К содержанию

ВВЕДЕНИЕ

Цель пособия - ознакомить читателя с решением задачи о движении твердого тела в обобщенном случае Лагранжа.

Под движением твердого тела в обобщенном случае Лагранжа понимается движение твердого тела, близкого к динамически симметричному, относительно центра масс под действием нутационного момента, имеющего вид нечетного ряда Фурье по углу нутации с медленно меняющимися во времени коэффициентами, и малых возмущающих моментов.

При отсутствии возмущений, когда нутационный момент определяется синусоидальной зависимостью от угла нутации, имеет место движение тяжелого твердого тела в случае Лагранжа в классической постановке /1/.

Для ряда практических задач, например, для задачи о входе неуправляемого твердого тела в атмосферу планеты, характерен случай, когда величина нутационного момента определяется бигармонической зависимостью от угла нутации. Именно этому случаю уделяется особое внимание в данном пособии.

При исследовании движения твердого тела методами теории возмущений весьма эффективным оказывается использование переменных действие-угол. Движение твердого тела в случае Эйлера в канонических переменных действие-угол описано в работе Ю.А. Садова /2/ и книге Ю.А. Архангельского /3/. В работе И.М. Аксененковой /4/ и книге В.Г. Демина и Л.И. Конкиной /5/ в переменных действие-угол записаны уравнения движения твердого тела в классическом случае Лагранжа, дана связь канонических переменных действие-угол с переменными Эйлера.

В пособии в переменных действие-угол описывается движение твердого тела под действием бигармонического нутационного момента. Рассмотрены возможные частные случаи движения, соответствующие различным областям фазового портрета системы, в том числе и случай движения тела под действием синусоидального момента как опрокидывающего, так и восстанавливающего (в классическом случае Лагранжа момент опрокидывающий). Дана связь канонических переменных действие-угол с переменными Эйлера.

В пособии исследуются переходные режимы возмущенного движения твердого тела под действием бигармонического нутационного момента, когда коэффициенты момента медленно меняются во времени. В этих случаях качественно изменяется характер движения: вращательное движение может переходить в колебательное, колебательное движение 'скачкообразно' - в колебательное движение с другими амплитудными характеристиками и т. д. Приведена процедура исследования переходных режимов движения тела, когда не проводится интегрирование уравнений движения, а используются только аналитические выражения для переменной действия. Даны формулы для определения времени перехода тела из одного режима движения в другой, а также формулы для определения вероятности попадания тела в тот или иной режим движения.