КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ-УГОЛ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ОБОБЩЕННОМ СЛУЧАЕ ЛАГРАНЖА
2. КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ-УГОЛ
ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В ОБОБЩЕННОМ СЛУЧАЕ ЛАГРАНЖА
2.1. Вычисление переменных действие-угол
При исследовании движения твердого тела методами теории возмущений очень эффективными оказываются переменные действие-угол ,
(
- число степеней свободы), обладающие следующими свойствами: фазовое пространство системы периодично по всем углам с периодом
; все угловые переменные - циклические, т.е. гамильтониан
не зависит от
.
Введем переменные действие-угол ,
(
) в задаче о движении твердого тела под действием бигармонического нутационного момента (1.16). Переменные
и
являются циклическими переменными (в функцию Гамильтона не входят) и для соответствующих им переменных действия имеем
, (2.1)
.
Переменную действия , соответствующую углу нутации, вычислим по формуле
, (2.2)
в которой интеграл берется за полный период изменения угла нутации .
Импульс определим из интеграла энергии (1.29), при этом сделаем замену переменных
, тогда интеграл (2.2) принимает вид
, (2.3)
, (2.4)
где ,
(при плоском вращении: u1=1,
; при плоских колебаниях относительно
: u1=1,
, а относительно
:
,
).
Интеграл (2.3) относится к классу эллиптических интегралов и, следовательно, приводится к сумме элементарных функций и трех нормальных эллиптических интегралов /9/. Результат интегрирования зависит от типа корней полинома четвертой степени . Для реализации реального физического процесса два из четырех корней многочлена (2.4) должны соответствовать предельным значениям угла нутации:
,
и при этом
. Оставшиеся два корня
,
в зависимости от соотношения величин
,
,
,
и
могут быть либо действительными, либо комплексно-сопряженными. Введем следующее правило нумерации этих корней. Действительные корни: при
-
, при
-
. Комплексно-сопряженные корни:
.
Приведение интеграла (2.3) к нормальным эллиптическим интегралам осуществляется посредством преобразования , отображающего интервал интегрирования
в соответствующий интервал действительного аргумента
. Вид преобразования
зависит от типа и сочетания корней, а также от знака старшего коэффициента
полинома
/9/.
Для случая, когда все четыре корня действительные, преобразование при условии принятого выше правила нумерации корней может быть представлено в виде
. (2.5)
В результате преобразования для случая, когда все корни действительные, имеем следующее выражение для переменной действия
(2.6)
,
где
,
,
- полные эллиптические интегралы I, II и III рода;
- модуль эллиптических интегралов,
,
,
,
,
,
,
,
.
Если имеют место два действительных и два комплексных корня (), то, используя преобразование
, (2.7)
где ,
,
, получим следующее выражение для переменной действия
(2.8)
,
где ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Таким образом, в общем пространственном случае движения твердого тела под действием бигармонического момента переменные действия и
совпадают с переменными Эйлера
и
, а переменная действия
зависит от пяти полных эллиптических интегралов (
,
,
,
,
).
,
,
,
,
,
,
.
Таким образом, в общем пространственном случае движения твердого тела под действием бигармонического момента переменные действия и
совпадают с переменными Эйлера
и
, а переменная действия
зависит от пяти полных эллиптических интегралов (
,
,
,
,
).
Определим функцию Гамильтона в переменных действие-угол. Переменная является функцией постоянной энергии
. Для однозначного разрешения уравнения для переменной
относительно постоянной энергии
необходимо, чтобы выполнялось условие
.
Учитывая (2.3), получим
.
Последние два слагаемых равны нулю, поскольку ,
- корни уравнения
, и следовательно
,
а после преобразования
. (2.9)
Для случая различных корней и
,
и
эта производная строго положительна, а значит уравнения (2.6) и (2.8) относительно
однозначно разрешимы.
Следовательно, функция Гамильтона является функцией переменных действия и для нее все обобщенные координаты
(
) - циклические. Уравнения Гамильтона для канонических переменных действие-угол имеют вид
,
, (
).
Отсюда очевидно, что , и поскольку частоты
являются постоянными величинами, то для угловых переменных имеем
. (2.10)
Определим частоты движения твердого тела под действием бигармонического момента. Частота движения по второй координате, учитывая (2.9), определяется следующим образом:
если все корни полинома действительные
, (2.11)
, (2.12)
если два действительных корня и два комплексных корня
, (2.13)
. (2.14)
Определим частоту движения по первой координате . Для этого перепишем (2.3) в виде
, (2.15)
.
Дифференцируя (2.15) по , имеем
.
Отсюда следует, что
, (2.16)
где
. (2.17)
Из уравнения Гамильтона, учитывая соотношения (2.16) и (2.9), преобразуя выражение (2.17) с учетом (2.5) и (2.7), получим, что если все корни полинома действительные, то
, (2.18)
а если имеют место два действительных корня и два комплексных корня, то
, (2.19)
где .
Аналогично определим частоту по третьей координате
,
где
.
В результате, если все корни полинома действительные, то
, (2.20)
а если два действительных корня и два комплексных корня, то
. (2.21)
Заметим, что коэффициенты ,
,
,
, входящие в выражения (2.18)-(2.21), определяются по формулам (2.6) или (2.8) в зависимости от типа корней полинома
.
Таким образом, движение твердого тела под действием бигармонического нутационного момента описано в канонических переменных действие-угол, которые выражены через полные эллиптические интегралы.
2.2. Частные случаи движения твердого тела в обобщенном случае Лагранжа
Невозмущенное движение твердого тела под действием бигармонического момента в переменных Эйлера, как системы с одной степенью свободы с гамильтонианом (1.29), в зависимости от начальных условий и значений величин ,
,
,
может происходить в одной из областей фазовых портретов, показанных на рис. 2-4 для плоского движения и на рис. 5 для пространственного движения и на которых также изображены соответствующие графики потенциальной энергии. Для каждой из этих областей можно определить корни полинома
через коэффициенты
,
,
,
и начальные условия
и упростить в ряде случаев формулы для переменных действие-угол. Рассмотрим эти частные случаи движения тела, соответствующие различным областям фазового портрета системы.
При плоском движении (,
) в зависимости от соотношения величин
и
имеют место три характерных вида фазовых портретов.
1) . Фазовый портрет аналогичен фазовому портрету математического маятника и для случая
изображен на рис. 2 (при
фазовая картина сдвигается по оси
на величину
).
При реализуется вращательное движение тела. В этом случае, при
,
полином
имеет два действительных и два комплексно-сопряженных корня:
,
,
где ,
.
Выражение для переменной действия (2.8) при этом упрощается:
, (2.22)
,
,
,
.
При ,
(все корни полинома действительные, два корня равны между собой, модуль эллиптических интегралов
) имеем
.
При ,
и
,
корни действительные:
,
. (2.23)
Переменная в этом случае вычисляется по формуле (2.6) с учетом равенств (2.23) и того, что коэффициенты
, поскольку
.
Границе перехода вращения в колебания соответствует условие . В этом случае все корни полинома
действительные, два корня равны между собой и, поскольку при этом под знаком радикала в выражении (2.3) остается полином второй степени, то интеграл, взятый вдоль сепаратрисы, выражается через элементарные функции
при
, (2.24)
при
, (2.25)
где .
Колебательному движению относительно (при
) или
(при
) соответствует условие
. В этой области движения переменная
вычисляется по формуле (2.6), а корни определяются следующим образом:
,
при
,
(2.26)
,
при
.
2) ,
. На фазовом портрете появляются дополнительные особые точки типа седло, соответствующие значениям угла нутации
, и имеют место три области движения - вращательная
и две колебательные
и
(рис. 3).
При реализуется вращательное движение тела, которому соответствуют два действительных и два комплексно-сопряженных корня полинома:
,
,
где ,
.
Переменная в этом случае определяется по формуле (2.22).
Границе перехода между областями фазовой плоскости соответствует условие . На границе перехода интеграл, взятый вдоль сепаратрис, имеет вид
, (2.27)
где .
Колебательному движению в области относительно точки
соответствует условие
, а колебаниям в области
относительно точки
соответствует условие
. В этих колебательных областях движения переменная
вычисляется по формуле (2.6). При этом корни определяются следующим образом:
при колебаниях в области относительно точки
,
,
,
,
при колебаниях в области относительно точки
,
,
,
.
3) ,
. Фазовый портрет для случая
изображен на рис. 4 (при
фазовая картина сдвигается по оси
на величину
). Здесь особым точкам типа центр соответствуют значения угла нутации
, а в точках
имеет место особая точка - седло. На фазовом портрете располагаются четыре характерные области движения - вращательная и три колебательные.
При реализуется вращательное движение тела. Переменная
определяется выражением (2.6). При этом корни полинома
определяются по формулам (2.23).
Границе перехода вращения в колебания относительно неустойчивого положения равновесия (при
) или
(при
) соответствует условие
. Интеграл, взятый вдоль сепаратрис, в этом случае определяется выражением (2.24).
При тело совершает колебания относительно неустойчивого положения равновесия
(при
) или
(при
). Переменная действия определяется выражением (2.6). При этом корни определяются по формулам (2.26).
Границе перехода из колебательной области в одну из двух колебательных областей
или
соответствует условие
. Интеграл, взятый вдоль сепаратрисы, имеет вид
, (2.28)
где .
Колебаниям относительно устойчивых положений равновесия соответствует условие
. Переменная действия определяется выражением (2.6). При этом корни определяются по формулам:
,
.
В случае пространственного движения тела с бигармонической моментной характеристикой наличие гироскопического члена в выражении для интеграла энергии (1.29) исключает возможность вращательного движения. В зависимости от типа корней полинома (2.4) переменная действия вычисляется по формулам (2.6) или (2.8). Вторая гармоника в бигармонической моментной характеристике обуславливает возможность появления на фазовом портрете особой точки типа седло. В этом случае имеют место три колебательные области (рис. 5). Качественный анализ уравнения (1.29) показывает, что если внутри интервала для угла нутации () седловая точка отсутствует в плоском случае (
), то она отсутствует и в случае пространственных колебаний независимо от величин
и
. С другой стороны, если при
седловая точка имеет место (случай
,
), то обеспечить ее отсутствие можно только выбором достаточно больших по модулю
и
. В случае, когда седловая точка имеет место, при движении во внешней области A3 (рис. 5) переменная
определяется по формуле (2.8) (два корня полинома
действительные, а два комплексно-сопряженные). При движении в одной из внутренних колебательных областей A1 или A2 переменная действия определяется по формуле (2.6) (все корни действительные).
Границе перехода из внешней колебательной области в одну из внутренних колебательных областей ( на рис. 5) соответствует момент перехода комплексно-сопряженных корней
в действительные
,
. В этом случае полином (2.4) имеет вид
,
и интеграл (2.3) вычисляется через элементарные функции
, (2.29)
,
,
,
.
2.3. Связь канонических переменных действие-угол
с переменными Эйлера в обобщенном случае Лагранжа
Чтобы найти выражение канонических переменных действие-угол через углы Эйлера ,
,
, построим производящую функцию
канонического преобразования. Функция Гамильтона
определяется формулой (1.29), в которую входит только одна нециклическая координата
. Поэтому производящую функцию
можно искать в виде /8/
. (2.30)
Здесь функция вычисляется по формуле
. (2.31)
Угловые переменные определяются по правилам канонического преобразования /8/
(
). (2.32)
Найдем выражение для угловой переменной :
.
Вычисляя частную производную от (2.31) по переменной
, преобразуя полученное выражение к эллиптическому интегралу первого рода и учитывая равенство (2.9), получим:
если все корни полинома действительные, то
, (2.33)
если два корня действительные и два комплексные, то
, (2.34)
где
(2.35)
есть неполный эллиптический интеграл первого рода.
Определим угловую переменную :
.
Вычисляя частные производные от (2.31) по переменным
и
, преобразуя полученные выражения к эллиптическим интегралам первого и третьего рода и учитывая равенства (2.18), (2.19), получим:
если корни полинома действительные, то
, (2.36)
если два корня действительные и два комплексные, то
, (2.37)
где
,
,
- неполный эллиптический интеграл третьего рода.
Определим угловую переменную :
.
Вычисляя частные производные от (2.31) по переменным
и
, преобразуя полученные выражения к эллиптическим интегралам первого и третьего рода и учитывая равенства (2.20), (2.21), получим:
если корни полинома действительные, то
, (2.38)
если два корня действительные и два корня комплексные, то
. (2.39)
Получим выражения для углов Эйлера как функций времени. Обращая эллиптический интеграл (2.35) и учитывая (2.33) и (2.34), получим, что если все корни полинома
действительные, то
, (2.40)
а если имеют место два действительных корня и два комплексных корня, то
. (2.41)
Учитывая выражения для угловой переменной (2.10), для частоты
(2.11) или (2.13) и полагая
, формулы (2.40) и (2.41) запишем соответственно в следующем виде
, (2.42)
, (2.43)
где определяется в зависимости от типа корней полинома
по формулам (2.12) или (2.14).
На основании формул (2.5) и (2.7), учитывая (2.42) и (2.43), запишем решение для угла нутации:
если корни полинома действительные, то
(2.44)
или после преобразований
, (2.45)
если имеют место два действительных корня и два комплексных корня, то
(2.46)
или
. (2.47)
Подставляя из соотношений (2.33) и (2.34) в (2.36)-(2.39), учитывая выражения для угловых переменных (2.10) и для частот (2.11), (2.13), (2.18)-(2.21), полагая, что
, получим выражения для угла прецессии и угла собственного вращения:
если корни полинома действительные, то
, (2.48)
, (2.49)
если два корня действительные и два корня комплексные, то
, (2.50)
.
(2.51)
Заметим, что коэффициенты ,
,
,
,
, входящие в выражения (2.33)-(2.51), определяются по формулам (2.6) или (2.8) в зависимости от типа корней полинома
.
2.4. Канонические переменные действие-угол
при движении тела под действием синусоидального момента
Рассмотрим движение твердого тела под действием нутационного момента, который имеет синусоидальную зависимость от угла нутации
, (2.52)
где - коэффициент, на знак которого никаких ограничений не накладывается и при
имеет место движение тяжелого твердого тела в случае Лагранжа в классической постановке.
Гамильтонова функция (1.29) в рассматриваемом случае равна
. (2.53)
Найдем общее аналитическое выражение для переменной действия , справедливое для всех возможных областей движения. Полином (2.4) в этом случае становится полиномом третьей степени
. (2.54)
Физическое движение реализуется, когда все корни кубического полинома действительные /1/. Нумерацию корней будем проводить следующим образом:
при
(
,
);
при
(
,
).
В случае пространственного движения тела под действием синусоидального момента имеет место только одна колебательная область. Используя преобразование (2.5), интеграл (2.3) можно привести к виду
, (2.55)
где ,
,
,
,
,
,
.
Определим частоты движения твердого тела под действием синусоидального нутационного момента. Учитывая выражение для функции Гамильтона (2.53), проведя вычисления по формулам раздела 2.1, определяющим частоты движения твердого тела, получим
, (2.56)
, (2.57)
, (2.58)
. (2.59)
Рассмотрим частный случай - плоское движение твердого тела под действием синусоидального нутационного момента. Для плоского движения (,
) фазовый портрет изображен для
на рис. 2, а при
фазовая картина сдвигается по оси
на величину
.
Выражение для переменной действия в этом случае имеет вид
. (2.60)
При реализуется вращательное движение тела и в этом случае полином
имеет следующие корни:
,
,
при
;
,
при
. Выражение для переменной действия
при этом упрощается
(2.61)
или
, (2.62)
где .
Границе перехода вращения в колебания соответствует условие . В этом случае интеграл, взятый вдоль сепаратрисы, определяется по формуле
. (2.63)
При плоских колебаниях ():
,
,
при
;
,
,
при
. Переменная действия определяется формулой
. (2.64)
или
, (2.65)
где
или
при
,
при
.
Установим связь канонических переменных действие-угол с переменными Эйлера при движении твердого тела под действием синусоидального нутационного момента. Рассмотрим общий случай движения. Угловые переменные определим по формулам раздела 2.3. После соответствующих вычислений имеем
, (2.66)
, (2.67)
. (2.68)
Получим выражения для углов Эйлера как функций времени. Обращая эллиптический интеграл и учитывая (2.66), получим
. (2.69)
Решение для угла нутации может быть представлено как
(2.70)
или
(2.71)
или
. (2.72)
По формулам раздела 2.3 получим выражения для угла прецессии и угла собственного вращения
, (2.73)
. (2.74)
Следует отметить, что выведенные формулы для углов Эйлера (2.71), (2.73), (2.74) совпадают с аналитическими выражениями /10/, полученными прямым взятием квадратур из выражений, полученных из первых интегралов системы.
Заметили ошибку в тексте? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter