Лекции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

---

6. Пересечение прямой с поверхностью.

Для нахождения точек встречи прямой с поверхностью любого типа, т.н. точек входа и выхода, поступают точно так же, как и при нахождении точек встречи прямой с плоскостью:

1. Прямую заключают в плоскость-посредник S: mS
2. Определяют линию пересечения l плоскости S с поверхностью : l=S
3. Искомые точки входа и выхода прямой m определяют как результат пересечения ее с линией пересечения l: t_1,2=lm

 

Чтобы получить рациональное решение, следует использовать наиболее простой способ получения линии пересечения l. В качестве линии пересечения стремятся получить либо прямую, либо окружность. Этого можно достичь:

• путем выбора положения вспомогательной секущей плоскости;
• переводом прямой в частное положение.

 

В качестве вспомогательной может быть выбрана как плоскость частного, так и плоскость общего положения.

Пример 1. Дано: Наклонная трехгранная призма, стоящая на плоскости H.

Нужно: Найти точки пересечения ее поверхности c прямой m общего положения.

Рис.1

Пример 2. Дано: Прямой круговой конус.

Нужно: Построить точки пересечения поверхности конуса и прямой m общего положения.

Заключим прямую m в плоскость, проходящую через вершину S конуса. Для этого возмем точку 1 на n (ST)(mT). Через S₂ проводим фронтальную проекцию горизонтали. Находим след прямой n. Через него проводим T_Hh.

Рис.2

VII АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

1. Сущность аксонометрического проецирования. Виды проекций.

Рассмотренные в предыдущих лекциях ортогональные проекции широко применяются в технике при составлении чертежей. Это объясняется простотой построения ортогональных проекций с сохранением на них метрических характеристик оригинала.

С помощью чертежей, построенных в ортогональных проекциях, если их дополнить вспомогательными видами, разрезами и сечениями, можно получить представление о форме изображаемого предмета (как внешнего вида, так и внутреннего строения).

Наряду с отмеченными достоинствами метод ортогонального проецирования имеет существенный недостаток. Для того, чтобы получить представление о пространственном геометрическом образе, заданном его ортогональными проекциями, приходится одновременно рассматривать две, три, а иногда и больше проекций, что значительно затрудняет мысленное воспроизведение геометрической фигуры по ее проекциям.

В ряде случаев необходимо, наряду с чертежом объекта, выполненном в ортогональных проекциях, иметь его наглядное изображение, состоящее только из одной проекции.

Способ проецирования, при котором заданная геометрическая фигура вместе с декартовой системой координат, к которой она отнесена в пространстве, параллельно проецируется на одну плоскость проекций так, что ни одна ось не проецируется в точку (а значит, сам предмет спроецируется в трех измерениях), называется аксонометрическим, а полученное с его помощью изображение - аксонометрической проекцией или аксонометрией. Плоскость, на которую производится проецирование, называется аксонометрической или картинной.

Аксонометрическая проекция называется прямоугольной, если при параллельном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны картинной плоскости (=90) и косоугольной, если лучи составляют с картинной плоскостью угол 0<<90

Возьмем в пространстве координатные оси с единичными отрезками на них и спроецируем на картинную плоскость Q параллельно и в направлении проецирования S (т.е. с заданным углом проецирования ).

Т.к. ни одна из координатных осей не параллельна картинной плоскости, то единичные отрезки на плоскости Q будут меньше единичных отрезков на декартовых осях.

Рис.3

2. Прямоугольные аксонометрические проекции - изометрия и диметрия. Коэффициент искажения (вывод) и углы между осями.

Отношение единичных отрезков на аксонометрических осях к единичным отрезкам на координатных осях называется коэффициентом искажения по аксонометрическим осям.

 

 

Очевидно, принимая различное взаимное расположение декартовой системы координат и картинной плоскости и задавая разные направления проецирования, можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга как направлением аксонометрических осей, так и величиной коэффициента искажения вдоль этих осей.

Справедливость этого утверждения была доказана немецким геометром Карлом Польке. Теорема Польке утверждает:

"Три отрезка произвольной длины, лежащие в одной плоскости и выходящие из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на прямоугольных осях координат от начала."

На основании этой теоремы аксонометрические оси и коэффициенты искажения по ним могут выбираться произвольно. Если коэффициенты искажения приняты различными по всем трем осям, т.е. pqr, то эта аксонометрическая проекция называется триметрической. Если коэффициенты искажения одинаковы по двум осям, т.е. p=rq, - диметрической. Если коэффициенты искажения равны между собой, т.е. p=q=r, - изометрической.

 

Стандартные аксонометрические проекции.

 

В машиностроении наибольшее распространение получили (см. ГОСТ 2317-69):

1. Прямоугольная изометрия: p=r=q, =90.
2. Прямоугольная диметрия: p=r, q=0.5p, =90.
3. Косоугольная фронтальная диметрия: p=r, q=0.5p, <90.

 

 

Прямоугольные аксонометрические проекции.

 

Для получения наглядного изображения необходимо, чтобы картинная плоскость Q не была параллельна ни одной из ортогональных осей проекций, поэтому плоскость Q пересекает ортогональные оси в точках X,Y,Z. Полученный XYZ называется треугольником следов.

[OO₀]Q; [O₀X], [O₀Y], [O₀Z] - отрезки на аксонометрических осях.

Рис.4

₁, ₁ и ₁ - дополнительные углы

По теореме косинусов:

• cos²₁+cos²₁+cos²₁=1 или
• sin²+sin²+sin²=1
• sin²=1-cos²
• 1-cos²+1-cos²+1-cos²=1, т.е.
• cos²+cos²+cos²=2

 

Таким образом, из соотношения 1 видно, что: p²+q²+r²=2

Для прямоугольной аксонометрии сумма квадратов коэффициентов искажения равна 2.

Установим численные значения коэффициентов искажения для прямоугольных изометрии и диметрии.

Для прямоугольной изометрии: p=q=r; 3p²=2; p=q=r==0.82

Для прямоугольной диметрии: p=r; q=0.5p; 2p²+p²/4=2; p==0.94; q=0.47

 

Определение величин углов между осями стандартных аксонометрических проекций.

 

Изометрия:

Рассмотрим XO₀O:

• |O₀O|=|OX|sin=|OZ|sin=|OY|sin; ==

   

• P=|O₀X|/|OX|; p=q=r; |O₀X|=|O₀Y|=|O₀Z|

 

Следовательно, для прямоугольной изометрии треугольник следов равносторонний.

Докажем, что аксонометрические оси являются высотами в треугольнике следов.

Введем плоскость S: ([OO₀]S)(SQ); SH; [KO]=S_H; S_HQ_H; [ZK][XY]

Угол между высотами в равностороннем треугольнике равен 120. Ось z принято располагать вертикально.

Рис.5

Прямоугольная диметрия:

p=r=2q; [XY][YZ], следовательно, треугольник следов равнобедренный.

|OZ|=|OX|=1; |XZ|=1.41; |XM|=0.71; |XO₀|=p=0.94

sin(/2)=0.75; =97 10";

tg 710"=1/8; tg 4125"=7/8

Рис.6

3. Прямоугольная аксонометрическая проекция окружности, лежащей в плоскости проекций (вывод).

Прямоугольной аксонометрической проекцией окружности, лежащей в некоторой плоскости общего положения, составляющей , не равный 0 и 90, с картинной плоскостью Q, будет эллипс.

Большая ось этого эллипса есть проекция того диаметра окружности, который параллелен прямой пересечения плоскости P, в которой лежит окружность, и плоскости Q. Малая ось эллипса расположена перпендикулярно [MN].

[MN]=QP; Б.О.Э.[MN]; М.О.Э.[MN].

В практике построения аксонометрических проекций деталей машин особенно часто встречаются проекции окружности, лежащей в плоскостях проекций H, V, W или им параллельных.

Аксонометрической проекцией окружности является эллипс. Для его построения необходимо найти оси, т.е. найти их размер и направление.

Рис.7

[AB][CD]; SQ; [A0B0]h; [C0D0]h; [A0B0]=d; [C0D0]=dcos

Задача свелась к определению cos через соответствующий коэффициент искажения.

Рассмотрим эту же картинку, заданную двумя пересекающимися прямыми (zz₀)

Рис.8

М.О.Э.=|C0D0|=CDsin0; cos0=r

Правило:
"Окружности, расположенные в плоскостях проекций или им параллельных, проецируются на картинную плоскость в виде эллипса, большая ось которого перпендикулярна к той аксонометрической оси, которая является проекцией ортогональной оси, перпендикулярной плоскости проецируемой окружности, а малая ось эллипса параллельна этой аксонометрической оси."

 

Построение аксонометрических проекций геометрических фигур. Прямоугольная изометрия. Построение аксонометрического куба.

 

Для наглядности при определении направлений осей эллипсов и их размеров впишем окружности в грани куба со стороной |d|, параллельные плоскостям проекций.

Рис.9

Т.к. плоскости проекций H, V и W в прямоугольной изометрии одинаково наклонны к картинной плоскости, коэффициенты искажения по осям одинаковы и эллипсы (аксонометрические проекции окружностей, расположенных в плоскостях проекций и им параллельным) будут конгруэнтны.

p = r = q = 0.82 (1)

Для простоты построений ГОСТ 2317-69 предлагает пользоваться приведенными коэффициентами искажения:

p = r = q = 1 (2)

В этом случае получается не натуральная аксонометрическая проекция, а проекция, увеличенная в 1.22 раза.

В 1 случае Б.О.Э.=d; М.О.Э.=d=0.58d

Во 2 случае Б.О.Э.=1.22d; М.О.Э.=0.58*1.22d=0.7d

М.О.Э. по направлению совпадает со свободной аксонометрической осью, а Б.О.Э. ей перпендикулярна. Следовательно, направление осей эллипсов совпадает с направлением диагоналей граней куба.

Кроме точек на осях, отметим еще 4 точки, принадлежащие эллипсу. Это точки, где вписанная окружность касается ребер куба. Т.к. касание является инвариантом параллельного проецирования, эллипсы будут касаться куба в этих же точках.

Пример. Дано: Шестигранная пустотелая призма.

Нужно: Построить эту призму с разрезом в прямоугольной изометрии, применив приведенный коэффициент искажения.

Для перевода истинного размера в приведенный (увеличенный) пользуются угловым масштабом.

Рис.10

 

Прямоугольная диметрия.

 

В 1 случае p = r = 0.94; q = 0.5p = 0.47

Во 2 случае p = r = 1; q = 0.5 (в соответствии с ГОСТом).

Во втором случае аксонометрическая проекция получается увеличенной по сравнению с натуральной величиной в 1.06 раза.

Тогда:
Для 1 случая Б.О.Э.=d; М.О.Э.=0.33d для плоскостей H и W; М.О.Э.=0.88d для плоскости V.

Для 2 случая Б.О.Э.=1.06d; М.О.Э.=0.35d для плоскостей H и W; М.О.Э.=0.95d для плоскости V.

Рис.11

Т.к. p = r, в плоскостях H и W окружности конгруэнтны.

В прямоугольной диметрии грань, параллельная плоскости V, проецируется в виде ромба; грани, параллельные H и W, - в виде параллелограммов.

4. Косоугольная фронтальная диметрия.

p = r = 1; q = 0.5; =45

Б.О.Э.=1.06d; М.О.Э.=0.35d в плоскостях H и W; в плоскости V - окружность. Эллипсы в плоскостях H и W конгруэнтны.

Наряду с прямоугольными аксонометрическими системами на практике применяют некоторые косоугольные системы. Распространено применение аксонометрических проекций, когда аксонометрическая плоскость параллельна какой-либо ортогональной плоскости проекций. В машиностроительном черчении широкое применение получили косоугольные аксонометрии, полученные путем проецирования деталей на аксонометрическую плоскость, параллельную фронтальной плоскости проекций. Такая аксонометрическая система называется косоугольной фронтальной аксонометрией.

Рис.12

=90; p=r=1.0; q=O0A/OA; O0AO=90, OO0A - прямоугольный.

Если вращать OO₀A вокруг оси OA, то точка O₀ будет перемещаться по дуге окружности радиусом O₀A.

1. При повороте треугольника OO₀A вокруг OA коэффициенты искажения не изменяются, а изменяются величины углов и , следовательно, можно подобрать угол, удобный для проецирования.
   ==135
2. Перемещая положение точки O₀ в направлении O₀y₀, можно добиться того, что коэффициент искажения q будет равен 1.0 или 0.5. При этом изменяется угол , но углы и остаются постоянными.

    

   Таким образом, подобрав удобные углы ==135, и выбрав удобный коэффициент искажения по оси y₀ (1.0 или 0.5), мы получим:

   • косоугольную фронтальную изометрию, если:
     p = q = r = 1.0; ==135; =90.
   • косоугольную фронтальную диметрию, если:
     p = r = 1.0; q = 0.5; ==135; =90; =56

      

     Этот вид аксонометрии часто применяется в машиностроительном черчении. Раньше его называли также кабинетной проекцией.

      

 

 

Построение аксонометрического куба.

 

В косоугольной фронтальной диметрии грань, параллельная плоскости V, проецируется в виде квадрата без искажения. Грани, параллельные плоскостям проекций H и W, проецируются в виде параллелограммов.

Рис.13

p = r = 1.0; q = 0.5; ==135; =90 Б.О.Э.=1.06d; М.О.Э.=0.35d в плоскостях H и W; в плоскости V - окружность. Эллипсы в плоскостях H и W конгруэнтны.

Пример. Дано: Цилиндрическая втулка в ортогональных проекциях.

Нужно: Построить косоугольную фронтальную диметрию втулки, выполнить разрез.

Рис.14

Твитнуть