Асташкин Сергей Владимирович
Научные интересы
Функциональный анализ, теория функций, теория вероятностей, дискретная математика.
Научные результаты
Опубликовано более 130 работ в ведущих отечественных и зарубежных журналах. Перечисленные ниже результаты по теории функциональных пространств и операторов получили признание как в России, так и за рубежом.
Серия работ была посвящена изучению классической системе Радемахера (иначе: последовательности Бернулли независимых симметрично и одинаково распределенных случайных величин со значениями плюс-минус один). Использование теории операторов позволило решить ряд актуальных задач: получено описание подпространств симметричных пространств, порожденных этой системой, найдена характеризация систем функций, из которых можно выделить подсистему, эквивалентную по распределению системе Радемахера, получены необходимые и достаточные условия, при которых хаос Радемахера (система, состоящая из произведений этих функций) безусловен в симметричном пространстве. В цикле совместных работ с Г.Курберой (Испания) было исследовано понятие мультипликатора по системе Радемахера. С помощью этих результатов были доказаны локальный и весовой варианты одного из важнейших неравенств анализа --- неравенства Хинчина --- в общих симметричных пространствах. Кроме того, совместно с Л.Малиграндой (Швеция) и Е.М. Семеновым (Россия) было инициировано изучение этой системы в банаховых функциональных пространствах, не являющихся симметричными (в частности, в пространствах Чезаро, Морри и Пэли). Как итог этой работы в 2009 г. была опубликована монография 'Функции Радемахера в симметричных пространствах', вскоре переведенная на английский язык.
В 1970 г. Х.П.Розенталь доказал замечательные неравенства для сумм независимых функций в L_p-пространствах. Вслед за этим многие известные математики стали пытаться распространить их на более общие функциональные пространства. Наиболее полные в этом направлении результаты были получены в цикле работ выполненных мною совместно с Ф.А.Сукочевым (Австралия). Введенная нами конструкция оператора Круглова позволила определить точные границы распространения неравенства Розенталя на симметричные пространства. Кроме того, с помощью нее был решен ряд актуальных задач геометрической теории симметричных пространств: найдены необходимые и достаточные условия, при которых в симметричном пространстве выполнено векторно-значное неравенство Хинчина с независимыми коэффициентами, получены наиболее широкие на сегодняшний день достаточные условия, при которых симметричные пространства на отрезке и полуоси изоморфны между собой (проблема, впервые поставленная Б.С.Митягиным). Кроме того, была выявлена связь между ограниченностью оператора Круглова и оператора случайных перестановок, естественным образом описывающего хорошо известные комбинаторные неравенства С.Квапеня и К.Шютта, а также доказаны новые вероятностные неравенства, с помощью которых получены наиболее общие на сегодняшний день оценки норм сумм дизъюнктных и независимых функций в симметричных квази-банаховых пространствах. Наконец, мною было доказано, что дополняемость подпространства, порожденного произвольной последовательностью независимых функций, в симметричном пространстве эквивалентна дополняемости подпространства, порожденного их дизъюнктными копиями. В случае, когда независимые функции эквивалентны l_p-базису, получено обобщение хорошо известной теоремы Дора-Старбеда о дополняемости подпространств L_p , порожденных независимыми функциями. Эти результаты, а также их приложения к изучению геометрии функциональных пространств изложены в совместном обзоре с Ф.А.Сукочевым, опубликованном в 2010 г. в 'Успехах математических наук'.
В серии работ, написанных совместно с К.В.Лыковым (Россия), предложен новый подход к задаче характеризации экстраполяционных пространств, позволивший описать все до сих пор известные экстраполяционные пространства Орлича единым методом. Доказана новая экстраполяционная теорема для операторов, ограниченных в L_p-пространствах, усиливающая классическую теорему Яно. В настоящее время эти результаты широко используются в исследованиях, относящихся как 'классическому', так и некоммутативному анализу.
Одним из наиболее важных результатов геометрической теории банаховых пространств является классическая теорема Ж.Кривине о финитной представимости l_p-пространств. Мною была получена характеризация множества всех чисел p, для которых l_p финитно представимо в сепарабельном симметричном пространстве X на полуоси таким образом, что канонические орты l_p соответствуют дизъюнктным равноизмеримым функциям в X. С помощью этого результата доказан вариант теоремы Ж.Кривине для симметричных пространств.
Мною была решена проблема, поставленная польским математиком М. Мастыло более 10 лет назад: доказано, что каждое нетривиальное подпространство любого банахова пространства, порожденного L_p-нормой и некоторым положительным сублинейным оператором, содержит дополняемые l_p-копии.
Совместно с Л. Малиграндой (Швеция) было начато исследование геометрической структуры важных в приложениях функциональных пространств Чезаро. Дано описание сопряженного пространства, найден тип и котип этого пространства, дана полная характеризация множества тех q, для которых пространство Чезаро содержит изоморфные, а также дополняемые копии l_q-пространств. В настоящее время эта работа продолжена математиками из целого ряда стран.
Научно-педагогическая деятельность
За плечами более чем 30 лет педагогической работы, в основном, со студентами 3-5 курсов механико-математического факультета Самарского университета. Разработаны курсы лекций и практических занятий по математическому и функциональному анализу, теории вероятностей, курсам 'Интеграл Лебега' и 'Математическая логика', а также целому ряду спецкурсов и курсов лекций для магистратуры: 'Базисы в банаховых пространствах', 'Интерполяция операторов в банаховых пространствах', 'Системы независимых функций и их приложения', 'Ряды по система Хаара', 'Ряды Фурье в симметричных пространствах', 'Дифференцирование интеграла Лебега', 'Интегральные операторы', 'Сходимость рядов Фурье и преобразование Гильберта', 'Теория мартингалов', 'Перестановки рядов в банаховых пространствах', 'Избранные вопросы геометрии банаховых пространств' и др.
Постоянно осуществлялось руководство курсовыми и дипломными работами студентов. Ряд студентов принимал участие в зональном конкурсе на лучшую студенческую работу, пятеро из них опубликовали свои результаты в университетском сборнике студенческих работ. Один из студентов (Лыков К.В.) занял призовое место на всероссийском конкурсе студенческих научных работ. В 2012 г. прочитал тематический курс лекций "Независимые случайные величины и геометрия банаховых пространств" для аспирантов и докторантов Польши в университете им. А.Мицкевича (г.Познань, Польша) в рамках Европейской гуманитарной программы (Европейский Союз), секция IV, Высшее образование и наука,
Много работал со школьниками Самары и области: участвовал в организации и проведении городских и областных олимпиад, руководил научной работой школьников, многие из которых становились победителями и призерами областного конкурса на лучшую научную работу, а также участвовали в аналогичном всероссийском конкурсе.
Подготовка научных кадров
1. Ким Юлия Евгеньевна, 01.01.01, Интерполяция билинейных операторов в симметричных пространствах, к.ф.-м.н., 08.04.1997.
2. Узбеков Роман Фатихович, 01.01.01, Вещественный метод интерполяции на банаховых решеток, к.ф.-м.н., 31.05.2005.
3. Лыков Константин Владимирович, 01.01.01, Симметричные пространства, экстраполяционные относительно L_p-шкалы, к.ф.-м.н., 19.12.2006.
4. Тихомиров Константин Евгеньевич, 01.01.01, К-монотонные весовые пары банаховых решеток, к.ф.-м.н., 23.06.2011.
Асташкин С.В.
8 (927) 763-72-31
ул. Академика Павлова, 1, мех-мат. к., ?410
