1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

1.1. Динамические и кинематические уравнения Эйлера

Рассмотрим движение свободного твердого тела относительно прямоугольной неподвижной системы координат . Согласно известной теореме Шаля, любое движение твердого тела можно рассматривать как совокупность поступательного движения, определяемого движением произвольной точки тела (полюса), и движением тела вокруг этой точки как неподвижной. Из основных теорем динамики следует, что за полюс удобно взять центр масс, поскольку в этом случае движение определяется наиболее просто. Действительно, согласно теореме о движении центра масс, последний движется как материальная точка, к которой приложены все внешние силы системы, а теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии для движения относительно центра масс (относительно поступательно движущейся прямоугольной системы координат с началом в центре масс - кениговой системы координат ) формулируется точно так же, как и для движения вокруг неподвижной точки.

Пусть - масса тела, - скорость центра масс, - кинетический момент тела в его движении относительно центра масс, и - главный вектор и главный момент внешних сил относительно точки . Тогда из теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении кинетического момента имеем два векторных дифференциальных уравнения

, (1.1)
. (1.2)
Если , , - координаты центра масс тела в неподвижной системе координат , а , , - проекции вектора на оси , , , то уравнение (1.1) запишется в виде трех скалярных уравнений

, , . (1.3)
Кинетический момент тела относительно центра масс, точки , определяется по формуле

, (1.4)
где векторы и обозначают соответственно радиус-вектор и скорость произвольной точки твердого тела с массой ( - вектор мгновенной угловой скорости). Преобразуя правую часть формулы (1.4), можно представить кинетический момент в виде произведения тензора инерции на вектор мгновенной угловой скорости /1/

. (1.5)
Введем прямоугольную систему координат , оси которой жестко свяжем с движущимся телом и расположим по его главным осям инерции для точки . Абсолютная производная связана с локальной производной (вычисляемой в подвижной системе координат ) формулой

. (1.6)
Учитывая формулу (1.6), запишем уравнение (1.2) в виде

. (1.7)
В подвижных осях координат тензор , вектор и вектор можно записать в следующем виде

, (1.8)
,

где постоянные , , - главные моменты инерции тела для центра ;
, , - единичные орты осей , , .

Проектируя теперь уравнение (1.7) на подвижные оси , получим три скалярных уравнения

,

Уравнения (1.9) называются динамическими уравнениями Эйлера.

В общем случае правые части уравнений (1.3) и (1.9) могут зависеть от ориентации твердого тела в пространстве. Ориентация твердого тела в пространстве в каждый момент времени определяется положением подвижной системы координат относительно кениговой системы координат и может быть задана тремя углами Эйлера , , . На рис.1 показан угол прецессии как угол между осью и линией узлов , угол нутации - как угол между осями и , угол собственного вращения - как угол между линией узлов и осью .

Получим выражения проекций мгновенной угловой скорости твердого тела через углы Эйлера и их производные. Введем в дополнение к ортам , , осей , , орт , направленный по оси , и орт , направленный по линии узлов . Спроектируем вектор угловой скорости

(1.10)
на оси и получим следующие соотношения

,

, (1.11)
.

Из ортогональности осей следует, что

, .

Проектируя орт на ось и на плоскость , а затем на оси и , получим

, , . (1.12)
Кроме того, заметим, что

, .

После подстановки найденных выражений в соотношения (1.11) получим следующие кинематические уравнения Эйлера

,

, (1.13)
.

Систему уравнений (1.13) можно разрешить относительно производных углов Эйлера. Умножим первое уравнение на , второе на , сложим их и получим уравнение для угловой скорости прецессии . Уравнение для угловой скорости нутации получим, умножая первое уравнение на , второе на и вычитая второе уравнение из первого. Уравнение для угловой скорости собственного вращения получим из третьего уравнения, учитывая полученное выражение для . Таким образом

,

, (1.14)
.

Уравнения (1.3), (1.9), (1.13) или (1.14) образуют замкнутую систему дифференциальных уравнений, описывающую движение свободного твердого тела.

1.2. Уравнения движения в обобщенном случае Лагранжа

Рассмотрим движение свободного твердого тела, близкого к динамически симметричному, под действием медленно меняющихся во времени внешнего момента , действующего в плоскости угла нутации, и малых возмущающих моментов , направленных соответственно по осям , , (см. рис. 1). В этом случае уравнения движения (1.9) и (1.14) можно записать в виде

,

,

,

, (1.15)
,

,

.

Здесь - вектор медленных переменных (к их числу могут относиться, например, параметры движения центра масс); - отношение осевого и экваториального () моментов инерции тела относительно центра масс; - отношение внешнего момента, действующего в плоскости угла нутации, к экваториальному моменту инерции; - проекции вектора возмущающего момента на главные оси инерции тела, отнесенные к экваториальному моменту инерции; - малый параметр, характеризующий величину возмущений.

Движение твердого тела под действием нутационного момента , который имеет вид нечетного ряда Фурье по углу нутации с медленно меняющимися во времени коэффициентами, и малого возмущающего момента можно определить как движение твердого тела в обобщенном случае Лагранжа.

При и имеет место движение твердого тела в случае Эйлера, а при , и () имеет место движение тяжелого твердого тела в случае Лагранжа в классической постановке /1/.

Для ряда практических задач, например, для задачи о входе неуправляемого твердого тела в атмосферу планеты /6,7/, характерен случай, когда величина нутационного момента определяется бигармонической зависимостью от угла нутации

, (1.16)
где , - медленно меняющиеся коэффициенты, на знаки которых никаких ограничений не накладывается.

1.3. Канонические переменные Эйлера в обобщенном случае Лагранжа

Рассмотрим невозмущенное движение твердого тела (). В этом случае уравнения движения (1.15) примут вид

,

,

,

, (1.17)
,

,

.

Углы Эйлера , , будем рассматривать как обобщенные координаты. Тогда обобщенные импульсы , , определяются соотношениями

, , , (1.18)
где - функция Лагранжа (лагранжиан, кинетический потенциал),
- кинетическая энергия, - потенциал (потенциальная энергия).

Кинетическая энергия, учитывая соотношения (1.8), определяется формулой

. (1.19)
Учитывая, что выражение элементарной работы сил, приложенных к твердому телу, в рассматриваемом случае имеет вид

,

потенциал с точностью до постоянной определяется формулой

. (1.20)
Воспользовавшись выражением для кинетической энергии (1.19) и кинематическими уравнениями Эйлера (1.13), получим следующие соотношения для обобщенных импульсов, учитывая, что потенциал не зависит от , , ,

,

, (1.21)
.

Кроме того, учитывая, что в связанной системе координат

, ,

,

соотношения (1.21) можно записать в виде

, , . (1.22)
Как видно, импульсы , , являются проекциями кинетического момента на соответствующие оси. Поскольку внешний момент действует в плоскости угла нутации, то его проекции на ось симметрии и ось , от которой отсчитывается угол нутации, равны нулю. Тогда согласно теореме об изменении кинетического момента

, . (1.23)
Разрешая уравнения (1.21) относительно проекций угловой скорости , , , выразим их зависимость через обобщенные импульсы , , и углы Эйлера , , ,

,

, (1.24)
.

Данная система эквивалентна системе кинематических уравнений (1.13).

Углы Эйлера и обобщенные импульсы , , представляют систему канонических переменных. В канонических переменных Эйлера движение твердого тела будет описываться системой канонических уравнений

, ,

, , (1.25)
, ,

где - гамильтонова функция.

В рассматриваемой консервативной системе гамильтонова функция постоянна и равна полной механической энергии :

. (1.26)
Учитывая (1.19) и (1.24), запишем выражение для кинетической энергии в канонических переменных

. (1.27)
С учетом выражения для потенциала (1.20) функция Гамильтона имеет вид

(1.28)
или

. (1.29)
Следовательно, в канонических переменных Эйлера невозмущенное движение твердого тела в обобщенном случае Лагранжа определяется системой канонических уравнений (1.25) с функцией Гамильтона (1.29). Поскольку величины и являются постоянными параметрами, то задача о движении твердого тела под действием бигармонического нутационного момента свелась к определению движения консервативной системы с одной степенью свободы. В этом случае функцию Гамильтона можно записать в виде /8/

, (1.30)
где приведенная потенциальная энергия определяется формулой

. (1.31)
Учитывая выражение для функции Гамильтона (1.29), канонические уравнения (1.25) примут вид

, , ,

, (1.32)
, .