому списку неприводимых представлений, что Вы привели в первом посте. (Только что-то Вы там не дописали, если группа у Вас , то у нее 10 разных неприводимых представлений, и обозначения у Вас странные). Компоненты , , преобразуются по представлению типа $\Gamma_{25'u}$ , компоненты и --- по представлению типа $\Gamma_{12'}$ , а оператор Лапласа --- по представлению типа $\Gamma_{1l}$ (пишу "типа", поскольку не совсем понимаю, какова симметрия Ваших представлений по отношению к инверсии). Цитата(nanema @ 28.01.2008, 20:35) Необходимо ли координатное представление базисных функций? Чтобы вычислить значения матричных элементов, конечно, нужно знать волновые функции. Теория групп может только сказать, что некоторые матричные элементы заведомо равны нулю, а значения некоторых других связаны, тем самым сократив Вам вычисления. Но все равно останется некоторое количество ненулевых независимых матричных элементов, вычислить которые можно только, зная волновые функции. Либо можно определить их из опыта. Когда авторы статьи втирают Вам про LDA-DFT, то это как раз один из приближенных методов расчета волновых функций. И еще, если я правильно понимаю, волновые функции тут многоэлектронные, то есть зависят не просто от (x,y,z), а от нескольких таких наборов (по одному на электрон). А когда авторы говорят про "unknown k.p fitting parameters", то, видимо, имеют в виду подгонку под экспериментальные данные. Сообщение отредактировал peregoudov - 30.1.2008, 20:50

nanema Просмотр профиля	13.2.2008, 10:45 Сообщение #5
мимо проходил Группа: Участники Сообщений: 7 Репутация: нет Предупреждения: (0%)	Спасибо большое! Я более-меннее разобрался. Мне все равно не понятно, как упрощаются матричные элементы в случае 3-х мерных представлений $\Gamma_{25'}$ и $\Gamma_{15}$ Например, такой матичный элемент: $\langle \Gamma_{25'}(1)\|W\|\Gamma_{25'}(1) \rangle = \langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{11}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle\varepsilon_{11}+\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{12}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle\varepsilon_{12}+\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{13}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle\varepsilon_{13}+$ $+\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{21}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle\varepsilon_{21}+\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{22}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle\varepsilon_{22}+\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{23}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle\varepsilon_{23}+$ $+\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{31}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle\varepsilon_{31}+\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{32}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle\varepsilon_{32}+\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{33}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle\varepsilon_{33}$ В этой записи под обозначением $\Gamma_{25'}(1)$ понимается первая волновая функция из набора, который соотвествует неприводимому представлению $\Gamma_{25'}$ т.е. $\Gamma_{25'}(1)$ соответствует $\|xy \rangle$ , $\Gamma_{25'}(2)$ соответствует $\|xz \rangle$ , $\Gamma_{25'}(3)$ - $\|yz \rangle$ Операторы: $\Xi_{11}=-\frac {p_{x}^2}{m}$ $\Xi_{22}=-\frac {p_{y}^2}{m}$ $\Xi_{33}=-\frac {p_{z}^2}{m}$ $\Xi_{12}=-\frac {p_{x}p_{y}}{m}$ $\Xi_{13}=-\frac {p_{x}p_{z}}{m}$ $\Xi_{23}=-\frac {p_{y}p_{z}}{m}$ И еще соотношения симметрии $\Xi_{12} = \Xi_{21}$ , $\Xi_{13} = \Xi_{31}$ , $\Xi_{13} = \Xi_{31}$ , $\Xi_{23} = \Xi_{32}$ Аналогичные соотношения имеют место для тензора деформации $\varepsilon$ Операторы $\Xi_{11}$ , $\Xi_{22}$ , $\Xi_{33}$ преобразуются, как Вы писали, по неприводимому представлению $\Gamma_{1}$ . Операторы $\Xi_{12}$ , $\Xi_{13}$ , $\Xi_{23}$ преобразуются по неприводимому представлению $\Gamma_{25'}$ . Соответствующие таблицы разложения прямого произведения в прямую сумму неприводимого представления оператора и представления волновой функции имеют вид: Для операторов $\Xi_{11}$ и т.д: $\Gamma_{1} \otimes \Gamma_{1} = \Gamma_{1}$ $\Gamma_{1} \otimes \Gamma_{2'} = \Gamma_{2'}$ $\Gamma_{1} \otimes \Gamma_{12'} = \Gamma_{12'}$ $\Gamma_{1} \otimes \Gamma_{15} = \Gamma_{15}$ $\Gamma_{1} \otimes \Gamma_{25'} = \Gamma_{25'}$ Для операторов $\Xi_{12}$ и т.д: $\Gamma_{25'} \otimes \Gamma_{1} = \Gamma_{25'}$ $\Gamma_{25'} \otimes \Gamma_{2'} = \Gamma_{15}$ $\Gamma_{25'} \otimes \Gamma_{12'} = \Gamma_{15} \oplus \Gamma_{25'}$ $\Gamma_{25'} \otimes \Gamma_{15} = \Gamma_{2'} \oplus \Gamma_{12'} \oplus \Gamma_{15} \oplus \Gamma_{25'}$ $\Gamma_{25'} \otimes \Gamma_{25'} = \Gamma_{1} \oplus \Gamma_{12'} \oplus \Gamma_{15} \oplus \Gamma_{25'}$ Согласно вышеприведенным соотношениям, матричный элемент $\langle \Gamma_{25'}(1)\|W\|\Gamma_{25'}(1) \rangle$ равен $\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{11}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle\varepsilon_{11}+\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{22}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle\varepsilon_{22}+\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{33}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle\varepsilon_{33}$ И здесь мне непонятно два момента: 1. Почему будет отличным от нуля матричный элемент $\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{12}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle$ ? Ведь согласно последнему разложению во второй таблице в прямой сумме присутствует неприводимое представление $\Gamma_{25'}$ Бра состояние имеет то же симметрию $\Gamma_{25'}$ и преобразуется (как и кет-состояние) как $xy$ Подобным же образом преобразуется оператор $\Xi_{12}$ как произведение $xy$ . Как учитывается трехмерность представления $\Gamma_{25'}$ в формуле разложения? $\Gamma_{25'} \otimes \Gamma_{25'} = \Gamma_{1} \oplus \Gamma_{12'} \oplus \Gamma_{15} \oplus \Gamma_{25'}$ Допустим, условно припишем представлению $\Gamma_{25'}$ знак (1) в предыдущей формуле. Это означает, что мы работаем с 1-ой базисной функцией (т.е. преобразующейся как $xy$ ). В случае с оператором это будет означать, что работаем с оператором $- \frac {p_{x}p_{y}}{m}$ Соотвественно, формулу для разложения прямого произведения можно переписать в виде: $\Gamma_{25'}(1) \otimes \Gamma_{25'}(1) = \Gamma_{1} \oplus \Gamma_{12'} \oplus \Gamma_{15} \oplus \Gamma_{25'}(1)$ Слева от знака равенства, в прямом произведении первый множитель означает представление оператора $- \frac {p_{x}p_{y}}{m}$ , второй множитель - представленние волновой функции. В этом конкретном случае "координатная симметрия" оператора и ВФ совпадают - поэтому пишем в разложении прямой суммы справа знак (1) т.е. у представления $\Gamma_{25'}$ . Однако, при анализе матричного элемента $\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{13}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle$ возникает след. ситуация, как согласно формуле $\Gamma_{25'} \otimes \Gamma_{25'} = \Gamma_{1} \oplus \Gamma_{12'} \oplus \Gamma_{15} \oplus \Gamma_{25'}$ провести анализ этого матричного элемента? Ведь в данном случае оператор $\Xi_{13} = -\frac {p_{x}p_{y}}{m}$ преобразуется как $xy$ т. е. согласно вышеописанному алгоритму с матричным элементом $\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{12}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle$ мы можем переписать формулу разложения след. образом: $\Gamma_{25'}(2) \otimes \Gamma_{25'}(1) = \Gamma_{1} \oplus \Gamma_{12'} \oplus \Gamma_{15} \oplus \Gamma_{25'}(2$ или $1)$ . Т.е. в прямой сумме справа от знака равенства, как будет "преобразовываться" представление $\Gamma_{25'}$ по произведению $xy$ (т.е. в соответсвии с симметрией ВФ) или же по $xz$ (т.е. в соответсвии с симметрией оператора)? 2. Почему матричные элементы $\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{22}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle\varepsilon_{22}$ , $\langle \Gamma_{25'}(1)\|\Xi_{33}\|\Gamma_{25'}(1) \rangle$ равны между собой?

peregoudov Просмотр профиля	13.2.2008, 23:43 Сообщение #6
ломовая лошадь Группа: VIP Сообщений: 937 Репутация: 50 Предупреждения: (0%)	Дорогой nanema! Если Вы хотите получить помощь, нужно все-таки вести диалог, а не писать длиннющие посты в одни ворота, полностью игнорируя встречные вопросы к Вам. Поскольку разговор переходит в более конкретную фазу, я не смогу Вам дальше помогать, пока Вы не ответите на следующие вопросы: 1) Какая у Вас группа симметрии? Я это уже спрашивал и даже предполагал, что Прошу Вас ответить явно. Нигде в Ваших постах это явно не указано. 2) Если группу я угадал, то у нее 10 неприводимых представлений. Вы перечислили только восемь. Пожалуйста, допишите еще два. Опять-таки, я Вам уже об этом писал. 3) Я не понимаю Ваших обозначений. Я привык к обозначениям из книги Ландау, Лифшиц "Квантовая механика" (Теоретическая физика, т. 3), параграф 95 "Неприводимые представления точечных групп". Согласно этой книге, неприводимые представления группы обозначаются так: $A_{1g}, A_{1u}, A_{2g}, A_{2u}, E_g, E_u, F_{1g}, F_{1u}, F_{2g}, F_{2u}$ . В целом я понимаю, как Ваши обозначения соотносятся с обозначениями Ландау---Лифшица, но мне остается неясной четность Ваших представлений (поведение волновых функций при инверсии). Пока могу составить только такую таблицу соответствия $\begin{array}{l} \Gamma_{2'u},\Gamma_{2'l}\leftrightarrow A_{2g},A_{2u},\\ \Gamma_{25'u},???\leftrightarrow F_{2g},F_{2u},\\ \Gamma_{12'},???\leftrightarrow E_g,E_u,\\ \Gamma_{1u},\Gamma_{1l}\leftrightarrow A_{1g},A_{1u},\\ \Gamma_{25'l},\Gamma_{15}\leftrightarrow F_{1g},F_{1u}. \end{array}$ Сообщение отредактировал peregoudov - 13.2.2008, 23:46

nanema Просмотр профиля	15.2.2008, 8:57 Сообщение #7
мимо проходил Группа: Участники Сообщений: 7 Репутация: нет Предупреждения: (0%)	1) Группа симметрии $O_{h}$ . 2) У этой группы 10 неприводимых представлений. Для своей задачи (диагонализации $k\cdot p$ одноэлектронного гамильтониана в кристалле кремния) мне нужно только восемь предствалений группы. Логика для выбора такого базиса следующая. Далее я буду придерживаться рассужденийEnergy-band structure of germanium and silicon: the kp method M. Cardona, F. H. Pollak "Energy-band structure of Germanium and silicon: the kp method", Phys. Rev. 142, 530. Ввиду того, что в представлении пустой решетки существует большой энергетический зазор мжеду энергиями состояний, соответсвующих плоским волнам с векторами обратной решетки $(2\pi /a)[200]$ и $(2\pi /a)[220]$ , для диагонализации гамильтониана можно выбрать 8 состояний (15 с учетом вырождения) реального кристалла (т.е. в котором кристаллический потенциал отличен от нуля), симметрия которых совпадает с симметрией плоских волн с векторами обратной решетки $(2\pi /a)[000]$ , $(2\pi /a)[111]$ и $(2\pi /a)[200]$ 3) Обозначения представлений я взял опять же из статьи M. Cardona, F. H. Pollak "Energy-band structure of Germanium and silicon: the kp method", Phys. Rev. 142, 530. В этой статье используются обозначения неприводимых представлений для центра зоны Бриллюэна, которые были введены в физику твердого тела Theory of Brilloin zones Bouckaert L., Smoluchowski R, Wigner E., Phys. Rev. 50, 58, 1936. Действительно, если пользоваться обозначениями Bouckaert et al., то неясна симметрия состояний относительно инверсии. В статье Cardona, Pollack в обозначениях неприводимых представлений индексы $u$ и $l$ относятся к энергиям состояний (см. таблица). Т.е. состояние $\Gamma_{1l}$ имеет меньшую энергию, чем состояние $\Gamma_{1u}$ , кроме того они принадлежат к разным наборам плоских волн. Состояние $\Gamma_{1l}$ к $(2\pi /a)[000]$ , а состояние $\Gamma_{1u}$ к $(2\pi /a)[111]$ . По такому же принципу приписываются индексы для состояний $\Gamma_{25'}$ , $\Gamma_{2'}$ . Получается, что в базисе всего лишь 5 ВФ, симметрия которых различна. А с учетом таких "повторов" их 8. Таблица соответствий обозначений: $\Gamma_{1} = A_{1g}$ $\Gamma_{2} = A_{2g}$ $\Gamma_{12} = E_{g}$ $\Gamma_{15'} = F_{1g}$ $\Gamma_{25'} = F_{2g}$ $\Gamma_{1'} = A_{1u}$ $\Gamma_{2'} = A_{2u}$ $\Gamma_{12'} = E_{u}$ $\Gamma_{15} = F_{1u}$ $\Gamma_{25} = F_{2u}$

peregoudov Просмотр профиля	16.2.2008, 0:35 Сообщение #8
ломовая лошадь Группа: VIP Сообщений: 937 Репутация: 50 Предупреждения: (0%)	Цитата(nanema @ 15.02.2008, 8:57) 1) Группа симметрии $O_{h}$ . 2) У этой группы 10 неприводимых представлений. ... Таблица соответствий обозначений: Ну хорошо, с обозначениями вроде разобрались. Цитата(nanema @ 15.02.2008, 8:57) Для своей задачи (диагонализации $k\cdot p$ одноэлектронного гамильтониана в кристалле кремния) мне нужно только восемь предствалений группы. Это какое-то приближение, у теории групп прямого отношения не имеет. Единственное, что мне не очень понятно --- как Вы напишете одноэлектронные (то есть зависящие только от одного набора (x,y,z)) функции, преобразующиеся, скажем, по $A_{2u}$ . Видимо, волновые функции все-таки многоэлектронные, это оператор одноэлектронный. Цитата(nanema @ 13.02.2008, 10:45) Операторы $\Xi_{11}$ , $\Xi_{22}$ , $\Xi_{33}$ преобразуются, как Вы писали, по неприводимому представлению $\Gamma_{1}$ . Нет, я писал не это. Нужно представить оператор в виде $\begin{array}{l} \displaystyle \sum_{ij}\Xi_{ij}\varepsilon_{ij}=(\Xi_{11}+\Xi_{22}+\Xi_{33}) \frac{\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}}3+\\ \displaystyle \qquad+\left[(2\Xi_{11}-\Xi_{22}-\Xi_{33}) \frac{2\varepsilon_{11}-\varepsilon_{22}-\varepsilon_{33}}6+ \sqrt3\,(\Xi_{22}-\Xi_{33})\frac{\varepsilon_{22}-\varepsilon_{33}}{2\sqrt3}\right]+\\ \noalign{\vskip10pt} \displaystyle \qquad+2(\Xi_{12}\varepsilon_{12}+\Xi_{13}\varepsilon_{13}+\Xi_{23}\varepsilon_{23}) \end{array}$ Здесь каждое слагаемое преобразуется по своему представлению: первое по $\Gamma_1(A_{1g})$ , второе по $\Gamma_{12}(E_g)$ , третье по $\Gamma_{25'}(F_{2g})$ . У всех слагаемых есть общее правило отбора по четности: матричные элементы отличны от нуля только между состояниями одинаковой четности. Прочие же правила отбора различны для всех трех слагаемых. Правила отбора лучше писать в виде $\Gamma^1\Gamma^2\Gamma^3=\ldots$ то есть раскладывать в сумму неприводимых представление прямое произведение трех представлений (по одному на волновую функцию и на оператор). Если в этом разложении присутствует единичное представление $\Gamma_1(A_{1g})$ , то среди матричных элементов (их может быть несколько, если представления $\Gamma^{1,3}$ не одномерные) есть отличные от нуля. Если единичных представлений в сумме несколько, значит, существует несколько отличных от нуля независимых матричных элементов. Как выразить подматрицу оператора между состояниями $\Gamma^{1,3}$ через эти независимые элементы, сразу не скажу, тут мне поковыряться надо. У Вас подозрительные разложения прямых произведений в суммы. Например $\Gamma_{25'} \otimes \Gamma_{25'} = \Gamma_{1} \oplus \Gamma_{12'} \oplus \Gamma_{15} \oplus \Gamma_{25'}$ Слева стоит произведение двух четных представлений. Откуда в правой части нечетные представления? ИМХО, должно быть $\Gamma_{25'} \otimes \Gamma_{25'} = \Gamma_{1} \oplus \Gamma_{12} \oplus \Gamma_{15'} \oplus \Gamma_{25'}$ Либо Вы наврали с таблицей соответствия. Для дальнейшего анализа нужна таблица разложения произведений представлений в суммы. Сообщение отредактировал peregoudov - 16.2.2008, 1:45

peregoudov Просмотр профиля	16.2.2008, 17:45 Сообщение #9
ломовая лошадь Группа: VIP Сообщений: 937 Репутация: 50 Предупреждения: (0%)	Так, таблицу умножения представлений я составил. Для группы O и в обозначениях ЛЛ3, потому как: 1) остаются вопросы по соответствию обозначений; 2) с отбором по четности все просто. $\begin{array}{c\|ccccc} %26A_1%26A_2%26E%26F_2%26F_1\\ \noalign{\hrule} A_1%26A_1%26A_2%26E%26F_2%26F_1\\ A_2%26%26A_1%26E%26F_1%26F_2\\ E%26%26%26(A_1+E)+[A_2]%26F_1+F_2%26F_1+F_2\\ F_2%26%26%26%26(A_1+E+F_2)+[F_1]%26A_2+E+F_1+F_2\\ F_1%26%26%26%26%26(A_1+E+F_2)+[F_1] \end{array}$ В диагональных элементах выделены симметричная и антисимметричная части произведения. Как я уже писал, оператор $\sum_{ij}\Xi_{ij}\varepsilon_{ij}$ разбивается на сумму слагаемых, соответствующих представлениям $A_1$ , $E$ , $F_2$ (представления $F_1$ нет, хотя оно входит в полное разложение $F_1\times F_1$ , именно потому, что у нас симметричное произведение $\Xi_{ij}\sim p_ip_j$ ). Пользуясь этой таблицей, находим отличные от нуля матричные элементы (точнее, подматрицы, каждая из которых зависит от одного параметра). Для первого слагаемого оператора $\sum_{ij}\Xi_{ij}\varepsilon_{ij}$ (представление $A_1$ ) $\langle\Gamma\|A_1\|\Gamma\rangle,$ где $\Gamma$ --- любое представление. Для второго слагаемого ( $E$ ) $\begin{array}{l} \langle E\|E\|A_1\rangle,\quad \langle E\|E\|A_2\rangle,\quad \langle E\|E\|E\rangle,\\ \langle F_1\|E\|F_1\rangle,\quad \langle F_1\|E\|F_2\rangle,\quad \langle F_2\|E\|F_2\rangle. \end{array}$ Для третьего слагаемого ( $F_2$ ) $\begin{array}{l} \langle F_1\|F_2\|A_2\rangle,\quad \langle F_2\|F_2\|A_1\rangle,\quad \langle F_1\|F_2\|E\rangle,\quad \langle F_2\|F_2\|E\rangle,\\ \langle F_1\|F_2\|F_1\rangle,\quad \langle F_1\|F_2\|F_2\rangle,\quad \langle F_2\|F_2\|F_2\rangle. \end{array}$ Как реально выглядят эти подматрицы, нужно мне еще подумать. Сообщение отредактировал peregoudov - 21.2.2008, 15:41

peregoudov Просмотр профиля	16.2.2008, 21:43 Сообщение #10
ломовая лошадь Группа: VIP Сообщений: 937 Репутация: 50 Предупреждения: (0%)	Ничего шибко умного не придумал. Надо бы книжки почитать, да нету под рукой. Те подматрицы, в которые входит представление $A_1$ можно вычислить с помощью соотношения ортогональности $\sum_G G^\alpha_{ik}G^\beta_{lm}=\frac g{f^\alpha}\delta^{\alpha\beta}\delta_{il}\delta_{km}.$ Идея такая. Кусок оператора представляется в виде $H^\beta_ja_j$ (в нашем случае коэффициенты "a" --- это компоненты тензора деформации). Матричный элемент $\langle \psi^\alpha_i\|H^\beta_j\|\psi^\gamma_k\rangle$ не должен меняться, если и волновые функции и оператор подвергнуть преобразованию симметрии, поэтому $\langle \psi^\alpha_i\|H^\beta_j\|\psi^\gamma_k\rangle=G^\alpha_{il}G^\beta_{jm}G^\gamma_{kn} \langle \psi^\alpha_l\|H^\beta_m\|\psi^\gamma_n\rangle.$ Усредняя по группе (*) $\langle \psi^\alpha_i\|H^\beta_j\|\psi^\gamma_k\rangle=\frac1g\sum_G G^\alpha_{il}G^\beta_{jm}G^\gamma_{kn} \langle \psi^\alpha_l\|H^\beta_m\|\psi^\gamma_n\rangle.$ Если оператор H преобразуется по единичному представлению, то отличны от нуля только матричные элементы с $\alpha=\gamma$ , причем $\langle \psi^\alpha_i\|H\|\psi^\alpha_k\rangle=\frac1g\sum_G G^\alpha_{il}G^\alpha_{kn} \langle \psi^\alpha_l\|H\|\psi^\alpha_n\rangle=\delta_{ik} \left(\frac1{f^\alpha}\langle \psi^\alpha_l\|H\|\psi^\alpha_l\rangle\right).$ Матрица пропорциональна единичной. Аналогично, если $\langle \psi\|$ преобразуется по единичному представлению, $\langle \psi\|H^\beta_ja_j\|\psi^\beta_k\rangle=\frac1g\sum_G G^\beta_{jm}G^\beta_{kn} \langle \psi\|H^\beta_ma_j\|\psi^\beta_n\rangle=a_k \left(\frac1{f^\beta}\langle \psi\|H^\beta_m\|\psi^\beta_m\rangle\right).$ В статье, которую Вы цитировали в первом посте, есть такие подматрицы $W^{2\times2}$ , $W^{2\times6}$ , $W^{4\times2}$ .

nanema Просмотр профиля	19.2.2008, 8:54 Сообщение #11
мимо проходил Группа: Участники Сообщений: 7 Репутация: нет Предупреждения: (0%)	Честно говоря мне не совсем понятны два Ваших предыдущих поста. Мне надо еще подумать. Потом, если следовать тому алгоритму, который Вы предложили для записи оператора деформации, возникают вопросы по тому, как определить равенство нулю матричных элементов $k\cdot p$ оператора на состояниях описываемых трехмерными представлениями типа $\Gamma_{15}$ , $\Gamma_{25'}$ . Единственное, что приходит в голову это взять 48 операторов симметрии группы и "в лоб" действовать на волновые функции. Может быть, таким образом определяться нулевые матричные элементы.

peregoudov Просмотр профиля	19.2.2008, 18:28 Сообщение #12
ломовая лошадь Группа: VIP Сообщений: 937 Репутация: 50 Предупреждения: (0%)	Цитата(nanema @ 19.02.2008, 8:54) Честно говоря мне не совсем понятны два Ваших предыдущих поста. Мне надо еще подумать. Подумать никогда не вредно Цитата(nanema @ 19.02.2008, 8:54) как определить равенство нулю матричных элементов $k\cdot p$ оператора Да с этим как раз нет проблем, импульсы преобразуются по $F_{1u}$ . Отличны от нуля только переходы между состояниями с разной четностью. А остальные правила отбора определяются по таблице из поста #9. Я проверил матрицы $H^{30}_{k\cdot p}$ и $W^{30}_{k\cdot p}$ , отличные от нуля подматрицы соответствуют моей таблице умножения представлений. Цитата(nanema @ 19.02.2008, 8:54) Единственное, что приходит в голову это взять 48 операторов симметрии группы Все 48 точно не надо, я же уже говорил, что с четностью все просто. Так что 24. Да, тупой способ: вычислить матрицу $\frac1g\sum_G G^\alpha_{il}G^\beta_{jm}G^\gamma_{kn}.$ из уравнения () поста #10 и найти ее собственный вектор с собственным значением 1 (железный друг справится). Этот вектор и укажет Вам отличные от нуля матричные элементы в подматрицах. Я на самом деле посмотрел в Интернете некоторые книжки по теории конечных групп, что-то не густо, и подобные вопросы там не освещаются. Видимо, нужно у знающих людей спрашивать, сам фиг найдешь. Или ручками, о чем ниже. Поскольку матричные элементы в случае, когда одно из представлений единичное ( $A_1$ ), вычисляются в общем виде, нам остается рассмотреть относительно простые случаи $\langle E\|E\|A_2\rangle$ и $\langle F_1\|F_2\|A_2\rangle$ , а также самые сложные $\langle E\|E\|E\rangle$ , $\langle F_{1,2}\|E\|F_{1,2}\rangle$ , $\langle F_{1,2}\|F_2\|E\rangle$ , $\langle F_{1,2}\|F_2\|F_{1,2}\rangle$ . Идея вычисления простая: нужно воспользоваться неизменностью матричных элементов при преобразовании и волновых функций и оператора. Остается подобрать такие преобразования из группы, чтобы получились интересующие нас соотношения между матричными элементами. Матричные элементы $\langle E\|E\|A_2\rangle$ .* Воспользуемся преобразованием $C^{\,x}_4$ . Из таблицы характеров находим, что волновые функции типа $A_2$ при таком преобразовании меняют знак. Что касается волновых функций типа $E$ , то воспользуемся их явным видом $\|1\rangle=\sqrt3\,(y^2-z^2)\,$ , $\|2\rangle=3x^2-r^2$ , из которого получим, что $C_4^{\,x}\|1\rangle=-\|1\rangle,\quad C_4^{\,x}\|2\rangle=\|2\rangle.$ При таком преобразовании все матричные элементы $\langle E\|E\|A_2\rangle$ переходят в себя со знаком плюс или минус. Поскольку они должны оставаться неизменными, отличны от нуля лишь те, что переходят в себя со знаком плюс: $\langle 1\|2\|A_2\rangle$ и $\langle 2\|1\|A_2\rangle$ . Чтобы установить их равенство, воспользуемся симметрией $C_3$ , переводящей $x\to y$ , $y\to z$ , $z\to x$ . По таблице характеров находим, что функции $A_2$ при этом не меняются. Функции же $\|1,2\rangle$ преобразуются по закону $\begin{array}{l} C_3\|1\rangle=-\frac12\|1\rangle-\frac{\sqrt3}2\|2\rangle,\\ \noalign{\vskip5pt} C_3\|2\rangle=\frac{\sqrt3}2\|1\rangle-\frac12\|2\rangle. \end{array}$ Удобно ввести комбинации $\|\pm\rangle=\|1\rangle\pm i\|2\rangle$ , которые преобразуются сами через себя $C_3\|\pm\rangle=e^{\pm2\pi i/3}\|\pm\rangle.$ В терминах этих комбинаций отличны от нуля только матричные элементы $\langle+\|{+}\|A_2\rangle$ и $\langle-\|{-}\|A_2\rangle$ . Расписывая $\begin{array}{l} \displaystyle \langle 1\|2\|A_2\rangle=\frac{\langle+\|+\langle-\|}2\Bigg\|\frac{(+)-(-)}{2i}\Bigg\| A_2\Biggr\rangle=\frac{\langle+\|{+}\|A_2\rangle-\langle-\|{-}\|A_2\rangle}{4i},\\ \noalign{\vskip5pt} \displaystyle \langle 2\|1\|A_2\rangle=-\frac{\langle+\|-\langle-\|}{2i}\Bigg\|\frac{(+)+(-)}2\Bigg\| A_2\Biggr\rangle=-\frac{\langle+\|{+}\|A_2\rangle-\langle-\|{-}\|A_2\rangle}{4i}=-\langle 1\|2\|A_2\rangle. \end{array}$ Итак, подматрица $\langle E\|E\|A_2\rangle$ имеет вид $b\left[\begin{array}{c} 2\varepsilon_{11}-\varepsilon_{22}-\varepsilon_{33}\\ -\sqrt3\,(\varepsilon_{22}-\varepsilon_{33}) \end{array}\right],$ где b не может быть определено методами теории групп, для его вычисления нужно знать явный вид волновых функций. Почему-то получается разница в знаке по сравнению с блоком $W^{4\times2}$ в статье. Матричные элементы $\langle E\|E\|E\rangle$ . Используя симметрию $C_4^{\,x}$ , убеждаемся, что отличны от нуля только $\langle1\|2\|1\rangle$ , $\langle2\|2\|2\rangle$ , $\langle2\|1\|1\rangle$ , $\langle1\|1\|2\rangle$ (число единиц должно быть четно). Чтобы найти связь между ними, пользуемся симметрией $C_3$ и уже введенными комбинациями $\|\pm\rangle$ , на языке которых единственными отличными от нуля являются $\langle-\|{+}\|+\rangle$ и $\langle+\|{-}\|-\rangle$ . Расписывая, находим $\begin{array}{l} \displaystyle \langle1\|2\|1\rangle=\frac{\langle+\|+\langle-\|}2\Bigg\|\frac{({+})-(-)}{2i}\Bigg\| \frac{\|+\rangle+\|-\rangle}2=\frac{\langle-\|{+}\|+\rangle-\langle+\|{-}\|-\rangle}{8i},\\ \noalign{\vskip5pt} \langle2\|2\|2\rangle=-\langle1\|2\|1\rangle,\quad \langle2\|1\|1\rangle=\langle1\|1\|2\rangle=\langle1\|2\|1\rangle. \end{array}$ Таким образом, подматрица $\langle E\|E\|E\rangle$ имеет вид $b\left[\begin{array}{cc} 2\varepsilon_{11}-\varepsilon_{22}-\varepsilon_{33}%26 \sqrt3\,(\varepsilon_{22}-\varepsilon_{33})\\ \sqrt3\,(\varepsilon_{22}-\varepsilon_{33})%26 -(2\varepsilon_{11}-\varepsilon_{22}-\varepsilon_{33}) \end{array} \right]$ К сожалению, в статье эта подматрица явно не выписана, а выписана сумма $\langle E\|E\|E\rangle$ и $\langle E\|A_1\|E\rangle$ . Но в формулах (B3), похоже, тоже косяки. Откуда там четыре независимых коэффициента (должно быть два), совершенно непонятно. На сегодня хватит, пожалуй, продолжу завтра. Сообщение отредактировал peregoudov - 21.2.2008, 14:55

peregoudov Просмотр профиля	21.2.2008, 14:41 Сообщение #13
ломовая лошадь Группа: VIP Сообщений: 937 Репутация: 50 Предупреждения: (0%)	Матричные элементы $\langle F_1\|E\|F_1\rangle$ . Волновые функции представления $F_1$ преобразуются как x, y, z. Прежде всего рассматриваем преобразование $(C_4^{\,x})^2$ , при котором $x\to x$ , $y\to-y$ , $z\to-z$ , и делаем вывод $\langle x\|1,2\|y\rangle=0,\quad \langle x\|1,2\|z\rangle=0.$ Теперь рассматриваем $C_4^{\,x}$ и получаем $\langle x\|1\|x\rangle=0,\quad \langle y\|1\|y\rangle=-\langle z\|1\|z\rangle,\quad \langle y\|2\|y\rangle=\langle z\|2\|z\rangle.$ Обратившись к преобразованию $C_3$ , для недиагональных элементов находим $\langle x\|{\pm}\|y\rangle=e^{\pm2\pi i/3}\langle y\|{\pm}\|z\rangle,$ что вместе с уже полученными равенствами означает, что все недиагональные элементы равны нулю $\langle y\|1,2\|z\rangle=0.$ Для диагональных же элементов $\langle x\|{\pm}\|x\rangle=e^{\pm2\pi i/3}\langle y\|{\pm}\|y\rangle,$ разделяя вещественную и мнимую части, находим $\langle y\|1\|y\rangle=-\sqrt3\,\langle y\|2\|y\rangle,\quad \langle x\|2\|x\rangle=-2\langle y\|2\|y\rangle.$ Итак, подматрица имеет вид $\begin{array}{l} b\left(\begin{array}{ccc} 0%260%260\\ 0%26-\sqrt3%260\\ 0%260%26\sqrt3 \end{array}\right)\sqrt3\,(\varepsilon_{22}-\varepsilon_{33})+ b\left(\begin{array}{ccc} -2%260%260\\ 0%261%260\\ 0%260%261 \end{array}\right)(2\varepsilon_{11}-\varepsilon_{22}-\varepsilon_{33})=\\ \noalign{\vskip10pt} \qquad =-2b\left(\begin{array}{ccc} 2\varepsilon_{11}-\varepsilon_{22}-\varepsilon_{33}%260%260\\ 0%262\varepsilon_{22}-\varepsilon_{11}-\varepsilon_{33}%260\\ 0%260%262\varepsilon_{33}-\varepsilon_{11}-\varepsilon_{22} \end{array}\right) \end{array}$ Опять-таки в статье она явно не выписана, а выписана сумма $\langle F_1\|F_2\|F_1\rangle$ , $\langle F_1\|E\|F_1\rangle$ и $\langle F_1\|A_1\|F_1\rangle$ . Первое слагаемое дает только недиагональный вклад, а второе и третье --- диагональный. Поскольку третье слагаемое пропорционально единичной матрице, умноженной на $\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}$ , можно проверить, что диагональ подматрицы в статье совпадает с найденной мной. Матричные элементы $\langle F_2\|E\|F_2\rangle$ . Волновые функции представления $F_2$ имеют вид yz, xz, xy, я буду обозначать их $\tilde x$ , $\tilde y$ , $\tilde z$ . Действие преобразований $C_4^{\,x}$ и $C_3$ описывается формулами $\begin{array}{l} C_4^{\,x}:\tilde x\to-\tilde x,\quad\tilde y\to-\tilde z,\quad\tilde z\to\tilde y,\\ C_3:\tilde x\to\tilde y,\quad\tilde y\to\tilde z,\quad\tilde z\to\tilde x. \end{array}$ Нетрудно проверить, что все соотношения для матричных элементов остаются такими же, как в случае $\langle F_1\|E\|F_1\rangle$ , так что подматрица имеет вид, выписанный в предыдущем пункте. Матричные элементы $\langle F_1\|E\|F_2\rangle$ . Таких матричных элементов у Вас нет, они запрещены по четности, поскольку у Вас присутствуют только $F_{1u}$ и $F_{2g}$ . Но если бы такие матричные элементы были, то соотношения были бы несколько другими, нежели для $\langle F_1\|E\|F_1\rangle$ . А именно $\begin{array}{l} (C_4^{\,x})^2:\quad\langle\tilde x\|1,2\|y,z\rangle=0,\\ C_4^{\,x}:\quad \langle\tilde x\|2\|x\rangle=0,\quad \langle\tilde y\|1\|y\rangle=\langle\tilde z\|1\|z\rangle,\quad \langle\tilde y\|2\|y\rangle=-\langle\tilde z\|2\|z\rangle,\\ C_3:\quad\langle\tilde y\|2\|y\rangle=\sqrt3\,\langle\tilde y\|1\|y\rangle,\quad \langle\tilde x\|1\|x\rangle=-2\langle\tilde y\|1\|y\rangle. \end{array}$ Подматрица имела бы вид $\begin{array}{l} b\left(\begin{array}{ccc} -2%260%260\\ 0%261%260\\ 0%260%261 \end{array}\right)\sqrt3\,(\varepsilon_{22}-\varepsilon_{33})+ b\left(\begin{array}{ccc} 0%260%260\\ 0%26\sqrt3%260\\ 0%260%26-\sqrt3 \end{array}\right)(2\varepsilon_{11}-\varepsilon_{22}-\varepsilon_{33})=\\ \noalign{\vskip10pt} \qquad =-2\sqrt3\,b\left(\begin{array}{ccc} \varepsilon_{22}-\varepsilon_{33}%260%260\\ 0%26\varepsilon_{33}-\varepsilon_{11}%260\\ 0%260%26\varepsilon_{11}-\varepsilon_{22} \end{array}\right) \end{array}$ Что-то я много понаписал, пожалуй с матричными элементами части $\langle?\|F_2\|?\rangle$ Вы уже и сами справитесь. Сообщение отредактировал peregoudov - 21.2.2008, 15:45

« Предыдущая тема · Есть проблема · Следующая тема »

Reply to this topic

Start new topic

1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)

Пользователей: 0

Режим отображения: Стандартный · Переключить на: Линейный · Переключить на: Древовидный

Подписка на тему · Сообщить другу · Версия для печати · Подписка на этот форум

Текстовая версия

Сейчас: 10.04.2016, 6:25

Русская версия IP.Board 2.3.1 © 2016 IPS, Inc.

Лицензия зарегистрирована на: dubinushka.ru