УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
1.1. Динамические и кинематические уравнения Эйлера
Рассмотрим движение свободного твердого тела относительно прямоугольной неподвижной системы координат . Согласно известной теореме Шаля, любое движение твердого тела можно рассматривать как совокупность поступательного движения, определяемого движением произвольной точки тела (полюса), и движением тела вокруг этой точки как неподвижной. Из основных теорем динамики следует, что за полюс удобно взять центр масс, поскольку в этом случае движение определяется наиболее просто. Действительно, согласно теореме о движении центра масс, последний движется как материальная точка, к которой приложены все внешние силы системы, а теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии для движения относительно центра масс (относительно поступательно движущейся прямоугольной системы координат с началом в центре масс - кениговой системы координат
) формулируется точно так же, как и для движения вокруг неподвижной точки.
Пусть - масса тела,
- скорость центра масс,
- кинетический момент тела в его движении относительно центра масс,
и
- главный вектор и главный момент внешних сил относительно точки
. Тогда из теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении кинетического момента имеем два векторных дифференциальных уравнения
, (1.1)
. (1.2)
Если ,
,
- координаты центра масс тела в неподвижной системе координат
, а
,
,
- проекции вектора
на оси
,
,
, то уравнение (1.1) запишется в виде трех скалярных уравнений
,
,
. (1.3)
Кинетический момент тела относительно центра масс, точки , определяется по формуле
, (1.4)
где векторы и
обозначают соответственно радиус-вектор и скорость произвольной точки твердого тела с массой
(
- вектор мгновенной угловой скорости). Преобразуя правую часть формулы (1.4), можно представить кинетический момент
в виде произведения тензора инерции
на вектор мгновенной угловой скорости
/1/
. (1.5)
Введем прямоугольную систему координат , оси которой жестко свяжем с движущимся телом и расположим по его главным осям инерции для точки
. Абсолютная производная
связана с локальной производной
(вычисляемой в подвижной системе координат
) формулой
. (1.6)
Учитывая формулу (1.6), запишем уравнение (1.2) в виде
. (1.7)
В подвижных осях координат тензор
, вектор
и вектор
можно записать в следующем виде
![](/images/resources/ump/aslanov-timbaj/1/Image925.gif)
, (1.8)
,
где постоянные ,
,
- главные моменты инерции тела для центра
;
,
,
- единичные орты осей
,
,
.
Проектируя теперь уравнение (1.7) на подвижные оси , получим три скалярных уравнения
,
, (1.9)
.
Уравнения (1.9) называются динамическими уравнениями Эйлера.
В общем случае правые части уравнений (1.3) и (1.9) могут зависеть от ориентации твердого тела в пространстве. Ориентация твердого тела в пространстве в каждый момент времени определяется положением подвижной системы координат относительно кениговой системы координат
и может быть задана тремя углами Эйлера
,
,
. На рис.1 показан угол прецессии
как угол между осью
и линией узлов
, угол нутации
- как угол между осями
и
, угол собственного вращения
- как угол между линией узлов
и осью
.
Получим выражения проекций мгновенной угловой скорости твердого тела через углы Эйлера и их производные. Введем в дополнение к ортам ,
,
осей
,
,
орт
, направленный по оси
, и орт
, направленный по линии узлов
. Спроектируем вектор угловой скорости
(1.10)
на оси и получим следующие соотношения
,
, (1.11)
.
Из ортогональности осей следует, что
,
.
Проектируя орт на ось
и на плоскость
, а затем на оси
и
, получим
,
,
. (1.12)
Кроме того, заметим, что
,
.
После подстановки найденных выражений в соотношения (1.11) получим следующие кинематические уравнения Эйлера
,
, (1.13)
.
Систему уравнений (1.13) можно разрешить относительно производных углов Эйлера. Умножим первое уравнение на , второе на
, сложим их и получим уравнение для угловой скорости прецессии
. Уравнение для угловой скорости нутации
получим, умножая первое уравнение на
, второе на
и вычитая второе уравнение из первого. Уравнение для угловой скорости собственного вращения
получим из третьего уравнения, учитывая полученное выражение для
. Таким образом
,
, (1.14)
.
Уравнения (1.3), (1.9), (1.13) или (1.14) образуют замкнутую систему дифференциальных уравнений, описывающую движение свободного твердого тела.
1.2. Уравнения движения в обобщенном случае Лагранжа
Рассмотрим движение свободного твердого тела, близкого к динамически симметричному, под действием медленно меняющихся во времени внешнего момента , действующего в плоскости угла нутации, и малых возмущающих моментов
, направленных соответственно по осям
,
,
(см. рис. 1). В этом случае уравнения движения (1.9) и (1.14) можно записать в виде
,
,
,
, (1.15)
,
,
.
Здесь - вектор медленных переменных (к их числу могут относиться, например, параметры движения центра масс);
- отношение осевого и экваториального (
) моментов инерции тела относительно центра масс;
- отношение внешнего момента, действующего в плоскости угла нутации, к экваториальному моменту инерции;
- проекции вектора возмущающего момента на главные оси инерции тела, отнесенные к экваториальному моменту инерции;
- малый параметр, характеризующий величину возмущений.
Движение твердого тела под действием нутационного момента , который имеет вид нечетного ряда Фурье по углу нутации с медленно меняющимися во времени коэффициентами, и малого возмущающего момента
можно определить как движение твердого тела в обобщенном случае Лагранжа.
При и
имеет место движение твердого тела в случае Эйлера, а при
,
и
(
) имеет место движение тяжелого твердого тела в случае Лагранжа в классической постановке /1/.
Для ряда практических задач, например, для задачи о входе неуправляемого твердого тела в атмосферу планеты /6,7/, характерен случай, когда величина нутационного момента определяется бигармонической зависимостью от угла нутации
, (1.16)
где ,
- медленно меняющиеся коэффициенты, на знаки которых никаких ограничений не накладывается.
1.3. Канонические переменные Эйлера в обобщенном случае Лагранжа
Рассмотрим невозмущенное движение твердого тела (). В этом случае уравнения движения (1.15) примут вид
,
,
,
, (1.17)
,
,
.
Углы Эйлера ,
,
будем рассматривать как обобщенные координаты. Тогда обобщенные импульсы
,
,
определяются соотношениями
,
,
, (1.18)
где - функция Лагранжа (лагранжиан, кинетический потенциал),
- кинетическая энергия,
- потенциал (потенциальная энергия).
Кинетическая энергия, учитывая соотношения (1.8), определяется формулой
. (1.19)
Учитывая, что выражение элементарной работы сил, приложенных к твердому телу, в рассматриваемом случае имеет вид
,
потенциал с точностью до постоянной определяется формулой
. (1.20)
Воспользовавшись выражением для кинетической энергии (1.19) и кинематическими уравнениями Эйлера (1.13), получим следующие соотношения для обобщенных импульсов, учитывая, что потенциал не зависит от
,
,
,
,
, (1.21)
.
Кроме того, учитывая, что в связанной системе координат
,
,
,
соотношения (1.21) можно записать в виде
,
,
. (1.22)
Как видно, импульсы ,
,
являются проекциями кинетического момента на соответствующие оси. Поскольку внешний момент действует в плоскости угла нутации, то его проекции на ось симметрии
и ось
, от которой отсчитывается угол нутации, равны нулю. Тогда согласно теореме об изменении кинетического момента
,
. (1.23)
Разрешая уравнения (1.21) относительно проекций угловой скорости ,
,
, выразим их зависимость через обобщенные импульсы
,
,
и углы Эйлера
,
,
,
,
, (1.24)
.
Данная система эквивалентна системе кинематических уравнений (1.13).
Углы Эйлера и обобщенные импульсы ,
,
представляют систему канонических переменных. В канонических переменных Эйлера движение твердого тела будет описываться системой канонических уравнений
,
,
,
, (1.25)
,
,
где - гамильтонова функция.
В рассматриваемой консервативной системе гамильтонова функция постоянна и равна полной механической энергии :
. (1.26)
Учитывая (1.19) и (1.24), запишем выражение для кинетической энергии в канонических переменных
. (1.27)
С учетом выражения для потенциала (1.20) функция Гамильтона имеет вид
(1.28)
или
. (1.29)
Следовательно, в канонических переменных Эйлера невозмущенное движение твердого тела в обобщенном случае Лагранжа определяется системой канонических уравнений (1.25) с функцией Гамильтона (1.29). Поскольку величины и
являются постоянными параметрами, то задача о движении твердого тела под действием бигармонического нутационного момента свелась к определению движения консервативной системы с одной степенью свободы. В этом случае функцию Гамильтона можно записать в виде /8/
, (1.30)
где приведенная потенциальная энергия определяется формулой
. (1.31)
Учитывая выражение для функции Гамильтона (1.29), канонические уравнения (1.25) примут вид
,
,
,
, (1.32)
,
.
Заметили ошибку в тексте? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter