Статистическая термодинамика идеального
газа.
Сумма по состояниям системы молекул в газовой фазе будет
равна:
Zv -
конфигурационный интеграл, отвечающий взаимодействиям между молекулами. Если
u(x,y,z) = 0, то Zv = VN. Для расчета свойств идеального
газа надо определить ZпZвн. Для реального газа в
термодинамические функции добавится член, связанный с расчетом Zv.
Здесь важно, что только Zv зависит от объема системы. Т.к. дав-ле-ние
опре-де-ляется как производная свободной энергии по объему: 
, то для вывода уравнения состояния надо знать Zv.
Для иде-ального газа это V и получаем уравнение состояния: p = kT/ v. Если N!
включить в кон-фи-гурационный интеграл, то поступательная и суммы внутренних
степеней свободы: 
и 
В данном случае делить
на N! не надо (атомы не переходят из молекулы в молекулу). Здесь n - число
атомов.
При вычислении термодинамических функций принимаем основной постулат, что энергии различных
видов движения независимы: энергии суммируются, суммы перемно-жаются. В обычных
условиях химических реакций ядерные суммы сокращаются. Элек-т-рон-ные обычно
равны 1 или выроженности основного уровня. В каждой молекуле 3 пос-тупатель-ные
степени свободы (кроме адсорбции), 3 или 2 у линейных молекул степе-ни сво--боды
вращения, 3m - 6 или 3m - 5 степеней свобо-ды колебаний. Наличие внутрен-него
враще-ния уменьшает колебания (колебание не име-ет ко-нечной амплитуды и перехо-дит
во вра-щение). Соответственно для расчета термоди-на-мических функций надо сло-жить
полу-чен-ные ранее выражения для энергии отдельных видов дви--жения в молекуле.
В качестве примеров:
Стандартная энтропия азота по расчету 45,79 э.е., калориметричес-кие опыты -
45,77 э.е. кислород: 49,03(р) и 49,01(о). Для СО разница: 47,3(р) и 46,2(о). Для водорода 31,22(р) и 29,6(о).
Дело в точ, что в пренебрежении взаимной ориентацией молекул для СО и спиновыми
характеристиками для Н2.
Для расчета химического равновесия надо получить
выражение для химического потенциала. Из классической термодинамики (ni -
мольная доля).
Для идеального газа и
смеси идеальных газов из Ni молекул
и
где 
Условие равновесия -
равенство химических потенциалов реагентов и продуктов
Т.к. Z пост =
f(v), то в окончательном выражении объем сокращается.
Используя соотношение
между Кр и Кс, введем стандартную сумму 
и 
Для расчета равновесия
надо знать разницу нулевых уров-ней энергии и уметь считать отдельные суммы по
состояниям. Знаем соотношения
Термодина-ми-ческий
потенциал ФТ чаще приводят в таблицах вместе с энтропией (слабо
зависит от Т).
В реакции 
изменение свободной энергии
=
Особенность статистических расчетов равновесий -
использование Uoo - свобод-ная энер-гия системы при
стандартном давлении и 1 атм. Не надо считать изменение внут--рен-ней энергии
при заданной температуре и использовать Сv.
Безусловно статистические расчеты за счет сделанных
допущений для упрощения расчетов будут скорее оценочны. Используют их
- при анализе равновесий
нестойких соединений, свойст АК в кинетике,
- в области высоких
температур, когда нет надежной термодинамической информации,
- для оценки влияния
структуры и изотопного состава молекул на протекание реакции,
- при построении теорий
химической кинетики, ТАК, РРКМ.
Вернемся к орто-пара превращению водорода. Было показано,
что при темпера-турах выше характеристической отношение произведений ядерной и
вращательной сумм по состояниям орто-формы к пара равно 3, а при низких
температурах стремится к нулю. Пос-коль-ку все остальные суммы по состоя-ниям
можно считать равными, кон-станта рав-но--ве-сия определяется отношением
ядерных и вращательных сумм. Действительно при вы-соких температурах ( выше 85
К) было найдено значение констан-ты рав-но-весия рав-ное 3 (преобладает
орто-форма), а при низких температурах преобла-дал пара-водород.
Рассмотрим реакцию изотопного обмена АХ + ВХ* = AX* + BX. Изменения числа молей не
происходит, поэтому Kc =Kp =KN = K. Тогда 
, введем 
атомная доля изотопа.
Легко получить соотношения:
Константа равновесия - коэффициент разделения. Практически
важные примеры: 
, 
Получение реактивов
обогащенных определенным изотопом.
Ядерные и электронные
суммы по состояниям для изотопов будут равны.
Считать полностью суммы не
обязательно. Отношение сумм по состояниям равно
поступательных (qi*/qi
)пост = (m i */m i)3/2,
вращательных (qi*/qi)вращ
= (Ii*s i/ Iisi*),
колебательных (qi*/qi
) кол =[(1-exp(-ui))/(1-exp(-ui*))], ui = hn / kT.
DUoo = UooAX*
+ UooBX - UooAX
- UooBX* =
( UooAX* - UooAX
) - (UooBX* - UooBX).
Тогда коэффициент
разделения или величина a считается по формуле
Можно принять Uoo
= hn
/ 2 и тогда
Если рассмотреть реакции изотопного водорода и дейтерия с
образованием HD, то посмотрим какие составляющие будет давать разницу в
константе равновесия. От--но-шение масс молекул HD к массе дейтерия или водорода даст примерно 1.
Меж--атом-ные расстояния во всех молекулах 0,74 Е, моменты инерции могут
изменится как отношение приведенных масс, для линейных молекул I = MAMB/
(Ma+MB), I = mro2. Здесь отличие невелико. Колебательные суммы примерно равны 1:
частоты 4415 для Н2, 3825 для HD, 3124 см-1 для D2-
все частоты больше 1000 см-1.
Но разница в частотах будет за-метна при анализе экспоненты,
связанной с нулевой энергией - туда включили энергию нулевых колебательных
уровней, и при 300 К это даст заметный вклад. Основной вклад от отношения масс,
чисел сим---ме-т-рии, соотношения моментов инерции и экспоненты. Но в целом
величина близкая к 1. Для реакций обмена водорода и дейтерия в сложных
молекулах поступа-те-льные, вра-ща-тельные
и колебательные составляющие будут примерно одинаковы.