Лекции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

8. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости.

Если в плоскости взять не произвольные пересекающиеся прямые, а ее горизонталь и фронталь, то появляется возможность воспользоваться теоремой о проецировании прямого угла:

Если в плоскости взять не произвольные пересекающиеся прямые, а ее горизонталь и фронталь, то появляется возможность воспользоваться теоремой о проецировании прямого угла:

"Если из двух взаимно перпендикулярных прямых одна прямая частного положения, то прямой угол между ними проецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой параллельна прямая частного положения."

Дана плоскость Р, заданная фронталью и горизонталью Р(hf) и точка К на этой плоскости К=fh. Нужно из точки К восстановить перпендикуляр к плоскости Р (nP).

Рис.1

nK; nf; nh. Следуя теореме о проецировании прямого угла n1h1 и n2f2.

Рис.2

Следовательно, если прямая перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - фронтальной проекции фронтали.

Так как h₁P_H, а f₂P_V, то n₁P_H и n₂P_V.

То есть, если прямая перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция - фронтальному следу плоскости.

Пример 1: Даны плоскость Р, заданная следами, и точка А. Нужно опустить из точки А перпендикуляр на плоскость Р и найти его основание.

Рис.3

An n2PV n1PH nS SH

Пример 2: Даны плоскость Р, заданная треугольником BCD, и точка А. Нужно из точки А опустить перпендикуляр на плоскость Р(BCD) и найти его основание.

Рис.4

[B1]h [C2]f n2f2 n1h1 nS SH l=SP K=ln

9. Перпендикулярность прямых общего положения.

Построение перпендикуляров к плоскости, перпендикулярных прямых и перпендикулярных плоскостей является основными графическими операциями при решении метрических задач.

Прямой угол между перпендикулярными прямыми общего положения на плоскости проекций проецируется с искажениями, поэтому задачу о построении перпендикуляра к прямой общего положения решают с помощью условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим случай построения перпендикуляра из точки А к прямой общего положения m.

Эта задача решается следующей последовательностью графических операций:

1. Через точку А проводится плоскость Q, перпендикулярная прямой m.
2. Определяется точка встречи прямой m с плоскостью Q. K=mQ.
   Для этого проводят вспомогательную плоскость S. mS; l=SQ.
3. Соединяют точку А с точкой К. АКm, так как он лежит в плоскости, перпендикулярной прямой m.

Таким образом, две прямые перпендикулярны, если одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной другой прямой.

Чтобы посмотреть, как эти построения выполнить на эпюре, рассмотрим пример:

Даны прямая общего положения m и точка А. Требуется опустить перпендикуляр из точки А на прямую m.

Рис.5

Q(hf) AQ; f2m2 h1m1 Qm; mS; l=SQ K=ml AKm.

Рис.6

10. Перпендикулярность плоскостей.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Поэтому построение плоскости Р, перпендикулярной к плоскости Q, можно осуществить двумя путями:

1. Проводим прямую m, перпендикулярную к плоскости Q, затем прямую m заключаем в плоскость Р.
   (mQ)(mP)PQ
2. Проводим прямую n, перпендикулярную или параллельную плоскости Q, затем строим плоскость Р, перпендикулярную к прямой n.
   (nQ)(nP)PQ

Так как через прямую m можно провести множество плоскостей (первый путь решения) и в плоскости или параллельно ее можно провести множество прямых n (второй путь решения), то задача имеет множество решений.

Поэтому для получения единственного решения нужно наложить дополнительные условия, например, потребовать, чтобы плоскость Р проходила через точку А, принадлежащую другой плоскости (Q).

Пример: Даны плоскость Р (ABC) и точка D. Нужно через точку D провести плоскость QР.

Рис.7

aQ, Da. Плоскость P удобно задать: [C1]h [A2]f n2f2 n1h1 (Dn) Q(na)

Рассмотрим случай когда горизонтально проецирующая плоскость S перпендикулярна к плоскости общего положения P.

Рис.8

Если (SH)(SP), то SPH, как к линии пересечения плоскостей P и H. PH=PH. Отсюда PHS и, следовательно PHSH, как к одной из прямых в плоскости S.

Однако, если одноименные следы двух плоскостей общего положения взаимно перпендикулярны, то сами плоскости не перпендикулярны между собой, так как при этом не соблюдается условие перпендикулярности плоскостей.