Лекции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Прямая и плоскость в пространстве могут иметь одну собственную или несобственную общую точку или множество общих точек, следовательно, прямая может пересекаться с плоскостью, быть ей параллельна либо совпадать с плоскостью.

6. Параллельность прямой и плоскости.

Из элементарной геометрии известно, что прямая параллельна плоскости, если в плоскости можно провести прямую, параллельную заданной прямой.

(mn)(n) m

Через точку, не принадлежащую плоскости, можно провести бесконечное количество прямых, параллельных плоскости. Для получения единственного решения нужно наложить дополнительное условие, например, построить прямую, параллельную сразу двум плоскостям.

Пример 1: Через точку А провести прямую l, параллельную заданной плоскости .

Рис.1

l2N2M2 l1 M1N1

Пример 2: Через точку А провести прямую, параллельную заданной плоскости и плоскости проекций V.

Рис.2

l2f2 l1f1

7. Пересечение прямой с плоскостью.

Определение точки встречи прямой с плоскостью относится к элементарным задачам начертательной геометрии, но значение этой задачи большое, так как эта задача входит составной частью в решение многих других позиционных и метрических задач.

Метрические задачи - задачи, в которых определяют размеры геометрических элементов и расстояния между ними.

При пересечении прямой с плоскостью для улучшения наглядности чертежа для показа видимых линий применяют сплошные основные линии, для невидимых линий - штриховые. При показе видимости линий на эпюре предполагается, что:

1. Плоскости и поверхности непрозрачные.
2. Наблюдатель всегда находится в первой четверти или первой октанте.
3. Луч зрения от наблюдателя перпендикулярен к той или иной плоскости проекций (по отношению к которой определяется видимость).

Точки, относящиеся к различным геометрическим объектам и лежащие на одном проецирующем луче, называются конкурирующими в видимости по отношению к той плоскости проекций, к которой проецирующий луч перпендикулярен.

Рис.3

Если точка А и точка В лежат на одном проецирующем луче lH, то есть ABlH, то точки А и В называются конкурирующими в видимости по отношению к плоскости H. Причем точка А видимая. Она заслоняет точку В. Точка В невидимая.

Аналогично, СDkV. С - видимая. D - невидимая.

Рис.4

На эпюре из двух конкурирующих точек будет видима та проекция, которая дальше отстоит от плоскости проекций, по отношению к которой они конкурируют.

Рассмотрим общий случай: Плоскость и пересекающая ее прямая произвольно расположены в пространстве.

Для нахождения точки встречи прямой с плоскостью в этом случае нужно:

1. Через прямую m провести вспомогательную плоскость S; mS
2. Построить прямую пересечения l плоскостей и S; l=S.
3. Построить точку пересечения К - точку встречи, как результат пересечения прямых l и m. K=lm.

Рис.5

Рис.6

12V 22 m2 M1H 31m1

При определении видимости на плоскость Н рассматриваем проекции конкурирующих точек на плоскость V, а при определении видимости на плоскость V рассматриваем проекции конкурирующих точек на плоскости Н.

Пример. Определить точку встречи прямой m и плоскости Р, заданной треугольником АВС.

Рис.7

32m2 42[B2C 2] 11[A1C1] 51 m1

Для построения линии пересечения плоских фигур рекомендуется найти точки встречи двух сторон одной плоской фигуры с плоскостью другой фигуры.

Метрические задачи - задачи, в которых определяют размеры геометрических элементов и расстояния между ними.

Построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей, наряду с определением расстояния между двумя точками, являются основными графическими операциями при решении метрических задач.