1. Краткий обзор методов оптимизации

Как показывает практика. Одним из путей предсказания поведения проектируемых систем является путь создания математических моделей и последующего проведения исследования систем на этих моделях. Построение или проектирование систем, удовлетворяющих заранее заданным свойствам, можно осуществить, когда имеются управляющие переменные, при помощи которых можно влиять на поведение проектируемой системы.

Математическое осмысливание конкретных практических задач проектирования систем или процессов с необходимыми свойствами привело к созданию теории экстремальных задач и методов их решения. Эта теория не является новой для математики. Она изучается и развивается на протяжении вот уже более 200 лет. Ее истоки берут начало со времен Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, когда были получены способы решения классических вариационных задач экстремума функционала при ограничениях типа равенств.

Интенсивное развитие техники и в частности ракетно-космической, а также появление быстродействующих ЭВМ послужило мощным толчком для развития новых идей и методов оптимизации - математического программирования. Начало было положено советским математиком Л. В. Канторовичем в конце 30^х годов - линейное программирование. В послевоенные годы линейное программирование усовершенствуется в США и находит широкое применение для решения широкого круга задач практики [15].

В общем случае задачи математического программирования формулируются следующим образом. Необходимо найти экстремум функции качества

,

где область задается системой из m неравенств произвольного типа:



Необходимо отметить, что регулярных методов решения задач математического программирования не имеется. Все методы являются численными методами решения экстремальных задач.

Одновременно с развитием методов математического программирования успешно развивается теория оптимального управления - теория определения экстремумов функционалов. Решающую роль в развитии этой теории сыграли необходимые условия экстремума функционалов в форме принципа максимума Л. С. Понтрягина и принципа оптимального динамического программирования Р. Беллмана [6].

Главным достоинством этой теории является расширение класса функций, среди которых отыскивается решение оптимизационной задачи (кусочно-непрерывные, ограниченные функции с конечным числом точек разрыва первого рода) и возможность учета различного рода ограничений в виде неравенства на управление и фазовые переменные процесса.

Необходимые условия в форме принципа максимума Л. С. Понтрягина сводят решение задачи оптимизации функционала к решению теоретически известных проблем - максимизации некоторой специальной функции конечного числа переменных - функции Н совместно с решением краевой задачи для систем дифференциальных уравнений, описывающих процесс.

Использование принципа оптимальности динамического проектирования Р. Беллмана связано с отысканием некоторой функции, зависящей от фазовых координат и независимой переменной и удовлетворяющей нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. (уравнение Гамильтона-Беллмана) с одновременной минимизацией по управлению. До настоящего времени не существует общего 'рецепта', позволяющего определять эту функцию в явной аналитической форме, что сдерживает применение метода на практике [6].

Несмотря на универсальность необходимых условий экстремума функционалов в форме принципа максимума Л. С. Понтрягина и принципа Р. Беллмана эти условия не дают универсальных средств эффективного численного решения задач оптимального управления. Поэтому развиваются методы решения задач управления в их исходной постановке, минуя необходимые условия оптимальности. Эти методы получили название прямых методов. Они сводят задачу оптимального управления к задачам математического программирования. Методы основаны на переходе к задачам на экстремум функции нескольких переменных, т. е. к задачам с конечным числом степеней свободы и на дискретизации задачи. В первом случае, независимые переменные, в принципе, остаются непрерывными, но функции отыскиваются в специальном виде, включающем несколько параметров, которые затем подбираются из условия наилучшего приближения решения задачи. Это методы Ритца, Канторовича и др. [], []. Особенность этих методов в том, что они предоставляют обширное поле приложения физической интуиции и аналитического искусства, ибо, если удается правильно предвидеть форму искомого решения (применив при этом лишь небольшое число параметров) и удачно выбрать критерий качества приближения, то методы могут оказаться чрезвычайно эффективными []. Как в случае применения прямых методов решения оптимизационных задач, так и непрямых, окончательное решение отыскивается либо в аналитической (замкнутой) форме, либо в численной.

Аналитические решения могут быть найдены лишь для задач в упрощенной постановке. В задачах, постановка которых приближается к реальной технической ситуации, получение решения в замкнутой форме, как правило, либо невозможно, либо приводит к весьма сложным выражениям, ценность которых невелика [].

Итерационные методы поиска решения более универсальны. Они представляют собой методы последовательного улучшения решения в смысле некоторой меры. Так в задачах приближенного построения оптимального управления такой мерой служит минимизируемый функционал. Чем меньше его значение, тем лучше управление и тем ближе оно к оптимальному. К итерационным (численным) методам относятся методы регулярного (детерминированного) и случайного поиска.

Первая группа методов рассматривает поиск как вполне регулярный процесс сбора и переработки информации. Наиболее распространенными методами являются метод градиентные методы, [].

Для второй группы методов поиск имеет случайный характер. Направление шага, а иногда и величина его определяется случайным образом. Метод является прямым развитием известного метода проб и ошибок, когда решение ищется случайно, и при удаче принимается, а при неудаче отвергается с тем, чтобы немедленно обратится к случайности как источнику возможного. Такое 'случайное' поведение разумно опирается уверенность, что случайность содержит в себе все возможности, в том числе и искомое решение [].

Бесспорно, что знание предельных возможностей проектируемой системы является очень важным. Например, крыло минимального веса, минимальной стоимости, максимальная полезная нагрузка ракеты, максимальная дальность, максимальное время срабатывания системы и т.п. Но это позволяет проектировать только односторонне хорошие системы, оптимальные с точки зрения выбранного критерия.

На практике при проектировании любой технической системы (в том числе и сложных механических систем) обычно добиваются не одной, а нескольких целей. Характеристики системы определяются многими критериями, причем существенными и несравнимыми. Поэтому проектирование системы, определение ее структуры проектных параметров по своей сути является многокритериальной задачей, т. е. задачей, которая решается с учетом всей совокупности критериев системы, характеризующих ее с различных сторон. При решении такой задачи неизбежно столкновение с основной трудностью многокритериальных задач - трудностью 'векторной оптимизации', [].

2. Задача с векторным критерием и способы ее решения

На первых порах многокритериальные задачи считались некорректными. Действительно, решая независимо каждую из n экстремальных задач , мы получим n оптимальных решений

Если окажется, что , то все n локальных решений совпадают, а это и есть решение многокритериальной задачи. Но вероятность такого события очень мала. Обычно , и следовательно, ни одно из локальных решений не может служить решением поставленной задачи. Это обстоятельство и привело к соображению о некорректности. Однако формально некорректность, вообще говоря, снимается если искать не одно состояние , а множество состояний

В пространстве критериев , размерностью n (по числу критериев) и образованного n ортогональными осями, вдоль которых откладываются значения критериев, строится область или множество критериев W, которые являются отображением множества управлений , т. е. каждой точке пространства управления соответствует точка этого множества, (см. рис. 2 для пространства размерности 2).

Множество АВ называется областью компромисса, областью не улучшаемых решений или множеством Парето. Оно обладает тем свойством, что внутри него любой критерий не может быть улучшен без ухудшения хотя бы одного другого. На рисунке множество АВ расположено на границе исходного множества W. С формальной точки зрения, множество Парето W* следует считать решением многокритериальной задачи. Однако это решение, не всегда может удовлетворить проектировщика. Прежде всего, потому, что оно допускает множество решений, а нужно лишь одно. Казалось бы, что это расширяет возможность выбора. Действительно, можно, например, ввести еще один критерий , и решить задачу его минимизации на множестве Парето , и получить - удовлетворяющий уже - критерию. Но это ошибочное заключение, т. к. этот минимум получен ценой значительного уклонения от минимумов исходных критериев, (пусть это будет точка С). Да и физический смысл этого критерия не определен. Можно, для отыскания единственной точки на множестве Парето, поступить следующим образом. Принять в качестве таковой ближайшую к так называемой 'утопической', в смысле некоторой меры, например квадратичной.

, этот случай показан на рис. 3.

Рис. 3.

Для того чтобы иметь некоторую свободу, т. е. иметь какое-то подмножество управлений, а не одну точку в пространстве управления, необходимо сделать определенную уступку и не требовать минимизации критерия. Это значит, что нужно ограничится компромиссным решением, которое допустимо отличается от оптимального . Эта идея положена в основу третьего метода.

По каждому из n-1 первых критериев (исключая последний) назначаются допустимые уступки , которые определяют величину допустимого (с точки зрения задачи) уклонения каждого критерия от оптимального. Здесь также величина уступок определяется экспертным образом.

Очевидно, что каждая уступка определяет некоторое множество , удовлетворяющих неравенству:

На рисунке показаны множества для случая n2

Если подмножества управлений U_i найдены для всех n-1 первых критериев, то остается найти экстремум n^го критерия в области пересечения подмножеств управления:

При n=2 имеем решение двухкритериальной задачи (точка А на рис. 4). При n>2 множество U_n может оказаться пустым (этот случай показан на рисунке). В этом случае выбирают новые уступки и повторяют действия. Уступки нужно делать с конца, т. е. для менее важных критериев.

Здесь также могут возникнуть трудности в назначении и построение областей пересечения множества управлений.

Здесь c_i = const, некоторые весовые коэффициенты учитывающие 'долю' существенности каждого критерия в глобальном.