3. Основная задача управления

1. Формулировка основной задачи управления

При проектировании (синтезе) механической системы, особенно на ранней стадии перед проектировщиком обычно ставится следующая задача.

Задается ряд характеристик системы или критериев J_i i=1:n, например время переходного процесса, перегрузки в различных сечениях аппарата, перерегулирование, точность и т. д. Все эти критерии имеют вполне конкретный физический смысл и каждый из них характеризует одну важную сторону системы, а система в целом описывается всей их совокупностью.

В технических условиях проекта указывается допустимая область изменения каждого критерия, т. е. задаются, например, неравенства вида:

(1)

которым должны удовлетворять система. Если они выполняются, то система приемлема, если же нарушается хотя бы одно неравенство система считается неудовлетворительной. Здесь и рассматривается синтез управления с точки зрения удовлетворения техническим требованиям, задаваемым в виде ограничений типа неравенств на критерии (показатели) системы. Такую задачу, в общем-то, и требуется решить проектировщику.

В дальнейшем для конкретизации будем рассматривать систему (процесс), которую назовем динамической, т. е. математическим описанием ее функционирования являются, например, обыкновенные дифференциальные уравнения, записанные в нормальной форме Коши:

(2)

Здесь: t - независимая переменная (не обязательно время),

- вектор функция фазовых координат системы (вектор - функция состояния),

- вектор - функция обобщенной силы,

- вектор - функция управления,

- вектор управляющих параметров.

Будем считать, что управляющие воздействия принадлежат некоторой выпуклой замкнутой области r - мерного евклидового пространства,
т. е. и что - компоненты вектор - функции, представляющие собой кусочно-непрерывные ограниченные функции с конечным числом точек разрыва 1^го рода. Функции f_i непрерывны и непрерывно - дифференцируемы по совокупности своих аргументов. Требуется найти такие управления , , чтобы решение системы уравнений (2) удовлетворяло заданным неравенствам (1), т. е. требуется синтезировать управление, удовлетворяющее равенствам (2) и неравенствам (1). Такая постановка задачи синтеза управления во многих практических случаях является наиболее приемлемой, т. к. она представляет собой математическую запись постановки физической задачи проектирования системы в ее исходной трактовке. Поэтому эту задачу и можно назвать основной задачей управления, (ОЗУ), [].

Необходимо отметить, что если эта задача имеет решение, то, обычно, оно не единственное, а целое множество, удовлетворяющих требованиям ТУ. Обычно, не единичность решения задачи считается недостатком метода, его отрицательным признаком. Это, по-видимому, идет еще с того времени, когда всегда старались наряду с доказательством существования решения, получить условие единственности решения дифференциальных уравнений. Но здесь, в нашем случае, проектировщика не интересует единственное решение, которое в принципе и не возможно реализовать, т. к. любая модель только приближенно отражает действительное состояние. Здесь проектировщика как раз интересует целое множество решений и целая область управлений, которые удовлетворяют основным требованиям к системе. Всегда существует область допусков, область нечувствительности значений параметров системы, с точки зрения требований предъявляемых к ней. Задача в такой постановке дает такую область решений, которая удовлетворяет заданным требованиям. Проектировщик, имея свободу выбора, представленной основной задачей управления, может практически распорядиться ею, сообразуясь с дополнительными требованиями. Например, имея свободу выбора параметров, т. е. не единственность решения основной задачи управления, можно построить различные экстремальные управления, их расположение в области решения задачи. Если проектировщика будут интересовать такие предельные или крайние случаи, как достижение экстремума некоторого критерия, то методы решения основной задачи управления позволяют проанализировать эти случаи.

2. Типы основной задачи управления

Рассмотрим несколько примеров задач типа основной задачи управления, которые можно сформулировать для динамического процесса (2).

а) Задача попадания траектории процесса в заданную область.

В этом случае критериями будут значения фазовых координат в конце процесса, т. е. , см. рис. 5.

Рис. 5.

Условия попадания траектории в заданную область можно записать в виде:

б) Задача нахождения траектории процесса в фиксированный момент времени t₁, t_к=Tк через заданные области

Критериями процесса в этом случае будут значения фазовых координат в указанные моменты времени, т. е. , см. рис. 6.

Рис. 6.

Условия прохождения траектории через заданные области ('ворота') можно представить в форме:

г) Задача прохождения траектории процесса через 'трубку'

Условия, которые необходимо выполнить в этой задаче запишутся в виде: , см. рис. 7.

Рис. 7

Здесь индекс i меняется дискретно, а индекс t (время) непрерывно. Если выполнение последнего условия в каждый момент времени заменить выполнением его в дискретные моменты времени, то получим конечное число критериев (случай 2). В дальнейшем, для простоты, а вместе с этим не теряя общности подхода, будем рассматривать случай конечного числа критериев и неравенств.

Для геометрической интерпретации задачи допустим, что вектор управляющих переменных u и вектор - функционал J имеет по две компоненты u₁, u₂ и J₁, J₂. Управление принимает свое значение из выпуклой области U и вектор - функционал J из прямоугольной области А, рис. 8. Задавшись возможными uÎ U и используя уравнения процесса, на плоскости (J₁, J₂) получим некоторую область В (т. е. область U при отображении переходит в область В). Пересечение областей А и В представляет область выполнения ограничений на критерии J при допустимых условиях uÎ U. При заданной управлений U реализуется только область значений критерия Au=AÇ B. Отыскивая область U_A, которая согласно управлениям и критериям системы отображается в область Au=AÇ B получим все возможные решения основной задачи управления. Решение основной задачи управления сводится к построению области U_A. Только при управлениях uÎ U_А выполняются неравенства и критерии, т. е. система находится в области Au=AÇ B.

Рис. 8

3. Эквивалентные преобразования задачи и условия существования решения

Вместо функционалов J_i (1) введем безразмерные по формулам:

(3)

Величина характеризует относительное удаление J_i от границы А_i, а - от границы a_i. Сумма и равняется единице т. е.:

(4)

Из выражения (3) следует, что если

, (5)

то (6)

Используя (4) и (5) получим, что если

, (7)

то (8)

и выполняются неравенства (5).

Аналогично из (8) следуют неравенства (5) и (7). Таким образом, неравенства (5), (7), (8) эквивалентны. Равенство (4) можно записать в виде:

(9)

Это равенство определяет расположение функционалов на числовой оси, а именно: при одинаковом управлении функционалы расположены на числовой оси симметрично относительно точки 0.5, см. рис. 9.

Рис. 9.

Если, например, при каком-либо управлении окажется, что =3, то должно быть =-2, или если =0,7, то =0,3.

Отсюда видно, что в каждой паре функционалов при одинаковом управлении всегда один больше другого, кроме единственного случая, когда ==0,5. Ясно, что в этом случае фазовая траектория проходит как раз через середину между верхним и нижним ограничением.

В дальнейшем вместо (5) будем пользоваться неравенствами (8). Но предварительно введем обозначения:



Тогда неравенства (8) запишутся в виде:

(10)

Суть этих преобразований в том, что двухсторонние неравенства (5) заменены односторонними, функционалы безразмерными и предел изменения одинаков и равен единице.

Основная задача управления запишется теперь в виде:

(11)

Решение этой задачи, если оно существует, обычно не единственное. Задача может и не иметь решения. При этом ограничения, наложенные на и противоречивы.

Далее рассмотрим условия существования решения ОЗУ.

Для иллюстрации смысла теоремы существования решения ОЗУ и метода ее решения на основе этой теоремы рассмотрим частный случай задачи, когда система характеризуется только двумя критериями и одним скалярным управляющим параметром u, который удовлетворяет неравенству u_1£ u£ u₂. Зависимости и область изменения u представлены на рис. 6.

Рис. 6.

Критерии не должны превосходить единицы. Область значений, при которых выполняются условия задается неравенствами, рис. 6.:

(12)

Выражение (12) определяет решение ОЗУ, причем все множество решений. Характерным является значение , которое согласно рис. 6 соответствует , но с другой стороны, величина равняется:

(13)

Сначала фиксируем значение u и находим наибольшее из двух величин и . Оно равняется , если , и , если . Далее минимизируем эту величину по u, и найдем при . Если =1, то существует решение ОЗУ, причем единственное, равное . Если <1, то решение ОЗУ существует и оно не однозначное. При >1 решения ОЗУ не существует. В этом случае синтез системы невозможен.

Полученное условие существования решения ОЗУ <1 можно использовать для поиска решения ОЗУ. Например, зададимся каким-либо значением управления u=u⁽¹⁾ из отрезка [u₁, u₂]. Вычисляем и . Если и , то найдено одно решение u=u⁽¹⁾. Если же хотя бы одно из них больше единицы, то u⁽¹⁾ не является решением ОЗУ. Для нахождения следующего приближения определим Г=max[,]. Пусть Г=. Следующее приближение u⁽²⁾=u⁽¹⁾+du⁽¹⁾ определим из условия уменьшения , например, используя метод градиентного спуска, т. е.



Задаваясь малым параметром e, характеризующим шаг приближения, согласно методу градиентного спуска, получим:

.

Теперь вычислим и при управлении и сравниваем с единицей. Если оба меньше единицы, то u⁽²⁾ одно из решений ОЗУ. В противном случае находим max[] и производим следующий шаг градиентного спуска. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получим или же не найдем или не убедимся, что , т. е. решения ОЗУ не существует.

Но если функция имеет несколько максимумов, то метод градиентного спуска, вообще говоря, гарантирует нахождение только относительного минимума. Для утверждения того, что ОЗУ не имеет решения, следует найти абсолютный минимум выражения

Условие

(14)

при выполнении связей (2) является необходимым и достаточным условием существования решения ОЗУ.

Достаточность. Допустим, что существует решение системы (11) удовлетворяющее условию (14). Используя (2) для каждого управления вычислим и найдем

Функционал Г[u] определяется на множестве допустимых управлений и представляет собой на каждом фиксированном управлении наибольшее значение функционалов . Далее решая задачу минимизации функционала Г[u] по управлению u, находим допустимое управление u=u_o, при котором функционал Г[u] принимает наименьшее значение , причем . Тогда существует, по крайней мере, одно управление u_o, при котором все не превосходят единицы. Следовательно, управление u_o дает решение ОЗУ.

Необходимость. Допустим, что условие (14) нарушается, т. е. Г_о>1. Но и совпадает с одним из значений какого либо из функционалов , например .

Это означает, что, по крайней мере, для одного функционала из заданной совокупности условий при управлении u=u_o не выполняется. Тем более оно не выполняется для какого-нибудь функционала при других значениях управления.

Примечание: Если функционалы , кроме индекса s, зависят от непрерывного индекса t, (например, непрерывные моменты времени tÎ [0,T]), т. е. если , то условие (14) запишется в виде:

, где

4. Основная оптимизационная и минимаксная задачи

Наряду с ОЗУ записанной соотношениями (11) рассмотрим минимаксную задачу:

(15)

(16)

где требуется найти такое управление u при заданных связях, которое обеспечивает минимакс выражения , т. е. требуется найти Г_о.

Задачи (11) и (15) разные, и их решения не совпадают. Но, тем не менее, существование решения минимаксной задачи (15), удовлетворяющее условию гарантирует существование решения ОЗУ, а построение решения ее позволяет найти одно из решений ОЗУ.

Управление u=u_o, являющееся решением минимаксной задачи, по сравнению с другими управлениями, гарантирует наибольшее удаление даже наихудшего от границы, равной единице.

Только одно из допустимых решений ОЗУ совпадает с решением минимаксной задачи с условием , но если одна задача имеет решение, то имеет решение другая, и наоборот. Эти задачи эквивалентны в смысле существования их решения, хотя сами решения не полностью совпадают. Отметим, что минимаксная задача является более определеннной и конкретной математической задачей, для нее легче разработать приближенный целенправленный поиск решения.

В дальнешем поиск решения ОЗУ будем связывать с построением решения минимаксной задачи. Но при решении ОЗУ не обязательно находить минимакс функционалов .

Алгоритмы решения ОЗУ можно использовать для решения оптимизационных задач. Например, требуется максимизировать функционал J₁[u] при условиях (17)

Для решения этой задачи возьмем последовательность k основных задач управления, каждая из которых формулируется следующим образом: найти , при котором выполняются условия (15), (17) и

(18)

где: A₁ - заданная постоянная, если J₁ ограничивается сверху, или А=¥ , если J₁ сверху не ограничивается; - заданные постоянные для каждого k.

Величины с ростом номера могут дойти до значения, равного А₁. Следовательно, все . Сначала задаемся достаточно малым значнием , таким, что при условии (18) для k=1 ОЗУ имела решение. Вообще говоря, постановка оптимизационной задачи имеет смысл только в том случае, если ОЗУ имеет решение.

Пусть найдено какое то решение ОЗУ, так что за еестественно принять значение для этой задачи ОЗУ. Увеличим на некоторую величину и обозначим:



Найдем решение ОЗУ при условии (18) для k=2. Далее найдем решение следующей ОЗУ и т. д. При этом последовательно получаем:



Наибольшее значение , при котором еще выполняются условия (15), (17) и будет искомым максимальным значением а₁. Если , то при решение ОЗУ существует, а при - не существует. Этот признак служит условием определения . В частности, может быть . Точность и сложность решения оптимизационной задачи зависит от величины шага . Можно рекомендовать следующие приемы:

1. Решая ОЗУ при , вычисляем J₁ при полученном управлении u₁; его величину принимаем за т. е. =J₁[u₁]. Далее решаем ОЗУ при , находим управление u₂ и вычисляем J₁[u₂]. Полагаем =J₁[u₂]. и т. д., пока не получим =A₁ или не перестанет существовать решение ОЗУ.
2. Интервал (a₁, A₁) разделяем на k равномерных участков и принимаем: Задача решается последовательно для ряда значений , k=1,2:k+1. Первые же значения , при котором ОЗУ не имеет решения, дает решение оптимизационной задачи. Для уточнения значения max a₁ вблизи этого значения интервал следует разбивать на более мелкие участки.
3. Задача ОЗУ решается при
и А₁. Далее эта задача решается последовательно для значений:

, и т. д.

Отметим, что для каждой конкретной оптимизационной задачи построение последовательности ОЗУ может быть специфичным.

Таким образом, оптимизационная задача сводится к построению решения последовательности ОЗУ.

Аналогично рассмотренной максимизации a₁ решается минимизация или максимизация по остальным критериям.

В полное решение ОЗУ следует включить построение всевозможных частных решений, оптимизацию по всем критериям и исследование влияния изменения границ a_s, A_s на ршение ОЗУ. При этом, любая из оптимизационных задач включается как частный случай или частное решение ОЗУ. Исследование влияния изменения границ можно совместить с оптимизационной задачей.

Таким образом, полное решение ОЗУ позволяет получить всесторонее представление о возможности исследуемой системы. Часто при заранее заданных технических условиях задача не имеет решения. Приходится менять граничные значения a_s, A_s в допустимых разумных пределах,
т. е. исследовать здачу на изменение граничных значений.

Ввиду сложности задачи и вычислительной трудности построение полного решения ОЗУ не всегда удается, поэтому часто ограничиваются построением только одного или нескольких решений.

1. Применение метода градиентного спуска к решению ОЗУ

Для приближенного решения оптимизационной задачи часто применяют метод градиентного спуска или различные его модификации [], [] - метод случайного поиска и т. д. Эти методы применимы при решении минимаксной задачи и, следовательно, ОЗУ. Минимаксная задача понимается как минимизация по управлению u функционала

,

который при каждом допустимом управлении совпадает с одним из функционалов или , :, или . Так что при применении метода градиентов спуск осуществляется по градиенту одного из функционалов в каждом шаге, например, по . Но после выполненного шага при новом управлении максимум может достигаться при другом индексе , т. е. другом функционале, например, .

Таким образом, при применении метода градиентов:

1. Задаемся управлением u^(o) нулевого приближения;
2. Вычисляем значения всех функционалов при управлении u^(o); если , то одно из решений ОЗУ найдено, в противном случае продолжаем решение задачи;
3. Находим наибольший из этих функционалов ; пусть это k^-ый функционал, т. е. ;
4. Определяем первую вариацию функционала в точке u=u_o;
5. Задаваясь малым шагом спуска, из условия , определяем поправку на управление u^(o);
6. Находим первое приближение управления ;
7. Вычисляем функционалы ;
8. Проверяем, выполняется ли условие
для всех s=1,2:2n, если выполняется, то это будет одним из решений ОЗУ.

Дальнейший ход вычислений существенно зависит от поставленной цели и сложности задачи. Если не требуется подробного изучения всех возможностей системы или процесс вычисления слишком сложен, то расчет на этом можно прекратить - одно решение ОЗУ найдено. Если целью является подробное изучение всех решений ОЗУ, то процесс вычислений можно продолжить до нахождения минимакса, что гарантирует наибольшее удаление функционала от границы. Если же условие нарушается хотя бы для одного из индексов s=1,2:2n, то процесс решения продолжается, начиная с п. 3 до тех пор, пока не выполняется для всех s=1,2:2n, или не найдем . Если Г_о>1, то решения ОЗУ не существует. В этом случае продолжить поиск решения ОЗУ можно только изменяя те или иные условия исходной задачи. Следует заметить, что градиентный спуск часто осуществляется вблизи множества управлений, удовлетворяющих равенству типа , т. е. вблизи пересечения двух функционалов, вблизи 'оврага'. Если спуск осуществить по одному функционалу в каждом шаге, то это приведет к перескакиванию с одного 'берега' на другой 'берег' 'оврага', с функционала на , и наоборот. Это сильно замедляет ход спуска, иногда почти останавливает. В таких случаях рекомендуется спуск 'по дну оврага', т. е. по множеству или параллельно градиенту этого множества, если удастся его обнаружить. Это значительно ускоряет процесс отыскания решения задачи.

Значение совпадает со значением одного или нескольких функционалов . Пусть , где индекс k и управление u_o доставляет минимакс функционалу. Тогда, учитывая, что:



и полагая или , получим критерий существования решения ОЗУ, т. е. неравенства



определяющие область изменения значений a_k и А_k, при которых ОЗУ имеет решение.

Таков путь решения ОЗУ методом поиска минимакса. Следует отметить, что для нахождения решения ОЗУ нет необходимости определения минимакса, достаточно выполнения неравенства для всех s=1,2:2n. Задача минимакса служит только для построения алгоритма решения ОЗУ, т. е. является вспомогательной задачей.

1. Стохастическая постановка задачи

Рассмотрим процессы, которые описываются системой:

, (19)

Эта система содержит случайный вектор параметров и случайные начальные условия , заданные своими вероятностями и параметрами распределения. Управление - детерминированные кусочно-непрерывные функции или параметры, принимающие свои значения из выпуклой замкнутой или открытой области U. Для каждой реализации параметров, начальных условий и заданного управления система (19) имеет единственное решение. Теперь условия

, (20)

будут выполняться только с некоторой вероятностью:

(21)

где: - вероятность попадания значения функционала J_s в отрезок [a_s, A_s]. Вероятность P_s[u] зависит от выбора управления .

Определение управления из условия, что вероятности P_s[u] не меньше заданных допустимых , т. е.:

(22)

назовем стохастической ОЗУ, (СОЗУ).

Пронормируем вероятности P_s[u] по формуле:

(23)

и условие (22) запишем в виде:

(24)

Теорема. Выполнение условия

(25)

является необходимым и достаточным для существования решения
СОЗУ.

Доказательство этой теоремы для СОЗУ приводить не будем, поскольку оно является повторением аналогичной теоремы для детерминированной ОЗУ.

Допустим, найдено решение минимаксной задачи . При наименьшая вероятность достигает наибольшего значения, т. е. .

Таким образом, Р_о представляет собой наибольшее гарантированное значение вероятности, причем неравенства (20) при управлении будут выполняться с вероятностью, не меньшей, чем Р_о Но при решении СОЗУ достаточно удовлетворения неравенств (22) или, что одно и то же - (24).

Основная трудность решения СОЗУ заключается в вычислении вероятностей (21). Это общая трудность всех динамических стохастических задач.

Для вычисления P_s[u] (21) можно применить метод статистических испытаний. Введем характеристическую функцию:

(26)

Проводя большое число испытаний (расчетов) N, получим соответственные числа , где k - номер испытания. Тогда, приближенно, при достаточно большом N, получим:

(27)

При этом должны быть известны вероятности распределения параметров и начальных условий , которые реализуются методом Монте-Карло. Решая систему (19) при каждой реализации и , вычисляем J_s, s=1:n и значение характеристической функции . После достаточно большого числа испытаний вычисляем (27).

Для заданного управления таким путем вычислим вероятности . По формуле (23) находим . Далее, применяя метод градиентного спуска или какую-нибудь его модификацию, улучшаем управление, как это было изложено для детерминированной задачи. Снова вычисляем при новом управлении, находим и улучшаем управление до тех пор, пока не получим или не убедимся, что , т. е. решение СОЗУ не существует.

Для вычисления вместо формулы (27) можно использовать любой другой метод, например интерполяционный, который сокращает время счета.

ї Самарский государственный аэрокосмический университет, 2000-2002
Воспроизведение материалов только с согласия авторов