Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.ssau.ru/files/resources/sotrudniki/prohorov/osn_ortog_func.pdf Дата изменения: Wed Sep 9 12:45:41 2015 Дата индексирования: Mon Apr 11 03:29:59 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: solar eclipse

ОСНОВНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
ЧАСТЬ I. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА


УДК 517.587:519.216

Прохоров С.А., Куликовских И.М. Основные ортогональные функции и их приложения. Часть I. Ортогональные функции экспоненциального типа. Самара: Издательство Самарского научного центра РАН, 2013. 200 с. ISBN 978-5-93424-652-6 В первой части предлагаемой монографии рассматриваются ортогональные функции экспоненциального типа. Структура монографии разработана с учетом дальнейшего приложения к построению математических моделей через разложение в ряды Фурье и охватывает следующие вопросы: аналитические, фазовые, интегральные представления, основные и расширенные свойства во временной и частотной областях, рекуррентные соотношения, соотношения взаимосвязи базисных функций, обобщенные характеристики ортогональных функций.

Печатается по решению издательского совета Самарского научного центра РАН ISBN 978-5-93424-652-6

c Прохоров С.А., 2013 c Куликовских И.М., 2013


Предисловие
Вашему вниманию предлагается первая часть монографии по основным ортогональным функциям и их приложениям. Эта работа по-своему уникальна, потому как ориентирована, в первую очередь, на конкретного читателя - прикладного математика и программиста - для создания адекватных моделей, оптимальных алгоритмов и написания исходного кода с минимальными вычислительными и ресурсными затратами при решении частных задач. Тем не менее математический аппарат, положенный в основу работы, - теория ортогональных многочленов и рядов Фурье - имеет большой теоретический интерес. Поэтому авторы надеются, что данная работа будет интересна более широкой аудитории. Под основными ортогональными функциями экспоненциального типа, отраженными в названии работы, на данном этапе, понимаются классические обобщенные многочлены () (, ) Лагерра Lk ( , ), многочлены Якоби Pk ( , ), заданные на интервале [0, ) с использованием соответствующей замены экспоненциального типа и введением варьируемого параметра масштаба . Математическим аспектам определения функций экспоненциального типа и их свойствам значительно больше внимания уделено в тексте монографии в соответствующих разделах. Главным образом ортогональные функции экспоненциального типа предназначены для приближения функций f ( ), заданной на положительной полуоси [0, ), для которой справедливо ( )2 arg (max(f ( ))) = 0; lim f ( ) 0; f ( ) ч( , )d < .
0

Вопросы, касающиеся построения моделей f ( ) и их разложения в ряды Фурье, а также разработки соответствующих алгоритмов оптимизации при решении задач приближения, будут рассмотрены в последующих главах. Структура предлагаемой части монографии разработана с учетом дальнейшего приложения к построению математических моделей через разложение в ряды Фурье. В целом первая часть работы охватывает следующие вопросы: ћ аналитическое представление во временной области; ћ основные и расширенные свойства во временной области; ћ основные и расширенные соотношения ортогональности во временной области; ћ фазовое представление ортогональных функций; ћ интегральное представление ортогональных функций; ћ аналитическое представление в частотной области;


4

ћ ћ ћ ћ ћ ћ

основные и расширенные свойства в частотной области; основные и расширенные соотношения ортогональности в частотной области; рекуррентные соотношения; соотношения взаимосвязи базисных функций; обобщенные характеристики ортогональных функций; соотношения неопределенности.

Каждый из приведенных разделов содержит следующие этапы: ћ определение; ћ последовательность нумерованных формул: частные случаи 0-5 порядков; графическая интерпретация частных случаев при заданных параметрах. На сегодняшний день насчитывается большое число справочников, посвященных описанию специальных функций и ортогональных многочленов. Среди наиболее распространенных следующие: I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik ?Table of Integrals, Series, and Products? (2007); Y.A. Brychkov ?Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas?(2008); NIST Handbook of mathematical functions (2010); М. Абрамовиц, И. Стиган ?Справочник по специальным функциям?(1979); А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев ?Интегралы и ряды?(т. 2,3) (1983). В свою очередь авторы хотели бы обратить внимание в предлагаемой монографии на класс анализируемых функций и на специфику конечных формул, что несомненно определяет их новизну. Более того, в рамках данной работы введен ряд новых понятий и определений, которые имеют значительный практический интерес и расширяют теорию ортогональных многочленов в целом. На данный момент неоднократно проводилась апробация предлагаемых в монографии формул для построения математических моделей как для создания масштабных проектов - систем ?Data Mining?, где требуется одновременная обработка больших потоков данных, так и для создания актуальных на данном этапе развития информационных технологий - мобильных приложений на базе таких платформ как iOS, Android, и т.д., основными требованиями которых являются сниженные ресурсные затраты, высокая скорость выполнения операций и низкие требования к объему используемой памяти. Структура монографии, способ представления материала, фактический материал и графические интерпретации являются исключительно авторскими. Авторы выражают большую признательность к.ф.-м.н. Л.П. Усольцеву за ценные замечания и внимательное отношение к работе на различных этапах ее формирования.

С.А. Прохоров И.М. Куликовских


Содержание
Предисловие I ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
1.1 1.2 1.3 Аналитические Аналитические Аналитические нальных функций . . . . соотношения для ортогональных функций . . . . . . . . . . соотношения для производных ортогональных функций . . соотношения для неопределенных интегралов от ортого...................................

3 7
10 15 41

1 Аналитические представления во временной области

9

2 Основные и расширенные свойства во временной области

83

3 Основные и расширенные соотношения ортогональности во временной области 85
3.1 3.2 Основные соотношения ортогональности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Расширенные соотношения ортогональности . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 90

4 Фазовые представления ортогональных функций 5 Интегральные представления ортогональных функций 6 Аналитические представления в частотной области
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Преобразование Фурье ортогональных функций . . . Преобразование Фурье ортогональных фильтров . . Преобразование Фурье производных ортогональных Производные преобразований Фурье ортогональных Производные преобразований Фурье ортогональных ...... ...... функций . функций . фильтров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105 111 115
115 123 131 140 150

7 Основные и расширенные свойства в частотной области

163


6

Содержание

8 Основные и расширенные соотношения ортогональности в частотной области 165
8.1 8.2 9.1 9.2 9.3 9.4

Основные соотношения ортогональности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Расширенные соотношения ортогональности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 соотношения для ортогональных функций . . . . . . . . . . 175 соотношения для производных ортогональных функций . . 176 соотношения для неопределенных интегралов от ортогональ-

9 Рекуррентные соотношения
Рекуррентные Рекуррентные Рекуррентные ных функций . . . Рекуррентные

175

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 соотношения для преобразований Фурье . . . . . . . . . . . 179 . . . . . . . . . . . . . 181 и производных ортого. . . . . . . . . . . . . . 182 и неопределенных ин. . . . . . . . . . . . . . 183 . . . . . . . . . . . . . . 183

10 Соотношения взаимосвязи базисных функций

10.1 Соотношения взаимосвязи ортогональных функций 10.2 Соотношения взаимосвязи ортогональных функций нальных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Соотношения взаимосвязи ортогональных функций тегралов от ортогональных функций . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Соотношения взаимосвязи преобразований Фурье . 11.1 11.2 11.3 11.4

181

11 Обобщенные характеристики ортогональных функций

Длительности ортогональных функций во временной области . . . . . . . . Моментные характеристики ортогональных функций во временной области Длительности ортогональных функций в частотной области . . . . . . . . Моментные характеристики ортогональных функций в частотной области

185

186 186 189 190

12 Соотношения неопределенности Список использованных источников

195 195


Часть I

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА



Глава 1

Аналитические представления во временной области
Классические ортогональные многочлены k (x) являются решением дифференциального уравнения [2, 4, 13, 18] ( ) (ax2 + bx + c)k (x) + (dx + e)k (x) - k d + (k - 1)a k (x) = 0 и при заданных параметрах данного уравнения имеем три основных класса многочленов: Якоби, обоб(, ) щенные Лагерра и Эрмита. Остановимся на рассмотрении ортогональных многочленов Якоби Pk (x) () и обобщенных многочленов Лагерра Lk (x) [2, 4, 13, 16, 17, 19]. Если a = -1, b = 0, c = 1, d = - - - 2 и e = - + , и имеем ортогональные многочлены Якоби [13, 16] ( ) k +k (1 + x) +k (-1)k (, ) - - d (1 - x) Pk (x) = (1 - x) (1 + x) k !2k dxk с весовой функцией ч{Pk 1 (, ) Pk (x)P
-1
(, )

Определение.

(x)}

(x) = (1 - x) (1 + x) , удовлетворяющие условию (x)ч
{Pk
(, )

(, ) n

(x)}

(x)dx =

2+ +1 ( + k + 1)( + k + 1) k !( + + 2k + 1)( + + k + 1)
(, ) 2 k

k,n

,

где k,n символ Кроненкера. При k = n последнее соотношение имеет вид P мой ортогональных функций Якоби.

и называется нор-

Если a = 0, b = 1, c = 0, d = -1 и e = + 1,имеем обобщенные ортогональные многочлены Лагерра [13, 16] ( +k -x )k k e () k - x d x Lk (x) = (-1) x e dxk с весовой функцией ч{
L
() k

(x)}


0

(x) = x e-x , удовлетворяющие условию Lk (x)L() (x)ч{ n
() L
() k

(x)}

(x)dx = k !( + k + 1)
() 2

k,n

.

При k = n вышеприведенное соотношение обозначается Lk гональных функций Лагерра.

и называется нормой обобщенных орто-


10

Аналитические представления во временной области

В последующем ортогональные многочлены k (x),заданные на интервале [0, ) с использованием замены экспоненциального типа, определим как ортогональные функции экспоненциального типа k ( , ). Замены переменных аргумента x = f ( , ), позволяющие определить функции Якоби и обобщенные функции Лагерра [3, 9] представлены в таблице ниже. Название многочлена Обобщенные Лагерра Якоби Обозначение k ( , ) Замена аргумента x = f ( , )

Lk ( , ) (, ) Pk ( , )
(1) 4

()

x = x = 1 - 2 exp(-c )

1.1 Аналитические соотношения для ортогональных функций
[1.1]

Lk ( , ) =

k ( ) (k) (- )s exp - . s s! 2 s=0

( ) ( , ) = exp - ( 4 4 - 20 3 3 + 120 2 2 - 240 + 2 + 120)/24; ( ) (1) L5 ( , ) = exp - (720 - 1800 + 1200 2 2 - 300 3 3 + 2 + 30 4 4 - 5 5 )/120. (1) L5 (1) Lk ( , ) (1) L4 L
4

2 2 2 2 2 2 Ч 4 4 - 5 5 )/120. Lk ( , ) ( L1 ( , ) = exp - ( L2 ( , ) = exp - ( L3 ( , ) = exp - ( L4 ( , ) = exp - ( L5 ( , ) = exp -

Частные случаи для ) ( функций 0-5 порядков: L0 ( , ) = exp - ;

L3 L2

(1) (1)

) (1 - ) ( 2 ) (6 - ) ( 4 ) (120

);
2

2

- 4 + 2)/2;
0

L1

(1)

L

(1) 0

18 + 9 2 2 - 3 3 )/6;
4

- 16 3 3 + 72 2 2 - 96 + 24)/24;

-2

- 600 + 600 2 2 - 200 3 3 + 25 Ч

0

1

2

3

4



Рис. 1.2. Вид ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 4, = 1

0,5

L

0

L2

L4
[1.3]

0

Lk ( , ) =

(2)

k ( ) (k + 2) (- )s exp - . k-s s! 2 s=0

-0,5

L
0 1

L
1

3

L5
3 4

2


Частные случаи( для функций 0-5 порядков: ) (2) L0 ( , ) = exp - ;

Рис. 1.1. Вид ортогональных функций Лагерра 0-5 порядков;

=4

[1.2]

(1) Lk

( , ) =

k s=0

(k + 1) (- )s ( ) exp - . k-s s! 2

L L L L

(2) 1 (2) 2 (2) 3 (2) 4

Частные случаи( для функций 0-5 порядков: ) (1) L0 ( , ) = exp - ;

L L L

(1) 1 (1) 2 (1) 3

( ( , ) = exp - ( ( , ) = exp - ( ( , ) = exp -

2 2 2 2

) (2 - ); ) ( 2 2 - 6 + 6)/2; ) (24 - 36 + 12 2 2 - 3 3 )/6;

( ( , ) = exp - ( ( , ) = exp - ( ( , ) = exp - ( ( , ) = exp -

2 2 2 2 2

) (3 - ); ) ( 2 2 - 8 + 12)/2; ) (60 - 60 + 15 2 2 - 3 3 )/6; ) ( 4 4 - 24 3 3 + 180 2 2 - 480 +

( ) (2520 - 4200 + 2100 2 2 - 420 3 3 + ( , ) = exp - 2 + 35 4 4 - 5 5 )/120. L
(2) 5

+ 360)/24;


1.1 Аналитические соотношения для ортогональных функций

11

L

(2) k

( , )
14

L5 L4

(2) (2)

(2) L3

7

L2

(2) (2) (2) 0

L1
0

L

-7 0 1 2 3 4



Рис. 1.3. Вид ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 4, = 2

[1.4]

Lk ( , ) =

()

k ( ) (k + ) (- )s exp - . k-s s! 2 s=0

2 ( ) ( , ) = exp - ( + 1 - ); 2 ( )( ) 1 ( ) L2 ( , ) = exp - 2 2 - 2( + 2) + ( + 1)( + 2) ; 2 2 ( )( 1 ( ) ( + 1)( + 2)( + 3) - 3( + 2) Ч L3 ( , ) = exp - 6 2 ) 22 Ч ( + 3) + 3( + 3) - 3 3 ) ; ( )( 1 ( ) 44 L4 ( , ) = exp - - 4( + 4) 3 3 + 6( + 3) Ч 24 2 Ч ( + 4) 2 2 -) + 2)( + 3)( + 4) + ( + 1)( + 2) Ч 4( Ч ( + 3)( + 4) ; ( )( 1 ( ) L5 ( , ) = exp - ( + 1)( + 2)( + 3)( + 4) Ч 120 2 Ч ( + 5) - 5( + 2)( + 3)( + 4)( + 5) + 10( + 3)( + 4) Ч ) Ч ( + 5) 2 2 - 10( + 4)( + 5) 3 3 + 5( + 5) 4 4 - 5 5 . L
( ) 1

Частные случаи ( для функций 0-5 порядков: ) ( ) L0 ( , ) = exp - ;

L

() k

( , )

Lk ( , )

( )

20

3 2 1

10 0 0 0 0 2 4 1 0 2 3 4 1 2 3 4 4 2 0

а)

б)

Рис. 1.4. Вид ортогональных функций Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) = 4, [0; 5]; б) (0; 5], = 1

P
[1.5]

(-1/2,0) 4

Pk

(-1/2,0)

( , ) =

k s=0

(k)(k + s - 1/2) (-1)s Ч s s - 1/2 ( ) (4s + 1) Ч exp - . 2

Ч P Ч Ч

( ( , ) = exp - 2 exp(-4 ) - 12012 exp(- ( (-1/2,0) ( , ) = exp - 5 2 exp(-4 ) - 45045 exp(- ) exp(-10 ) /256.

35 - 1260 exp(-2 ) + 6930 Ч ) 6 ) + 6435 exp(-8 ) /128; )( 63 - 3465 exp(-2 ) + 15015 Ч 6 ) + 109395 exp(-8 ) - 46189 Ч

)(

Частные случаи для функций 0-5 порядков: ( ) (-1/2,0) ; P0 ( , ) = exp -

( ( , ) = exp - ( (-1/2,0) P2 ( , ) = exp - ) Ч exp(-4 ) /8; ( (-1/2,0) P3 ( , ) = exp - P1
(-1/2,0)

2 ) )( 1 - 3 exp(-2 ) /2; 2 )( 3 - 30 exp(-2 ) + 35 Ч 2

)( 5 - 105 exp(-2 ) + 315 Ч 2 ) Ч exp(-4 ) - 231 exp(-6 ) /16;


12

Аналитические представления во временной области

Pk

(-1/2,0)

( , )
0,5

P

(-1/2,0) 0

P5

(-1/2,0)

P1

(-1/2,0)

0

P4
-0,5

(-1/2,0) (-1/2,0) 3

P2

(-1/2,0)

P

( 3 ) ( ( , ) = exp - 35 - 315 exp(-2 ) + 693 Ч 2 ) Ч exp(-4 ) - 429 exp(-6 ) /16; ( 3 ) ( (1/2,0) P4 ( , ) = exp - 315 - 4620 exp(-2 ) + 18018 Ч 2 ) Ч exp(-4 ) - 25740 exp(-6 ) + 12155 exp(-8 ) /128; ( 3 ) ( (1/2,0) P5 ( , ) = exp - 693 - 15015 exp(-2 ) + 45045 Ч 2 Ч exp(-4 ) - 218790 exp(-6 ) + 230945 exp(-8 ) - 88179 Ч ) Ч exp(-10 ) /256. P3
(1/2,0)

Pk
-1 0 1 2 3 4

(1/2,0)

( , ) P0
(1/2,0)



Рис. 1.5. Вид ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = -1/2, = 0

0,5

P5

(1/2,0) (1/2,0)

P1
0

[1.6]

k (k)(k + s) ( ) Legk ( , ) = (-1)s exp -(2s + 1) . s s s=0

P4
-0,5

(1/2,0)

P2

(1/2,0)

P

(1/2,0) 3

Частные случаи для функций 0-5 порядков:

1 - 20 exp(-2 ) + 90 exp(-4 ) - ) - 140 exp(-6 ) + 70 exp(-8 ) ; ( Leg5 ( , ) = exp(- ) 1 - 30 exp(-2 ) + 210 exp(-4 ) - ) - 560 exp(-6 ) + 630 exp(-8 ) - 252 exp(-10 ) . Legk ( , ) Leg0
0,5

Leg0 ( , ) = exp(- ); ( Leg1 ( , ) = exp(- ) ( Leg2 ( , ) = exp(- ) ( Leg3 ( , ) = exp(- ) ) - 20 exp(-6 ) ; ( Leg4 ( , ) = exp(- )

) 1 - 2 exp(-2 ) ;

-1

0

1

2

3

4



1 - 6 exp(-2 ) + 6 exp(-4 ) ; 1 - 12 exp(-2 ) + 30 exp(-4 ) -

)

Рис. 1.7. Вид ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 1/2, = 0

[1.8]

Pk

(1,0)

( , ) =

k (k)(k + s + 1) (-1)s Ч s s+1 s=0 ( ) Ч exp -(s + 1) .

Leg3 Leg1

Частные случаи для функций 0-5 порядков:

0

Leg5 Leg2 Leg
4

-0,5

( , ) = exp(- ); ( ( , ) = exp(- ) ( (1,0) P2 ( , ) = exp(- ) ( (1,0) P3 ( , ) = exp(- ) ) - 35 exp(-3 ) ; ( (1,0) P4 ( , ) = exp(- ) P0
(1,0) P1

(1,0)

) 2 - 3 exp(- ) ;

) 3 - 12 exp(- ) + 10 exp(-2 ) ; 4 - 30 exp(- ) + 60 exp(-2 ) -

-1

0

1

2

3

4



Рис. 1.6. Вид ортогональных функций Лежандра 0-5 порядков; = 1, c = 2

5 - 60 exp(- ) + 210 exp(-2 ) - ) - 280 exp(-3 ) + 126 exp(-4 ) ; ( (1,0) P5 ( , ) = exp(- ) 6 - 105 exp(- ) + 560 exp(-2 ) - ) - 1260 exp(-3 ) + 1260 exp(-4 ) - 462 exp(-5 ) . Pk
(1,0)

( , ) P0
(1,0)

[1.7]

Pk

(1/2,0)

k (k)(k + s + 1/2) (-1)s Ч ( , ) = s s + 1/ 2 s=0 ( ) (4s + 3) Ч exp - . 2

0,5

P

(1,0) 5 (1,0) P1

0

P
-0,5

(1,0) 4

Частные случаи для функций 0-5 порядков:

P P P

(1/2,0) 0 (1/2,0) 1 (1/2,0) 2

( ( (

Ч exp(-4

( 3 , ) = exp - 2 ( 3 , ) = exp - 2 ( 3 , ) = exp - 2 ) ) /8 ;

)

P2

(1,0)

P

(1,0) 3

;

)( )(

) 3 - 5 exp(-2 ) /2; 15 - 70 exp(-2 ) + 63 Ч

-1

0

1

2

3

4



Рис. 1.8. Вид ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1 , c = 1 , = 1, = 0


1.1 Аналитические соотношения для ортогональных функций

13

[1.9]

Pk

(2,0)

( , ) =

k (k)(k + s + 2) (-1)s Ч s s+2 s=0 ( ) Ч exp -(2s + 3) .

[1.10]

Частные случаи для функций 0-5 порядков:

Pk

(,0)

( , ) =

( , ) = exp(-3 ); ( ) ( , ) = exp(-3 ) 3 - 4 exp(-2 ) ; ( ) (2,0) P2 ( , ) = exp(-3 ) 6 - 20 exp(-2 ) + 15 exp(-4 ) ; ( (2,0) P3 ( , ) = exp(-3 ) 10 - 60 exp(-2 ) + 105 Ч ) Ч exp(-4 ) - 56 exp(-6 ) ; ( (2,0) P4 ( , ) = exp(- ) 15 - 140 exp(-2 ) + 420 Ч ) Ч exp(-4 ) - 504 exp(-6 ) + 210 exp(-8 ) ; ( (2,0) P5 ( , ) = exp(- ) 21 - 280 exp(-2 ) + 1260 Ч P0 P1
(2,0)

(2,0)

k (k)(k + s + ) (-1)s Ч s s+ s=0 ( ) Ч exp -(2s + + 1)c /2 .

Частные случаи для функций 0-5 порядков:

P P P Ч P

( ) ( , ) = exp -( + 1)c /2 ; ( )( ) (,0) ( , ) = exp -( + 1)c /2 + 1 - ( + 2) exp(-c ) ; 1 ( )( (,0) ( , ) = exp -( + 1)c /2 ( + 1)( + 2) - 2( + 2) Ч 2 ) ( + 3) exp(-c ) + ( + 3)( + 4) exp(-2c ) /2; ( )( (,0) ( , ) = exp -( + 1)c /2 ( + 1)( + 2)( + 3) - 3
(,0) 0

Ч exp(-4 ) - 2520 exp(-6 ) + 2310 exp(-8 ) - 792 Ч ) Ч exp(-10 ) . Pk
(2,0)

- 3( + 2)( + 3)( + 4) exp(-c Ч exp(-2c ) - ( + 4)( + 5)( ( (,0) P4 ( , ) = exp -( + 1)c / Ч Ч Ч Ч

) + 3( + 3)( + 4)( + 5) Ч ) + 6) exp(-3c ) /6; )( 2 ( + 1)( + 2)( + 3) Ч

( , ) P
0,5
(2,0) 0 (2,0) P1 (2,0) P3

( + 4) - 4( + 2)( + 3)( + 4)( + 5) exp(-c ) + 6( + 3) Ч ( + 4)( + 5)( + 6) exp(-2c ) - 4( + 4)( + 5)( + 6) Ч ( + 7) exp() 3c ) + ( + 5)( + 6)( + 7)( + 8) Ч - exp(-4c ) /24; ( )( (,0) P5 ( , ) = exp -( + 1)c /2 ( + 1)( + 2)( + 3) Ч ( + 4)( exp(-c exp(-2c exp(-3c exp(-4c exp(-5c + 5) - 5( + 2)( + 3)( + 4)( + 5)( + 6) Ч ) + 10( + 3)( + 4)( + 5)( + 6)( + 7) Ч ) - 10( + 4)( + 5)( + 6)( + 7)( + 8) Ч ) + 5( + 5)( + 6)( + 7)( + 8)( + 9) Ч )) ( + 6)( + 7)( + 8)( + 9)( + 10) Ч - ) /120.

0

P5
-0,5

(2,0)

P

(2,0) 2

P4

(2,0)

Ч Ч Ч Ч Ч Ч

-1

0

1

2

3

4



Рис. 1.9. Вид ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 2, = 0

Pk

(,0)

( , )

Pk

(,0)

( , )

1

1

0, 5 0, 5

0 0 0 0 2 4 1 0 3 2 4 0, 4 0, 8 1, 2 1, 6 4 2 0

а)

б)

Рис. 1.10. Вид ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 1, c = 2, [0; 5], = 0; б) (0; 2], c = 2, = 1, = 0

Частные случаи для функций 0-5 порядков:
[1.11]

Pk

(0,1)

k (k)(k + s + 1) (-1)s Ч ( , ) = s s s=0 ( ) Ч exp -(2s + 1) .

P P

(0,1) 0 (0,1) 1

( , ) = exp(- ); ( , ) = exp(- )(1 - 3 exp(-2 ));


14

Аналитические представления во временной области

P P

(0,1) 2 (0,1) 3

( , ) = exp(- )(1 - 8 exp(-2 ) + 10 exp(-4 )); ( , ) = exp(- )(1 - 15 exp(-2 ) + 45 exp(-4 ) -

- 1200 exp(-6 ) + 1650 exp(-8 ) - 792 exp(-10 ). (0,2) Pk ( , ) P (0,2) 4
10

- 35 exp(-6 )); (0,1) P4 ( , ) = exp(- )(1 - 24 exp(-2 ) + 126 exp(-4 ) - - 224 exp(-6 ) + 126 exp(-8 )); (0,1) P5 ( , ) = exp(- )(1 - 35 exp(-2 ) + 280 exp(-4 ) - - 840 exp(-6 ) + 1050 exp(-8 ) - 462 exp(-10 ). Pk
(0,1)

P2
0

(0,2) (0,2)

P0

P1
-10

(0,2)

( , )

P4

(0,1)

P3 P5

(0,2)

P0
0

(0,1)

P

(0,1) 3

(0,2)

-21 0

1

2

3

4



(0,1) P2 (0,1) P1

Рис. 1.12. Вид ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1 , c = 2 , = 0, = 2

-5 0

P5

(0,1)

1

2

3

4



[1.13]

Pk

(0, )

( , ) =

Рис. 1.11. Вид ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 0, = 1

k (k)(k + s + ) (-1)s Ч s s s=0 ( ) Ч exp -(2s + 1)c /2 .

Частные случаи для функций 0-5 порядков:
[1.12]

(0,2) Pk

k (k)(k + s + 2) (-1)s Ч ( , ) = s s s=0 ( ) Ч exp -(2s + 1) .

Частные случаи для функций 0-5 порядков:

P P P P

(0,2) 0 (0,2) 1 (0,2) 2 (0,2) 3

( , ) = exp(- ); ( , ) = exp(- )(1 - 4 exp(-2 )); ( , ) = exp(- )(1 - 10 exp(-2 ) + 15 exp(-4 )); ( , ) = exp(- )(1 - 18 exp(-2 ) + 63 exp(-4 ) -

( , ) = exp(-c /2); ( ) ( , ) = exp(-c /2) 1 - ( + 2) exp(-c ) ; ( (0, ) P2 ( , ) = exp(-c /2) 1 - 2( + 3) exp(-c ) + ( + 3) Ч ) Ч ( + 4) exp(-2c )/2 ; ( (0, ) P3 ( , ) = exp(-c /2) 1 - 3( + 4) exp(-c ) + 3( + 4) Ч ) Ч ( + 5) exp(-2c )/2 - ( + 4)( + 5)( + 6) exp(-3c )/6 ; ( (0, ) P4 ( , ) = exp(-c /2) 1 - 4( + 5) exp(-c ) + 3( + 5) Ч P0 P1
(0, )

(0, )

- 56 exp(-6 )); (0,2) P4 ( , ) = exp(- )(1 - 28 exp(-2 ) + 168 exp(-4 ) - - 336 exp(-6 ) + 210 exp(-8 )); (0,2) P5 ( , ) = exp(- )(1 - 40 exp(-2 ) + 360 exp(-4 ) -

Ч ( + 6) exp(-2c ) - 2( + 5)( + 6)( + 7) Ч ) Ч exp(-3c )/3 + ( + 5)( + 6)( + 7)( + 8) exp(-4c )/24 ; ( (0, ) P5 ( , ) = exp(-c /2) 1 - 5( + 6) exp(-c ) + 5( + 6) Ч Ч ( + 7) exp(-2c ) - 5( + 6)( + 7)( + 8) exp(-3c )/3 + + 5( + 6)( + 7)( + 8)( + 9) exp(-4c )/24 - ( + 6)( + 7) Ч ) Ч ( + 8)( + 9)( + 10) exp(-5c )/120 .

Pk
(0, ) Pk

(0, )

( , )

( , ) 3

20 2 1 10 0 0 0 0 2 4 1 0 2 3 4 0, 4 0, 8 1, 2 1, 6 4 2 0

а)

б)


1.2 Аналитические соотношения для производных ортогональных функций

15

Рис. 1.13. Вид ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 1, c = 2, [0; 5], = 0; б) (0; 2], c = 2, = 0, = 1

1.2

Аналитические соотношения для производных ортогональных функций
k (k) (- )s-1 Lk ( , ) = - + s (s - 1)! s=1 ) k ( ) 1 (k) (- )s + exp - . 2 s=0 s s! 2

2 L3 ( , 2 2 L4 ( , 2 - 1056 2 L5 ( , 2

( ) 2 33 22 exp - ( - 21 + 114 - 150); 24 2 ( ) 2 ) 44 33 22 = exp - ( - 32 + 312 - 96 2 + 984); ( ) ) 2 55 44 33 =- exp - ( - 45 + 680 - 480 2 ) =-

(

[1.14]

- 4200 + 10200 - 7320). 2 Lk ( , ) 2
15

22

L5 L4 L
3

10 5 0

Частные случаи для 1-ой производной функций 0-5 порядков:

L0 ( , L1 ( , L2 ( , L3 ( , L4 ( , - 384 L5 ( ,

) ) ) ) ) + )

( ) = - exp - ; 2 2 ( ) = exp - ( - 3); 2 2 ( ) 22 = - exp - ( - 8 + 10); 4 2 ( ) 33 22 = exp - ( - 15 + 54 - 42); 12 2 ( ) 44 33 22 =- exp - ( - 24 + 168 - 48 2 216); ( ) 55 44 33 = exp - ( - 35 + 400 - 240 2

L

2

L1 L
0

-5

0

1

2

3

4



Рис. 1.15. Вид 2-ой производной ортогональных функций Лагерра 0-5 порядков; = 1

- 1800 + 3000 - 1320). Lk ( , )
0

22

[1.16]

3 Lk ( , ) = - 3 +

(
3

k (k) (- )s-3 + s (s - 3)! s=3

L1
-2

L

0

L

2

L3
-4

L L

k k 3 (k) (- )s-1 3 (k) (- )s-2 + + 2 s=2 s (s - 2)! 4 s=1 s (s - 1)! ) k ( ) 1 (k) (- )s + exp - . 8 s=0 s s! 2

4

5

-6

0

1

2

3

4


Частные случаи для 3-ой производной функций 0-5 порядков:

Рис. 1.14. Вид 1-ой производной ортогональных функций Лагерра 0-5 порядков; = 1

[1.15]

k (k) (- )s-2 + s (s - 2)! s=2 ) k k ( ) (k) (- )s-1 1 (k) (- )s + + . exp - s (s - 1)! 4 s=0 s s! 2 s=1

2 Lk ( , ) = 2

(

2

Частные случаи для 2-ой производной функций 0-5 порядков:

( 2 2 L0 ( , ) = exp - 2 4 ( 2 2 L1 ( , ) =- exp 2 4 ( 2 L2 ( , ) 2 = exp - 2 8

) ; 2 ) - ( - 5); 2 ) 2 2 ( - 12 + 26); 2

3 L0 ( , 3 3 L1 ( , 3 3 L2 ( , 3 3 L3 ( , 3 3 L4 ( , 3 - 2304 3 L5 ( , 3

) ) ) ) ) + )

( ) 3 exp - ; 8 2 3 ( ) = exp - ( - 7); 8 2 3 ( ) 22 =- exp - ( - 16 + 50); 16 2 ( ) 3 33 22 = exp - ( - 27 + 198 - 378); 48 2 ( ) 3 44 33 22 =- exp - ( - 40 + 504 - 192 2 3096); ( ) 3 55 44 33 = exp - ( - 55 + 1040 - 960 2 =-

- 8280 + 27000 - 27720).

22


16

Аналитические представления во временной области

3 Lk ( , ) 3
0

L

0

L1 L2 L3

-10

L4 L
5

-20

-30

0

1

2

3

4



Рис. 1.16. Вид 3-ой производной ортогональных функций Лагерра 0-5 порядков; = 1

[1.17]

n ( ) (n) n Lk ( , ) = (- )n exp - 2-j Ч n 2 j =0 j s-n+j k (k) (- ) , если s - n + j 0; Ч (s - n + j )! s s=0 0, иначе.

n ( ) (n) n L0 ( , ) -j n 2 = (- ) exp - n 2 j =0 j (- )-n+j , если -n + j 0; Ч ; (-n + j )! 0, иначе. n ( ) (n) n L1 ( , ) n -j = (- ) exp - 2 n 2 j =0 j (- )-n+j , если -n + j 0; Ч + (-n + j )! 0, иначе (- )1-n+j , если 1 - n + j 0; + ; (1 - n + j )! 0, иначе n ( ) (n) n L2 ( , ) n -j = (- ) exp - 2 n 2 j =0 j (- )-n+j , если -n + j 0; Ч + (-n + j )! 0, иначе 2(- )1-n+j , если 1 - n + j 0; + + (1 - n + j )! 0, иначе (- )2-n+j , если 2 - n + j 0; + ; (2 - n + j )! 0, иначе n ( ) (n) n L3 ( , ) n -j = (- ) exp - 2 n 2 j =0 j (- )-n+j , если -n + j 0; + Ч (-n + j )! 0, иначе 3(- )1-n+j , если 1 - n + j 0; + + (1 - n + j )! 0, иначе

Частные случаи для n-ой производной функций 0-5 порядков:

Ч

Ч

Ч

3(- )2-n+j , если 2 - n + j 0; + + (2 - n + j )! 0, иначе (- )3-n+j , если 3 - n + j 0; + ; (3 - n + j )! 0, иначе n ( ) (n) n L4 ( , ) n -j = (- ) exp - 2 Ч n 2 j =0 j (- )-n+j , если -n + j 0; Ч + (-n + j )! 0, иначе 4(- )1-n+j , если 1 - n + j 0; + + (1 - n + j )! 0, иначе 6(- )2-n+j , если 2 - n + j 0; + + (2 - n + j )! 0, иначе 4(- )3-n+j , если 3 - n + j 0; + + (3 - n + j )! 0, иначе (- )4-n+j , если 4 - n + j 0; + ; (4 - n + j )! 0, иначе n ( ) (n) n L5 ( , ) n -j = (- ) exp - 2 Ч n 2 j =0 j (- )-n+j , если -n + j 0; + Ч (-n + j )! 0, иначе 5(- )1-n+j , если 1 - n + j 0; + + (1 - n + j )! 0, иначе 10(- )2-n+j , если 2 - n + j 0; + + (2 - n + j )! 0, иначе 10(- )3-n+j , если 3 - n + j 0; + + (3 - n + j )! 0, иначе 5(- )4-n+j , если 4 - n + j 0; + + (4 - n + j )! 0, иначе (- )5-n+j , если 5 - n + j 0; + . (5 - n + j )! 0, иначе

Ч


1.2 Аналитические соотношения для производных ортогональных функций

17

n Lk ( , ) n
[1.19]

2 Lk ( , ) +
k s=1 2

(1)

( =
2

k (k + 1) (- )s-2 + k - s (s - 2)! s=2

2

(k + 1) (- )s-1 + k - s (s - 1)! +
k 1 (k + 1) (- )s 4 s=0 k - s s!

0

)

( ) exp - . 2

-2 n 0 2 4 1 0 2 4 3

Частные случаи для 2-ой производной функций 0-5 порядков:

2L 2L 2L 2L L
2

(1) 0

( , )
2


(1) 1

( ,
2


(1) 2

( ,
2

Рис. 1.17. Вид n-ой производной ортогональных функций Лагерра 2-ого порядка; n = 0..5, = 1


(1) 3

( ,
2


(1) k k (k + 1) (- )s-1 + k - s (s - 1)! s=1 ) k ( ) (k + 1) (- )s exp - . k-s s! 2 s=0

[1.18]

L

( , )

(



=- 1 2

( , 2 - 1680 + (1) 2 L5 ( , 2
22

(1) 4

( ) 2 exp - ; 4 2 ( ) ) 2 =- exp - ( - 6); 4 2 2 ( ) ) 22 = exp - ( - 14 + 38); 8 2 ( ) ) 2 33 22 =- exp - ( - 24 + 156 - 264); 24 2 ( ) ) 2 44 33 22 = exp - ( - 36 + 408 - 96 2 2040); ( ) 2 ) 55 44 33 =- exp - ( - 50 + 860 - 480 2 =

+

- 6240 + 18600 - 17520). (1) 2 Lk ( , )
2

( ) ( , ) = - exp - ; 2 2 (1) ( ) L1 ( , ) = exp - ( - 4); 2 2 (1) ( ) L2 ( , ) 22 = - exp - ( - 10 + 18); 4 2 (1) ( ) L3 ( , ) 33 22 = exp - ( - 18 + 84 - 96); 12 2 (1) ( ) L4 ( , ) 44 33 22 =- exp - ( - 28 + 240 - 48 2 - 720 + 600); (1) ( ) L5 ( , ) 55 44 33 = exp - ( - 40 + 540 - 240 2 L
(1) 0

Частные случаи для 1-ой производной функций 0-5 порядков:

60 40
(1) 5

L
20 0

(1) 4 (1)

L

L3
(1)

L1
-20 0

L0
1

(1)

L
2

(1) 2

3

4



Рис. 1.19. Вид 2-ой производной ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 1, = 1

- 3000 + 6600 - 4320). (1) Lk ( , )
0 -5 -10 -15
(1) 1 (1) L2 (1) 3 (1) L0
[1.20]

22

3 Lk ( , ) + 3 2
k s=2 3

(1)

( = -
3

k (k + 1) (- )s-3 + k - s (s - 3)! s=3

L

L

(1) L4

k (k + 1) (- )s-2 3 (k + + k - s (s - 2)! 4 s=1 k - ) k 1 (k + 1) (- )s + 8 s=0 k - s s!

1) (- )s-1 + s (s - 1)! ( ) . exp - 2

Частные случаи для 3-ой производной функций 0-5 порядков:

L
-20 0

(1) 5

1

2

3

4



Рис. 1.18. Вид 1-ой производной ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 1, = 1

( 3 exp - 8 2 (1) ( ) 3 L1 ( , ) 3 = exp - 3 8 2 (1) ( 3 3 L2 ( , ) =- exp - 3 16 2 3L
(1) 0

( , )
3



=-

)

;

( - 8); ) 22 ( - 18 + 66);


18

Аналитические представления во временной области

( ) 3 33 22 exp - ( - 30 + 252 - 576); 48 2 (1) ( ) 3 L4 ( , ) 3 44 33 22 =- exp - ( - 44 + 624 - 3 192 2 - 3312 + 5400); (1) ( ) 3 L5 ( , ) 3 55 44 33 = exp - ( - 60 + 1260 - 3 960 2 3L
(1) 3

( , )
3

=

- 11400 + 43560 - 54720). (1) 3 Lk ( , )
3

22

0

L1

(1)

L

(1) 0

L
-20

(1) 2

L

(1) 3

(1) L4

n L3 ( , ) = ( - n 4(- )-n+j , Ч (-n + j )! 0, 6(- )1-n+j , + (1 - n + j )! 0, 4(- )2-n+j , + (2 - n + j )! 0, (- )3-n+j , + (3 - n + j )! 0, n L4 ( , ) = ( - n 5(- )-n+j , Ч (-n + j )! 0, 10(- )1-n+j , + (1 - n + j )! 0, 10(- )2-n+j , + (2 - n + j )! 0, 5(- )3-n+j , + (3 - n + j )! 0, (- )4-n+j , + (4 - n + j )! 0, n L5 ( , ) = ( - n 6(- )-n+j , Ч (-n + j )! 0, 15(- )1-n+j , + (1 - n + j )! 0, 20(- )2-n+j , + (2 - n + j )! 0, 15(- )3-n+j , + (3 - n + j )! 0, 6(- )4-n+j , + (4 - n + j )! 0, (- )5-n+j , + (5 - n + j )! 0,
(1) (1)

(1)

n ( ) (n) n ) exp - 2 2 j =0 j

-j

Ч

если -n + j 0; иначе

+

если 1 - n + j 0; иначе если 2 - n + j 0; иначе

+

+



если 3 - n + j 0; ; иначе
n ( ) (n) n ) exp - 2 2 j =0 j -j

Ч

-40

-60 0

L5

(1)

если -n + j 0; иначе

+

1

2

3

4



Рис. 1.20. Вид 3-ой производной ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 1, = 1

если 1 - n + j 0; иначе если 2 - n + j 0; иначе если 3 - n + j 0; иначе

+

+

[1.21]

n ( ) = (- )n exp - n 2 j =0 s-n+j k (k + 1) (- ) , если s Ч (s - n + j )! k-s s=0 0, иначе.

n Lk ( , )

(1)

(n) 2-j Ч j - n + j 0;

+



если 4 - n + j 0; ; иначе
n ( ) (n) n 2 ) exp - 2 j =0 j -j

(1) n ( ) (n) n L0 ( , ) n -j = (- ) exp - 2 Ч n 2 j =0 j (- )-n+j , если -n + j 0; ; Ч (-n + j )! 0, иначе. (1) n ( ) (n) n L1 ( , ) -j n 2 Ч = (- ) exp - n 2 j =0 j 2(- )-n+j , если -n + j 0; Ч + (-n + j )! 0, иначе (- )1-n+j , если 1 - n + j 0; + ; (1 - n + j )! 0, иначе (1) n ( ) (n) n L2 ( , ) n -j = (- ) exp - 2 Ч n 2 j =0 j 3(- )-n+j , если -n + j 0; + Ч (-n + j )! 0, иначе 3(- )1-n+j , если 1 - n + j 0; + + (1 - n + j )! 0, иначе (- )2-n+j , если 2 - n + j 0; + ; (2 - n + j )! 0, иначе

Частные случаи для n-ой производной функций 0-5 порядков:

Ч

если -n + j 0; иначе

+

если 1 - n + j 0; иначе если 2 - n + j 0; иначе если 3 - n + j 0; иначе если 4 - n + j 0; иначе

+

+

+

+



если 5 - n + j 0; . иначе


1.2 Аналитические соотношения для производных ортогональных функций

19

nL



(1) k ( n

, )

[1.23]

2 Lk ( , ) +
2

(2)

( =
2

4 2 0 -2 -4 0 2 4 0
Рис. 1.21. Вид n-ой производной ортогональных функций Сонина-Лагерра 2-ого порядка; n = 0..5, = 1, = 1

k (k + 2) (- )s-2 + k - s (s - 2)! s=2

k (k + 2) (- )s-1 + k - s (s - 1)! s=1 k 1 (k + 2) (- )s + 4 s=0 k - s s!

)

( ) exp - . 2

n 4 3 2 1

Частные случаи для 2-ой производной функций 0-5 порядков:

2L 2L 2L 2L 2L

(2) 0

( , )
2


(2) 1

( ,
2


(2) 2

( ,
2


(2) 3

( ,
2


(2) 4

( ,

[1.22]

L

(2) k

( , )



=- 1 2

+

(k + 2) (- )s-1 + k - s (s - 1)! s=1 ) k ( ) (k + 2) (- )s exp - . k-s s! 2 s=0
k

(

2 - 2496 + (2) 2 L5 ( , 2
22 (2)

( ) 2 exp - ; 4 2 ( ) ) 2 =- exp - ( - 7); 4 2 2 ( ) ) 22 = exp - ( - 16 + 52); 8 2 ( ) ) 2 33 22 =- exp - ( - 27 + 204 - 420); 24 2 ( ) ) 2 44 33 22 = exp - ( - 40 + 516 - 96 2 3720); ( ) 2 ) 55 44 33 =- exp - ( - 55 + 1060 - 480 2 =

- 8820 + 31080 - 36120). 2 Lk ( , )
2

( ) ( , ) = - exp - ; 2 2 (2) ( ) L1 ( , ) = exp - ( - 5); 2 2 (2) ( ) L2 ( , ) 22 = - exp - ( - 12 + 28); 4 2 (2) ( ) L3 ( , ) 33 22 = exp - ( - 21 + 120 - 180); 12 2 (2) ( ) L4 ( , ) 44 33 22 =- exp - ( - 32 + 324 - 48 2 - 1200 + 1320); (2) ( ) L5 ( , ) 55 44 33 = exp - ( - 45 + 700 - 240 2 L
(2) 0

Частные случаи для 1-ой производной функций 0-5 порядков:

60 40 20 0

L5

(2)

L4 L

(2)

(2) 3

L2 L1
-20 0
(2)

(2)

L0
1

(2)

2

3

4



Рис. 1.23. Вид 2-ой производной ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 1, = 2

- 4620 + 12600 - 10920). L
(2) k

22

( , )

L

(2) (2) 1L 0

[1.24]

3 Lk ( , ) + 3 2
k s=2 3

(2)

( = -
3


(2) 2 (2) 3

k (k + 2) (- )s-3 + k - s (s - 3)! s=3

L

-20

L L L
(2) 4

-40

(2) 5

k (k + 2) (- )s-2 3 (k + 2) (- )s-1 + + k - s (s - 2)! 4 s=1 k - s (s - 1)! ) k ( ) 1 (k + 2) (- )s + . exp - 8 s=0 k - s s! 2

Частные случаи для 3-ой производной функций 0-5 порядков:

-60 0

1

2

3

4



Рис. 1.22. Вид 1-ой производной ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 1, = 2

( 3 exp - 8 2 (2) ( ) 3 L1 ( , ) 3 = exp - 3 8 2 (2) ( 3 3 L2 ( , ) =- exp - 3 16 2 3L
(2) 0

( , )
3



=-

)

;

( - 9); ) 22 ( - 20 + 84);


20

Аналитические представления во временной области

( ) 3 33 22 exp - ( - 33 + 312 - 828); 48 2 (2) ( ) 3 L4 ( , ) 3 44 33 22 =- exp - ( - 48 + 756 - 3 192 2 - 4560 + 8712); (2) ( ) 3 L5 ( , ) 3 55 44 33 = exp - ( - 65 + 1500 - 3 960 2 3L
(2) 3

( , )
3

=

- 15180 + 66360 - 98280). (2) 3 Lk ( , ) (2) L2 3 (2) (2) L1 L0
0

22

L
-50

L4

(2)

(2) 3

n L3 ( , ) = ( - n 10(- )-n+j Ч (-n + j )! 0, 10(- )1-n+j , + (1 - n + j )! 0, 5(- )2-n+j , + (2 - n + j )! 0, (- )3-n+j , + (3 - n + j )! 0, n L4 ( , ) = ( - n 15(- )-n+j Ч (-n + j )! 0, 20(- )1-n+j , + (1 - n + j )! 0, 15(- )2-n+j , + (2 - n + j )! 0, 6(- )3-n+j , + (3 - n + j )! 0, (- )4-n+j , + (4 - n + j )! 0, n L5 ( , ) = ( - n 21(- )-n+j Ч (-n + j )! 0, 35(- )1-n+j , + (1 - n + j )! 0, 35(- )2-n+j , + (2 - n + j )! 0, 21(- )3-n+j , + (3 - n + j )! 0, 7(- )4-n+j , + (4 - n + j )! 0, (- )5-n+j , + (5 - n + j )! 0,
(2) (2)

(2)

n ( ) (n) n ) exp - 2 2 j =0 j

-j

Ч

,

если -n + j 0; иначе

+

если 1 - n + j 0; иначе если 2 - n + j 0; иначе

+

+



если 3 - n + j 0; ; иначе
n ( ) (n) n ) exp - 2 2 j =0 j -j

-100

L

(2) 5

Ч

,

если -n + j 0; иначе

+

-150 0

1

2

3

4



Рис. 1.24. Вид 3-ой производной ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 1, = 2

если 1 - n + j 0; иначе если 2 - n + j 0; иначе если 3 - n + j 0; иначе

+

+

[1.25]

n ( ) = (- )n exp - n 2 j =0 s-n+j k (k + 2) (- ) , если s Ч (s - n + j )! k-s s=0 0, иначе.

n Lk ( , )

(2)

(n) 2-j Ч j - n + j 0;

+



если 4 - n + j 0; ; иначе
n ( ) (n) n 2 ) exp - 2 j =0 j -j

(2) n ( ) (n) n L0 ( , ) n -j = (- ) exp - 2 Ч n 2 j =0 j (- )-n+j , если -n + j 0; ; Ч (-n + j )! 0, иначе. (2) n ( ) (n) n L1 ( , ) -j n 2 Ч = (- ) exp - n 2 j =0 j 3(- )-n+j , если -n + j 0; Ч + (-n + j )! 0, иначе (- )1-n+j , если 1 - n + j 0; + ; (1 - n + j )! 0, иначе (2) n ( ) (n) n L2 ( , ) n -j = (- ) exp - 2 Ч n 2 j =0 j 6(- )-n+j , если -n + j 0; + Ч (-n + j )! 0, иначе 4(- )1-n+j , если 1 - n + j 0; + + (1 - n + j )! 0, иначе (- )2-n+j , если 2 - n + j 0; + ; (2 - n + j )! 0, иначе

Частные случаи для n-ой производной функций 0-5 порядков:

Ч

,

если -n + j 0; иначе

+

если 1 - n + j 0; иначе если 2 - n + j 0; иначе если 3 - n + j 0; иначе если 4 - n + j 0; иначе

+

+

+

+



если 5 - n + j 0; . иначе


1.2 Аналитические соотношения для производных ортогональных функций

21

nL

(2) k ( n

, )
[1.26]

Lk ( , )

()

5

k (k + ) (- )s-1 + k - s (s - 1)! s=1 ) k ( ) 1 (k + ) (- )s + exp - . 2 s=0 k - s s! 2

(

= -

0

-5 0 2 4 0 1 2 4 3

n

Рис. 1.25. Вид n-ой производной ортогональных функций Сонина-Лагерра 2-ого порядка; n = 0..5, = 1, = 2

( ) ( , ) = - exp - ; 2 2 ( ) ( ) L1 ( , ) = exp - ( - - 3); 2 2 ( ) ( )( ) L2 ( , ) 22 2 = - exp - - 2( + 4) + + 10 ; 4 2 ( ) ( )( L3 ( , ) 33 22 2 = exp - - 3( + 5) + 3( + 12 2 ) 3 2 + 9 + 18) - - 12 - 41 - 42 ; ( ) ( )( L4 ( , ) 44 33 =- exp - - 4( + 6) + 48 2 L
( ) 0 2 22 3 2 4

Частные случаи для 1-ой производной функций 0-5 порядков:

+ 6( + 11 + 28) - 4( + 15 + 68 + 96) + + 18 + ) 2 107 + 258 + 216 ; ( ) ( )( L5 ( , ) 55 44 - 5( + 7) + = exp - 240 2 + 10( + 13 + 40) - 10( + 18 + 101 + 180) + 4 3 2 5 4 3 5( + 22 + 167 + 530 + 600) - - 25 - 225 - ) 2 935 - 1814 - 1320 .
2 33 3 2 22

3

L

( ) k

( , )

L

() k

( , )

0



0

-5 -10

-10

-20 0 0 1 2 3 4 4 2

-15 0 2 4 1 0 2 4 3



а)

б)

Рис. 1.26. Вид 1-ой производной ортогональных функций Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) = 1, [0; 5]; б) (0; 5], = 1

[1.27]

2 Lk ( , ) +
2

()

( =
2

Частные случаи для 2-ой производной функций 0-5 порядков:
k (k + ) (- )s-2 + k - s (s - 2)! s=2

2L

() 0

( , )
2



=

( ) 2 exp - ; 4 2

k (k + ) (- )s-1 + k - s (s - 1)! s=1 k 1 (k + ) (- ) + 4 s=0 k - s s! s

)

( ) . exp - 2


22

Аналитические представления во временной области

( )( ) 2 exp - - - 5 ; 4 2 () ( )( 2 L2 ( , ) 2 22 2 = exp - - 2( + 6) + + 11 + 2 8 2 ) + 26 ; () ( )( 2 L3 ( , ) 2 33 22 2 =- exp - - 3( + 7) + 3( + 2 24 2 ) 3 2 + 13 + 38) - - 18 - 95 - 150 ; 2L
() 1

( , )

2

=-

( ) ( )( 2 L4 ( , ) 2 44 33 2 = exp - - 4( + 8) + 6( + 2 96 2

+ 15 + 52) - 4( + 21 + 134 + 264) + + 26 + ) 2 + 227 + 802 + 984 ; ( ) ( )( 2 L5 ( , ) 2 55 44 =- exp - - 5( + 9) + 10 Ч 2 480 2 Ч ( + 17 + 63) - 10( + 24 + 179 + 420) + 4 3 2 5 4 + 5( + 30 + 311 + 1338 + 2040) - - 35 - ) 3 2 - 445 - 1555 - 7114 - 7320 .
2 33 3 2 22

22

3

2

4

3

2 Lk ( , )
2

( )

2 Lk ( , )
2

( )

100 10 50 5

0 0 4 3 2 4 1 0 2 1 2 3 4 4 2

0

0 0

а)

б)

Рис. 1.27. Вид 2-ой производной ортогональных функций Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) = 1, [0; 5]; б) (0; 5], = 1

[1.28]

3 Lk ( , ) + 3 2
k s=2 3

()

( = -
3

k (k + ) (- )s-3 + k - s (s - 3)! s=3

k (k + ) (- )s-2 3 (k + ) (- )s-1 + + k - s (s - 2)! 4 s=1 k - s (s - 1)! ) k ( ) 1 (k + ) (- )s + . exp - 8 s=0 k - s s! 2

( ) ( )( 3 L2 ( , ) 3 22 2 = exp - - 2( + 8) + + 15 + 3 16 2 ) + 50 ; ( ) ( )( 3 L3 ( , ) 3 33 22 2 =- exp - - 3( + 9) + 3( + 3 48 2 ) 3 2 + 17 + 66) - - 24 - 173 - 378 ; ( ) ( )( 3 3 L4 ( , ) 44 33 2 = exp - - 4( + 10) + 6( + 3 192 2

Частные случаи для 3-ой производной функций 0-5 порядков:

+ 19 + 84) - 4( + 27 + 224 + 576) + + 34 + ) 2 + 395 + 1874 + 3096 ; ( ) ( )( 3 3 L5 ( , ) 55 44 =- exp - - 5( + 11) + 10 Ч 3 960 2 Ч ( + 21 + 104) - 10( + 30 + 281 + 828) + 4 3 2 5 4 3 + 5( + 38 + 503 + 2770 + 5400) - - 45 - 745 - ) 2 - 5715 - 20494 - 27720 .
2 33 3 2 22

22

3

2

4

3

( ) 3 exp - ; 8 2 () ( )( ) 3 3 L1 ( , ) =- exp - - - 7 ; 3 8 2 3L
() 0

( , )



3

=


1.2 Аналитические соотношения для производных ортогональных функций

23

3 Lk ( , ) 0 -2 -4 -6 -8 0 2 4 0 1 3 2 4
3

( )

3 Lk ( , ) 0
3

( )

-200 -400 0 1 2 3 4 4 2 0

а)

б)

Рис. 1.28. Вид 3-ой производной ортогональных функций Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) = 1, [0; 5]; б) (0; 5], = 1

[1.29]

n ( ) = (- )n exp - 2 j =0 s-n+j k (k + ) (- ) , если s Ч (s - n + j )! k-s s=0 0, иначе.

n Lk ( , )
n

()

(n) 2-j Ч j - n + j 0;

( ) n ( ) (n) n L0 ( , ) n -j = (- ) exp - 2 Ч n 2 j =0 j (- )-n+j , если -n + j 0; ; (-n + j )! 0, иначе. ( ) n ( ) (n) n L1 ( , ) -j n 2 Ч = (- ) exp - n 2 j =0 j ( + 1)(- )-n+j , если -n + j 0; Ч + (-n + j )! 0, иначе (- )1-n+j , если 1 - n + j 0; + ; (1 - n + j )! 0, иначе ( ) n ( ) (n) n L2 ( , ) n -j = (- ) exp - 2 Ч n 2 j =0 j ( + 1)( + 2)(- )-n+j , если -n + j 0; + Ч 2(-n + j )! 0, иначе ( + 2)(- )1-n+j , если 1 - n + j 0; + + (1 - n + j )! 0, иначе (- )2-n+j , если 2 - n + j 0; + ; (2 - n + j )! 0, иначе

Частные случаи для n-ой производной функций 0-5 порядков:

( ) n ( ) (n) n L3 ( , ) n -j = (- ) exp - 2 Ч n 2 j =0 j ( + 3)!(- )-n+j , если -n + j 0; Ч + 6!(-n + j )! 0, иначе ( + 2)( + 3)(- )1-n+j , если 1 - n + j 0; + + 2(1 - n + j )! 0, иначе ( + 3)(- )2-n+j , если 2 - n + j 0; + + (2 - n + j )! 0, иначе (- )3-n+j , если 3 - n + j 0; + ; (3 - n + j )! 0, иначе ( ) n ( ) (n) n L4 ( , ) -j n 2 Ч = (- ) exp - n 2 j =0 j ( + 4)!(- )-n+j , если -n + j 0; Ч + 24!(-n + j )! 0, иначе ( + 3)!(- )1-n+j , если 1 - n + j 0; + + 6( + 1)!(1 - n + j )! 0, иначе ( + 3)( + 4)(- )2-n+j , если 2 - n + j 0; + + 2(2 - n + j )! 0, иначе ( + 4)(- )3-n+j , если 3 - n + j 0; + + (3 - n + j )! 0, иначе (- )4-n+j , если 4 - n + j 0; + ; (4 - n + j )! 0, иначе ( ) n ( ) (n) n L5 ( , ) n -j = (- ) exp - 2 Ч n 2 j =0 j


24

Аналитические представления во временной области

( + 5)!(- )-n+j , если -n + j 0; Ч 120!(-n + j )! 0, иначе ( + 5)!(- )1-n+j , если 1 - n + j + 24( + 1)!(1 - n + j )! 0, иначе ( + 5)!(- )2-n+j , если 2 - n + j 0 + 6( + 2)!(2 - n + j )! 0, иначе

+

0;

+

;

+

( + 4)( + 5)(- )3-n+j , если 3 - n + j 0; + + 2(3 - n + j )! 0, иначе ( + 5)(- )4-n+j , если 4 - n + j 0; + + (4 - n + j )! 0, иначе (- )5-n+j , если 5 - n + j 0; + . (5 - n + j )! 0, иначе

nL

20 5

() k ( n

, )

nL

2000 0

( ) k( n

, )

0

10

-2000 0 n 4 0 2 4 1 0 2 3 -4000 -6000 0 1 2 3 4 n 4 2 5 0

0 -10

а)

б)

Рис. 1.29. Вид n-ой производной ортогональных функций Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) n = 0..5, = 1, [0; 5]; б) n = 0..5, (0; 5], = 1

[1.30]

Pk

(-1/2,0)

( , )



k (k)(k + s - 1/2) Ч s - 1/2 2 s=0 s ( ) (4s + 1) Ч (-1)s (4s + 1) exp - . 2

=-

( )( ( , ) 969969 exp(-10 ) - = exp - 512 2 - 1859715 exp(-8 ) + 1171170 exp(-6 ) - 270270 Ч ) Ч exp(-4 ) + 17325 exp(-2 ) - 63 . P
(-1/2,0) 5

P

(-1/2,0) k

( , )
(-1/2,0)


10

Частные случаи для 1-ой производной функций 0-5 порядков:

P5

( ) exp - ; 2 2 (-1/2,0) ( )( ) P1 ( , ) = exp - 15 exp(-2 ) - 1 ; 4 2 (-1/2,0) ( )( P2 ( , ) =- exp - 315 exp(-4 ) - 16 2 ) - 150 exp(-2 ) + 3 ; (-1/2,0) ( )( P3 ( , ) = exp - 3003 exp(-6 ) - 32 2 ) - 2835 exp(-4 ) + 525 exp(-2 ) - 5 ; (-1/2,0) ( )( P4 ( , ) =- exp - 109395 exp(-8 ) - 256 2 ) - 156156 exp(-6 ) + 62370 exp(-4 ) - 6300 exp(-2 ) + 35 ; P
(-1/2,0) 0

( , )



=-

P3

(-1/2,0) (-1/2,0) (-1/2,0) P0

P1
0

P P4
-10 0

(-1/2,0) 2

(-1/2,0)

1

2

3

4



Рис. 1.30. Вид 1-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = -1/2, = 0



числовой эквивалент, характеризующий порядок кривой при изменении анализируемого параметра с равномерным

шагом в выбранном диапазоне. Например, параметр

[0; 5]: 0

- кривая при значении

= 0, 5

- кривая при значении

=5

.


1.2 Аналитические соотношения для производных ортогональных функций

25

[1.31]

2 Pk

(-1/2,0)

( , )



2

k 2 (k)(k + s - 1/2) Ч 4 s=0 s s - 1/2 ( ) (4s + 1) Ч (-1)s (4s + 1)2 exp - . 2

=

( ) 2 exp - ; 4 2 2 2 (-1/2,0) ( )( ) P1 ( , ) =- exp - 75 exp(-2 ) - 1 ; 2 8 2 (-1/2,0) ( )( 2 P2 ( , ) 3 2 945 exp(-4 ) - = exp - 2 32 2 ) - 250 exp(-2 ) + 1 ; (-1/2,0) ( )( 2 P3 ( , ) 2 =- exp - 39039 exp(-6 ) - 2 64 2 ) - 25515 exp(-4 ) + 2625 exp(-2 ) - 5 ; 2 (-1/2,0) 2 ( )( P4 ( , ) = exp - 1859715 exp(-8 ) - 2 512 2 - 2030028 exp(-6 ) + 561330 exp(-4 ) - 31500 exp(-2 ) + ) + 35 ; 2 (-1/2,0) ( )( 9 2 P5 ( , ) 2263261 exp(-10 ) - =- exp - 2 1024 2 - 3512795 exp(-8 ) + 1691690 exp(-6 ) - 270270 Ч ) Ч exp(-4 ) + 9625 exp(-2 ) - 7 . 2P
(-1/2,0) 0 2

Частные случаи для 2-ой производной функций 0-5 порядков:

( )( 3 exp - 31615155 exp(-8 ) - 1024 2 - 26390364 exp(-6 ) + 5051970 exp(-4 ) - 157500 exp(-2 ) + ) + 35 ; 3 (-1/2,0) ( )( P5 ( , ) 9 3 = exp - 47528481 exp(-10 ) - 3 2048 2 - 59717515 exp(-8 ) + 21991970 exp(-6 ) - 2432430 Ч ) Ч exp(-4 ) + 48125 exp(-2 ) - 7 . 3 P4
(-1/2,0) 3

( , )

=-

( , )

3P

=

(-1/2,0) k 3

( , )
400

P5
200

(-1/2,0)

P3

(-1/2,0) (-1/2,0) (-1/2,0)

P1
0

-200 0

(-1/2,0) P2 (-1/2,0) P4 1

P0

2

3

4



Рис. 1.32. Вид 3-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = -1/2, = 0

2 Pk

(-1/2,0)

( , )

P



2

(-1/2,0) 4 (-1/2,0) P2 (-1/2,0) P0 (-1/2,0) P1 (-1/2,0)
[1.33]

0

P3
-50

k ( )n (k) =- Ч 2 s s=0 ) ( (k + s - 1/2) (4s + 1) . Ч (-1)s (4s + 1)n exp - s - 1/2 2

n Pk

(-1/2,0) n

( , )

P5
-100 0

(-1/2,0)

1

2

3

4

( )n ( ) - exp - ; 2 2 n (-1/2,0) ( )n ( )( 1 P1 ( , ) n 3ћ 5 Ч =- - exp - n 2 2 2 ) Ч exp(-2 ) - 1 ; n (-1/2,0) ( )( P2 ( , ) 1 ( )n n = - exp - 35ћ 9 Ч n 8 2 2 ) n Ч exp(-4 ) - 30ћ 5 exp(-2 ) + 3 ; (-1/2,0) ( )( 1 ( )n n P3 ( , ) n =- - exp - 231ћ 13 Ч n 16 2 2 ) n n Ч exp(-6 ) - 315ћ 9 exp(-4 ) + 105ћ 5 exp(-2 ) - 5 ; n (-1/2,0) ( )( 1 ( )n P4 ( , ) n = - exp - 6435ћ 17 Ч n 128 2 2 n n Ч exp(-8 ) - 12012ћ 13 exp(-6 ) + 6930ћ 9 exp(-4 ) - ) n - 1260ћ 5 exp(-2 ) + 35 ; (-1/2,0) ( )( 1 ( )n n P5 ( , ) n =- exp - - 46189ћ 21 Ч n 256 2 2 n n Ч exp(-10 ) - 109395ћ 17 exp(-8 ) + 90090ћ 13 Ч ) n n Ч exp(-6 ) - 30030ћ 9 exp(-4 ) + 3465ћ 5 exp(-2 ) - 63 . n P0
(-1/2,0)

Рис. 1.31. Вид 2-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = -1/2, = 0

Частные случаи для n-ой производной функций 0-5 порядков:

( , )



n

=

[1.32]

3 Pk

(-1/2,0)

( , )



3

k 3 (k)(k + s - 1/2) Ч 8 s=0 s s - 1/2 ( ) (4s + 1) Ч (-1)s (4s + 1)3 exp - . 2

=-

Частные случаи для 3-ой производной функций 0-5 порядков:

( ) 3 exp - ; 8 2 (-1/2,0) ( )( ) 3 3 P1 ( , ) = exp - 375 exp(-2 ) - 1 ; 3 16 2 (-1/2,0) ( )( 3 3 P2 ( , ) =- exp - 25515 exp(-4 ) - 3 64 2 ) - 1875 exp(-2 ) + 3 ; (-1/2,0) ( )( 3 3 P3 ( , ) = exp - 507507 exp(-6 ) - 3 128 2 ) - 229635 exp(-4 ) + 13125 exp(-2 ) - 5 ; 3P
(-1/2,0) 0 3

( , )

=-


26

Аналитические представления во временной области

n Pk

(-1/2,0)

( , )
[1.35]



n

5

k (k)(k + s) 2 Legk ( , ) (-1)s Ч = 2 2 s s s=0 ( ) Ч (2s + 1)2 exp -(2s + 1) .

Частные случаи для 2-ой производной функций 0-5 порядков:

0

-5 n 0 2 4 1 0 2 4 3

Рис. 1.33. Вид n-ой производной ортогональных функций Якоби 2-ого порядка; n = 0..5, = 0, 25, c = 2, = -1/2,

=0

[1.34]

k (k)(k + s) Legk ( , ) = - (-1)s Ч s s s=0 ( ) Ч (2s + 1) exp -(2s + 1) .

2 Leg0 ( , ) 2 = exp(- ); 2 ( ) 2 Leg1 ( , ) 2 = - exp(- ) 18 exp(-2 ) - 1 ; 2 ( 2 Leg2 ( , ) 2 = exp(- ) 150 exp(-4 ) - 54 exp(-2 ) + 2 ) +1 ; ( 2 Leg3 ( , ) 2 = - exp(- ) 980 exp(-6 ) - 750 Ч 2 ) Ч exp(-4 ) + 108 exp(-2 ) - 1 ; 2 ( Leg4 ( , ) 2 = exp(- ) 5670 exp(-8 ) - 6860 Ч 2 ) Ч exp(-6 ) + 2250 exp(-4 ) - 180 exp(-2 ) + 1 ; 2 ( Leg5 ( , ) 2 = - exp(- ) 30492 exp(-10 ) - 51030 Ч 2 Ч exp(-8 ) + 27440 exp(-6 ) - 5250 exp(-4 ) + ) + 270 exp(-2 ) - 1 . 2 Legk ( , ) 2
50

Leg4 Leg
2

Частные случаи для 1-ой производной функций 0-5 порядков:

Leg0
0 -50 -100 -150 0

Leg0 ( , ) = - exp(- ); ( ) Leg1 ( , ) = exp(- ) 6 exp(-2 ) - 1 ; ( Leg2 ( , ) = - exp(- ) 30 exp(-4 ) - 18 exp(-2 ) + ) +1 ; ( Leg3 ( , ) = exp(- ) 140 exp(-6 ) - 150 exp(-4 ) + ) + 36 exp(-2 ) - 1 ; ( Leg4 ( , ) = - exp(- ) 630 exp(-8 ) - 980 Ч ) Ч exp(-6 ) + 450 exp(-4 ) - 60 exp(-2 ) + 1 ; ( Leg5 ( , ) = exp(- ) 2772 exp(-10 ) - 5670 Ч Ч exp(-8 ) + 3920 exp(-6 ) - 1050 exp(-4 ) + 90 Ч ) Ч exp(-2 ) - 1 . Legk ( , ) Leg5
10

Leg1 Leg3 Leg5

1

2

3

4



Рис. 1.35. Вид 2-ой производной ортогональных функций Лежандра 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2

[1.36]

k (k)(k + s) 3 Legk ( , ) = - 3 (-1)s Ч 3 s s s=0 ( ) Ч (2s + 1)3 exp -(2s + 1) .

Частные случаи для 3-ой производной функций 0-5 порядков:

Leg3 Leg1 Leg0

0

Leg
-10

2

Leg4

-20 0

1

2

3

4



Рис. 1.34. Вид 1-ой производной ортогональных функций Лежандра 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2

3 Leg0 ( , ) 3 = - exp(- ); 3 ( ) 3 Leg1 ( , ) 3 = exp(- ) 54 exp(-2 ) - 1 ; 3 ( 3 Leg2 ( , ) 3 = - exp(- ) 750 exp(-4 ) - 162 Ч 3 ) Ч exp(-2 ) + 1 ; ( 3 Leg3 ( , ) 3 = exp(- ) 6860 exp(-6 ) - 3750 Ч 3 ) Ч exp(-4 ) + 324 exp(-2 ) - 1 ; 3 ( Leg4 ( , ) 3 = - exp(- ) 51030 exp(-8 ) - 48020 Ч 3 ) Ч exp(-6 ) + 11250 exp(-4 ) - 540 exp(-2 ) + 1 ; ( 3 Leg5 ( , ) 3 = exp(- ) 335412 exp(-10 ) - 459270 Ч 3


1.2 Аналитические соотношения для производных ортогональных функций

27

Ч exp(-8 ) + 192080 exp(-6 ) - 26250 exp(-4 ) + 810 Ч ) Ч exp(-2 ) - 1 . 3 Legk ( , ) 3
600 400 200 0 -200 -400 0

[1.38]

Pk

(1/2,0)

( , )

Leg



5

k (k)(k + s + 1/2) Ч 2 s=0 s s + 1/2 ( ) (4s + 3) Ч (-1)s (4s + 3) exp - . 2

=-

Leg

3

Leg1 Leg Leg2 Leg
4 0

1

2

3

4



Рис. 1.36. Вид 3-ой производной ортогональных функций Лежандра 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2

[1.37]

k (k)(k + s) n Legk ( , ) = (- )n (-1)s Ч n s s s=0 ( ) Ч (2s + 1)n exp -(2s + 1) .

n Leg0 ( , ) n = (- ) exp(- ); n ( ) n Leg1 ( , ) n n = -(- ) exp(- ) 2ћ 3 exp(-2 ) - 1 ; n ( n Leg2 ( , ) n n n = (- ) exp(- ) 6ћ 5 exp(-4 ) - 6ћ 3 Ч n ) Ч exp(-2 ) + 1 ; ( n Leg3 ( , ) n n = -(- ) exp(- ) 20ћ 7 exp(-6 ) - n ) n n - 30ћ 5 exp(-4 ) + 12ћ 3 exp(-2 ) - 1 ; n ( Leg4 ( , ) n n n = (- ) exp(- ) 70ћ 9 exp(-8 ) - 140ћ 7 Ч n ) n n Ч exp(-6 ) + 90ћ 5 exp(-4 ) - 20ћ 3 exp(-2 ) + 1 ; ( n Leg5 ( , ) n n = -(- ) exp(- ) 252ћ 11 exp(-10 ) - n n n n - 630ћ 9 exp(-8 ) + 560ћ 7 exp(-6 ) - 210ћ 5 exp(-4 ) + ) n + 30ћ 3 exp(-2 ) - 1 . n Legk ( , ) n

Частные случаи для n-ой производной функций 0-5 порядков:

( 3 ) 3 exp - ; 2 2 (1/2,0) ( 3 )( ) P1 ( , ) = exp - 35 exp(-2 ) - 9 ; 4 2 (1/2,0) ( 3 )( P2 ( , ) =- exp - 693 exp(-4 ) - 490 Ч 16 2 ) Ч exp(-2 ) + 45 ; (1/2,0) ( 3 )( P3 ( , ) = exp - 6435 exp(-6 ) - 7623 Ч 32 2 ) Ч exp(-4 ) + 2205 exp(-2 ) - 105 ; (1/2,0) ( 3 ) ( P4 ( , ) =- exp - 230945 exp(-8 ) - 256 2 - 386100 exp(-6 ) + 198198 exp(-4 ) - 32340 exp(-2 ) + ) + 945 ; (1/2,0) ( 3 )( P5 ( , ) 2028117 exp(-10 ) - = exp - 512 2 - 4387955 Ч exp(-8 ) + 3281850 exp(-6 ) - 990990 Ч ) Ч exp(-4 ) + 105105 exp(-2 ) - 2079 . P
(1/2,0) 0

Частные случаи для 1-ой производной функций 0-5 порядков:

( , )



=-

P

(1/2,0) k

( , ) P
10
(1/2,0) 5 (1/2,0)



P3

P1
0

(1/2,0)

-10

(1/2,0) P0 (1/2,0) P2

P4

(1/2,0)

-20 0

1

2

3

4



Рис. 1.38. Вид 1-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 1/2, = 0

10

[1.39]

2 Pk

(1/2,0)

( , )



2

0 2 P0
(1/2,0) 2

k 2 (k)(k + s + 1/2) Ч 4 s=0 s s + 1/ 2 ( ) (4s + 3) Ч (-1)s (4s + 3)2 exp - . 2

=

-10 n 0 2 4 1 0 2 4 3

Рис. 1.37. Вид n-ой производной ортогональных функций Лежандра 2-ого порядка; n = 0..5, = 0, 25, c = 2

( 3 ) 9 2 exp - ; 4 2 (1/2,0) ( 3 )( ) 2 2 P1 ( , ) =- exp - 245 exp(-2 ) - 27 ; 2 8 2 (1/2,0) ( 3 ) ( 2 2 P2 ( , ) = exp - 7623 exp(-4 ) - 3430 Ч 2 32 2 ) Ч exp(-2 ) + 135 ; (1/2,0) ( 3 )( 2 2 P3 ( , ) =- exp - 96525 exp(-6 ) - 2 64 2 ) - 83853 exp(-4 ) + 15435 exp(-2 ) - 315 ; ( , ) =

Частные случаи для 2-ой производной функций 0-5 порядков:


28

Аналитические представления во временной области

( 3 )( 2 exp - 4387955 exp(-8 ) - 512 2 - 1447875 exp(-6 ) + 2180178 exp(-4 ) - 226380 exp(-2 ) + ) + 2835 ; 2 (1/2,0) ( 3 ) ( P5 ( , ) 9 2 =- exp - 46646681 exp(-10 ) - 2 1024 2 - 83371145 exp(-8 ) + 49227750 exp(-6 ) - 10900890 Ч ) Ч exp(-4 ) + 735735 exp(-2 ) - 6237 . 2 P4
(1/2,0) 2

( , )

=

3P

(1/2,0) k 3

( , )

500

P5

(1/2,0) (1/2,0) P3 (1/2,0) 2,0)



2

(1/2,0) Pk 2

0

P1 (1/ P0

( , )

P

(1/2,0) 4 (1/2,0) P2

(1/2,0) P2

P4
-500 0

(1/2,0)

0

P0

(1/2,0)

-100

(1/2,0) P1 (1/2,0) P3 (1/2,0) P5

1

2

3

4



Рис. 1.40. Вид 3-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 1/2, = 0

-200 0

1

2

3

4



Рис. 1.39. Вид 2-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 1/2, = 0

[1.41]

[1.40]

3 Pk

(1/2,0)

( , )



3

k 3 (k)(k + s + 1/2) Ч s + 1/2 8 s=0 s ( ) (4s + 3) Ч (-1)s (4s + 3)3 exp - . 2

k ( )n (k) =- Ч 2 s s=0 ) ( (k + s + 1/2) (4s + 3) . Ч (-1)s (4s + 3)n exp - s + 1/2 2

n Pk

(1/2,0) n

( , )

=-

Частные случаи для n-ой производной функций 0-5 порядков:

nP ( 3 ) 27 3 exp - ; 8 2 3 3 (1/2,0) ( 3 ) ( ) P1 ( , ) = exp - 1715 exp(-2 ) - 81 ; 3 16 2 (1/2,0) ( 3 )( 3 P2 ( , ) 3 =- exp - 83853 exp(-4 ) - 3 64 2 ) - 24010 exp(-2 ) + 405 ; (1/2,0) ( 3 )( 3 P3 ( , ) 3 = exp - 1447875 exp(-6 ) - 3 128 2 ) - 922383 exp(-4 ) + 108045 exp(-2 ) - 945 ; 3 3 (1/2,0) ( 3 ) ( P4 ( , ) =- exp - 83371145 Ч 3 1024 2 Ч exp(-8 ) - 86872500 exp(-6 ) + 23981958 exp(-4 ) - ) - 1584660 exp(-2 ) + 8505 ; 3 3 (1/2,0) ( 3 )( 9 P5 ( , ) = exp - 1072873893 Ч 3 2048 2 Ч exp(-10 ) - 1584051755 exp(-8 ) + 738416250 Ч Ч exp(-6 ) - 119909790 exp(-4 ) + 5150145 exp(-2 ) - ) 18711 . 3 P0
(1/2,0)

Частные случаи для 3-ой производной функций 0-5 порядков:

(1/2,0) 0 n (1/2,0) 1 n n

( , )



3

=-

nP

( 3 )( 1 ( )n n 63ћ 11 exp(-4 ) - - exp - 8 2 2 n n) - 70ћ 7 exp(-2 ) + 15ћ 3 ; n (1/2,0) ( )n ( 3 )( P3 ( , ) 1 n =- - exp - 429ћ 15 Ч n 16 2 2 n n Ч exp(-6 ) - 693ћ 11 exp(-4 ) + 315ћ 7 exp(-2 ) - n) - 35ћ 3 ; (1/2,0) ( 3 )( 1 ( )n n P4 ( , ) n = - exp - 12155ћ 19 Ч n 128 2 2 n n Ч exp(-8 ) - 25740ћ 15 exp(-6 ) + 18018ћ 11 exp(-4 ) - n n) - 4620ћ 7 exp(-2 ) + 315ћ 3 ; (1/2,0) ( 3 )( 1 ( )n n P5 ( , ) n =- - exp - 88179ћ 23 Ч n 256 2 2 n n Ч exp(-10 ) - 230945ћ 19 exp(-8 ) + 218790ћ 15 Ч n n Ч exp(-6 ) - 90090ћ 11 exp(-4 ) + 15015ћ 7 exp(-2 ) - n) 693ћ 3 . P
n (1/2,0) 2 n

- 3ћ 3

)

( )n ( 3 ) - exp - ; 2 2 ( 3 )( ( , ) 1 ( )n n =- - exp - 5ћ 7 exp(-2 ) - 2 2 2 ( , ) =3
n

;

( , )

=


1.2 Аналитические соотношения для производных ортогональных функций

29

n Pk

(1/2,0)

( , )
[1.43]



n

2 Pk

(1,0)

( , )



2

=

2

20

k (k)(k + s + 1) (-1)s Ч s s+1 s=0 ( ) Ч (s + 1)2 exp -(s + 1) .

Частные случаи для 2-ой производной функций 0-5 порядков:

0

2 P0

(1,0)

( , ) ( , ) ( , )

2 P1 -20 n 0 2 4 1 0 2 4 3 2 P2 +1 ; )

2

= exp(- ); ( ) 2 = -2 exp(- ) 6 exp(- ) - 1 ; ( 2 = 3 exp(- ) 30 exp(-2 ) - 16 exp(- ) +

2

(1,0)

2

(1,0)

2

Рис. 1.41. Вид n-ой производной ортогональных функций Якоби 2-ого порядка; n = 0..5, = 0, 25, c = 2, = 1/2, = 0

[1.42]

P

(1,0) k

( , )



= -

k (k)(k + s + 1) (-1)s Ч s s+1 s=0 ( ) Ч (s + 1) exp -(s + 1) .

( ( , ) 2 = -4 exp(- ) 140 exp(-3 ) - 135 Ч 2 ) Ч exp(-2 ) + 30 exp(- ) - 1 ; (1,0) ( 2 P4 ( , ) 2 = 5 exp(- ) 630 exp(-4 ) - 896 Ч 2 ) Ч exp(-3 ) + 378 exp(-2 ) - 48 exp(- ) + 1 ; 2 (1,0) ( P5 ( , ) 2 = -6 exp(- ) 2772 exp(-5 ) - 5250 Ч 2 Ч exp(-4 ) + 3360 exp(-3 ) - 840 exp(-2 ) + 70 Ч ) Ч exp(- ) - 1 . 2 P3 2 Pk
(1,0)

(1,0)

( , )
20 0 -20 -40 -60 0



2

Частные случаи для 1-ой производной функций 0-5 порядков:

P P P

(1,0) 0 (1,0) 1 (1,0) 2

( , ) = - exp(- ); ( ) ( , ) = 2 exp(- ) 3 exp(- ) - 1 ; ( ( , ) = -3 exp(- ) 10 exp(-2 ) - 8 exp(- ) +

P4 (1,0) P2 P

(1,0)

(1,0) 0

P3 P5

(1,0) P1 (1,0)

(1,0)

) +1 ; P

( ( , ) = 4 exp(- ) 35 exp(-3 ) - 45 exp(-2 ) + ) + 15 exp(- ) - 1 ; (1,0) ( P4 ( , ) = -5 exp(- ) 126 exp(-4 ) - 224 Ч ) Ч exp(-3 ) + 126 exp(-2 ) - 24 exp(- ) + 1 ; (1,0) ( P5 ( , ) = 6 exp(- ) 462 exp(-5 ) - 1050 Ч Ч exp(-4 ) + 840 exp(-3 ) - 280 exp(-2 ) + 210 Ч ) Ч exp(- ) - 1 .
(1,0) 3

1

2

3

4



Рис. 1.43. Вид 2-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 1, = 1, = 0

[1.44]

3 Pk

(1,0)

( , )



3

= -

3

k (k)(k + s + 1) (-1)s Ч s s+1 s=0 ( ) Ч (s + 1)3 exp -(s + 1) .

P

(1,0) k

( , ) P5
5
(1,0)

Частные случаи для 3-ой производной функций 0-5 порядков:



3 P0

(1,0)

( , ) ( , )

P
(1,0) 3

3

= - exp(- ); ( ) 3 = 2 exp(- ) 12 exp(- ) - 1 ;

3

P1

(1,0)

3 P1

(1,0)

3 P2

3

0

P0
-5

(1,0)

P2 P4

(1,0)

(1,0)

-10 0

1

2

3

4



Рис. 1.42. Вид 1-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 1, = 1, = 0

( ( , ) 3 = -3 exp(- ) 90 exp(-2 ) - 32 Ч 3 ) Ч exp(- ) + 1 ; 3 (1,0) ( P3 ( , ) 3 = 4 exp(- ) 560 exp(-3 ) - 405 Ч 3 ) Ч exp(-2 ) + 60 exp(- ) - 1 ; (1,0) ( 3 P4 ( , ) 3 = -5 exp(- ) 3150 exp(-4 ) - 3584 Ч 3 ) Ч exp(-3 ) + 1134 exp(-2 ) - 96 exp(- ) + 1 ;
(1,0)


30

Аналитические представления во временной области

( ( , ) 3 = 6 exp(- ) 16632 exp(-5 ) - 26250 Ч 3 Ч exp(-4 ) + 13440 exp(-3 ) - 2520 exp(-2 ) + 140 Ч ) Ч exp(- ) - 1 . 3 P5
(1,0)

nP

(1,0) ( k n

, )

3 Pk

(1,0)

( , ) 2
100



3

P

(1,0) 5

0
50
(1,0) P3 (1,0) P1

0

-2 0
2 3 4

-50 0

(1,0) P2 (1,0) P4

P0

(1,0)

n 4 3 2 2 4 1 0

1



Рис. 1.44. Вид 3-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 1, = 1, = 0

Рис. 1.45. Вид n-ой производной ортогональных функций Якоби 2-ого порядка; n = 0..5, = 0, 25, c = 1, = 1, = 0

[1.46]

Pk

(2,0)

( , )



= -

k (k)(k + s + 2) (-1)s Ч s s+2 s=0 ( ) Ч (2s + 3) exp -(2s + 3) .

Частные случаи для 1-ой производной функций 0-5 порядков:
[1.45]



n

(1,0) Pk ( n

, )

(k)(k + s + 1) = ( - ) Ч s s+1 s=0 ( ) Ч (-1)s (s + 1)n exp -(s + 1) .
n k

P P P

(2,0) 0

( , ) = -3 exp(-3 ); ( ) ( , ) = exp(-3 ) 20 exp(-2 ) - 9 ;

(2,0) 1 (2,0) 2

Частные случаи для n-ой производной функций 0-5 порядков:

n P0 ( , ) n = (- ) exp(- ); n
(1,0) ( ) n P1 ( , ) n n = -(- ) exp(- ) 3ћ 2 exp(- ) - 2 ; n (1,0) ( n P2 ( , ) n n n = (- ) exp(- ) 10ћ 3 exp(-2 ) - 12ћ 2 Ч n ) Ч exp(- ) + 3 ; (1,0) ( n P3 ( , ) n n = -(- ) exp(- ) 35ћ 4 exp(-3 ) - n ) n n - 60ћ 3 exp(-2 ) + 30ћ 2 exp(- ) - 4 ; (1,0) ( n P4 ( , ) n n = (- ) exp(- ) 126ћ 5 exp(-4 ) - n n n n - 280ћ 4 exp(-3 ) + 210ћ 3 exp(-2 ) - 60ћ 2 exp(- ) + ) +5 ; (1,0) ( n P5 ( , ) n n = -(- ) exp(- ) 462ћ 6 exp(-5 ) - n n n n - 1260ћ 5 exp(-4 ) + 1260ћ 4 exp(-3 ) - 560ћ 3 Ч ) n Ч exp(-2 ) + 105ћ 2 exp(- ) - 1 .

(1,0)

( ( , ) = - exp(-3 ) 105 exp(-4 ) - 100 Ч ) Ч exp(-2 ) + 18 ; (2,0) ( P3 ( , ) = exp(-3 ) 504 exp(-6 ) - 735 Ч ) Ч exp(-4 ) + 300 exp(-2 ) - 30 ; (2,0) ( P4 ( , ) = - exp(-3 ) 2310 exp(-8 ) - 4536 Ч ) Ч exp(-6 ) + 2940 exp(-4 ) - 700 exp(-2 ) + 45 ; (2,0) ( P5 ( , ) = exp(-3 ) 10296 exp(-10 ) - 25410 Ч Ч exp(-8 ) + 22680 exp(-6 ) - 8820 exp(-4 ) + 1400 Ч ) Ч exp(-2 ) - 63 . P
(2,0) k

( , )
20

P5
(2,0)

10 0 -10 -20 0

P3

(2,0)

P1

(2,0)

(2,0) P0 (2,0) 2 (2,0) P4

P

1

2

3

4



Рис. 1.46. Вид 1-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 2, = 0


1.2 Аналитические соотношения для производных ортогональных функций

31

) + 405 ;
[1.47]

2 Pk

(2,0)

( , )



2

k (k)(k + s + 2) = (-1)s Ч s s+2 s=0 ( ) Ч (2s + 3)2 exp -(2s + 3) . 2

( ( , ) 3 = exp(-3 ) 1740024 exp(-10 ) - 3 - 3074610 exp(-8 ) + 1837080 exp(-6 ) - 432180 Ч ) Ч exp(-4 ) + 35000 exp(-2 ) - 567 . 3 P5
(2,0)

Частные случаи для 2-ой производной функций 0-5 порядков:

3 Pk

(2,0)

( , )

2P 2P 2P

(2,0) ( 0 2 (2,0) ( 1 2 (2,0) ( 2 2



3

, ) , ) , )

= 9 exp(-3 ); ( ) 2 = - exp(-3 ) 100 exp(-2 ) - 27 ;
1000

2

P5

(2,0)

( 2 = exp(-3 ) 735 exp(-4 ) - 500 Ч ) Ч exp(-2 ) + 54 ; 2 (2,0) ( P3 ( , ) 2 = - exp(-3 ) 4536 exp(-6 ) - 5145 Ч 2 ) Ч exp(-4 ) + 1500 exp(-2 ) - 90 ; (2,0) ( 2 P4 ( , ) 2 = exp(-3 ) 25410 exp(-8 ) - 40824 Ч 2 ) Ч exp(-6 ) + 20580 exp(-4 ) - 3500 exp(-2 ) + 135 ; 2 (2,0) ( P5 ( , ) 2 = - exp(-3 ) 133848 exp(-10 ) - 2 - 279510 exp(-8 ) + 204120 exp(-6 ) - 61740 Ч ) Ч exp(-4 ) + 7000 exp(-2 ) - 189 . 2 Pk
(2,0)

P3
0

(2,0)

P1

(2,0)

-1000 0

P

(2,0) P0 (2,0) P2 (2,0) 4

1

2

3

4



Рис. 1.48. Вид 3-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 2, = 0

( , )
100 0 -100 -200 -300 0



2

P4

(2,0) (2,0)

P2

(2,0) P0 (2,0) P1 (2,0) P3
[1.49]

n Pk

(2,0)

( , )



n

k (k)(k + s + 2) Ч s s+2 s=0 ( ) Ч (-1)s (2s + 3)n exp -(2s + 3) .

= (- )n

P5

(2,0)

1

2

3

4



Рис. 1.47. Вид 2-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 2, = 0 Частные случаи для n-ой производной функций 0-5 порядков:

[1.48]



3 P (2,0) ( k 3

, )

(k)(k + s + 2) = - (-1)s Ч s s+2 s=0 ( ) Ч (2s + 3)3 exp -(2s + 3) .
3 k

n P0 ( , ) n = (-3 ) exp(-3 ); n
(2,0) ( n P1 ( , ) n n = -(- ) exp(-3 ) 4ћ 5 exp(-2 ) - n n) - 3ћ 3 ; n (2,0) ( P2 ( , ) n n = (- ) exp(-3 ) 15ћ 7 exp(-4 ) - n ) n n - 20ћ 5 exp(-2 ) + 6ћ 3 ; (2,0) ( n P3 ( , ) n n = -(- ) exp(-3 ) 56ћ 9 exp(-6 ) - n n n n) - 105ћ 7 exp(-4 ) + 60ћ 5 exp(-2 ) - 10ћ 3 ; n (2,0) ( P4 ( , ) n n = (- ) exp(-3 ) 210ћ 11 exp(-8 ) - n n n n - 504ћ 9 exp(-6 ) + 420ћ 7 exp(-4 ) - 140ћ 5 exp(-2 ) + n) + 15ћ 3 ; (2,0) ( n P5 ( , ) n n = -(- ) exp(-3 ) 792ћ 13 exp(-10 ) - n n n n - 2310ћ 11 exp(-8 ) + 2520ћ 9 exp(-6 ) - 1260ћ 7 Ч n n) Ч exp(-4 ) + 280ћ 5 exp(-2 ) - 21ћ 3 .

(2,0)

Частные случаи для 3-ой производной функций 0-5 порядков:

3P 3P 3P

(2,0) ( 0 3 (2,0) ( 1 3 (2,0) ( 2 3

, ) , ) , )

= -27 exp(-3 ); ( ) 3 = exp(-3 ) 500 exp(-2 ) - 81 ;

3

( 3 = - exp(-3 ) 5145 exp(-4 ) - 2500 Ч ) Ч exp(-2 ) + 162 ; 3 (2,0) ( P3 ( , ) 3 = exp(-3 ) 40824 exp(-6 ) - 36015 Ч 3 ) Ч exp(-4 ) + 7500 exp(-2 ) - 270 ; 3 (2,0) ( P4 ( , ) 3 = - exp(-3 ) 279510 exp(-8 ) - 3 - 367416 exp(-6 ) + 144060 exp(-4 ) - 17500 exp(-2 ) +


32

Аналитические представления во временной области

n Pk

(2,0)

( , )

P P

(,0) 0

( , )



n


(,0) 1

=-

( ) ( + 1)c exp -( + 1)c /2 ; 2 2 )( ( + 1) - ( + 2) Ч
2

( , ) =- Ч ( + 3) exp(-c

0

-100 n 0 2 4 1 0 2 4 3

) 2 - 2( + 2)( + 3) exp(-c ) + ( + 3)( + 4)( + 5) exp(-2c ) ; (,0) ( )( P3 c ( , ) 2 =- exp -( + 1)c /2 ( + 1) ( + 2) Ч 12 Ч ( + 3) - 3( + 2)( + 3) ( + 4) exp(-c ) + 3( + 3)( + 4) Ч ) 2 Ч ( + 5) exp(-2c ) - ( + 4)( + 5)( + 6)( + 7) exp(-3c ) ; (,0) ( )( P4 ( , ) c 2 =- exp -( + 1)c /2 ( + 1) ( + 2) Ч 48 Ч + Ч Ч ( + 3)( + 4) - 4( + 2)( + 3) ( + 4)( + 2 6( + 3)( + 4)( + 5) ( + 6) exp(-2c ) - 2 ( + 5)( + 6)( + 7) exp(-3c ) + ( + 5)( ) ( + 8)( + 9) exp(-4c ) ; (,0) ( )( P5 ( , ) c =- exp -( + 1)c /2 ( 240 ( ( ( ( ( ( + + + + + +
2 2

( c exp -( + 1)c / 2 ) ); (,0) ( P2 ( , ) c =- exp -( + 1)c / 4

2

)(

( + 1) ( + 2) -

2

5) exp(-c ) + 4( + 4) Ч + 6)( + 7) Ч + 1) Ч
2 2

Рис. 1.49. Вид n-ой производной ортогональных функций Якоби 2-ого порядка; n = 0..5, = 0, 25, c = 2, = 2, = 0

[1.50]

Pk

(,0)

k c (k)(k + s + ) (-1)s Ч s+ 2 s=0 s ( ) Ч (2s + + 1) exp -(2s + + 1)c /2 .

( , )

=-

Ч Ч Ч Ч Ч Ч

2)( + 3)( + 4)( + 5) - 5( + 2)( + 3) ( + 4) Ч 2 5)( + 6) exp(-c ) + 10( + 3)( + 4)( + 5) Ч 6)( + 7) exp(-2c ) - 10( + 4)( + 5)( + 6) Ч 2 7) ( + 8) exp(-3c ) + 5( + 5)( + 6)( + 7)( + 8) Ч 2 9) exp(-4c ) - ( + 6)( + 7)( + 8)( + 9) Ч ) 10)( + 11) exp(-5c ) .

Частные случаи для 1-ой производной функций 0-5 порядков:

P

(,0) k

( , )

P

(,0) k

( , )

0 0 -10 -20 -30 0 0 2 4 1 0 3 2 4



-5

0, 4 0, 8 1, 2 1, 6 4 2

0

а)

б)

Рис. 1.50. Вид 1-ой производной ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 0, 25, c = 2, [0; 5], = 0; б) (0; 2], c = 2, = 1, = 0

2 P0

(,0)

( , ) ( , )

[1.51]

2 Pk

k c2 2 (k)(k + s + ) Ч s+ 2 4 s=0 s ( ) Ч (-1)s (2s + + 1)2 exp -(2s + + 1)c /2 . (,0)

2 P1

2

= =

( ) ( + 1)2 c2 2 exp -( + 1)c /2 ; 4

( , )

=

Частные случаи для 2-ой производной функций 0-5 порядков:

( )( c2 2 3 exp -( + 1)c /2 ( + 1) - ( + 2) Ч 4 ) 2 Ч ( + 3) exp(-c ) ; (,0) ( )( c2 2 2 P2 ( , ) 3 = exp -( + 1)c /2 ( + 1) ( + 2) - 2 8
(,0) 2


1.2 Аналитические соотношения для производных ортогональных функций

33

- 2( + 2)( + 3) exp(-c ) + ( + 3)( + 4)( + 5) Ч ) Ч exp(-2c ) ; (,0) ( )( 2 P3 ( , ) c2 2 3 = exp -( + 1)c /2 ( + 1) ( + 2) Ч 2 24 Ч ( + 3) - 3( + 2)( + 3) ( + 4) exp(-c ) + 3( + 3) Ч 3 2 Ч ( + 4)( +) 5) exp(-2c ) - ( + 4)( + 5)( + 6)( + 7) Ч Ч exp(-3c ) ; (,0) ( )( c2 2 2 P4 ( , ) 3 = exp -( + 1)c /2 ( + 1) ( + 2) Ч 2 96 Ч ( + 3)( + 4) - 4( + 2)( + 3) ( + 4)( + 5) exp(-c ) + 3 + 6( + 3)( + 4)( + 5) ( + 6) exp(-2c ) - 4( + 4)( + 5) Ч
3 3

3

2

Ч ( + 6)( + 7) exp(-3c ) + ( + 5)( + 6)( + 7)( + 8) Ч ) 2 Ч ( + 9) exp(-4c ) ; 2 (,0) 22 ( )( P5 ( , ) c 3 = exp -( + 1)c /2 ( + 1) ( + 2) Ч 2 480 Ч Ч Ч Ч Ч Ч ( + 3)( exp(-c exp(-2c exp(-3c exp(-4c exp(-5c + 4)( + 5) - 5( + 2)( + 3) ( + 4)( + 5)( + 6) Ч 3 ) + 10( + 3)( + 4)( + 5) ( + 6)( + 7) Ч 3 ) - 10( + 4)( + 5)( + 6)( + 7) ( + 8) Ч 3 ) + 5( + 5)( + 6)( + 7)( + 8)( + 9) Ч 2 )) ( + 6)( + 7)( + 8)( + 9)( + 10)( + 11) Ч - ) .
3

3

2P 2 Pk
(,0)

( , )

(,0) k 2

( , )



2

600 40 400 30 20 10 0 0 2 4 1 0 3 2 4 200 0 0 0, 4 0, 8 1, 2 1, 6 4 2 0

а)

б)

Рис. 1.51. Вид 2-ой производной ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 0, 25, c = 2, [0; 5], = 0; б) (0; 2], c = 2 , = 1, = 0

[1.52]

3 Pk

k c3 3 (k)(k + s + ) Ч 3 8 s=0 s s+ ( ) Ч (-1)s (2s + + 1)3 exp -(2s + + 1)c /2 . (,0)

( , )

=-

Ч ( + 3) - 3( + 2)( + 3) ( + 4) exp(-c ) + 3( + 3)( + 4) Ч 4 3 Ч ( + 5) exp(-2c ) - ( + 4)( + 5)( + 6)( + 7) Ч ) Ч exp(-3c ) ; (,0) ( )( c3 3 3 P4 ( , ) 4 =- exp -( + 1)c /2 ( + 1) ( + 2) Ч 3 192 Ч + Ч Ч ( + 3)( + 4) - 4( + 2)( + 3) ( + 4)( + 5) exp(-c ) + 4 6( + 3)( + 4)( + 5) ( + 6) exp(-2c ) - 4( + 4)( + 5) Ч 4 ( + 6)( + 7) exp(-3c ) + ( + 5)( + 6)( + 7)( + 8) Ч ) 3 ( + 9) exp(-4c ) ; 33 3 (,0) ( )( c P5 ( , ) 4 =- exp -( + 1)c /2 ( + 1) ( + 2) Ч 3 960 ( + 3)( exp(-c exp(-2c exp(-3c exp(-4c exp(-5c + 4)( + 5) - 5( + 2)( + 3) ( + 4)( + 5)( + 6) Ч 4 ) + 10( + 3)( + 4)( + 5) ( + 6)( + 7) Ч 4 ) - 10( + 4)( + 5)( + 6)( + 7) ( + 8) Ч 4 ) + 5( + 5)( + 6)( + 7)( + 8)( + 9) Ч 3 )) ( + 6)( + 7)( + 8)( + 9)( + 10)( + 11) Ч - ) .
4 4

4

Частные случаи для 3-ой производной функций 0-5 порядков:

3P 3P

(,0) 0 3 (,0) 1 3

( , ) ( , )

=- =-

( ) ( + 1)3 c3 3 exp -( + 1)c /2 ; 8

( )( c3 3 4 exp -( + 1)c /2 ( + 1) - 8 ) 3 - ( + 2)( + 3) exp(-c ) ; (,0) ( )( c3 3 3 P2 ( , ) 4 =- exp -( + 1)c /2 ( + 1) ( + 2) - 3 16 - 2( + 2)( + 3) exp(-c ) + ( + 3)( + 4)( + 5) Ч ) Ч exp(-2c ) ; (,0) ( )( c3 3 3 P3 ( , ) 4 =- exp -( + 1)c /2 ( + 1) ( + 2) Ч 3 48
4 3

Ч Ч Ч Ч Ч Ч


34

Аналитические представления во временной области

3P

(,0) k 3

( , )

3 Pk

(,0)

( , )

0

3

0

-50

-5000

-100 -150 0 2 4 1 0 3 2 4 -10000 0 0, 4 0, 8 1, 2 1, 6 4 2 0

а)

б)

Рис. 1.52. Вид 3-ой производной ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 0, 25, c = 2, [0; 5], = 0; б) (0; 2], c = 2, = 1, = 0

[1.53]

n Pk

k ( c )n (k)(k + s + ) =- Ч n 2 s s+ s=0 ( ) Ч (-1)s (2s + + 1)n exp -(2s + + 1)c /2 . (,0)

( , )

Ч ( + 2)( + 3) - 3( + 2)( + 3) ( + 4) exp(-c ) + 3 Ч n+1 Ч ( + 3)( + 4)( + 5)) exp(-2c ) - ( + 4)( + 5)( + 6) Ч n Ч ( + 7) exp(-3c ) ; (,0) ( c )n ( )( n P4 ( , ) n+1 exp -( + 1)c /2 ( + 1) Ч =- n 2 Ч Ч - Ч ( + 2)( + 3)( + 4) - 4( + 2)( + 3) ( + 4)( + 5) Ч n+1 exp(-c ) + 6( + 3)( + 4)( + 5) ( + 6) exp(-2c ) - n+1 4( + 4)( + 5)( + 6)( + 7) exp(-3c ) + ( + 5)( + 6) Ч ) n ( + 7)( + 8)( + 9) exp(-4c ) ; n (,0) ( c )n ( )( P5 ( , ) n+1 =- exp -( + 1)c /2 ( + 1) Ч n 2 ( + 2)( + 3)( + 4)( + 5) - 5( + 2)( + 3) ( + 4) Ч n+1 ( + 5)( + 6) exp(-c ) + 10( + 3)( + 4)( + 5) ( + 6) Ч n+1 ( + 7) exp(-2c ) - 10( + 4)( + 5)( + 6)( + 7) Ч n+1 ( + 8) exp(-3c ) + 5( + 5)( + 6)( + 7)( + 8)( + 9) Ч n exp(-4c )) ( + 6)( + 7)( + 8)( + 9)( + 10)( + 11) Ч - exp(-5c ) .
n+1 n+1

n+1

Частные случаи для n-ой производной функций 0-5 порядков:

( c )n - 2 (,0) ( c )n n P1 ( , ) =- n 2 n - ( + 2)( + 3) exp(-c (,0) ( c )n n P2 ( , ) =- n 2 n P0
(,0)

( , )

n

=

( ) exp -( + 1)c /2 ; ( )( exp -( + 1)c /2 ( + 1) ) ); ( )( exp -( + 1)c /2 ( + 1)
n+1

-

n+1

Ч
n

Ч ( + 2) - 2() 2)( + 3) + exp(-c ) + ( + 3)( + 4)( + 5) Ч Ч exp(-2c ) ; (,0) ( c )n ( )( n P3 ( , ) n+1 =- exp -( + 1)c /2 ( + 1) Ч n 2

n+1

Ч Ч Ч Ч Ч Ч


1.2 Аналитические соотношения для производных ортогональных функций

35

nP

(,0) k n

( , ) 0 n Pk
(,0)

( , )

0 0 5 -1000 -2 ћ 106 0 1 -10
6

n

0

5 n 0 2 4 1 0 2 4 3

0 2 3 4 n 4 2

а)

б)

Рис. 1.53. Вид n-ой производной ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) n = 0..5, = 0, 25, c = 2, [0; 5], = 0; б) n = 0..5, (0; 2], c = 2, = 1, = 0

P

(0,1) k

( , )
40

P5
(0,1)

20 0 -20 -40 0

P3

(0,1)

P1

(0,1)

[1.54]

P

(0,1) k

( , )



k (k)(k + s + 1) (-1)s Ч = - s s s=0 ( ) Ч (2s + 1) exp -(2s + 1) .

P2 P4

(0,1) P (0,1) 0

(0,1)

1

2

3

4



Рис. 1.54. Вид 1-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 0, = 1

Частные случаи для 1-ой производной функций 0-5 порядков:

P P P

(0,1) 0 (0,1) 1 (0,1) 2

( , ) = - exp(- ); ( ) ( , ) = exp(- ) 9 exp(-2 ) - 1 ; ( ( , ) = - exp(- ) 50 exp(-4 ) - 24 exp(-2 ) +

[1.55]

2 Pk

(0,1)

( , )



2

=

2

k (k)(k + s + 1) (-1)s Ч s s s=0 ( ) Ч (2s + 1)2 exp -(2s + 1) .

Частные случаи для 2-ой производной функций 0-5 порядков:

) +1 ; P

2 P0

(0,1)

( , ) ( , )

2 P1 2 P2

2

= exp(- ); ( ) 2 = - exp(- ) 27 exp(-2 ) - 1 ;

2

( ( , ) = exp(- ) 245 exp(-6 ) - 225 exp(-4 ) + ) + 45 exp(-2 ) - 1 ; (0,1) ( P4 ( , ) = - exp(- ) 1134 exp(-8 ) - 1568 Ч ) Ч exp(-6 ) + 630 exp(-4 ) - 72 exp(-2 ) + 1 ; (0,1) ( P5 ( , ) = exp(- ) 5082 exp(-10 ) - 9450 Ч Ч exp(-8 ) + 5880 exp(-6 ) - 1400 exp(-4 ) + 105 Ч ) Ч exp(-2 ) - 1 .
(0,1) 3

(0,1)

2

( ( , ) 2 = exp(- ) 250 exp(-4 ) - 72 Ч 2 ) Ч exp(-2 ) + 1 ; (0,1) ( 2 P3 ( , ) 2 = - exp(- ) 1715 exp(-6 ) - 1125 Ч 2 ) Ч exp(-4 ) + 135 exp(-2 ) - 1 ; (0,1) ( 2 P4 ( , ) 2 = exp(- ) 10206 exp(-8 ) - 10976 Ч 2

(0,1)


36

Аналитические представления во временной области

) Ч exp(-6 ) + 3150 exp(-4 ) - 216 exp(-2 ) + 1 ; (0,1) ( 2 P5 ( , ) 2 = - exp(- ) 55902 exp(-10 ) - 85050 Ч 2 Ч exp(-8 ) + 41160 exp(-6 ) - 7000 exp(-4 ) + 315 Ч ) Ч exp(-2 ) - 1 . 2 Pk
(0,1)

[1.57]

n Pk

(0,1)

( , )



n

( , )
100 0 -100 -200 -300 -400 0



2

(0,1) P4 (0,1) P2 (0,1) P0 (0,1) P1 (0,1) P3 (0,1) P5

k (k)(k + s + 1) Ч s s s=0 ( ) Ч (-1)s (2s + 1)n exp -(2s + 1) .

= (- )

n

Частные случаи для n-ой производной функций 0-5 порядков:

nP nP nP

(0,1) ( 0 n (0,1) ( 1 n (0,1) ( 2 n

, ) , ) , )

= (- ) exp(- ); ( ) n n = -(- ) exp(- ) 3ћ 3 exp(-2 ) - 1 ;

n

1

2

3

4



Рис. 1.55. Вид 2-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 0, = 1

[1.56]

3 Pk

(0,1)

( , )



3

= -

k (k)(k + s + 1) (-1)s Ч s s s=0 ( ) Ч (2s + 1)3 exp -(2s + 1) . 3

( n n n = (- ) exp(- ) 10ћ 5 exp(-4 ) - 8ћ 3 Ч ) Ч exp(-2 ) + 1 ; (0,1) ( n P3 ( , ) n n = -(- ) exp(- ) 35ћ 7 exp(-6 ) - n ) n n - 45ћ 5 exp(-4 ) + 15ћ 3 exp(-2 ) - 1 ; n (0,1) ( P4 ( , ) n n = (- ) exp(- ) 126ћ 9 exp(-8 ) - n n n n - 224ћ 7 exp(-6 ) + 126ћ 5 exp(-4 ) - 24ћ 3 exp(-2 ) + ) +1 ; (0,1) ( n P5 ( , ) n n = -(- ) exp(- ) 462ћ 11 exp(-10 ) - n n n n - 1050ћ 9 exp(-8 ) + 840ћ 7 exp(-6 ) - 280ћ 5 exp(-4 ) + ) n + 35ћ 3 exp(-2 ) - 1 . nP
(0,1) ( k n

Частные случаи для 3-ой производной функций 0-5 порядков:

, )

3 P0
3

(0,1)

( , ) , )



3

= - exp(- ); ( ) 3 = exp(- ) 81 exp(-2 ) - 1 ; ( 3 = - exp(- ) 1250 exp(-4 ) - 216 Ч ) 1; ( 3 = exp(- ) 12005 exp(-6 ) - 5625 Ч ) 405 exp(-2 ) - 1 ; ( 3 = - exp(- ) 91854 exp(-8 ) - 76832 Ч ) 15750 exp(-4 ) - 648 exp(-2 ) + 1 ; ( 3 = exp(- ) 614922 exp(-10 ) -

3

(0,1) P1 ( 3 (0,1)

20

3 P2

( , )

3 Ч exp(-2 ) + 3 P3
(0,1)

0

( , )

3 Ч exp(-4 ) + ( , ) 3 Ч exp(-6 ) + 3 P5
(0,1)

3 P4

(0,1)

-20 0 2 4 1 0 2 4 3

n

( , )

3 - 765450 exp(-8 ) + 288120 exp(-6 ) - 35000 exp(-4 ) + ) + 945 exp(-2 ) - 1 . 3 Pk
(0,1)

( , )

Рис. 1.57. Вид n-ой производной ортогональных функций Якоби 2-ого порядка; n = 0..5, = 0, 25, c = 2, = 0, = 1



3

1000

P5

(0,1)

[1.58]

Pk

(0,2)

( , )

0

P3 (0,1) P1 P0 (0, P2
(0,1) 1)

(0,1)



= -

k (k)(k + s + 2) (-1)s Ч s s s=0 ( ) Ч (2s + 1) exp -(2s + 1) .

Частные случаи для 1-ой производной функций 0-5 порядков:

P P P

P4
-1000 0

(0,1)

(0,2) 0 (0,2) 1

( , ) = - exp(- ); ( ) ( , ) = exp(- ) 12 exp(-2 ) - 1 ; ( ( , ) = - exp(- ) 75 exp(-4 ) - 30 exp(-2 ) +

1

2

3

4



Рис. 1.56. Вид 3-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 0, = 1

(0,2) 2


1.2 Аналитические соотношения для производных ортогональных функций

37

) +1 ; ( ( , ) = exp(- ) 392 exp(-6 ) - 315 exp(-4 ) + ) + 54 exp(-2 ) - 1 ; (0,2) ( P4 ( , ) = - exp(- ) 1890 exp(-8 ) - 2352 Ч ) Ч exp(-6 ) + 840 exp(-4 ) - 84 exp(-2 ) + 1 ; (0,2) ( P5 ( , ) = exp(- ) 8712 exp(-10 ) - 14850 Ч Ч exp(-8 ) + 8400 exp(-6 ) - 1800 exp(-4 ) + 120 Ч ) Ч exp(-2 ) - 1 . P
(0,2) 3

2 Pk

(0,2)

( , )



2

P4

(0,2)

0

P2 (0,2) P0 P1 P3 P5
(0,2)

(0,2)

(0,2)

(0,2)

-500

P

(0,2) k

( , )

-1000 0

1

2

3

4




100

Рис. 1.59. Вид 2-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 0, = 2

P5

(0,2)

P3
0

(0,2) (0,2) P1

P2
-100 0

(0,2) P0 (0,2)

[1.60]

3 Pk

(0,2)

( , )

P4

(0,2)



3

= -

1

2

3

4



k (k)(k + s + 2) (-1)s Ч s s s=0 ( ) Ч (2s + 1)3 exp -(2s + 1) . 3

Рис. 1.58. Вид 1-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 0, = 2

Частные случаи для 3-ой производной функций 0-5 порядков:

3 P0

(0,2)

( , ) ( , )

3 P1 3 P2

3

= - exp(- ); ( ) 3 = exp(- ) 108 exp(-2 ) - 1 ;

3

(0,2)

3

[1.59]

2 Pk

(0,2)

( , )



2

=

2

k (k)(k + s + 2) (-1)s Ч s s s=0 ( ) Ч (2s + 1)2 exp -(2s + 1) .

Частные случаи для 2-ой производной функций 0-5 порядков:

2P 2P 2P

(0,2) ( 0 2 (0,2) ( 1 2 (0,2) ( 2 2

, ) , ) , )

= exp(- ); ( ) 2 = - exp(- ) 36 exp(-2 ) - 1 ;

2

( ( , ) 3 = - exp(- ) 1875 exp(-4 ) - 270 Ч 3 ) Ч exp(-2 ) + 1 ; 3 (0,2) ( P3 ( , ) 3 = exp(- ) 19208 exp(-6 ) - 7875 Ч 3 ) Ч exp(-4 ) + 486 exp(-2 ) - 1 ; 3 (0,2) ( P4 ( , ) 3 = - exp(- ) 153090 exp(-8 ) - 115248 Ч 3 ) Ч exp(-6 ) + 21000 exp(-4 ) - 756 exp(-2 ) + 1 ; 3 (0,2) ( P5 ( , ) 3 = exp(- ) 1054152 exp(-10 ) - 3 - 1202850 exp(-8 ) + 411600 exp(-6 ) - 45000 exp(-4 ) + ) + 1080 exp(-2 ) - 1 . 3 Pk
(0,2)

(0,2)

( , )
3000 2000 1000 0



3

( 2 = exp(- ) 375 exp(-4 ) - 90 Ч ) Ч exp(-2 ) + 1 ; 2 (0,2) ( P3 ( , ) 2 = - exp(- ) 2744 exp(-6 ) - 1575 Ч 2 ) Ч exp(-4 ) + 162 exp(-2 ) - 1 ; 2 (0,2) ( P4 ( , ) 2 = exp(- ) 17010 exp(-8 ) - 16464 Ч 2 ) Ч exp(-6 ) + 4200 exp(-4 ) - 252 exp(-2 ) + 1 ; (0,2) ( 2 P5 ( , ) 2 = - exp(- ) 95832 exp(-10 ) - 133650 Ч 2 Ч exp(-8 ) + 58800 exp(-6 ) - 9000 exp(-4 ) + 360 Ч ) Ч exp(-2 ) - 1 .

P

(0,2) 5 (0,2)

P3

P1 P0 (0,2) P2 (0,2) P4 1

(0,2)

(0,2)

-1000 0

2

3

4



Рис. 1.60. Вид 3-ой производной ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 0, = 2


38

Аналитические представления во временной области

[1.61]

n Pk

(0,2)

( , )



n

k (k)(k + s + 2) Ч s s s=0 ( ) Ч (-1)s (2s + 1)n exp -(2s + 1) .

= (- )n

[1.62]

Pk

(0, )

( , )



=-

Частные случаи для n-ой производной функций 0-5 порядков:

k c (k)(k + s + ) (-1)s Ч 2 s=0 s s ( ) Ч (2s + 1) exp -(2s + 1)c /2 .

n P0 ( , ) n = (- ) exp(- ); n
(0,2) ( ) n P1 ( , ) n n = -(- ) exp(- ) 4ћ 3 exp(-2 ) - 1 ; n

(0,2)

Частные случаи для 1-ой производной функций 0-5 порядков:

P P P

(0, ) 0

( , ) ( , )


(0, ) 1

=- =-

( ) c exp -c /2 ; 2 ( )( ) c exp -c /2 1 - 3( + 2) exp(-c ) ; 2



n

(0,2) P2 ( n (0,2)

, )

Ч exp(-2 ) + n P3 ( , ) n n - 63ћ 5 exp(-4
(0,2)

n P4 ( , ) n n n n - 336ћ 7 exp(-6 ) + 168ћ 5 exp(-4 ) - 28ћ 3 exp(-2 ) + ) +1 ; (0,2) ( n P5 ( , ) n n = -(- ) exp(- ) 792ћ 11 exp(-10 ) - n n n n - 1650ћ 9 exp(-8 ) + 1200ћ 7 exp(-6 ) - 360ћ 5 exp(-4 ) + ) n + 40ћ 3 exp(-2 ) - 1 . n Pk
(0,2)

( n n = (- ) exp(- ) 15ћ 5 exp(-4 ) - 10ћ 3 Ч ) 1; ( n n = -(- ) exp(- ) 56ћ 7 exp(-6 ) - ) n ) + 18ћ 3 exp(-2 ) - 1 ; ( n n = (- ) exp(- ) 210ћ 9 exp(-8 ) -
n


(0, ) 2

( , )



n

( )( c ( , ) =- exp -c /2 1 - 6( + 3) exp(-c ) + 2 ) + 5( + 3)( + 4) exp(-2c )/2 ; (0, ) ( )( P3 ( , ) c =- exp -c /2 1 - 9( + 4) exp(-c ) + 2 + 15( + 4)( + ) exp(-2c )/2 - 7( + 4)( + 5)( + 6) Ч 5) Ч exp(-3c )/6 ; (0, ) ( )( P4 ( , ) c =- exp -c /2 1 - 12( + 5) exp(-c ) + 2 + 15( + 5)( + 6) exp(-2c ) - 14( + 5)( + 6)( + 7) Ч ) Ч exp(-3c )/3 + 3( + 5)( + 6)( + 7)( + 8) exp(-4c )/8 ; (0, ) ( )( c P5 ( , ) =- exp -c /2 1 - 15( + 6) exp(-c ) + 2 25( + 6)( + 7) exp(-2c ) - 35( + 6)( + 7)( + 8) Ч Ч exp(-3c )/3 + 15( + 6)( + 7)( + 8)( + 9) exp(-4c )/8 - ) - 11( + 6)( + 7)( + 8)( + 9)( + 10) exp(-5c )/120 .

20

0 -20 -40 0 2 4 1 0 2 3 n 4

Рис. 1.61. Вид n-ой производной ортогональных функций Якоби 2-ого порядка; n = 0..5, = 0, 25, c = 2, = 0, = 2


1.2 Аналитические соотношения для производных ортогональных функций

39

P

(0, ) k

( , )

P

(0, ) k

( , )

0 0



-10

-20

-20

-40 0 0 2 4 1 0 3 2 4 0, 4 0, 8 1, 2 1, 6 4 2 0

-30

а)

б)

Рис. 1.62. Вид 1-ой производной ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 0, 25, c = 2, = 0, [0; 5]; б) (0; 2], c = 2 , = 0, = 1

[1.63]

2 Pk

(0, )

( , )



2

k c2 2 (k)(k + s + ) Ч s 4 s=0 s ( ) Ч (-1)s (2s + 1)2 exp -(2s + 1)c /2 .

=

Частные случаи для 2-ой производной функций 0-5 порядков:

2P 2P 2P

(0, ) ( 0 2 (0, ) ( 1 2 (0, ) ( 2 2

, ) , ) , )

= = =

( ) c2 2 exp -c /2 ; 4 ( )( ) c2 2 exp -c /2 1 - 9( + 2) exp(-c ) ; 4

( )( c2 2 exp -c /2 1 - 18( + 3) Ч 4 ) Ч exp(-c ) + 25( + 3)( + 4) exp(-2c )/2 ;

( )( ( , ) c2 2 = exp -c /2 1 - 27( + 4) Ч 2 4 Ч exp(-c ) + 75( + 4)( + 5) exp(-2c )/2 - 49( + 4)( + 5) Ч ) Ч ( + 6) exp(-3c )/6 ; 2 (0, ) 22 ( )( P4 ( , ) c = exp -c /2 1 - 36( + 5) Ч 2 4 Ч exp(-c ) + 75( + 5)( + 6) exp(-2c ) - 98( + 5)( + 6) Ч Ч ( + 7) exp(-3c )/3 + 27( + 5)( + 6)( + 7)( + 8) Ч ) Ч exp(-4c )/8 ; 2 (0, ) ( )( c2 2 P5 ( , ) = exp -c /2 1 - 45( + 6) exp(-c ) + 2 4 + 125( + 6)( + 7) exp(-2c ) - 245( + 6)( + 7)( + 8) Ч Ч exp(-3c /3 + 135( + 6)( + 7)( + 8)( + 9) exp(-4c )/8 - ) - 121( + 6)( + 7)( + 8)( + 9)( + 10) exp(-5c )/120 . 2 P3
(0, )

2P 2 Pk
(0, )

( , )

(0, ) ( k 2

, )



2

40 30 20 10 0 0 2 4 1 0 3 2 4

600 400

200 0 0 0, 4 0, 8 1, 2 1, 6 б) 4 2 0

а)

Рис. 1.63. Вид 2-ой производной ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 0, 25, c = 2, = 0, [0; 5]; б) (0; 2], c = 2 , = 0, = 1


40

Аналитические представления во временной области

[1.64]

3 Pk

(0, )

( , )



3

k c3 3 (k)(k + s + ) Ч 8 s=0 s s ( ) Ч (-1)s (2s + 1)3 exp -(2s + 1)c /2 .

=-

Частные случаи для 3-ой производной функций 0-5 порядков:

3 P0 3 P1

(0, )

( , )



3

=-

( ) c3 3 exp -c /2 ; 8

( )( c3 3 ( , ) =- exp -c /2 1 - 27( + 2) Ч 3 8 ) Ч exp(-c ) ; (0, ) ( )( 3 P2 ( , ) c3 3 =- exp -c /2 1 - 54( + 3) Ч 3 8 ) Ч exp(-c ) + 125( + 3)( + 4) exp(-2c )/2 ;

(0, )

( )( c3 3 exp -c /2 1 - 81( + 4) Ч 8 Ч exp(-c ) + 375( + 4)( + ) exp(-2c )/2 - 343( + 4) Ч 5) Ч ( + 5)( + 6) exp(-3c )/6 ; (0, ) ( )( 3 P4 ( , ) c3 3 =- exp -c /2 1 - 108( + 5) Ч 3 8 Ч exp(-c ) + 375( + 5)( + 6) exp(-2c ) - 686( + 5) Ч Ч ( + 6)( + 7) exp(-3c )/3 + 243( + 5)( + 6)( + 7)( + 8) Ч ) Ч exp(-4c )/8 ; 3 (0, ) ( )( P5 ( , ) c3 3 =- exp -c /2 1 - 135( + 6) Ч 3 8 Ч exp(-c ) + 625( + 6)( + 7) exp(-2c ) - 1715( + 6) Ч Ч ( + 7)( + 8) exp(-3c )/3 + 1215( + 6)( + 7)( + 8)( + 9) Ч Ч exp(-4c )/8 -) 1331( + 6)( + 7)( + 8)( + 9)( + 10) Ч Ч exp(-5c )/120 . 3 P3
(0, )

( , )

3

=-

3P

(0, ) ( k 3

, )

3 Pk

(0, )

( , )

0 -2000

3

0

-20

-4000 -6000 -8000 0 0 2 4 1 0 3 2 4 0, 4 0, 8 1, 2 1, 6 4 2 0

-40

-60

а)

б)

Рис. 1.64. Вид 3-ой производной ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 0, 25, c = 2, = 0, [0; 5]; б) (0; 2], c = 2, = 0, = 1

[1.65]

n Pk

(0, )

( , )



n

k ( c )n (k)(k + s + ) =- Ч 2 s s s=0 ( ) (-1)s (2s + 1)n exp -(2s + 1)c /2 .

(0, ) ( c )n n P0 ( , ) =- n 2 (0, ) ( c )n n P1 ( , ) =- n 2 ) Ч exp(-c ) ; (0, ) ( c )n n P2 ( , ) =- n 2 n Ч exp(-c ) + 5 ( + 3)(

Частные случаи для n-ой производной функций 0-5 порядков:

( ) exp -c /2 ; ( )( n exp -c /2 1 - 3 ( + 2) Ч ( )( n exp -c /2 1 - 2ћ 3 ( + 3) Ч ) + 4) exp(-2c )/2 ;

( c )n ( )( n - exp -c /2 1 - 3ћ 3 ( + 4) Ч 2 n Ч exp(-c ) + 3ћ 5 ( + 4) Ч ) n Ч ( + 5) exp(-2c )/2 - 7 ( + 4)( + 5)( + 6) exp(-3c )/6 ; n (0, ) ( c )n ( )( P4 ( , ) n =- exp -c /2 1 - 4ћ 3 ( + 5) Ч n 2 n n Ч exp(-c ) + 3ћ 5 ( + 5)( + 6) exp(-2c ) - 2ћ 7 ( + 5) Ч n Ч ( + 6)( + 7) exp(-3c )/3 + 9 ( + 5)( + 6)( + 7)( + 8) Ч ) Ч exp(-4c )/24 ; (0, ) ( c )n ( )( n P5 ( , ) n =- exp -c /2 1 - 5ћ 3 ( + 6) Ч n 2 n n Ч exp(-c ) + 5ћ 5 ( + 6)( + 7) exp(-2c ) - 5ћ 7 ( + 6) Ч n Ч ( + 7)( + 8) exp(-3c ) + 5ћ 9 ( + 6)( + 7)( + 8)( + 9) Ч n Ч exp(-4c ) - 11 ( + 6)( + 7)( + 8)( + 9)( + 10) Ч ) Ч exp(-5c )/120 . nP
(0, ) ( 3 n

, )

=


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 41
(0, ) ( k n

nP

, )

n Pk

(0, )

( , )



n

0 50 5 0 0 -5 ћ 10
5

0

-50 -100 0 2 4 1 0 2 3 n 4 0 1 2 3 4 n 4 2

5

0

а)

б)

Рис. 1.65. Вид n-ой производной ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) n = 0..5, = 0, 25, c = 2, = 0, [0; 5]; б) n = 0..5, (0; 2], c = 2, = 0, = 1

1.3

Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций

Lk ( , )d
0,2

L
0

1

L

3

L5

L
-0,2

0

L2

L4


[1.66]

k ( ) (k) 2 Lk ( , )d = - exp - (- )s Ч 2 s=0 s

-0,4

0

1

2

3

4



Рис. 1.66. Вид неопределенного интеграла от ортогональных функций Лагерра 0-5 порядков; = 8

Ч

s ( 2 )j s-j . (s - j )! j =0
[1.67]

Lk ( , )d = -

k ( ) (k) 2 exp - (- )s Ч 2 s=0 s s+1( j =0

Частные случаи для неопределенного интеграла от функций 0-5 порядков:

L0 ( , )d = - L1 ( , )d = L2 ( , )d = L3 ( , )d = L4 ( , )d = + 24); L5 ( , )d =
22

( ) 2 exp - ; 2 ( ) 2 exp - ( + 1); 2 ( ) 1 22 - exp - ( + 2); 2 ( ) 1 33 22 exp - ( - 3 + 6 + 6); 3 2 ( ) 1 44 33 22 exp - ( - 8 + 24 + - 12 2 ( ) 1 55 44 33 exp - ( - 15 + 80 - 60 2

Ч (s + 1)

2 )j s+1-j . (s + 1 - j )!

Частные случаи для неопределенного интеграла 1-ого рода от функций 0-5 порядков:

( ) 2 exp - ( + 2); 2 2 ( ) 2 22 L1 ( , )d = 2 exp - ( + 3 + 6); 2 ( ) 1 33 22 ( + 2 + 10 + L2 ( , )d = - 2 exp - 2 L0 ( , )d = - ( ) 1 44 33 22 exp - ( - + 12 + 2 3 2 ( ) 1 55 44 33 exp - ( - 6 + 24 + 2 12 2

+ 20); L3 ( , )d =

- 120 + 120 + 120).

+ 42 + 84); L4 ( , )d = -


42

Аналитические представления во временной области

+ 48 + 216 + 432); ( ) 1 66 55 44 L5 ( , )d = exp - ( - 13 + 70 - 60 2 2 - + 360 + 1320 + 2640). 40 Lk ( , )d L5
0,5
33 22
[1.69]

22

3 Lk ( , )d = -

k ( ) (k) 2 exp - (- )s Ч 2 s=0 s s+3 j =0

Ч (s + 1)(s + 2)(s + 3)

( 2 )j s+3-j . (s + 3 - j )!

L
0

1

L

Частные случаи для неопределенного интеграла 3-ого рода от
3

функций 0-5 порядков:

L
-0,5

0

L2

( ) 2 33 22 exp - ( + 6 + 24 + 48); 4 2 ( ) 2 3 44 33 22 L1 ( , )d = 4 exp - ( + 7 + 42 + 2 L0 ( , )d = -
3

L
-1 0 1

4

2

3

4



+ 168 + 336); ( ) 1 3 55 44 33 L2 ( , )d = - 4 exp - ( + 6 + 50 + 2 + 300 + 1200 + 2400); ( ) 1 3 66 55 44 exp - L3 ( , )d = ( + 3 + 48 + 3 4 2 + 378 + 2268 + 9072 + 18144); ( ) 1 3 77 66 L4 ( , )d = - exp - ( - 2 + 48 Ч 12 4 2 Ч + 384 + 3096 + 18576 + 74304 + 148608); ( ) 1 88 77 66 3 exp - ( - 9 + 74 + L5 ( , )d = 60 4 2 + 288 + 3480 + 27720 + 166320 + 665280 + + 1330560). 3 Lk ( , )d L5
4 2
55 44 33 22 55 44 33 22 33 22 22

Рис. 1.67. Вид неопределенного интеграла 1-ого рода от ортогональных функций Лагерра 0-5 порядков; = 8


[1.68]

2 Lk ( , )d = -

k ( ) (k) 2 exp - (- )s Ч 2 s=0 s s+2( j =0

Ч (s + 1)(s + 2)

2 )j s+2-j . (s + 2 - j )!

Частные случаи для неопределенного интеграла 2-ого рода от функций 0-5 порядков:

( 2 exp - 3 2 ( ) 2 2 L1 ( , )d = 3 exp - 2 ( 1 2 L2 ( , )d = - 3 exp - 2 L0 ( , )d = -
2

) 22 ( + 4 + 8); ( + 5 + 20 + 40); ) 44 33 22 ( + 4 + 26 +
33 22

L
0

1

L3 L

+ 104 + 208); ( ) 1 55 44 33 2 ( + + 26 + L3 ( , )d = 3 exp - 2 + 150 + 600 + 1200); ( ) 1 2 66 55 L4 ( , )d = - exp - ( - 4 + 32 Ч 12 3 2 Ч + 160 + 984 + 3936 + 7872); ( ) 3 2 77 66 55 L5 ( , )d = exp - ( - 11 - 68 + 960 2 + 80 + 1240 + 7320 + 29280 + 58560). 2 Lk ( , )d
2 1
44 33 22 44 33 22 22

L
-2

0

2

L
-4 0 1 2

4

3

4



Рис. 1.69. Вид неопределенного интеграла 3-ого рода от ортогональных функций Лагерра 0-5 порядков; = 8


[1.70]

n Lk ( , )d = - Ч

k ( ) (k) 2 exp - (- )s Ч 2 s=0 s

L5

s+n (s + n)! ( 2 )j s+n-j . s! (s + n - j )! j =0

L
0 -1

1 0

L3 L2

Частные случаи для неопределенного интеграла n-ого рода от функций 0-5 порядков:
n ( ) ( 2 )j n-j 2n! exp - ; 2 j =0 (n - j )! n ( ) ( 2 )j n-j 2 n n! - L1 ( , )d = - exp - 2 (n - j )! j =0 n+1( ) 2 j 1+n-j ; - (n + 1)! (1 + n - j )! j =0

L



L0 ( , )d = -

n

L
-2 0 1

4

2

3

4



Рис. 1.68. Вид неопределенного интеграла 2-ого рода от ортогональных функций Лагерра 0-5 порядков; = 8


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 43
n ( ) ( 2 )j n-j 2 n! exp - - 2 (n - j )! j =0

L2 ( , )d = -
n+1( j =0 n




[1.71]

Lk ( , )d = -

(1)

k ( ) (k + 1) 2 exp - Ч 2 s=0 k - s

- 2 (n + 1)! Ч
n+2( j =0

2 )j 2+n-j ; (2 + n - j )!

2 )j 1+n-j 12 + (n + 2)! Ч (1 + n - j )! 2
0-5 порядков:
(1)

Ч (- )s

s ( 2 )j s-j . (s - j )! j =0

Частные случаи для неопределенного интеграла от функций

n ( ) ( 2 )j n-j 2 n n! - L3 ( , )d = - exp - 2 (n - j )! j =0 n+1( j =0

L0 ( , )d = - L1 ( , )d = L2 ( , )d = L3 ( , )d = L4 ( , )d =
(1) (1) (1) (1)

- 3 (n + 1)! Ч
n+2(

n+3( ) 2 j 3+n-j 2 )j 2+n-j 13 ; - (n + 3)! (2 + n - j )! 6 (3 + n - j )! j =0 j =0 n ( ) ( 2 )j n-j 2 n n! L4 ( , )d = - exp - - 2 (n - j )! j =0
n+1( j =0 n+2(

32 2 )j 1+n-j + (n + 2)! Ч (1 + n - j )! 2

( ) 2 exp - ; 2 ( ) ; 2 exp - 2 ( ) 1 22 - exp - ( - 2 + 2); 2 ( ) 1 22 exp - ( - 6 + 12); 3 2 ( ) 1 44 33 22 exp - - ( - 12 + 48 - 12 2

- 4 (n + 1)!

2 )j 1+n-j 2 + 3 (n + 2)! Ч (1 + n - j )! 2 )j 3+n-j + (3 + n - j )!

n+3( 2 )j 2+n-j 23 Ч - (n + 3)! (2 + n - j )! 3 j =0 j =0 n+4( ) 2 j 4+n-j 14 ; + (n + 4)! 24 (4 + n - j )! j =0 n ( ) ( 2 n n! L5 ( , )d = - exp - 2 j =0

- 48 + 24); ( ) 1 (1) 44 33 22 exp - ( - 20 + 140 - L5 ( , )d = 60 2 - 360 + 360). (1) (1) Lk ( , )d L5
0,1
(1) 1 (1)

L
0

L3

2 )j n-j - (n - j )!

L
-0,1 -0,2 -0,3

(1) 0

L2

(1)

L4

(1)

- 5 (n + 1)! Ч +
n+2( j =0

n+1( j =0

2 )j 1+n-j 2 + 5 (n + 2)! Ч (1 + n - j )!

n+3( ) 2 j 3+n-j 2 )j 2+n-j 53 - (n + 3)! + (2 + n - j )! 3 (3 + n - j )! j =0

0

1

2

3

4



n+4( ) 2 j 4+n-j 54 15 (n + 4)! - (n + 5)! Ч 24 (4 + n - j )! 120 j =0 n+5( ) 2 j 5+n-j . Ч (5 + n - j )! j =0

Рис. 1.71. Вид неопределенного интеграла от ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 8, = 1


[1.72]

Lk ( , )d

n

Lk ( , )d = -

(1)

k ( ) (k + 1) 2 exp - Ч 2 s=0 k - s s+1( j =0

Ч (- )s (s + 1)
-0, 5

2 )j s+1-j . (s + 1 - j )!

Частные случаи для неопределенного интеграла 1-ого рода от функций 0-5 порядков:

-1

L0 ( , )d = - L1
(1)

(1)

-1, 5 0 2 4 0 1 2 3

L2 4 n L3

(1)

(1)

( ) 2 exp - ( + 2); 2 2 ( ) 2 22 ( + 2 + 4); ( , )d = 2 exp - 2 ( ) 1 33 ( , )d = - 2 exp - ( + 6 + 12); 2 ( ) 1 44 33 22 exp - ( - 4 + 12 + ( , )d = 3 2 2 ( ) 1 55 44 exp - ( - 10 + 40 Ч 12 2 2

Рис. 1.70. Вид неопределенного интеграла n-ого рода от ортогональных функций Лагерра 2-ого порядка; n = 0..5,

+ 24 + 48); (1) L4 ( , )d = -
33

=8

Ч + 120 + 240); ( ) 1 (1) 66 55 L5 ( , )d = exp - ( - 18 + 120 Ч 2 60 2 Ч - 240 + 360 + 720 + 1440).
44 33 22


44

Аналитические представления во временной области



Lk ( , )d
0,4 0,2

(1)

L5
(1)

(1)
[1.74]



3 Lk ( , )d = -

(1)

k ( ) (k + 1) 2 exp - Ч 2 s=0 k - s s+3 j =0

L
0
(1)

(1) 1

L3

Ч (- )s (s + 1)(s + 2)(s + 3)

( 2 )j s+3-j . (s + 3 - j )!

L0
-0,2 -0,4

L

(1) 2

Частные случаи для неопределенного интеграла 3-ого рода от

L4
0 1 2

(1)

функций 0-5 порядков:

L
3 4

3

(1) 0

( , )d = -

+ 48); 3 L
(1) 1

( ) 2 33 22 exp - ( + 6 + 24 + 4 2

Рис. 1.72. Вид неопределенного интеграла 1-ого рода от ортогональных функций Сонина-Лагерра 0-5 порядков; = 8, = 1

( , )d =

( ) 2 44 33 22 exp - ( + 6 + 36 + 4 2

+ 144 + 288); ( ) 1 3 (1) 55 44 33 L2 ( , )d = - 4 exp - ( + 4 + 38 + 2


[1.73]



2

(1) Lk

k ( ) (k + 1) 2 Ч ( , )d = - exp - 2 s=0 k - s s s+2( j =0

+ 228 + 912 + 1824); ( ) 1 3 (1) 66 44 L3 ( , )d = exp - ( + 36 + 264 Ч 4 3 2 Ч + 1584 + 6336 + 12672); ( ) 1 3 (1) 77 66 L4 ( , )d = - exp - ( - 6 + 48 Ч 12 4 2 Ч + 240 + 2040 + 12240 + 48960 + 97920); ( ) 1 88 77 3 (1) exp - ( - 14 + 104 Ч L5 ( , )d = 60 4 2 Ч + 48 + 2280 + 17520 + 105120 + + 420480 + 840960). 3 (1) Lk ( , )d
2
66 55 44 33 22 55 44 33 22 33 22

22

Ч (- ) (s + 1)(s + 2)

2 )j s+2-j . (s + 2 - j )!

Частные случаи для неопределенного интеграла 2-ого рода от функций 0-5 порядков:

L L L
2 2

2

(1) 0

(1) 1 (1) 2

( 2 exp 3 ( 2 ( , )d = 3 exp - ( 1 ( , )d = - 3 exp ( , )d = -

) 2 2 ( + 4 + 8); 2 ) 3 3 22 ( + 4 + 16 + 32); 2 ) 4 4 33 22 - ( + 2 + 18 + 2 -

L3 L
(1) 1

(1)

L5

(1)

+ 72 + 144); ( ) 1 55 44 33 2 (1) ( - 2 + 20 + L3 ( , )d = 3 exp - 2 + 96 + 384 + 768); ( ) 1 2 (1) 66 55 L4 ( , )d = - exp - ( - 8 + 40 Ч 12 3 2 Ч + 80 + 600 + 2400 + 4800); ( ) 3 2 (1) 77 66 L5 ( , )d = exp - ( - 16 + 108 Ч 960 2 Ч - 120 + 840 + 4320 + 17280 + 34560). 2 (1) Lk ( , )d
55 44 33 22 44 33 22 22

0

L
-2

(1) 0

L2

(1)

L

(1) 4

-4

0

1

2

3

4



Рис. 1.74. Вид неопределенного интеграла 3-ого рода от ортогональных функций Сонина-Лагерра 0-5 порядков; = 8, = 1

1
(1) L3


L
(1) 5
[1.75]

n Lk ( , )d = - Ч (- )s

(1)

L1
0

(1)

k ( ) (k + 1) 2 exp - Ч 2 s=0 k - s

L

(1) 0

L
-1

(1) 2

s+n (s + n)! ( 2 )j s+n-j . s! (s + n - j )! j =0

L
0 1 2

(1) 4

Частные случаи для неопределенного интеграла n-ого рода от 3 4



функций 0-5 порядков:



Рис. 1.73. Вид неопределенного интеграла 2-ого рода от ортогональных функций Сонина-Лагерра 0-5 порядков; = 8, = 1

L0 ( , )d = -
n

n

(1)

L1

(1)

n ( ) ( 2 )j n-j 2n ! exp - ; 2 j =0 (n - j )! n ( ) ( 2 )j n-j 2 n! - ( , )d = - exp - 2 (n - j )! j =0


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 45

- 2 (n + 1)!
n (1)

L2

2 )j 1+n-j ; (1 + n - j )! j =0 n ( ) ( 2 ) j n- j 2 n! ( , )d = - exp - - 2 (n - j )! j =0
n+1( j =0

n+1(




[1.76]

Lk ( , )d = -

(2)

k ( ) (k + 2) 2 exp - Ч 2 s=0 k - s

- 3 (n + 1)! Ч
n n+2( j =0

2 )j 2+n-j ; (2 + n - j )!

2 )j 1+n-j 32 + (n + 2)! Ч (1 + n - j )! 2

Ч (- )s

s ( 2 )j s-j . (s - j )! j =0

Частные случаи для неопределенного интеграла от функций 0-5 порядков:
(2)

L3

(1)

n ( ) ( 2 ) j n- j 2 n! - ( , )d = - exp - 2 (n - j )! j =0 n+1( j =0

L0 ( , )d = - L1 ( , )d = L2 ( , )d =
(2) (2)

- 4 (n + 1)! Ч
n+2(

2 )j 1+n-j 2 + 3 (n + 2)! Ч (1 + n - j )! )j

n+3( 2 2 )j 2+n-j 23 - (n + 3)! (2 + n - j )! 3 j =0 j =0 n( ( ) 2 n (1) n! L4 ( , )d = - exp - 2 j =0 n+1( j =0 n+2(

3+n-j ; (3 + n - j )!





L3 ( , )d = L4 ( , )d = - 144 + 72); (2) L5 ( , )d =
22 (2)

(2)

2 ) j n- j - (n - j )!

( ) 2 exp - ; 2 ( ) 2 exp - ( - 1); 2 ( ) 1 22 ( - 4 + 4); - exp - 2 ( ) 1 33 22 exp - ( - 9 + 24 - 12); 3 2 ( ) 1 44 33 22 - exp - ( - 16 + 84 - 12 2 ( ) 1 55 44 33 exp - ( - 25 + 220 - 60 2 L
(2) 3

- 5 (n + 1)!

2 )j 1+n-j 2 + 5 (n + 2)! Ч (1 + n - j )! )j + (3 + n - j )!
3+n-j

n+3( 2 2 )j 2+n-j 53 Ч - (n + 3)! (2 + n - j )! 3 j =0 j =0 n+4( ) 2 j 4+n-j 54 ; + (n + 4)! 24 (4 + n - j )! j =0 n ( ) ( 2 n (1) n! L5 ( , )d = - exp - 2 j =0

- 780 + 1080 - 360). (2) (2) L1 Lk ( , )d
0 -0,2

L5

(2)

L0

(2)

L2

(2)

L4

(2)

2 ) j n- j - (n - j )!

-0,4 -0,6 -0,8

- 6 (n + 1)! Ч +
n+2( j =0

n+1( j =0

15 2 2 )j 1+n-j + (n + 2)! Ч (1 + n - j )! 2

n+3( ) 2 j 3+n-j 2 )j 2+n-j 10 3 - (n + 3)! + (2 + n - j )! 3 (3 + n - j )! j =0 n+4( j =0

0

1

2

3

4



54 (n + 4)! 8
n+5( j =0

Ч

2 )j 5+n-j . (5 + n - j )! n (1) Lk ( , )d

2 )j 15 - (n + 5)! Ч (4 + n - j )! 20
4+n-j

Рис. 1.76. Вид неопределенного интеграла от ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 8, = 2


[1.77]

Lk ( , )d = -

(2)

k ( ) (k + 2) 2 exp - Ч 2 s=0 k - s s+1( j =0

Ч (- )s (s + 1)
-0, 5

2 )j s+1-j . (s + 1 - j )!

Частные случаи для неопределенного интеграла 1-ого рода от функций 0-5 порядков:

L0 ( , )d = - -1 0 2 4 0 1 2 3 n L1
(2)

(2)

L2 4 L3

(2)

(2)

( ) 2 exp - ( + 2 2 ( ) 2 22 ( , )d = 2 exp - ( + 2 ( ) 1 33 ( ( , )d = - 2 exp - 2 ( ) 1 44 exp - ( 3( , )d = 2 3 2

2); + 2); - 2 + 4 + 8); - 7 + 18 +
33 22 22

Рис. 1.75. Вид неопределенного интеграла n-ого рода от ортогональных функций Сонина-Лагерра 2-ого порядка; n = 0..5, = 8, = 1

+ 12 + 24); (2) L4 ( , )d = -
33 22

( ) 1 55 44 exp - ( - 14 + 68 Ч 2 12 2

Ч - 72 + 72 + 144);


46

Аналитические представления во временной области



L5 ( , )d =
44 33

(2)

( ) 1 66 55 exp - ( - 23 + 190 Ч 60 2 2
22

Ч - 580 + 720 + 360 + 720). (2) Lk ( , )d
0,2


[1.79]

3 Lk ( , )d = -

(2)

k ( ) (k + 2) 2 exp - Ч 2 s=0 k - s s+3 j =0

L5
0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3

(2)

Ч (- )s (s + 1)(s + 2)(s + 3)

L1

(2)

L

(2) 3

( 2 )j s+3-j . (s + 3 - j )!

Частные случаи для неопределенного интеграла 3-ого рода от
(2) 0

L

L

(2) 2

функций 0-5 порядков:

L

(2) 4

L + 48); 3 L
3 4

3

(2) 0

( , )d = -

( ) 2 33 22 exp - ( + 6 + 24 + 4 2

(2) 1

( , )d =

0

1

2



( ) 2 44 33 22 exp - ( + 5 + 30 + 4 2

Рис. 1.77. Вид неопределенного интеграла 1-ого рода от ортогональных функций Сонина-Лагерра 0-5 порядков; = 8, = 2

+ 120 + 240); ( ) 1 3 (2) 55 44 33 L2 ( , )d = - 4 exp - ( + 2 + 28 + 2 + 168 + 672 + 1344); ( ) 1 3 (2) 66 55 44 L3 ( , )d = exp - ( - 3 + 30 + 4 3 2 + 180 + 1080 + 4320 + 8640); ( ) 1 3 (2) 77 66 L4 ( , )d = - exp - ( - 10 + 60 Ч 12 4 2 Ч + 120 + 1320 + 7920 + 31680 + 63360); ( ) 1 88 77 3 (2) exp - ( - 19 + 154 Ч L5 ( , )d = 60 4 2 Ч - 252 + 1680 + 10920 + 65520 + + 262080 + 524160). 3 (2) Lk ( , )d
2
66 55 44 33 22 55 44 33 22 33 22 22


[1.78]

2 Lk ( , )d = -

(2)

k ( ) (k + 2) 2 exp - Ч 2 s=0 k - s s+2( j =0

Ч (- )s (s + 1)(s + 2)

2 )j s+2-j . (s + 2 - j )!

Частные случаи для неопределенного интеграла 2-ого рода от функций 0-5 порядков:

L L L + 96); 2 L
2 2

2

(2) 0

(2) 1 (2) 2

( ) 2 22 ( + 4 + 8); ( , )d = - 3 exp - 2 ( ) 2 33 22 ( , )d = 3 exp - ( + 3 + 12 + 24); 2 ( ) 1 44 22 ( , )d = - 3 exp - ( + 12 + 48 + 2 ( , )d = ( ) 1 55 44 33 exp - ( - 5 + 20 + 3 2

L
1

(2) 5

L
0

L1 L
(2) 0

(2)

(2) 3

(2) 3

+ 60 + 240 + 480); ( ) 1 2 (2) 66 55 L4 ( , )d = - exp - ( - 12 + 60 Ч 12 3 2 Ч + 360 + 1440 + 2880); ( ) 3 2 (2) 77 66 L5 ( , )d = exp - ( - 21 + 168 Ч 960 2 Ч - 420 + 840 + 2520 + 10080 + 20160). 2 (2) Lk ( , )d
0,5
55 44 33 22 44 22

22

L

-1 -2

(2) 2

L

(2) 4

0

1

2

3

4



Рис. 1.79. Вид неопределенного интеграла 3-ого рода от ортогональных функций Сонина-Лагерра 0-5 порядков; = 8, = 2


L
(2) 1 (2) L3

L

(2) 5

[1.80]

n Lk ( , )d = - Ч (- )s

(2)

k ( ) (k + 2) 2 exp - Ч 2 s=0 k - s

0

L0
-0,5

(2)

L

(2) 2

(2) L4

s+n (s + n)! ( 2 )j s+n-j . s! (s + n - j )! j =0

Частные случаи для неопределенного интеграла n-ого рода от функций 0-5 порядков:



-1

0

1

2

3

4



L0 ( , )d = -

n

(2)

Рис. 1.78. Вид неопределенного интеграла 2-ого рода от ортогональных функций Сонина-Лагерра 0-5 порядков; = 8, = 2

L1

n

(2)

n ( ) ( 2 )j n-j 2n ! exp - ; 2 j =0 (n - j )! n ( ) ( 2 )j n-j 2 n! - ( , )d = - exp - 2 (n - j )! j =0


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 47

- 3 (n + 1)!
n (2)

L2

2 )j 1+n-j ; (1 + n - j )! j =0 n ( ) ( 2 ) j n- j 2 n! ( , )d = - exp - - 2 (n - j )! j =0
n+1( j =0

n+1(



L
n

(2) k

( , )d

-0, 5

- 4 (n + 1)! Ч
n 2+n j =0

( 2 )j 2+n-j ; (2 + n - j )!
(2)

2 )j 1+n-j 2 + 3 (n + 2)! Ч (1 + n - j )! n ( ) ( 2 ) j n- j 2 n! exp - - 2 (n - j )! j =0

-1

L3 ( , )d = -
n+1( j =0 n+2(

0 2 4 0 1 2 3

- 5 (n + 1)!

2 )j 1+n-j 2 + 5 (n + 2)! Ч (1 + n - j )! )j

4

n

n+3( 2 2 )j 2+n-j 53 Ч - (n + 3)! (2 + n - j )! 3 j =0 j =0 n( ( ) 2 n (2) n! L4 ( , )d = - exp - 2 j =0

3+n-j ; (3 + n - j )!

Рис. 1.80. Вид неопределенного интеграла n-ого рода от ортогональных функций Сонина-Лагерра 2-ого порядка; n = 0..5, = 8, = 2

2 ) j n- j - (n - j )!
[1.81]

- 6 (n + 1)!
n+2(

n+1( j =0

15 2 2 )j 1+n-j + (n + 2)! Ч (1 + n - j )! 2



Lk ( , )d = -

()

k ( ) (k + ) 2 exp - Ч 2 s=0 k - s

n+3( ) 2j 2 )j 2+n-j 10 3 Ч - (n + 3)! Ч (2 + n - j )! 3 j =0 j =0 n+4( ) 2 j 4+n-j 3+n-j 54 ; Ч + (n + 4)! (3 + n - j )! 8 (4 + n - j )! j =0 n ( ) ( 2 ) j n- j 2 n (2) n! L5 ( , )d = - exp - - 2 (n - j )! j =0

Ч (- )s

s ( 2 )j s-j . (s - j )! j =0

Частные случаи для неопределенного интеграла от функций 0-5 порядков:

L0 L1 L2 L3
2

( )

( , )d = - ( , )d ( , )d ( , )d

( )

- 7 (n + 1)! Ч Ч
n+2( j =0

1+n j =0

( 2 )j 1+n-j 21 2 + (n + 2)! Ч (1 + n - j )! 2

( )

n+3( ) 2j 2 )j 2+n-j 35 3 - (n + 3)! Ч (2 + n - j )! 6 j =0

( )

n+4( ) 2 j 4+n-j 3+n-j 35 4 + (n + 4)! - (3 + n - j )! 24 (4 + n - j )! j =0 n+5( ) 2 j 5+n-j 75 . - (n + 5)! 40 (5 + n - j )! j =0

Ч ( + + 2) ( ) L4 ( , )d
2

( ) 2 exp - ; 2 ( ) 2 = exp - ( - + 1); 2 ( )( ) 1 22 2 - 2 + - + 2 ; = - exp - 2 ( )( 1 33 22 = exp - - 3( + 1) + 3 Ч 3 2 ) 3 - - 5 + 6 ; ( )( 1 44 33 =- exp - - 4( + 2) + 6 Ч 12 2
22 3 2 4 3 2

Ч ( + 3) 4) - 4( + 3 + 8) + + 2 + 11 - + - 14 + 24 ; ( )( 1 ( ) 55 44 L5 ( , )d = exp - - 5( + 3) + 10 Ч 60 2 Ч ( + 5 + 8) - 10( + 6 + 17 + 12) + 5( + 6 + ) 2 5 4 3 2 + 23 + 18 + 24) - - 5 - 25 + 5 - 94 + 120 .
2 33 3 2 22 4 3


48

Аналитические представления во временной области

L 0

( ) k

( , )d L

() k

( , )d

-0, 1 -1 -0, 2 -0, 3 -2 5 0 2 4 1 0 3 2 4 6 7 8 9 4 2 0

а)

б)

Рис. 1.81. Вид неопределенного интеграла от ортогональных функций Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) = 8, [0; 5]; б) [5; 10], = 1


[1.82]

Lk ( , )d = -

()

k ( ) (k + ) 2 exp - Ч 2 s=0 k - s s+1( j =0

) 2 2 + ( - 5 + 10) + 2 - 10 + 20 ; ( )( 1 ( ) 44 33 L3 ( , )d = exp - - (3 + 1) + 3 2 2 + 3( - + 4) - ( - 6 + 23 - 42) - 2( + 6 - ) - 23 + 42) ; ( )( 1 ( ) 55 44 exp - - 2(2 + 3) + L4 ( , )d = - 12 2 2 + 2(3 + 5 + 12) - 4( + 11 - 12) + ( + 6 + ) 2 4 3 2 + 35 - 126 + 216) + 2( - 6 + 35 - 126 + 216) ; ( )( 1 ( ) 66 55 - (5 + 13) + L5 ( , )d = exp - 60 2 2 + 10( + 4 + 7) - 10( + 4 + 15 + 4) + 5( + 2 + 2 22 5 4 3 2 + 23 - 26 + 72) - ( - 5 + 45 - 235 + 794 - ) 5 4 3 2 - 1320) - 2( - 5 + 45 - 235 + 794 - 1320) . L
() k 2 44 3 2 33 4 3 2 33 3 22 4 3 2 22 3 2 3 2

Ч (- )s (s + 1)

2 )j s+1-j . (s + 1 - j )!

Частные случаи для неопределенного интеграла 1-ого рода от функций 0-5 порядков:

L0

( )

L1 L2

(

(

( 2 exp - 2 2 ( ) 2 ) ( , )d = 2 exp - 2 ( 1 ) ( , )d = - 2 exp - 2 ( ) Lk ( , )d ( , )d = -

) ( + 2);

(

) 22 - ( - 3) - 2 + 6 ; - 2( - 1) +
33 22

)(

( , )d

0

-0, 1

-0, 2

-0, 2 -0, 4 -0, 3 0 2 4 0 1 2 4 3 5 6 0 7 8 2 9 4

а)

б)

Рис. 1.82. Вид неопределенного интеграла 1-ого рода от ортогональных функций Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) = 8, [0; 5]; б) [5; 10], = 1


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 49


[1.83]

2 Lk ( , )d = -

()

k ( ) (k + ) 2 exp - Ч 2 s=0 k - s s+2( j =0

) 2 22 2 2 + ( - 9 + 26) + 4( - 9 + 26) + 8( - 9 + 26) ; ( )( 1 2 ( ) 55 44 L3 ( , )d = exp - - (3 - 1) + 3 3 2 + (3 - 9 + 26) - ( - 12 + 65 - 150) - 4 Ч ) 3 2 3 2 Ч ( - 12 + 65 - 150) - 8( + 12 - 65 + 150) ; ( )( 1 2 ( ) 66 55 L4 ( , )d = - exp - - 4( + 1) + 12 3 2 + 2(3 + + 16) - 4( - 3 + 22 - 40) + 4 3 2 22 4 3 + ( - 14 + 107 - 478 + 984) + 4( - 14 + 107 Ч ) 2 4 3 2 Ч - 478 + 984) + 8( - 14 + 107 - 478 + 984) ; ( )( 1 2 ( ) 77 66 L5 ( , )d = exp - - (5 + 11) + 60 3 2 + Ч Ч Ч 2(5 + 15 + 34) - 10( + 2 + 17 - 8) + 5 Ч 4 3 2 33 5 4 3 ( - 2 + 39 - 118 + 248) - ( - 15 + 145 - 945 Ч 2 22 5 4 3 2 + 3814 - 7320) - 4( - 15 + 145 - 945 + 3814 Ч ) 5 4 3 2 - 7320) - 8( - 15 + 145 - 945 + 3814 - 7320) . L
2 2 55 3 2 44 2 44 3 2 33 2 33 3 2 22

Ч (- )s (s + 1)(s + 2)

2 )j s+2-j . (s + 2 - j )!

( 2 exp - 3 2 ( ) 2 2 ( ) L1 ( , )d = 3 exp - 2 ) Ч ( - 5) - 8( - 5) ; ( 1 2 ( ) L2 ( , )d = - 3 exp - 2 2 ( ) Lk ( , )d L0
2 ( )

Частные случаи для неопределенного интеграла 2-ого рода от функций 0-5 порядков:

( , )d = -

) 22 ( + 4 + 8);
33

(

- ( - 5) - 4 Ч

22

)(

- 2( - 2) +

44

33

( ) k

( , )d

-0, 1 -0, 2 -0, 3 -1 -0, 4 0 2 4 1 0 2 4 3 5 0 7 8 2 9 4 -0, 5

6

а)

б)

Рис. 1.83. Вид неопределенного интеграла 2-ого рода от ортогональных функций Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) = 8, [0; 5]; б) [5; 10], = 1

L
3

( ) 3

( , )d =

( )( 1 66 55 exp - - 3( - 1) + 3 Ч 3 4 2
3 2


[1.84]

3 Lk ( , )d = -

()

k ( ) (k + ) 2 exp - Ч 2 s=0 k - s s+3( j =0

Ч (- )s (s + 1)(s + 2)(s + 3)

2 )j s+3-j . (s + 3 - j )!

Ч ( - 5 + 16) - ( - 18 2 22 3 - 18 + 131 - 378) - 24( ) 3 2 - 48( - 18 + 131 - 378) ; ( 1 3 ( ) L4 ( , )d = - exp - 12 4
66 2 55

2

44

+ 131 - 378) - 6( - 2 - 18 + 131 - 378) - )( 7 7 - 2(2 + 1) Ч 2
2 44

33

3

Частные случаи для неопределенного интеграла 3-ого рода от функций 0-5 порядков:

L0

3

( )

( , )d = -

( ) 2 33 22 exp - ( + 6 + 24 + 4 2

+ 48); ( )( 2 3 ( ) 44 33 L1 ( , )d = 4 exp - - ( - 7) - 6 Ч 2 ) 22 Ч ( - 7) - 24( - 7) - 48( - 7) ; ( )( 1 3 ( ) 55 44 L2 ( , )d = - 4 exp - - 2( - 3) + 2 + ( - 13 + 50) + 6( - 13 + 50) + 24( - 13 + ) 2 + 50) + 48( - 13 + 50) ;
2 33 2 22 2

Ч + 6( - + 8) - 4( - 6 + 41 - 96) + 4 3 2 33 4 3 + 4( - 22 + 227 - 1262 + 3096) + 6( - 22 + 227 Ч 2 22 4 3 2 Ч - 1262 + 3096) + 24( - 22 + 227 - 1262 + ) 4 3 2 + 3096) + 48( - 22 + 227 - 1262 + 3096) ; ( )( 1 3 ( ) 88 77 L5 ( , )d = exp - - (5 + 9) + 60 4 2 + - + + + Ч 2(5 + 10 + 37) - 2(5 - 115 + 144) + 5( - 3 2 44 5 4 3 2 6 + 71 - 306 + 696) - ( - 25 + 325 - 2615 + 33 5 4 3 2 12514 - 27720) - 6( - 25 + 325 - 2615 + 22 5 4 3 2 12514 - 27720) - 24( - 25 + 325 - 2615 + 5 4 3 2 12514 - 27720) - 48( - 25 + 325 - 2615 + 12514 Ч ) - 27720) .
2 66 3 55 4

3


50

Аналитические представления во временной области

L
3

( ) k

( , )d L
3

( ) k

( , )d

-0, 2

-1

-0, 4

-2

0 2 2 4 1 0 4 3

5 6 7 8 9 4 2

0

а)

б)

Рис. 1.84. Вид неопределенного интеграла 3-ого рода от ортогональных функций Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) = 8, [0; 5]; б) [5; 10], = 1


[1.85]

n Lk ( , )d = - Ч (- )s

()

k ( ) (k + ) 2 exp - Ч 2 s=0 k - s

s +n (s + n)! ( 2 )j s+n-j . s! (s + n - j )! j =0

n+3 1 ( 2 )j 3+n-j ; - ( + 1)( + 2)( + 3) (n + 3)! 36 j =0 (3 + n - j )! n ( ) ( 2 )j n-j 2 n ( ) n! - L4 ( , )d = - exp - 2 (n - j )! j =0
3

- ( + 4) (n + 1)!
2

n+1( j =0

Частные случаи для неопределенного интеграла n-ого рода от функций 0-5 порядков:

2 )j 1+n-j + (1 + n - j )!
n+2 1 ( 2 )j 2+n-j - 4 j =0 (2 + n - j )!



L L
n

n

( ) 0

( , )d

( ) 1

( , )d

- ( + 1) (n + 1)! L
n ( ) 2

( , )d

n ( ) ( 2 )j 2n! exp - =- 2 j =0 n ( ) ( 2 2 n! = - exp - 2 j =0 n+1( ) 2 j 1+n-j ; (1 + n - j )! j =0 n ( ) ( 2 2 n! = - exp - 2 j =0 n+1( j =0

; (n - j )! )j n-j - (n - j )!

n-j

+ ( + 3)( + 4) (n + 2)!
3

)j n-j - (n - j )!

n+3 1 ( 2 )j 3+n-j + 36 j =0 (3 + n - j )! n+4 1 ( 2 )j 4+n-j 4 ; + ( + 4)! (n + 4)! 24! j =0 (4 + n - j )! n ( ) ( 2 )j n-j 2 n ( ) n! L5 ( , )d = - exp - - 2 (n - j )! j =0

- ( + 2)( + 3)( + 4) (n + 3)!

- ( + 5) (n + 1)!
2

n+1( j =0

- ( + 2) (n + 1)!
2

n+2 1 ( 2 )j 2+n-j ; + ( + 1)( + 2) (n + 2)! 4 j =0 (2 + n - j )! n ( ) ( 2 )j n-j 2 n ( ) n! L3 ( , )d = - exp - - 2 (n - j )! j =0 - ( + 3) (n + 1)!
2 n+1( j =0

2 )j 1+n-j + (1 + n - j )!

2 )j 1+n-j + (1 + n - j )!
n+2 1 ( 2 )j 2+n-j - 4 j =0 (2 + n - j )! n+3 1 ( 2 )j 3+n-j + 36 j =0 (3 + n - j )!

+ ( + 4)( + 5) (n + 2)!
3

- ( + 3)( + 4)( + 5) (n + 3)! + ( + 4)! (n + 4)!
4

2 )j 1+n-j + (1 + n - j )!
n+2 1 ( 2 )j 2+n-j - 4 j =0 (2 + n - j )!

n+4( ) 2 j 4+n-j 1 - 576( + 1)! j =0 (4 + n - j )! n+5( ) 2 j 5+n-j 1 5 . - ( + 5)! (n + 5)! 14400! j =0 (5 + n - j )!

+ ( + 2)( + 3) (n + 2)!


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 51


n

Lk ( , )d

( )

L
n

() k

( , )d

0 0 -1 -10

5

-2

5 n 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

-20 0 1 2 3 4 n 4 3 2 0 1

0

а)

б)

Рис. 1.85. Вид неопределенного интеграла n-ого рода от ортогональных функций Сонина-Лагерра 2-ого порядка: а) n = 0..5, = 8, [0; 5]; б) n = 0..5, [5; 10], = 1



Pk

(-1/2,0)

( , )d

-0,2 -0,4

(-1/2,0) P0 (-1/2,0) P1 (-1/2,0) P2 (-1/2,0) 3


[1.86]

Pk

(-1/2,0)

( , ) = -

k (k)(k + s - 1/2) Ч s s - 1/2 s=0 ( ) (4s + 1) 2(-1)s exp - . Ч (4s + 1) 2

-0,6 -0,8 -1

P

P5
0

(-1/2,0) P4 (-1/2,0)

1

2

3

4



Рис. 1.86. Вид неопределенного интеграла от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = -1/2, = 0

Частные случаи для неопределенного интеграла от функций 0-5 порядков:

P0 P1 P2

(-1/2,0)

(-1/2,0)

(-1/2,0)

( ) 2 ( , )d = - exp - ; 2 ( ) 1 ( , )d = - exp - (5 - 3 exp(-2 )); 5 2 ( ) 1 ( , )d = - exp - (27 - 54 exp(-2 ) + 36 2 ( ) 1 exp - (65 - 273 Ч 104 2

[1.87]

k (k)(k + s - 1/2) Ч s s - 1/2 s=0 ( )( ) (4s + 1) 2 4 Ч(-1)s exp - +2 . 2 (4s + 1) (4s + 1)2



Pk

(-1/2,0)

( , )d = -

Частные случаи для неопределенного интеграла 1-ого рода от

+ 35 exp(-4 )); (-1/2,0) P3 ( , )d = -

Ч exp(-2 ) + 455 exp(-4 ) - 231 exp(-6 )); ( ) 1 (-1/2,0) exp - (595 - 4284 Ч P4 ( , )d = - 1088 2 Ч exp(-2 ) + 13090 exp(-4 ) - 15708 exp(-6 ) + + 6435 exp(-8 )); ( ) 1 (-1/2,0) P5 ( , )d = - exp - (1323 - 14553 Ч 2688 2 Ч exp(-2 ) + 70070 exp(-4 ) - 145530 exp(-6 ) + + 135135 exp(-8 ) - 46189 exp(-10 )).

( ) 2 exp - ( + 2); 2 2 ( )( 1 (-1/2,0) P1 ( , )d = - exp - 50 - 6 Ч 25 2 2 ) Ч exp(-2 ) + (25 - 15 exp(-2 )) ; ( )( 1 (-1/2,0) exp - P2 ( , )d = - 2430 - 972 Ч 1620 2 2 P
(-1/2,0) 0

функций 0-5 порядков:

( , )d = -

Ч exp(-2 ) + 350 exp(-4 ) + (1215 - 2430 exp(-2 ) + ) + 1575 exp(-4 )) ; ( )( 1 (-1/2,0) exp - 76059 - P3 ( , )d = - 60840 2 2 - 63882 exp(-2 ) + 59150 exp(-4 ) - 20790 exp(-6 ) +


52

Аналитические представления во временной области

+ (38025 - 159705 exp(-2 ) + 266175 exp(-4 ) - ) - 135135 exp(-6 )) ; ( )( 1 (-1/2,0) P4 ( , )d = - exp - 11834550 - 2 10820160 2 - Ч - Ч Ч Ч Ч - - - 17041752 exp(-2 ) + 28928900 exp(-4 ) - 24033240 Ч exp(-6 ) + 7528950 exp(-8 ) + (5917275 - 42604380 exp(-2 ) + 130180050 exp(-4 ) - 156216060 Ч ) exp(-6 ) + 63996075 exp(-8 )) ; ( ) 1 (-1/2,0) P5 ( , )d = - exp - Ч 187125120 2 2 ( 184201290 - 405242838 exp(-2 ) + 1083982900 Ч exp(-4 ) - 1558626300 exp(-6 ) + 1106755650 Ч exp(-8 ) - 306233070 exp(-10 ) + (92100645 - 1013107095 exp(-2 ) + 4877923050 exp(-4 ) - 10131070950 exp(-6 ) + 9407423025 exp(-8 ) - ) 3215447235 exp(-10 )) . P
(-1/2,0) k

) - 79053975 exp(-6 )) ; 2 (-1/2,0) P4 ( , )d = - Ч Ч Ч + + - - Ч + + + + Ч - - - Ч (

( ) 1 exp - Ч 107606491200 3 2

( , )d
(-1/2,0) P5 (-1/2,0) P4 (-1/2,0) P3

-0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1

(-1/2,0) P1 (-1/2,0) (-1/2,0) P2 P0

470778399000 - 135584178912 exp(-2 ) + 127865738000 Ч exp(-4 ) - 73541714400 exp(-6 ) + 17617743000 Ч exp(-8 ) + (235389199500 - 338960447280 exp(-2 ) + 575395821000 exp(-4 ) - 478021143600 exp(-6 ) + 22 149750815500 exp(-8 )) + (58847299875 - 423700559100 exp(-2 ) + 1294640597250 exp(-4 ) - ) 1553568716700 exp(-6 ) + 636440965875 exp(-8 )) ; ( ) 1 2 (-1/2,0) exp - Ч P5 ( , )d = - 13026715228800 3 2 ( 51292691213400 - 22568784133896 exp(-2 ) + 33538430926000 exp(-4 ) - 33385775346000 exp(-6 ) + 18128657547000 exp(-8 ) - 4060650508200 exp(-10 ) + (25646345606700 - 56421960334740 exp(-2 ) + 150922939167000 exp(-4 ) - 217007539749000 Ч exp(-6 ) + 154093589149500 exp(-8 ) - 22 42636830336100 exp(-10 )) + (6411586401675 - 70527450418425 exp(-2 ) + 339576613125750 exp(-4 ) - 705274504184250 exp(-6 ) + 654897753885375 Ч ) exp(-8 ) - 223843359264525 exp(-10 )) . Pk
2 (-1/2,0)

( , )d

-0,5

0

1

2

3

4



-1

P

(-1/2,0) 2

(-1/2,0) P4 (-1/2,0) P1 (-1/2,0) P3

P5

(-1/2,0)

Рис. 1.87. Вид неопределенного интеграла 1-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = - 1 /2 , = 0

-1,5

P0

(-1/2,0)


[1.88]

-2

0

1

2

3

4



=-

2

(-1/2,0) Pk

( , )d =

( ) k (k)(k + s - 1/2) (4s + 1) (-1)s exp - Ч s s - 1/2 2 s=0 ( ) 2 2 8 16 Ч +2 +3 . (4s + 1) (4s + 1)2 (4s + 1)3
( ) 2 22 exp - ( + 4 + 8); 3 2 ( )( 1 ( , )d = - exp - 1000 - 24 Ч 125 3 2 ( , )d = -
22

Рис. 1.88. Вид неопределенного интеграла 2-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = - 1 /2 , = 0


[1.89]

3 Pk =- ( Ч

(-1/2,0)

( , )d =

Частные случаи для неопределенного интеграла 2-ого рода от функций 0-5 порядков:

P P
2

2

(-1/2,0) 0

) ( k (k)(k + s - 1/2) (4s + 1) (-1)s exp - Ч s s - 1/2 2 s=0

(-1/2,0) 1

2 3 12 2 +2 + (4s + 1) (4s + 1)2 + 48 96 +4 (4s + 1)3 (4s + 1)
3 4

Ч exp(-2 ) + (500 - 60 exp(-2 )) + (125 - 75 Ч ) Ч exp(-2 )) ; ( )( 1 2 (-1/2,0) P2 ( , )d = - exp - 437400 - 72900 3 2 - 34992 exp(-2 ) + 7000 exp(-4 ) + (218700 - 87480 Ч 22 Ч exp(-2 ) + 31500 exp(-4 )) + (54675 - 109350 Ч ) Ч exp(-2 ) + 70875 exp(-4 )) ; ( ) 1 2 (-1/2,0) exp - Ч P3 ( , )d = - 35591400 3 2 ( Ч 177957000 - 29896776 exp(-2 ) + 15379000 exp(-4 ) - - 3742200 exp(-6 ) + (88978500 - 74741940 exp(-2 ) + 22 + 69205500 exp(-4 ) - 24324300 exp(-6 )) + Ч Ч (22244625 - 93427425 exp(-2 ) + 155712375 exp(-4 ) -

) .

Частные случаи для неопределенного интеграла 3-ого рода от функций 0-5 порядков:

P0

3

(-1/2,0)

( , )d = -

( ) 2 33 22 exp - ( + 6 + 4 2 ( )( 1 exp - 30000 - 625 4 2
22

+ 24 + 48); 3 (-1/2,0) P1 ( , )d = -

- 144 exp(-2 ) + (15000 - 360 exp(-2 )) + (3750 - ) 33 - 450 exp(-2 )) + (625 - 375 exp(-2 )) ; ( )( 1 3 (-1/2,0) exp - P2 ( , )d = - 39366000 - 1093500 4 2 - 629856 exp(-2 ) + 70000 exp(-4 ) + (19683000 -


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 53

- 1574640 exp(-2 ) + - 1968300 exp(-2 ) + - 1640250 exp(-2 ) + 3 (-1/2,0) P3 ( , )d Ч Ч - - Ч Ч + Ч + + - Ч Ч Ч - Ч Ч - Ч (

315000 exp(-4 708750 exp(-4 1063125 exp(-4 1 =- 6940323000

)) + (4920750 - 33 )) + (820125 - ) )) ; ( ) exp - Ч 4 2

22


[1.90]

n Pk =-

(-1/2,0)

( , )d =

Ч Ч - Ч + + Ч - Ч + Ч - Ч + Ч -

208209690000 - 6995845584 exp(-2 ) + 1999270000 Ч exp(-4 ) - 336798000 exp(-6 ) + (104104845000 - 17489613960 exp(-2 ) + 8996715000 exp(-4 ) - 22 2189187000 exp(-6 )) + (26026211250 - 21862017450 Ч exp(-2 ) + 20242608750 exp(-4 ) - 7114857750 Ч 33 exp(-6 )) + (4337701875 - 18218347875 exp(-2 ) + ) 30363913125 exp(-4 ) - 15415525125 exp(-6 )) ; ( ) 1 3 (-1/2,0) exp - Ч P4 ( , )d = - 356715518328000 4 2 ( 9363782356110000 - 539353863711936 exp(-2 ) + 282583280980000 exp(-4 ) - 112518823032000 exp(-6 ) + 20612759310000 exp(-8 ) + (4681891178055000 - 1348384659279840 exp(-2 ) + 1271624764410000 Ч exp(-4 ) - 731372349708000 exp(-6 ) + 175208454135000 Ч 22 exp(-8 )) + (1170472794513750 - 1685480824099800 Ч exp(-2 ) + 2861155719922500 exp(-4 ) - 2376960136551000 exp(-6 ) + 744635930073750 Ч 33 exp(-8 )) + (195078799085625 - 1404567353416500 Ч exp(-2 ) + 4291733579883750 exp(-4 ) - 5150080295860500 exp(-6 ) + 2109801801875625 Ч ) exp(-8 )) ; 1 3 (-1/2,0) Ч P5 ( , )d = - 302284926884304000 4 ( )( 7141481397641682000 - 628450362992468016 Ч exp - 2 exp(-2 ) + 518839526425220000 exp(-4 ) - 357561653955660000 exp(-6 ) + 148473705309930000 Ч exp(-8 ) - 26922112869366000 exp(-10 ) + (3570740698820841000 - 1571125907481170040 exp(-2 ) + 2334777868913490000 exp(-4 ) - 2324150750711790000 Ч exp(-6 ) + 1262026495134405000 exp(-8 ) - 22 282682185128343000 exp(-10 )) + Ч (892685174705210250 - 1963907384351462550 exp(-2 ) + 5253250205055352500 exp(-4 ) - 7553489939813317500 Ч exp(-6 ) + 5363612604321221250 exp(-8 ) - 33 1484081471923800750 exp(-10 )) + Ч (148780862450868375 - 1636589486959552125 exp(-2 ) + 7879875307583028750 exp(-4 ) - 16365894869595521250 Ч exp(-6 ) + 15196902378910126875 exp(-8 ) - ) 5194285151733302625 exp(-10 )) .
3 (-1/2,0) Pk

) ( k (k)(k + s - 1/2) (4s + 1) Ч (-1)s exp - 2 s s - 1/2 s=0 Ч
n j =0

n! n-j ( ) (4s + 1) j (n - j )! 2

+1

.

Частные случаи для неопределенного интеграла n-ого рода от функций 0-5 порядков:



P0
n

n

(-1/2,0)

( , )d = -

n ( ) ( 2 )j n-j 2n ! exp - ; 2 j =0 (n - j )!

P1

(-1/2,0)

( ) ( , )d = - exp - Ч 2
n- j

n n! Ч 2 j =0

(

(n - j )!

2

)

j +1

-
n- j

-

3n ! exp(-2 ) 2 P2
n (-1/2,0)

n j =0

5 2 ( ) ( , )d = - exp - Ч 2 (n - j )!
n- j

(

)j

+1

;

n 3n ! Ч 8 j =0

(n - j )!

-

15n! exp(-2 ) 4

2 n

(

)

j +1

-
n- j



(

j =0

(n - j )!

5 2

)

j +1

+

+

35n! exp(-4 ) 8 P3
n (-1/2,0)

; ) 9 j +1 j =0 (n - j )! 2 ( ) ( , )d = - exp - Ч 2
n n- j

(

( , )d

n 5n ! Ч 16 j =0



n- j

(

(n - j )!

-2

P2
-4

(-1/2,0) (-1/2,0) P1

(-1/2,0) P4 (-1/2,0) P3

P5

(-1/2,0)

-

105n! exp(-2 ) 16

2 n

)

j +1

-
n-j



(

j =0

(n - j )! (

+

n 315n! exp(-4 ) 16 j =0

5 2 9 2

)

j +1

+

n-j

)

j +1

- ;

(n - j )!

P0
-6 0 1 2

(-1/2,0)

-
4

231n! exp(-6 ) 16 P4
n (-1/2,0)

3





Рис. 1.89. Вид неопределенного интеграла 3-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = - 1 /2 , = 0

) ( 13 j +1 j =0 (n - j )! 2 ( ) ( , )d = - exp - Ч 2
n- j j +1

n

n- j

n 35n! Ч 128 j =0

() (n - j )! 2

-


54

Аналитические представления во временной области

-

n 315n! exp(-2 ) 32 j =0



n-j

(

(n - j )!

n 3465n! + exp(-4 ) 64 j =0 n 3003n! exp(-6 ) 32 j =0

5 2

)

j +1

+


[1.91]

Legk ( , )d = -

k (k)(k + s) Ч s s s=0

n-j

(

(n - j )!

9 2

)

j +1

-

Ч

( ) (-1)s exp -(2s + 1) . (2s + 1)

-

n- j ) ( 13 (n - j )! 2

Частные случаи для неопределенного интеграла от функций
j +1

+ ;

0-5 порядков:

+

n 6435n! exp(-8 ) 128 j =0 n (-1/2,0)

P5

n- j ) ( 17 j +1 (n - j )! 2 ( ) ( , )d = - exp - Ч 2
n- j

1 exp(- ); 1 exp(- )(3 - 2 exp(-2 )); Leg1 ( , )d = - 3 1 Leg2 ( , )d = - exp(- )(5 - 10 exp(-2 ) + 6 Ч 5 Leg0 ( , )d = -

( )j +1 - (n - j )! 2 n n-j 3465n! exp(-2 ) - + ( ) 256 5 j +1 j =0 (n - j )! 2 n 15015n! n-j exp(-4 ) + - ( ) 128 9 j +1 j =0 (n - j )! 2 n n- j 45045n! exp(-6 ) - + ( ) 128 13 j +1 j =0 (n - j )! 2 n n- j 109395n! + exp(-8 ) - ( ) 256 17 j +1 j =0 (n - j )! 2 -
n 46189n! n-j exp(-10 ) ( ) 256 21 j j =0 (n - j )! 2 n (-1/2,0) Pk ( , )d +1

n 63n! Ч 256 j =0

Ч exp(-4 )); 1 Leg3 ( , )d = - exp(- )(7 - 28 exp(-2 ) + 42 Ч 7 Ч exp(-4 ) - 20 exp(-6 )); 1 Leg4 ( , )d = - exp(- )(9 - 60 exp(-2 ) + 162 Ч 9 Ч exp(-4 ) - 180 exp(-6 ) + 70 exp(-8 )); 1 Leg5 ( , )d = - exp(- )(11 - 110 exp(-2 ) + 462 Ч 11 Ч exp(-4 ) - 880 exp(-6 ) + 770 exp(-8 ) - 252 Ч Ч exp(-10 )). Legk ( , )d Leg5
-0,1 -0,2 -0,3

Leg Leg3 Leg2 Leg Leg0
1

4

.

-0,4 -0,5

0

1

2

3

4



40 30 20 10

Рис. 1.91. Вид неопределенного интеграла от ортогональных функций Лежандра 0-5 порядков; = 2, c = 2


[1.92]

k (k)(k + s) (-1)s Ч s s s=0 ( ) ( ) 1 +2 . Ч exp -(2s + 1) (2s + 1) (2s + 1)2

Legk ( , )d = -

0

Частные случаи для неопределенного интеграла 1-ого рода от

1 2 3 4 0 1 2 3

4

n

функций 0-5 порядков:

Рис. 1.90. Вид неопределенного интеграла n-ого рода от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка; n = 0..5, = 2, c = 2, = -1/2, = 0

1 exp(- )( + 1); 2 ( 1 Leg1 ( , )d = - 2 exp(- ) 9 - 2 exp(-2 ) + (9 - 9 ) - 6 exp(-2 )) ; ( 1 Leg2 ( , )d = - exp(- ) 75 - 50 exp(-2 ) + 75 2 ) + 18 exp(-4 ) + (75 - 150 exp(-2 ) + 90 exp(-4 )) ; ( 1 Leg3 ( , )d = - exp(- ) 735 - 980 exp(-2 ) + 735 2 Leg0 ( , )d = - + 882 exp(-4 ) - 300 exp(-6 ) + (735 - 2940 exp(-2 ) + ) + 4410 exp(-4 ) - 2100 exp(-6 )) ;


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 55

Leg4 ( , )d = -

( 1 exp(- ) 12835 - 6300 Ч 2835 2

Ч exp(-2 ) + 10206 exp(-4 ) - 8100 exp(-6 ) + 2450 Ч Ч exp(-8 ) + (2835 - 18900 exp(-2 ) + 51030 exp(-4 ) - ) - 56700 exp(-6 ) + 22050 exp(-8 )) ; ( 1 Leg5 ( , )d = - exp(- ) 38115 - 38115 2 - + - Ч 127050 exp(-2 ) + 320166 exp(-4 296450 exp(-8 ) - 79380 exp(-10 381150 exp(-2 ) + 1600830 exp(- exp(-6 ) + 2668050 exp(-8 ) - Legk ( , )d Leg5 Leg4
-0,1

+ 16074450 exp(-4 ) - 17860500 exp(-6 ) + 6945750 Ч ) Ч exp(-8 )) ; ( 1 2 Leg5 ( , )d = - exp(- ) 264136950 - 132068475 3 - Ч + Ч Ч - - - 293485500 exp(-2 ) + 443750076 exp(-4 ) - 431244000 Ч exp(-6 ) + 228266500 exp(-8 ) - 50009400 exp(-10 ) + (264136950 - 880456500 exp(-2 ) + 2218750380 Ч exp(-4 ) - 3018708000 exp(-6 ) + 2054398500 Ч 22 exp(-8 ) - 550103400 exp(-10 )) + (132068475 - 1320684750 exp(-2 ) + 5546875950 exp(-4 ) - 10565478000 exp(-6 ) + 9244793250 exp(-8 ) - ) 3025568700 exp(-10 )) . Legk ( , )d
2

) - 435600 exp(-6 ) + ) + (38115 - 4 ) - 3049200 Ч ) 873180 exp(-10 )) .

Leg3 Leg2
-0,2

-0,1

Leg5 Leg4 Leg Leg2 Leg1 Leg0
3

Leg1 Leg0
-0,2

-0,3

0

1

2

3

4


-0,3 0 1 2 3 4

Рис. 1.92. Вид неопределенного интеграла 1-ого рода от ортогональных функций Лежандра 0-5 порядков; = 2, c = 2



Рис. 1.93. Вид неопределенного интеграла 2-ого рода от ортогональных функций Лежандра 0-5 порядков; = 2, c = 2


[1.93]

2 Legk ( , )d = - ( ( ) Ч exp -(2s + 1) +

k (k)(k + s) (-1)s Ч s s s=0


[1.94]

3 Legk ( , )d = - ( ) Ч exp -(2s + 1) (

k (k)(k + s) (-1)s Ч s s s=0

2 + (2s + 1) 2 2 +3 2 (2s + 1)2 (2s + 1)

)
3

3 2 3 +2 + (2s + 1) (2s + 1)2 6 6 +4 3 (2s + 1)3 (2s + 1)

) .

.

+

4

Частные случаи для неопределенного интеграла 2-ого рода от функций 0-5 порядков:

Частные случаи для неопределенного интеграла 3-ого рода от функций 0-5 порядков:

Leg0 Leg1 + (54 - 2 Leg2
2

2

1 22 ( , )d = - 3 exp(- )( + 2 + 2); ( 1 ( , )d = - exp(- ) 54 - 4 exp(-2 ) + 27 3 ) 22 12 exp(-2 ) + (27 - 18 exp(-2 )) ; ( 1 ( , )d = - exp(- ) 2250 - 500 Ч 1125 3

1 33 22 exp(- )( + 3 + 6 + 6); 4 ( 1 3 Leg1 ( , )d = - exp(- ) 162 - 4 exp(-2 ) + 27 4 Leg0 ( , )d = -
3 22 33

Ч exp(-2 ) + 108 exp(-4 ) + (2250 - 1500 exp(-2 ) + 22 + 540 exp(-4 )) + (1125 - 2250 exp(-2 ) + 1350 Ч ) Ч exp(-4 )) ; ( 1 2 Leg3 ( , )d = - exp(- ) 154350 - 77175 3 - + - + - Ч Ч + 68600 exp(-2 ) + 37044 exp(-4 ) - 9000 exp(-6 ) + (154350 - 205800 exp(-2 ) + 185220 exp(-4 ) - 22 63000 exp(-6 )) + (77175 - 308700 exp(-2 ) + ) 463050 exp(-4 ) - 220500 exp(-6 )) ; ( 1 2 exp(- ) 1786050 - Leg4 ( , )d = - 893025 3 1323000 exp(-2 ) + 1285956 exp(-4 ) - 729000 Ч exp(-6 ) + 171500 exp(-8 ) + (1786050 - 3969000 Ч exp(-2 ) + 6429780 exp(-4 ) - 5103000 exp(-6 ) + 22 1543500 exp(-8 )) + (893025 - 5953500 exp(-2 ) +

+ (162 - 12 exp(-2 ) + (81 - 18 exp(-2 )) + Ч ) Ч (27 - 18 exp(-2 )) ; ( 1 3 exp(- ) 33750 - 2500 Ч Leg2 ( , )d = - 5625 4 Ч + Ч Ч - + - + - Ч exp(-2 ) + 324 exp(-4 ) + (33750 - 7500 exp(-2 ) + 22 1620 exp(-4 )) + (16875 - 11250 exp(-2 ) + 4050 Ч 33 exp(-4 )) + (5625 - 11250 exp(-2 ) + 6750 Ч ) exp(-4 )) ; ( 1 3 Leg3 ( , )d = - exp(- ) 16206750 - 2701125 4 2401000 exp(-2 ) + 777924 exp(-4 ) - 135000 exp(-6 ) + (16206750 - 7203000 exp(-2 ) + 3889620 exp(-4 ) - 22 945000 exp(-6 )) + (8103375 - 10804500 exp(-2 ) + 33 9724050 exp(-4 ) - 3307500 exp(-6 )) + (2701125 - 10804500 exp(-2 ) + 16206750 exp(-4 ) - 7717500 Ч ) exp(-6 )) ; ( 1 3 exp(- ) 562605750 - Leg4 ( , )d = - 93767625 4


56

Аналитические представления во временной области

- Ч - Ч - Ч - - Ч + + + + + + + + + + + 138915000 exp(-2 ) + 81015228 exp(-4 ) - 32805000 Ч exp(-6 ) + 6002500 exp(-8 ) + (562605750 - 416745000 exp(-2 ) + 405076140 exp(-4 ) - 229635000 Ч 22 exp(-6 ) + 54022500 exp(-8 )) + (281302875 - 625117500 exp(-2 ) + 1012690350 exp(-4 ) - 803722500 Ч 33 exp(-6 ) + 243101250 exp(-8 )) + (93767625 - 625117500 exp(-2 ) + 1687817250 exp(-4 ) - ) 1875352500 exp(-6 ) + 729303750 exp(-8 )) ; 1 3 Leg5 ( , )d = - exp(- ) Ч 152539088625 4 ( 915234531750 - 338975752500 exp(-2 ) + 307518802668 exp(-4 ) - 213465780000 exp(-6 ) + 87882602500 exp(-8 ) - 15752961000 exp(-10 ) + (915234531750 - 1016927257500 exp(-2 ) + 1537594013340 exp(-4 ) - 1494260460000 exp(-6 ) + 790943422500 exp(-8 ) - 173282571000 exp(-10 )) + 22 (457617265875 - 1525390886250 exp(-2 ) + 3843985033350 exp(-4 ) - 5229911610000 exp(-6 ) + 3559245401250 exp(-8 ) - 953054140500 exp(-10 )) + 33 (152539088625 - 1525390886250 exp(-2 ) + 6406641722250 exp(-4 ) - 12203127090000 exp(-6 ) + ) 10677736203750 exp(-8 ) - 3494531848500 exp(-10 )) . Legk ( , )d
-0,1
3 n Ч n! j =0

() (n - j )!
n j =0 n j =0



n-j j +1

-
n-j +1

- 6n! exp(-2 )

( )j (n - j )! 3 ( )j (n - j )! 5
n-j

+

+ 6n! exp(-4 )
n

+1

;

Leg3 ( , )d = - exp(- ) Ч n n-j Ч n! ( )j +1 - j =0 (n - j )! - 12n! exp(-2 ) + 30n! exp(-4 )
n j =0 n j =0 n j =0 n

( )j (n - j )! 3 ( )j (n - j )! 5 ( )j (n - j )! 7
n- j



n- j +1

+



n-j +1

- ;

- 20n! exp(-6 )

+1

Leg4 ( , )d = - exp(- ) Ч n n-j Ч n! ( )j +1 - j =0 (n - j )! Leg4 Leg3 - 20n! exp(-2 ) Leg2 Leg1 + 90n! exp(-4 )
n j =0 n j =0

-0,2

Leg5

( )j (n - j )! 3 ( )j (n - j )! 5
n- j



n- j +1

+

-0,3



n-j +1

-

-0,4

Leg0
0 1 2 3 4



- 140n! exp(-6 )

n j =0

Рис. 1.94. Вид неопределенного интеграла 3-ого рода от ортогональных функций Лежандра 0-5 порядков; = 2, c = 2

() (n - j )! 7
n-j

j +1

+

;

+ 70n! exp(-8 )
n

n j =0

( )j (n - j )! 9

+1


[1.95]

n Legk ( , )d = -

k (k)(k + s) (-1)s Ч s s s=0

Leg5 ( , )d = - exp(- ) Ч n n-j Ч n! ( )j +1 - j =0 (n - j )!
+1

n ( ) Ч exp -(2s + 1) j =0

n! n-j ( )j (n - j )! (2s + 1)

.

- 30n! exp(-2 )

n j =0

( )j (n - j )! 3
n- j



n- j +1

+

Частные случаи для неопределенного интеграла n-ого рода от функций 0-5 порядков:

+ 210n! exp(-4 ) - 560n! exp(-6 ) + 630n! exp(-8 )

n j =0 n j =0 n j =0

() (n - j )! 5
n- j

j +1

-



Leg0 ( , )d = -
n

n

n ( 2 )j n-j 2n! exp(- ) ; (n - j )! j =0

() (n - j )! 7 () (n - j )! 9
n-j

j +1

+



n- j j +1

Leg1 ( , )d = - exp(- ) Ч n n- j Ч n! ( )j +1 - j =0 (n - j )! - n! exp(-2 )
n n j =0

- .

- 252n! exp(-10 ) ;

n j =0

( )j (n - j )! 11

+1

() (n - j )! 3



n- j j +1

Leg2 ( , )d = - exp(- ) Ч


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций

Legk ( , )d
n



57
(1/2,0) Pk

( , )d P5
(1/2,0) (1/2,0)

-0,1

P4

30
-0,2

(1/2,0) P3 (1/2,0) P2

20
-0,3 -0,4

P1 P0

(1/2,0)

(1/2,0)

10

0

1

2

3

4



0

1 2 3 4 0 1 2 3

4

n

Рис. 1.96. Вид неопределенного интеграла от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 1/2, = 0

Рис. 1.95. Вид неопределенного интеграла n-ого рода от ортогональных функций Лежандра 2-ого порядка; n = 0..5, = 2, c = 2
k (k)(k + s + 1/2) Ч s s + 1/2 s=0 )( ( ) 2 4 (4s + 3) +2 Ч(-1)s exp - . 2 2 (4s + 3) (4s + 3)



[1.97]

Pk

(1/2,0)

( , )d = -


[1.96]

Pk

(1/2,0)

( , ) = -

k (k)(k + s + 1/2) Ч s s + 1/2 s=0 ( ) (4s + 3) 2(-1)s exp - . Ч (4s + 3) 2

Частные случаи для неопределенного интеграла 1-ого рода от

( 3 ) 2 exp - (3 + 2); 9 2 2 ( 3 ) ( 1 (1/2,0) 98 - 30 Ч P1 ( , )d = - exp - 147 2 2 ) Ч exp(-2 ) + (147 - 105 exp(-2 )) ; ( 3 )( 1 (1/2,0) 8470 - 7260 Ч P2 ( , )d = - exp - 10164 2 2 P
(1/2,0) 0

функций 0-5 порядков:

( , )d = -

Частные случаи для неопределенного интеграла от функций 0-5 порядков:

P0 P1 P2

(1/2,0)

(1/2,0)

(1/2,0)

(3 2 exp - 3 (3 1 ( , )d = - exp - 7 ( 1 ( , )d = - exp - 44 ( , )d = -

2 2 3 2

)

;

Ч exp(-2 ) + 2646 exp(-4 ) + (12705 - 25410 exp(-2 ) + ) + 14553 exp(-4 )) ; ( 3 )( 1 (1/2,0) P3 ( , )d = - exp - 134750 - 138600 2 2 - 222750 exp(-2 ) + 198450 exp(-4 ) - 66066 exp(-6 ) + + (202125 - 779625 exp(-2 ) + 1091475 exp(-4 ) - ) - 495495 exp(-6 )) ; ( 3 )( 1 (1/2,0) P4 ( , )d = - exp - 9728950 - 8895040 2 2 - Ч Ч + 26208600 exp(-2 ) + 41392260 exp(-4 ) - 31799768 Ч exp(-6 ) + 9359350 exp(-8 ) + (14593425 - 91730100 Ч exp(-2 ) + 227657430 exp(-4 ) - 238498260 exp(-6 ) + ) 88913825 exp(-8 )) ; 1 (1/2,0) Ч P5 ( , )d = - 495313280 2 ( 3 ) ( exp - 595923790 - 2371533450 exp(-2 ) + 2 5762238300 exp(-4 ) - 7525666148 exp(-6 ) + 4951096150 exp(-8 ) - 1290058770 exp(-10 ) + (893885685 - 8300367075 exp(-2 ) + 31692310650 Ч exp(-4 ) - 56442496110 exp(-6 ) + 47035413425 Ч ) exp(-8 ) - 14835675855 exp(-10 )) .

) (7 - 5 exp(-2 )); ) (55 - 110 Ч

Ч exp(-2 ) + + 63 exp(-4 )); P3
(1/2,0)

( 3 ) 1 exp - (175 - 675 Ч ( , )d = - 120 2

Ч exp(-2 ) + 945 exp(-4 ) - 429 exp(-6 )); ( 3 ) 1 (1/2,0) exp - (1995 - 12540 Ч P4 ( , )d = - 1216 2 Ч exp(-2 ) + 31122 exp(-4 ) - 32604 exp(-6 ) + 12155 Ч Ч exp(-8 )); ( 3 ) 1 (1/2,0) P5 ( , )d = - exp - (5313 - 49335 Ч 2944 2 Ч exp(-2 ) + 188370 exp(-4 ) - 335478 exp(-6 ) + + 279565 exp(-8 ) - 88179 exp(-10 )).

Ч + + + Ч Ч


58

Аналитические представления во временной области

P

(1/2,0) k

( , )d P5
(1/2,0) (1/2,0)

-0,05

P4 P

(1/2,0) 3

(1/2,0) P2

-0,1

P1

(1/2,0)

- - Ч + Ч Ч - Ч

113241358830600 exp(-10 ) + (601567188291300 - 2393991871771500 exp(-2 ) + 5816806696701000 Ч exp(-4 ) - 7596934206421560 exp(-6 ) + 4997983030540500 exp(-8 ) - 1302275626551900 Ч 22 exp(-10 )) + (451175391218475 - 4189485775600125 Ч exp(-2 ) + 15996218415927750 exp(-4 ) - 28488503274080850 exp(-6 ) + 4997983030540500 Ч ) exp(-8 ) - 1302275626551900 exp(-10 )) . Pk
2 (1/2,0)

( , )d
(1/2,0) P0 (1/2,0) P1 (1/2,0) P2 (1/2,0) P3 (1/2,0) P4

(1/2,0) P0

-0,15

0

1

2

3

4



-0,05

Рис. 1.97. Вид неопределенного интеграла 1-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 1 /2 , = 0 -0,1

P

(1/2,0) 5


[1.98]

2 Pk

(1/2,0)

( , )d =
-0,15 0 1 2 3 4

) ( k (k)(k + s + 1/2) (4s + 3) Ч =- (-1)s exp - s s + 1/ 2 2 s=0 ( ) 2 2 8 16 Ч +2 +3 . (4s + 3) (4s + 3)2 (4s + 3)3
Частные случаи для неопределенного интеграла 2-ого рода от функций 0-5 порядков:



Рис. 1.98. Вид неопределенного интеграла 2-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 1 /2 , = 0


[1.99]

P + 8); 2 P

2

(1/2,0) 0

( 3 ) 2 22 ( , )d = - exp - (9 + 12 + 27 3 2 ( , )d = - ( 3 ) ( 1 2744 - 360 Ч exp - 3087 3 2
22

3 Pk =- ( Ч

(1/2,0)

( , )d

(1/2,0) 1

) ( k (k)(k + s + 1/2) (4s + 3) Ч (-1)s exp - 2 s s + 1/2 s=0

Ч exp(-2 Ч exp(-2 2 (1/2, P2

) + (4116 - 1260 exp(-2 ) + (3087 - 2205 Ч ) )) ; ( 3 )( 1 0) 2608760 - exp - ( , )d = - 2347884 3 2 ) + 222264 exp(-4 ) + (3913140 - 22 2 ) + 1222452 exp(-4 )) + (2934855 - ) 2 ) + 3361743 exp(-4 )) ; ( 3 ) 1 )d = - exp - Ч 160083000 3 2

2 3 12 2 +2 + (4s + 3) (4s + 31)2 + 48 96 +4 3 (4s + 3)3 (4s + 3)
4

) .

- 958320 exp(-2 - 3354120 exp(- - 5869710 exp(- 2 (1/2,0) P3 ( , Ч - Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч + + - - Ч + Ч (

Частные случаи для неопределенного интеграла 3-ого рода от функций 0-5 порядков:

P0

3

(1/2,0)

( , )d = -

( 3 ) 2 33 22 exp - (9 + 18 + 27 4 2 ( 3 )( 1 38416 - exp - 21609 4 2
22

207515000 - 147015000 exp(-2 ) + 83349000 exp(-4 ) - 20348328 exp(-6 ) + (311272500 - 514552500 Ч exp(-2 ) + +458419500 exp(-4 ) - 152612460 Ч 22 exp(-6 )) + (233454375 - -900466875 Ч exp(-2 ) + 1260653625 exp(-4 ) - 572296725 Ч ) exp(-6 )) ; ( 3 ) 1 2 (1/2,0) P4 ( , )d = - exp - Ч 3 195201652800 2 ( 284669077000 - 328655844000 exp(-2 ) + 330310234800 Ч exp(-4 ) - 186092242336 exp(-6 ) + 43240197000 Ч exp(-8 ) + (427003615500 - 1150295454000 exp(-2 ) + 1816706291400 exp(-4 ) - 1395691817520 exp(-6 ) + 22 410781871500 exp(-8 )) + (320252711625 - 2013017044500 exp(-2 ) + 4995942301350 exp(-4 ) - ) 5233844315700 exp(-6 ) + 1951213889625 exp(-8 )) ; ( 3 ) 1 2 (1/2,0) exp - Ч P5 ( , )d = - 250001948380800 3 2 ( 401044792194200 - 683997677649000 exp(-2 ) + 1057601217582000 exp(-4 ) - 1012924560856208 Ч exp(-6 ) + 526103476899000 exp(-8 ) -

+ 24 + 16); 3 (1/2,0) P1 ( , )d = -

- 2160 Ч exp(-2 ) + (57624 - 7560 exp(-2 )) + Ч 33 Ч (43218 - 13230 exp(-2 )) + (21609 - 15435 Ч ) Ч exp(-2 )) ; ( 3 ) 1 3 (1/2,0) P2 ( , )d = - exp - Ч 180787068 4 2 ( Ч 401749040 - 63249120 exp(-2 ) + 9335088 exp(-4 ) + + (602623560 - 221371920 exp(-2 ) + 51342984 Ч 22 Ч exp(-4 )) + (451967670 - 387400860 exp(-2 ) + 33 + 141193206 exp(-4 )) + (225983835 - 451967670 Ч ) Ч exp(-2 ) + 258854211 exp(-4 )) ; ( 3 ) 1 3 (1/2,0) exp - Ч P3 ( , )d = - 61631955000 4 2 ( Ч 159786550000 - 48514950000 exp(-2 ) + + 17503290000 exp(-4 ) - 3133642512 exp(-6 ) + + (239679825000 - 169802325000 exp(-2 ) + + 96268095000 exp(-4 ) - 23502318840 exp(-6 )) + 22 + (179759868750 - 297154068750 exp(-2 ) + + 264737261250 exp(-4 ) - 88133695650 exp(-6 )) +


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 59

+ (89879934375 - 346679746875 exp(-2 ) + ) + 485351645625 exp(-4 ) - 220334239125 exp(-6 )) ; ( 3 ) 1 3 (1/2,0) P4 ( , )d = - exp - Ч 1427900090232000 4 2 ( Ч 4164708596510000 - 2060672141880000 exp(-2 ) + + 1317937836852000 exp(-4 ) - 544505901075136 Ч Ч exp(-6 ) + 99884855070000 exp(-8 ) + Ч Ч (6247062894765000 - 7212352496580000 exp(-2 ) + + 7248658102686000 exp(-4 ) - 4083794258063520 Ч 22 Ч exp(-6 ) + 948906123165000 exp(-8 )) + Ч Ч (4685297171073750 - 12621616869015000 exp(-2 ) + + 19933809782386500 exp(-4 ) - 15314228467738200 Ч 33 Ч exp(-6 ) + 4507304085033750 exp(-8 )) + Ч Ч (2342648585536875 - 14725219680517500 exp(-2 ) + + 36545317934375250 exp(-4 ) - 38285571169345500 Ч ) Ч exp(-6 ) + 14273129602606875 exp(-8 )) ; 1 3 (1/2,0) P5 ( , )d = - Ч 42061577805327696000 4 ( 3 )( Ч exp - 134947562125426358000 - 2 - 98639305093762290000 exp(-2 ) + 97056063737500140000 Ч Ч exp(-4 ) - 68167797096501085984 exp(-6 ) + + 27951877727643870000 exp(-8 ) - 4970163239075034000 Ч Ч exp(-10 ) + (202421343188139537000 - - 345237567828168015000 exp(-2 ) + 533808350556250770000 Ч Ч exp(-4 ) - 511258478223758144880 exp(-6 ) + + 265542838412616765000 exp(-8 ) - 57156877249362891000 Ч 22 Ч exp(-10 )) + (151816007391104652750 - -604165743699294026250 exp(-2 )+1467972964029689617500 Ч Ч exp(-4 ) - 1917219293339093043300 exp(-6 ) + +1261328482459929633750 exp(-8 )-328652044183836623250 Ч 33 Ч exp(-10 )) + (75908003695552326375 - -704860034315843030625 exp(-2 )+2691283767387764298750 Ч Ч exp(-4 ) - 4793048233347732608250 exp(-6 ) + + 3994206861123110506875 exp(-8 ) - ) - 1259832836038040389125 exp(-10 )) . Pk
3 (1/2,0)

33


[1.100]

n Pk =-

(1/2,0)

( , )d =

( ) k (k)(k + s + 1/2) (4s + 3) (-1)s exp - Ч s s + 1/ 2 2 s=0 Ч
n j =0

n! n-j ( ) (4s + 3) j (n - j )! 2

+1

.

Частные случаи для неопределенного интеграла n-ого рода от функций 0-5 порядков:



P0 P1
n

n

(1/2,0)

( , )d = -

n ( 3 ) ( 2 )j n-j 2n! exp - ; 3 2 3 (n - j )! j =0

(1/2,0)

( 3 ) ( , )d = - exp - Ч 2
n-j

n 3n ! Ч 2 j =0

(

(n - j )!
n j =0

3 2

)

j +1

-

-

5n ! exp(-2 ) 2 P2
n (1/2,0)



n- j

7 2 ( 3 ) ( , )d = - exp - Ч 2 (n - j )!
n-j

(

)j

+1

;

n 15n! Ч 8 j =0

( , )d P0 P1
(1/2,0) (1/2,0)

- ( ) 3 j +1 (n - j )! 2 n n- j 35n! exp(-2 ) - ( ) 4 7 j =0 (n - j )! 2 +
n

j +1

+ ;

63n! exp(-4 ) 8 P3
(1/2,0)

-0,05

P2 P

(1/2,0)

(1/2,0) 3

( ) 11 j +1 j =0 (n - j )! 2 ( 3 ) ( , )d = - exp - Ч 2
n-j

n

n-j

-0,1

P4

(1/2,0)

(1/2,0) P5

n 35n! Ч 16 j =0

-0,15

0

1

2

3

4



Рис. 1.99. Вид неопределенного интеграла 3-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 1 / 2, = 0

- ( ) 3 j +1 (n - j )! 2 n n-j 315n! - exp(-2 ) + ) ( 16 7 j +1 j =0 (n - j )! 2 n 693n! n-j + exp(-4 ) - ) ( 16 11 j +1 j =0 (n - j )! 2 -
n n 429n! exp(-6 ) 16 j =0 (1/2,0)

P4

n- j ) ( 15 j +1 (n - j )! 2 ( 3 ) ( , )d = - exp - Ч 2
n-j

;

n 315n! Ч 128 j =0

(

(n - j )!

3 2

)j

+1

-


60

Аналитические представления во временной области

-

n 1155n! exp(-2 ) 32 j =0



n-j

(

(n - j )!

n- j ( ) 11 j (n - j )! 2 n 6435n! n- j - exp(-6 ) ) ( 32 15 j j =0 (n - j )! 2
n 12155n! + exp(-8 ) 128 j =0

n 9009n! + exp(-4 ) 64 j =0

7 2

)

j +1

+


[1.101]

Pk

(1,0)

( , )d = -

k (k)(k + s + 1) Ч s s+1 s=0

+1

-

Ч

( ) (-1)s exp -(s + 1) . (s + 1)

Частные случаи для неопределенного интеграла от функций
+1

+

0-5 порядков:

P0 P1

(1,0)


n

P5

(1/2,0)

n- j ) ( 19 (n - j )! 2 ( 3 ) Ч ( , )d = - exp - 2
n-j

j +1

;

(1,0)

P2

(1,0)

1 exp(- ); 1 ( , )d = - exp(- )(4 - 3 exp(- )); 2 1 ( , )d = - exp(- )(9 - 18 exp(- ) + 10 Ч 3 ( , )d = -

n 693n! Ч 256 j =0

Ч exp(-2 )); 1 (1,0) exp(- )(16 - 60 exp(- ) + 80 Ч P3 ( , )d = - 4 Ч exp(-2 ) - 35 exp(-3 )); 1 (1,0) P4 ( , )d = - exp(- )(25 - 150 exp(- ) + 350 Ч 5

(

(n - j )!

-

15015n! exp(-2 ) 256

3 2 n

)j

+1

-
n-j



(

j =0

(n - j )!

n- j ( ) 11 j +1 (n - j )! 2 n 109395n! n- j exp(-6 ) - ( ) 128 15 j +1 j =0 (n - j )! 2 n n- j 230945n! exp(-8 ) + ( ) 256 19 j +1 j =0 (n - j )! 2 + -
n 88179n! n-j exp(-10 ) ( ) 256 23 j j =0 (n - j )! 2 n (1/2,0) Pk ( , )d

n 45045n! exp(-4 ) 128 j =0

7 2

)

j +1

+

Ч exp(-2 ) - 350 exp(-3 ) + 126 exp(-4 )); 1 (1,0) P5 ( , )d = - exp(- )(36 - 315 exp(- ) + 1120 Ч 6 Ч exp(-2 ) - 1890 exp(-3 ) + 1512 exp(-4 ) - 462 Ч Ч exp(-5 )). (1,0) Pk ( , )d (1,0) P5
-0,1 -0,2 -0,3 -0,4

-

+

P4 P3 (1, P2 P1
(1,0) (1,0) 0)

(1,0)

- .

+1

P0
-0,5 0

(1,0)

1

2

3

4



0, 3

Рис. 1.101. Вид неопределенного интеграла от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 1, = 1, = 0

0, 2
[1.102]

0, 1

k (k)(k + s + 1) Ч s s+1 s=0 ) ( ( ) 1 s Ч (-1) exp -(s + 1) +2 . (s + 1) (s + 1)2



Pk

(1,0)

( , )d = -

0

Частные случаи для неопределенного интеграла 1-ого рода от

1 2 3 4 0 1 2 3

4

n

функций 0-5 порядков:

- Ч

Рис. 1.100. Вид неопределенного интеграла n-ого рода от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка; n = 0..5, = 2, c = 2 , = 1 /2 , = 0

1 exp(- )( + 1); 2 ( 1 (1,0) P1 ( , )d = - 2 exp(- ) 8 - 3 exp(- ) + (8 - 4 ) 6 exp(- )) ; ( 1 (1,0) P2 ( , )d = - 2 exp(- ) 27 - 27 exp(- ) + 10 Ч 9 ) exp(-2 ) + (27 - 54 exp(- ) + 30 exp(-2 )) ; ( 1 P3 (1, 0)( , )d = - exp(- ) 192 - 360 exp(- ) + 48 2 P
(1,0) 0

( , )d = -

+ 320 exp(-2 ) - 105 exp(-3 ) + (192 - 720 exp(- ) + ) + 960 exp(-2 ) - 420 exp(-3 )) ;


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 61

P

(1,0) 4

( , )d = -

( 1 exp(- ) 750 - 2250 Ч 150 2

Ч exp(- ) + 3500 exp(-2 ) - 2625 exp(-3 ) + 756 Ч Ч exp(-4 ) + (750 - 4500 exp(- ) + 10500 exp(-2 ) - ) - 10500 exp(-3 ) + 3780 exp(-4 )) ; ( 1 (1,0) P5 ( , )d = - exp(- ) 1080 - 4725 Ч 180 2 Ч + Ч Ч exp(- ) + 11200 exp(-2 ) - 14175 exp(-3 ) + 9072 exp(-4 ) - 2310 exp(-5 ) + (1080 - 9450 Ч exp(- ) + 33600 exp(-2 ) - 56700 exp(-3 ) + 45360 Ч ) exp(-4 ) - 13860 exp(-5 )) . P
(1,0) k

) Ч exp(-3 ) + 113400 exp(-4 )) ; ( 1 2 (1,0) P5 ( , )d = - exp(- ) 64800 - 141750 Ч 5400 3 Ч Ч Ч + - + exp(- ) + 224000 exp(-2 ) - 212625 exp(-3 ) + 108864 Ч exp(-4 ) - 23100 exp(-5 ) + (64800 - 283500 Ч exp(- ) + 672000 exp(-2 ) - 850500 exp(-3 ) + 22 544320 exp(-4 ) - 138600 exp(-5 )) + (32400 - 283500 exp(- ) + 1008000 exp(-2 ) - 1701000 exp(-3 ) + ) 1360800 exp(-4 ) - 415800 exp(-5 )) . Pk
2 (1,0)

( , )d P P3
(1,0) (1,0) 2

( , )d P P
(1,0) P4 (1,0) 5 (1,0) 0

-0,1

-0,2

P3
-0,2

(1,0)

P0
-0,4

(1,0)

P

(1,0) P1

(1,0) 4

P2
-0,3
(1,0) P1

(1,0)

P5
-0,6 2 3 4

(1,0)

0

1

2

3

4



-0,4

0

1



Рис. 1.102. Вид неопределенного интеграла 1-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 1, = 1, = 0

Рис. 1.103. Вид неопределенного интеграла 2-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 1, = 1, = 0


[1.104]

3 Pk
s

(1,0)

( , )d = -


[1.103]

2 Pk

(1,0)

( , )d = - (

k (k)(k + s + 1) Ч s s+1 s=0

( ( ) Ч (-1) exp -(s + 1)

k (k)(k + s + 1) Ч s s+1 s=0

( ) Ч (-1)s exp -(s + 1) +

2 + (s + 1)

2 2 +3 2 (s + 1)2 (s + 1)

)
3

3 2 3 +2 + (s + 1) (s + 1)2 ) 6 6 +3 . +4 (s + 1)3 (s + 1)4

.

Частные случаи для неопределенного интеграла 3-ого рода от функций 0-5 порядков:

Частные случаи для неопределенного интеграла 2-ого рода от функций 0-5 порядков:

P0
3

3

(1,0)

+

1 22 ( , )d = - 3 exp(- )( + 2 + 2); ( 1 2 (1,0) P1 ( , )d = - 3 exp(- ) 16 - 3 exp(- ) + 4 ) 22 (16 - 6 exp(- ) + (8 - 6 exp(- )) ; ( 1 2 (1,0) P2 ( , )d = - exp(- ) 162 - 81 exp(- ) + 27 3
2 (1,0) P0

P1

(1,0)

1 33 22 exp(- )( + 3 + 6 + 6); 4 ( 1 ( , )d = - 4 exp(- ) 96 - 9 exp(- ) + 8 ( , )d = -
22 33

+ (96 - 18 exp(- ) + (48 - 18 exp(- )) + (16 - ) - 12 exp(- )) ; ( 1 3 (1,0) P2 ( , )d = - exp(- ) 972 - 243 exp(- ) + 54 4 + 40 exp(-2 ) + (972 - 486 exp(- ) + 120 exp(-2 )) + 22 33 + (486 - 486 exp(- ) + 180 exp(-2 )) + (162 - ) - 324 exp(- ) + 180 exp(-2 )) ; ( 1 3 (1,0) exp(- ) 27648 - 12960 Ч P3 ( , )d = - 1152 4 Ч - + Ч Ч - Ч Ч + exp(- ) + 5120 exp(-2 ) - 945 exp(-3 ) + (27648 - 25920 exp(- ) + 15360 exp(-2 ) - 3780 exp(-3 )) + 22 (13824 - 25920 exp(- ) + 23040 exp(-2 ) - 7560 Ч 33 exp(-3 )) + (4608 - 17280 exp(- ) + 23040 Ч ) exp(-2 ) - 10080 exp(-3 )) ; ( 1 3 (1,0) P4 ( , )d = - exp(- ) 2700000 - 90000 4 2025000 exp(- ) + 1400000 exp(-2 ) - 590625 Ч exp(-3 ) + 108864 exp(-4 ) + (2700000 - 4050000 Ч exp(- ) + 4200000 exp(-2 ) - 2362500 exp(-3 ) + 22 544320 exp(-4 )) + (1350000 - 4050000 exp(- ) +

+ 20 exp(-2 ) + (162 - 162 exp(- ) + 60 exp(-2 )) + ) 22 + (81 - 162 exp(- ) + 90 exp(-2 )) ; ( 1 2 (1,0) exp(- ) 2304 - 2160 Ч P3 ( , )d = - 288 3 Ч - + Ч Ч Ч Ч Ч exp(- ) + 1280 exp(-2 ) - 315 exp(-3 ) + (2304 - 4320 exp(- ) + 3840 exp(-2 ) - 1260 exp(-3 )) + 22 (1152 - 4320 exp(- ) + 5760 exp(-2 ) - 2520 Ч ) exp(-3 )) ; ( 1 2 (1,0) exp(- ) 45000 - 67500 Ч P4 ( , )d = - 4500 3 exp(- ) + 70000 exp(-2 ) - 39375 exp(-3 ) + 9072 Ч exp(-4 ) + (45000 - 135000 exp(- ) + 210000 Ч 22 exp(-2 ) - 157500 exp(-3 ) + 45360 exp(-4 )) + Ч (22500 - 135000 exp(- ) + 315000 exp(-2 ) - 315000 Ч


62

Аналитические представления во временной области

+ Ч + Ч - Ч + - Ч + Ч - Ч 6300000 exp(-2 ) - 4725000 exp(-3 ) + 1360800 Ч 33 exp(-4 )) + (450000 - 2700000 exp(- ) + 6300000 exp(-2 ) - 6300000 exp(-3 ) + 2268000 Ч ) exp(-4 )) ; ( 1 3 (1,0) P5 ( , )d = - exp(- ) 3888000 - 108000 4 4252500 exp(- ) + 4480000 exp(-2 ) - 3189375 Ч exp(-3 ) + 1306368 exp(-4 ) - 231000 exp(-5 ) + (3888000 - 8505000 exp(- ) + 13440000 exp(-2 ) - 12757500 exp(-3 ) + 6531840 exp(-4 ) - 1386000 Ч 22 exp(-5 )) + (1944000 - 8505000 exp(- ) + 20160000 exp(-2 ) - 25515000 exp(-3 ) + 16329600 Ч 33 exp(-4 ) - 4158000 exp(-5 )) + (648000 - 5670000 exp(- ) + 20160000 exp(-2 ) - 34020000 Ч ) exp(-3 ) + 27216000 exp(-4 ) - 8316000 exp(-5 )) .
3 (1,0) Pk

+ 10n! exp(-2 )
n (1,0)

n j =0

( )j (n - j )! 3



n-j +1

;

P3 ( , )d = - exp(- ) Ч n n-j Ч 4n! ( )j +1 - j =0 (n - j )! - 30n! exp(- )
n j =0

( )j (n - j )! 2
n-j



n-j +1

+

+ 60n! exp(-2 )

n j =0 n j =0

( )j (n - j )! 3 ( )j (n - j )! 4
n- j

+1

- ;

( , )d P0
(1,0)

- 35n! exp(-3 )
n (1,0)

+1

-0,5

P1

(1,0)

P2
-1

(1,0)

P4 ( , )d = - exp(- ) Ч n n-j Ч 5n! ( )j +1 - j =0 (n - j )! P5
(1,0)

- 60n! exp(- )

n j =0

( )j (n - j )! 2
n- j



n-j +1

+

P3
-1,5 0

(1,0)

P4
1

(1,0)

+ 210n! exp(-2 )
2 3 4

n j =0

() (n - j )! 3
n- j

j +1

-



Рис. 1.104. Вид неопределенного интеграла 3-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 1, = 1, = 0

- 280n! exp(-3 )

n j =0 n j =0

() (n - j )! 4 () (n - j )! 5
n- j

j +1

+ ;

+ 126n! exp(-4 )
n (1,0)

j +1


[1.105]

n Pk

(1,0)

( , )d = -

k (k)(k + s + 1) Ч s s+1 s=0

P5 ( , )d = - exp(- ) Ч n n-j Ч 6n! ( )j +1 - j =0 (n - j )!

n ( ) Ч (-1)s exp -(s + 1) j =0

n! n-j ( )j (n - j )! (s + 1)

+1

.

- 105n! exp(- )

n j =0

( )j (n - j )! 2
n- j



n- j +1

+

Частные случаи для неопределенного интеграла n-ого рода от функций 0-5 порядков:

+ 560n! exp(-2 )

n j =0

() (n - j )! 3
n- j

j +1

-



P0
n

n

(1,0)

( , )d = -

n ( 2 )j n-j 2n! exp(- ) ; (n - j )! j =0

- 1260n! exp(-3 ) + 1260n! exp(-4 )

n j =0 n j =0

() (n - j )! 4 () (n - j )! 5
n- j

j +1

+

P1 ( , )d = - exp(- ) Ч n n- j Ч 2n! ( )j +1 - j =0 (n - j )! n n- j - n! exp(- ) ( )j +1 ; j =0 (n - j )! 2 n (1,0) P2 ( , )d = - exp(- ) Ч n n- j Ч 3n! ( )j +1 - j =0 (n - j )! - 12n! exp(- )
n j =0

(1,0)



n- j j +1

-

.

- 462n! exp(-5 )

n j =0

() (n - j )! 6

j +1

() (n - j )! 2



n- j j +1

+


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 63
(1,0)


n

Pk

( , )d
k (k)(k + s + 2) Ч s s+2 s=0 ( ) ( ) 1 Ч(-1)s exp -(2s+3) +2 . (2s + 3) (2s + 3)2



[1.107]

Pk

(2,0)

( , )d = -

4

Частные случаи для неопределенного интеграла 1-ого рода от

2

функций 0-5 порядков:

0

1 2 3 4 0 1 2 3

4

n

1 exp(-3 )(3 + 1); 9 2 ( 1 (2,0) P1 ( , )d = - exp(-3 ) 25 - 12 exp(-2 ) + 75 2 ) + (75 - 60 exp(-2 )) ; ( 1 (2,0) exp(-3 ) 490 - 588 Ч P2 ( , )d = - 735 2 P
(2,0) 0

( , )d = -

Рис. 1.105. Вид неопределенного интеграла n-ого рода от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка; n = 0..5, = 2, c = 1, = 1, = 0

Ч exp(-2 ) + 225 exp(-4 ) + (1470 - 2940 exp(-2 ) + ) + 1575 exp(-4 )) ; ( 1 P3 (2, 0)( , )d = - exp(-3 ) 3150 - 6804 Ч 2835 2 Ч exp(-2 ) + 6075 exp(-4 ) - 1960 exp(-6 ) + (9450 - ) - 34020 exp(-2 ) + 42535 exp(-4 ) - 17640 exp(-6 )) ; ( 1 (2,0) P4 ( , )d = - exp(-3 ) 63525 - 213444 Ч 38115 2 Ч exp(-2 ) + 326700 exp(-4 ) - 237160 exp(-6 ) + + 66150 exp(-8 ) + (190575 - 1067220 exp(-2 ) + ) + 2286900 exp(-4 ) - 2134440 exp(-6 ) + 727650 exp(-8 )) ; ( 1 (2,0) exp(-3 ) 1366365 - P5 ( , )d = - 585585 2 - Ч + + Ч 6558552 exp(-2 ) + 15057900 exp(-4 ) - 18218200 Ч exp(-6 ) + 11179350 exp(-8 ) - 2744280 exp(-10 ) + (4099095 - 32792760 exp(-2 ) + 105405300 exp(-4 ) - 163963800 exp(-6 ) + 122972850 exp(-8 ) - 35675640 Ч ) exp(-10 )) . P
(2,0) k


[1.106]

Pk

(2,0)

( , )d = -

k (k)(k + s + 2) Ч s s+2 s=0

( ) (-1)s exp -(2s + 3) . Ч (2s + 3)
Частные случаи для неопределенного интеграла от функций 0-5 порядков:

P0 P1 P2

(2,0)

(2,0)

(2,0)

1 exp(-3 ); 3 1 exp(-3 )(5 - 4 exp(-2 )); ( , )d = - 5 1 ( , )d = - exp(-3 )(14 - 28 exp(-2 ) + 15 Ч 7 ( , )d = -

( , )d P0
(2,0) (2,0) P1

Ч exp(-4 )); 1 (2,0) exp(-3 )(30 - 56 exp(-2 ) + 108 Ч P3 ( , )d = - 9 Ч exp(-4 ) - 135 exp(-6 )); 1 (2,0) exp(-3 )(55 - 308 exp(-2 ) + P4 ( , )d = - 11 + 660 exp(-4 ) - 616 exp(-6 ) + 210 exp(-8 )); 1 (2,0) P5 ( , )d = - exp(-3 )(91 - 728 exp(-2 ) + 13 + 2340 exp(-4 ) - 3640 exp(-6 ) + 2730 exp(-8 ) - 792 Ч Ч exp(-10 )). (2,0) Pk ( , )d (2,0) P5
-0,05

-0,01 -0,02 -0,03 -0,04 -0,05

P

(2,0) 2

(2,0) P3 (2,0) P4

P5

(2,0)

0

1

2

3

4



P4 P3 P2 P1

(2,0)

Рис. 1.107. Вид неопределенного интеграла 1-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 2, = 0

(2,0)

-0,1

(2,0) (2,0)

[1.108]

-0,15

P0

(2,0)

-0,2

k (k)(k + s + 2) Ч s s+2 s=0 ( ( ) 2 Ч (-1)s exp -(2s + 3) + (2s + 3)



2 Pk

(2,0)

( , )d = -

0

1

2

3

4



Рис. 1.106. Вид неопределенного интеграла от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 2, = 0

+

2 2 +3 2 (2s + 3)2 (2s + 3)

) .

3


64

Аналитические представления во временной области

Частные случаи для неопределенного интеграла 2-ого рода от функций 0-5 порядков:

P P
2

2

(2,0) 0

(2,0) 1

1 22 exp(-3 )(9 + 6 + 2); 27 3 ( 1 ( , )d = - exp(-3 ) 250 - 72 Ч 1125 3 ( , )d = -
22

[1.109]

Ч exp(-2 ) + (750 - 360 exp(-2 ) + (1125 - 900 Ч ) Ч exp(-2 )) ; ( 1 2 (2,0) P2 ( , )d = - exp(-3 ) 34300 - 24696 Ч 77175 3 Ч exp(-2 ) + 6750 exp(-4 ) + (102900 - 123480 Ч 22 Ч exp(-2 ) + 47250 exp(-4 )) + (154350 - 308700 Ч ) Ч exp(-2 ) + 165375 exp(-4 )) ; ( 1 2 (2,0) exp(-3 ) 661500 - P3 ( , )d = - 893025 3 - + - + - Ч - - + Ч Ч Ч Ч Ч - - - - - - 857304 exp(-2 ) + 546750 exp(-4 ) - 137200 exp(-6 ) + (1984500 - 4286520 exp(-2 ) + 3827250 exp(-4 ) - 22 1234800 exp(-6 )) + (2976750 - 10716300 exp(-2 ) + ) 13395375 exp(-4 ) - 5556600 exp(-6 )) ; ( 1 2 (2,0) P4 ( , )d = - exp(-3 ) 146742750 - 132068475 3 295833384 exp(-2 ) + 323433000 exp(-4 ) - 182613200 Ч exp(-6 ) + 41674500 exp(-8 ) + (440228250 - 1479166920 exp(-2 ) + 2264031000 exp(-4 ) - 1643518800 exp(-6 ) + 458419500 exp(-8 )) + 22 (660342375 - 3697917300 exp(-2 ) + 7924108500 Ч exp(-4 ) - 7395834600 exp(-6 ) + 2521307250 Ч ) exp(-8 )) ; 1 2 (2,0) P5 ( , )d = - exp(-3 ) Ч 26377676325 3 ( 41031940950 - 118171989936 exp(-2 ) + 193795173000 Ч exp(-4 ) - 182364182000 exp(-6 ) + 91558876500 Ч exp(-8 ) - 19017860400 exp(-10 ) + (123095822850 - 590859949680 exp(-2 ) + 1356566211000 exp(-4 ) - 1641277638000 exp(-6 ) + 1007147641500 exp(-8 ) - 22 247232185200 exp(-10 )) + (184643734275 - 1477149874200 exp(-2 ) + 4747981738500 exp(-4 ) - 7385749371000 exp(-6 ) + 5539312028250 exp(-8 ) - ) 1607009203800 exp(-10 )) . Pk
2 (2,0)

k (k)(k + s + 2) Ч s s+2 s=0 ( ( ) 3 3 2 Ч (-1)s exp -(2s + 3) +2 + (2s + 3) (2s + 3)2 ) 6 6 +3 +4 . (2s + 3)3 (2s + 3)4



3 Pk

(2,0)

( , )d = -

Частные случаи для неопределенного интеграла 3-ого рода от функций 0-5 порядков:

P0

3

(2,0)

( , )d = -

1 33 22 exp(-3 )(9 + 9 + 6 Ч 27 4 ( 1 exp(-3 ) 1250 - 216 Ч 5625 4
22

Ч + 2); 3 (2,0) P1 ( , )d = -

Ч exp(-2 ) + (3750 - 1080 exp(-2 ) + (5625 - 2700 Ч ) 33 Ч exp(-2 )) + (5625 - 4500 exp(-2 )) ; ( 1 3 (2,0) exp(-3 ) 1200500 - P2 ( , )d = - 2701125 4 - - - - 518616 exp(-2 ) 2593080 exp(-2 6482700 exp(-2 10804500 exp(-2 P3
3 (2,0)

+ 101250 exp(-4 ) + (3601500 - 22 ) + 708750 exp(-4 )) + (5402250 - 33 ) + 2480625 exp(-4 )) + (5402250 - ) ) + 5788125 exp(-4 )) ; ( 1 ( , )d = - exp(-3 ) 69457500 - 93767625 4

( , )d P0
(2,0)

-0,01

P
-0,02

(2,0) 1

P2 P3

(2,0)

(2,0)

-0,03

(2,0) 4 (2,0) P5

P

-0,04

0

1

2

3

4



Рис. 1.108. Вид неопределенного интеграла 2-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 2, = 0

- 54010152 exp(-2 ) + 24603750 exp(-4 ) - 4802000 Ч Ч exp(-6 ) + (208372500 - 270050760 exp(-2 ) + + 172226250 exp(-4 ) - 43218000 exp(-6 )) + 22 + (312558750 - 675126900 exp(-2 ) + 602791875 Ч 33 Ч exp(-4 ) - 194481000 exp(-6 )) + (312558750 - 1125211500 exp(-2 ) + 1406514375 exp(-4 ) - ) - 583443000 exp(-6 )) ; 1 3 (2,0) exp(-3 ) Ч P4 ( , )d = - 152539088625 4 ( Ч 169487876250 - 205012535112 exp(-2 ) + 160099335000 Ч Ч exp(-4 ) - 70306082000 exp(-6 ) + 13127467500 Ч Ч exp(-8 ) + (508463628750 - 1025062675560 exp(-2 ) + + 1120695345000 exp(-4 ) - 632754738000 exp(-6 ) + 22 + 144402142500 exp(-8 )) + (762695443125 - - 2562656688900 exp(-2 ) + 3922433707500 exp(-4 ) - - 2847396321000 exp(-6 ) + 794211783750 exp(-8 )) + 33 + (762695443125 - 4271094481500 exp(-2 ) + + 9152345317500 exp(-4 ) - 8542188963000 exp(-6 ) + ) + 2912109873750 exp(-8 )) ; 1 3 (2,0) P5 ( , )d = - exp(-3 ) Ч 396060810019875 4 ( Ч 616094593364250 - 1064611457333424 exp(-2 ) + + 1247071938255000 exp(-4 ) - 912732730910000 Ч Ч exp(-6 ) + 374933599267500 exp(-8 ) - - 65896886286000 exp(-10 ) + (1848283780092750 - - 5323057286667120 exp(-2 ) + 8729503567785000 Ч Ч exp(-4 ) - 8214594578190000 exp(-6 ) + + 4124269591942500 exp(-8 ) - 856659521718000 Ч 22 Ч exp(-10 )) + (2772425670139125 - - 13307643216667800 exp(-2 ) + 30553262487247500 Ч Ч exp(-4 ) - 36965675601855000 exp(-6 ) + + 22683482755683750 exp(-8 ) - 5568286891167000 Ч 33 Ч exp(-10 )) + (2772425670139125 - - 22179405361113000 exp(-2 ) + 71290945803577500 Ч Ч exp(-4 ) - 110897026805565000 exp(-6 ) +


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 65

+ 83172770104173750 exp(-8 ) - 24129243195057000 Ч ) Ч exp(-10 )) . 3 (2,0) Pk ( , )d (2,0) P0
-0,01
(2,0) P1

- 56n! exp(-6 )
n

n j =0

( )j (n - j )! 9



n-j +1

;

P4

(2,0)

( , )d = - exp(-3 ) Ч
n-j +1

P2
-0,02

(2,0)

n Ч 15n! j =0

(2,0) P3 (2,0) 4

( )j (n - j )! 3
n j =0

-
n-j +1

- 140n! exp(-2 ) P + 420n! exp(-4 ) - 504n! exp(-6 )

( )j (n - j )! 5 ( )j (n - j )! 7 ( )j (n - j )! 9
n- j



+

-0,03

n j =0 n j =0 n j =0



n-j +1

(2,0) P5

-

-0,04



n-j +1

0

1

2

3

4



+

Рис. 1.109. Вид неопределенного интеграла 3-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 2, = 0

+ 210n! exp(-8 )
n

( )j (n - j )! 11

+1

;


[1.110]

n Pk

(2,0)

( , )d = -

k (k)(k + s + 2) Ч s s+2 s=0

P5

(2,0)

( , )d = - exp(-3 ) Ч
n-j +1

n Ч 21n! j =0

( )j (n - j )! 3
n j =0

-
n-j +1

n ( ) Ч(-1)s exp -(2s+3) j =0

n! n-j ( )j (n - j )! (2s + 3)

+1

.

- 280n! exp(-2 )

( )j (n - j )! 5
n-j



+

Частные случаи для неопределенного интеграла n-ого рода от функций 0-5 порядков:

+ 1260n! exp(-4 ) - 2520n! exp(-6 ) - 2310n! exp(-8 )

n j =0 n j =0 n j =0 n j =0

( )j (n - j )! 7 ( )j (n - j )! 9
n- j

+1

-



P0
n

n

(2,0)

( , )d = -

n ( 2 )j n-j 2n ! exp(- ) ; 3 (n - j )! j =0



n-j +1

+

P1 ( , )d = - exp(-3 ) Ч n n- j Ч 3n! ( )j +1 - j =0 (n - j )! 3 n n-j - n! exp(-2 ) ( )j +1 ; j =0 (n - j )! 5 n (2,0) P2 ( , )d = - exp(-3 ) Ч n n- j Ч 6n! ( )j +1 - j =0 (n - j )! 3 - 20n! exp(-2 )
n j =0 n j =0

(2,0)

( )j (n - j )! 11 ( )j (n - j )! 13
n- j

+1

- .

- 792n! exp(-10 )
n

+1

Pk

(2,0)

( , )d

0, 08 0, 06 + 0, 04 0, 02

( )j (n - j )! 5 ( )j (n - j )! 7
n-j

n-j

+1


+1

+ 15n! exp(-4 )
n

;

P3

(2,0)

0

( , )d = - exp(-3 ) Ч
n- j j +1

1 2 3 4 0 1 2 3

4

n

n Ч 10n! j =0

() (n - j )! 3
n j =0

-
n-j +1

- 60n! exp(-2 )

( )j (n - j )! 5
n-j



+

Рис. 1.110. Вид неопределенного интеграла n-ого рода от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка; n = 0..5, = 2, c = 2, = 2, = 0

+ 105n! exp(-4 )

n j =0

( )j (n - j )! 7

+1

-


66

Аналитические представления во временной области


[1.111]

Pk

(,0)

( , )d = -

k (k)(k + s + ) Ч s s+ s=0

Ч

( ) 2(-1)s exp -(2s + + 1)c /2 . c (2s + + 1)
( ( ) -c ( + 1)/2 ; -c ( + 1)/2

+ (3 + 42 + 183 + 252) exp(-2c ) - ( + 15 + 74 + ) + 120) exp(-3c ) ; ( )( 4 1 (,0) P4 ( , )d = - exp -c ( + 1)/2 + 12c ( + 9) + + + + Ч 18 + 107 + 258 + 216 - (4 + 80 + 548 + 4 3 2 1528 + 1440) exp(-c ) + (6 + 132 + 1026 + 4 3 2 3348 + 3888) exp(-2c ) - (4 + 96 + 836 + 3144 + 4 3 2 4320) exp(-) c ) + ( + 26 + 251 + 1066 + 1680) Ч 3 exp(-4c ) ; ( )( 5 1 (,0) P5 exp -c ( + 1)/2 + ( , )d = - 60c ( + 11)
4 3 2 5 4 3 3 2 4 3 2

3

2

3

2

Частные случаи для неопределенного интеграла от функций 0-5 порядков:

2 exp c ( + 1) 2 (,0) P1 exp ( , )d = - c ( + 3) ) - ( + 2) exp(-c ) ; 1 (,0) exp P2 ( , )d = - c ( + 5) P0
(,0)

( , )d = -

)(

+3- + + + - Ч + +

(

-c ( + 1)/2

)(

+ 7 +

2

) 2 2 + 10 - 2( + 7 + 10) exp(-c ) + ( + 7 + 12) exp(-2c ) ; ( )( 3 1 (,0) P3 ( , )d = - exp -c ( + 1)/2 + 3c ( + 7)
2 3 2

+ 12 + 41 + 42 - (3 + 39 + 150 + 168) exp(-c ) +

25 + 225 + 935 + 1814 + 1320 - (5 + 140 + 1455 + 2 5 4 7060 + 15940 + 13200) exp(-c ) + (10 + 310 + 3 2 3650 + 20450 + 54540 + 55440) exp(-2c ) - 5 4 3 2 (10 + 340 + 4470 + 28460 + 87920 + 105600) Ч 5 4 3 2 exp(-3c ) + (5 + 185 + 2685 + 19135 + 67030 + 5 4 3 2 92400) exp(-4c ) ) ( + 40 + 635 + 5000 + 19524 + - 30240) exp(-5c ) .

Pk

(,0)

( , )d

Pk

(,0)

( , )d

0

-0, 05

-0, 1

-0, 1 -0, 2 0 2 4 0 1 3 2 4 1 1, 5 2 2, 5 3 4 2 0

а)
=1 P
k (k)(k + s + ) Ч s s+ s=0 ( ) Ч (-1)s exp -(2s + + 1)c /2 Ч ( ) 2 4 Ч +22 . c (2s + + 1) c (2s + + 1)2

б)

Рис. 1.111. Вид неопределенного интеграла от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 2, [0; 5]; б) (1; 3, 5],

(,0) 2

( , )d = -



[1.112]

Pk

(,0)

( , )d = -

Частные случаи для неопределенного интеграла 1-ого рода от функций 0-5 порядков:

P

(,0) 0

( , )d = -

( ) Ч ( + 1) + 2 ; (,0) P1 ( , )d = -

( ) 2 exp -c ( + 1)/2 Ч c2 2 ( + 1)2 2 Ч c2 2 ( + 1)( + 3)2

( )( 2 2 Ч exp -c ( + 1)/2 2( + 3) - 2( + 3 + 2) exp(-c ) + ) 3 2 3 2 + ( + 7 + 15 + 9 - ( + 6 + 11 + 6) exp(-c )) ;

( )( 4 3 2 4 Ч exp -c ( + 1)/2 2 + 30 + 162 + 370 + 300 - (4 + 3 2 4 3 2 + 52 + 228 + 380 + 200) exp(-c ) + (2 + 22 + 86 + 5 4 3 2 + 138 + 72) exp(-2c ) + ( + 16 + 96 + 266 + 335 + 5 4 3 2 + 150 - ( + 32 + 192 + 532 + 670 + 300) exp(-c ) + ) 5 4 3 2 + ( + 16 + 98 + 284 + 381 + 180) exp(-2c )) ; 2 P3 (, 0)( , )d = - 2 2 Ч c ( + 1)2 ( + 3)2 ( + 5)2 ( )(( + 3) 1 6 5 4 Ч exp -c ( + 1)/2 (2 + 60 + 734 + ( + 7)2 ( + 4) 3 2 6 5 + 4680 + 16382 + 29820 + 22050) - (6 + 156 + +1 4 3 2 + 1578 + 7752 + 18714 + 19740 + 7350) exp(-c ) + ( + 5) 6 5 4 3 2 + (6 + 132 + 1098 + 4344 + 8538 + 7812 + +2 ( + 6) 6 5 4 3 + 2646) exp(-2c ) - (2 + 36 + 254 + 888 + +3

1 Ч c2 2 ( + 1)( + 3)( + 5)2


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 67

) (( + 3) 2 7 + 1380 + 1380 + 450) exp(-3c ) + ( + 31 Ч 6 5 4 3 2 Ч + 397 + 2707 + 10531 + 23101 + 25935 + 22050) - ( + 4) 7 6 5 4 3 2 - (3 + 87 + 1023 + 6243 + 20985 + 37941 + +1 ( + 5) 7 6 5 + 33285 + 11025) exp(-c ) + (3 + 81 + 879 + +2 4 3 2 + 4917 + 15129 + 25251 + 20853 + 6615) exp(-2c ) - ( + 6) 7 6 5 4 3 2 - ( + 25 + 253 + 1333 + 3907 + 6283 + +3 ) + 5055 + 1575) exp(-3c ) ; 2 (,0) P4 ( , )d = - 2 2 Ч c ( + 1)2 ( + 3)2 ( + 5)2 ( )(( + 4) 1 8 7 Ч exp -c ( + 1)/2 (2 + 96 + ( + 7)2 ( + 9)2 6 5 4 3 2 + 1976 + 22752 + 160076 + 703776 + 1885752 + ( + 5) 8 7 6 + 2812320 + 1786050) - (8 + 352 + 6496 + +1 5 4 3 2 + 65056 + 381424 + 1312672 + 2504672 + 2308320 + ( + 6) 8 7 6 + 793800) exp(-c ) + (12 + 480 + 7920 + +2 5 4 3 2 + 69600 + 351336 + 1026720 + 1669680 + 1360800 + ( + 7) 8 7 6 + 428652) exp(-2c ) - (8 + 288 + 4256 + +3 5 4 3 2 + 33504 + 152624 + 408288 + 618912 + 479520 + ( + 8) 8 7 6 5 + 145800) exp(-3c ) + (2 + 64 + 856 + 6208 + +4 4 3 2 + 26476 + 67264 + 98072 + 73920 + 22050) Ч ) (( + 4) 9 8 7 6 Ч exp(-4c ) + ( + 49 + 1036 + 12364 + 5 4 3 2 + 91414 + 431926 + 1294764 + 2349036 + 2299185 + ( + 5) 9 8 7 6 + 893025) - (4 + 188 + 3776 + 42272 + 288296 Ч +1 5 4 3 2 Ч + 1228472 + 3221344 + 4911168 + 23859380 + ( + 6) 9 8 7 + 1190700) exp(-c ) + (6 + 270 + 5160 + +2 6 5 4 3 2 + 54600 + 349668 + 1391700 + 3401640 + 4854600 + ( + 7) 9 8 + 3616326 + 1071630) exp(-2c ) - (4 + 172 + +3 7 6 5 4 3 + 3136 + 31648 + 193576 + 738328 + 1738464 + ( + 8) 2 9 + 2405952 + 1751220 + 510300) exp(-3c ) + ( + +4 8 7 6 5 4 3 + 41 + 716 + 6956 + 41174 + 152774 + 351724 + ) 2 + 478284 + 343665 + 99225) exp(-4c ) ; 2 (,0) P5 ( , )d = - 2 2 Ч c ( + 1)2 ( + 3)2 ( + 5)2

Ч Ч + + + + + + + - + + + + + Ч + Ч Ч + - + + + + + - + + + + + - + +

( )(( + 5) 1 exp -c ( + 1)/2 Ч ( + 7)2 ( + 9)2 ( + 11)2 10 9 8 7 6 5 (2 + 140 + 4330 + 77840 + 6978440 + 6978440 + 4 3 2 36738020 + 129455760 + 291833082 + 379583820 + ( + 6) 10 9 8 7 (10 + 660 + 19010 + 313200 + 216112050) - +1 6 5 4 3 3248340 + 21969720 + 96919700 + 270305520 + 2 443302690 + 370962900 + 120062250) exp(-c ) + ( + 7) 10 9 8 7 (20 + 1240 + 33220 + 503200 + +2 6 5 4 3 4734760 + 28629520 + 111281960 + 270544800 + 2 387329220 + 290145240 + 86444820) exp(-2c ) - ( + 8) 10 9 8 7 (20 + 1160 + 28900 + 51852240 + +3 6 5 4 3 3511720 + 19550000 + 70171880 + 158746080 + 2 213958980 + 153073800 + 44104500) exp(-3c ) + ( + 9) 10 9 8 7 6 (10 + 540 + 12530 + 163920 + 1333140 + +4 5 4 3 2 7004520 + 23907380 + 51852240 + 67575010 + ( + 10) 10 47147100 + 13340250) exp(-4c ) - (2 + 100 Ч +5 9 8 7 6 5 4 + 2170 + 26800 + 207556 + 1046680 + 3453380 + 3 2 7287600 + 9296442 + 6384420 + 1786050) Ч ) (( + 5) 11 10 9 exp(-5c ) + ( + 71 + 2235 + 488778 Ч 8 7 6 5 4 + 488778 + 3939078 + 83096890 + 83096890 + 3 2 210644421 + 335708451 + 297847935 + 108056025) - ( + 6) 11 10 9 8 7 (5 + 345 + 10495 + 185115 + 2093970 + +1 6 5 4 3 15857370 + 81414430 + 280532310 + 627109625 + 2 850435485 + 616475475 + 180093375) exp(-c ) + ( + 7) 11 10 9 8 7 (10 + 670 + 19710 + 334650 + 3625380 + +2 6 5 4 3 26151660 + 127214780 + 413477300 + 870026610 + 2 1113395670 + 768585510 + 216112050) exp(-2c ) - ( + 8) 11 10 9 8 7 (5 + 650 + 18510 + 303630 + 3173220 + +3 6 5 4 3 22066020 + 103510940 + 324974620 + 662590770 + 2 825393330 + 557810550 + 154365750) exp(-3c ) + ( + 9) 11 10 9 8 7 (5 + 315 + 8695 + 138345 + 1404210 + +4 6 5 4 3 9501390 + 43474030 + 133509330 + 267122585 + 2 327661095 + 218832075 + 60031125) exp(-4c ) - ( + 10) 11 10 9 8 7 ( + 61 + 1635 + 25335 + 251178 + +5 6 5 4 3 1664898 + 7483430 + 22637390 + 44730021 + ) 2 54322641 + 36007335 + 9823275) exp(-5c ) .


68

Аналитические представления во временной области

P

(,0) k

( , )d

P

(,0) k

( , )d

0

-0, 1

-0, 05

-0, 2

-0, 1 4 3 -0, 15 0 2 4 0 1 2



1 1, 5 2 2, 5 3 4 2 0

а)

б)

Рис. 1.112. Вид неопределенного интеграла 1-ого рода от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 2, [0; 5]; б) (1; 3, 5], = 1

[1.113]

k (k)(k + s + ) Ч s s+ s=0 ( ( ) 2 2 s Ч (-1) exp -(2s + + 1)c /2 + c (2s + + 1) ) 8 16 +22 . +33 c (2s + + 1)2 c (2s + + 1)3



2 Pk

(,0)

( , )d = -

Частные случаи для неопределенного интеграла 2-ого рода от функций 0-5 порядков:

+

+ Ч

Ч Ч Ч Ч

Ч Ч Ч

( )( 2 exp -c ( + 1)/2 8 + c3 3 ( + 1)3 222 2) 4c ( + 1) + c ( + 1) ; ( )( 2 2 (,0) P1 ( , )d = - 3 3 exp -c ( + 1)/2 8 + c ( + 1)2 2 222 2) 4c ( + 1) + c ( + 1) + 3 3 Ч c ( + 3)3 ( ) ( 222 2) exp -c ( + 3)/2 )( + 2) 8 + 4c ( + 3) + c ( + 3) ; ( ) 1 2 (,0) P2 ( , )d = - 3 3 exp -c ( + 1)/2 Ч c ( + 1)2 ( 2 222 2) ( + 2) 8 + 4c ( + 1) + c ( + 1) + 3 3 Ч c ( + 3)3 ( ) ( 222 exp -c ( + 3)/2 ( + 2) 8 + 4c ( + 3) + c Ч ( )2 1 2) ( + 3) - 3 3 exp -c ( + 5)/2 ( + 7 + 12) Ч c ( + 5)3 ( 222 2) 8 + 4c ( + 5) + c ( + 5) ; ( ) 2 2 (,0) exp -c ( + 1)/2 Ч P3 ( , )d = - 3 3 c ( + 1)3 ( + 3)( 6 222 2) Ч 8 + 4c ( + 1) + c ( + 1) + 3 3 c ( + 3)3 ( + 4)( ( ) 222 exp -c ( + 3)/2 ) 8 + 4c ( + 3) + c Ч +1 ( )( + 5) 6 2) exp -c ( + 5)/2 Ч ( + 3) - 3 3 3 c ( + 5) +2 P
2 (,0) 0

( , )d = -

( 2 222 2) Ч 8 + 4c ( + 5) + c ( + 5) + 3 3 Ч c ( + 7)3 ( )( + 6)( 222 Ч exp -c ( + 7)/2 8 + 4c ( + 7) + c Ч +3 2) Ч ( + 7) ; ( ) 2 2 (,0) P4 ( , )d = - 3 3 exp -c ( + 1)/2 Ч c ( + 1)3 ( + 4)( 8 222 2) Ч 8 + 4c ( + 1) + c ( + 1) + 3 3 Ч c ( + 3)3 ( )( + 5)( 222 Ч exp -c ( + 3)/2 8 + 4c ( + 3) + c Ч +1 ( + 6) ( ) 12 2) Ч ( + 3) - 3 3 exp -c ( + 5)/2 Ч c ( + 5)3 +2 ( 8 222 2) Ч 8 + 4c ( + 5) + c ( + 5) + 3 3 Ч c ( + 7)3 ( )( + 7)( 222 Ч exp -c ( + 7)/2 8 + 4c ( + 7) + c Ч +3 ) ( )( + 8) 2 2 Ч ( + 7) - 3 3 exp -c ( + 9)/2 Ч c ( + 9)3 +4 ( 222 2) Ч 8 + 4c ( + 9) + c ( + 9) ; ( ) 2 2 (,0) exp -c ( + 1)/2 ) Ч P5 ( , )d = - 3 3 c ( + 1)3 ( + 5)( 10 222 2) Ч 8 + 4c ( + 1) + c ( + 1) + 3 3 Ч c ( + 3)3 ( + 6)( ( ) 222 Ч exp -c ( + 3)/2 8 + 4c ( + 3) + c Ч +1 ( )( + 7) ) 20 2 exp -c ( + 5)/2 Ч Ч ( + 3) - 3 3 c ( + 5)3 +2 ( 20 222 2) Ч 8 + 4c ( + 5) + c ( + 5) + 3 3 Ч c ( + 7)3 ( )( + 8)( 222 Ч exp -c ( + 7)/2 8 + 4c ( + 7) + c Ч +3 ( )( + 9) ) 10 2 exp -c ( + 9)/2 Ч Ч ( + 7) - 3 3 c ( + 9)3 +4 ( ) 2 222 2 Ч Ч 8 + 4c ( + 9) + c ( + 9) + 3 3 c ( + 11)3 ( + 10)( ( ) 222 Ч exp -c ( + 11)/2 ) 8 + 4c ( + 11) + c Ч +5 2) Ч ( + 11) .


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 69

P
2

(,0) k

( , )d
2

Pk

(,0)

( , )d

0 -0, 1 -0, 2 -0, 1 -0, 3 -0, 4 -0, 2 0 2 4 0 1 3 2 4 1 1, 5 2 2, 5 3 4 2 0

а)

б)

Рис. 1.113. Вид неопределенного интеграла 2-ого рода от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 2, [0; 5]; б) (1; 3, 5], = 1

[

k (k)(k + s + ) (,0) 1.114] 3 Pk ( , )d = - Ч s s+ s=0 ( ) Ч (-1)s exp -(2s + + 1)c /2 Ч ( 12 2 2 3 Ч +22 + c (2s + + 1) c (2s + + 1)2



6 c4 4 ( + Ч ( + 5) + 2 +44 c ( + Ч ( + 7) + 3 (,0) P4 -

+

48 96 +44 c3 3 (2s + + 1)3 c (2s + + 1)

) .

Ч Ч Ч - Ч + Ч - Ч

4

Частные случаи для неопределенного интеграла 3-ого рода от функций 0-5 порядков:

Ч

Ч + +

Ч Ч Ч - Ч

Ч Ч Ч

( ) 2 exp -c ( + 1)/2 Ч c4 4 ( + 1)4 ( 222 2 333 3) 48 + 24c ( + 1) + 6c ( + 1) + c ( + 1) ; ( ) 2 3 (,0) P1 ( , )d = - 4 4 exp -c ( + 1)/2 Ч c ( + 1)3 ( 222 2 333 3) 48 + 24c ( + 1) + 6c ( + 1) + c ( + 1) + ( ) ( 2 exp -c ( + 3)/2 ( + 2) 48 + 24c ( + 3) + c4 4 ( + 3)4 222 2 333 3) 6c ( + 3) + c ( + 3) ; ( ) 2 3 (,0) P2 ( , )d = - 4 4 exp -c ( + 1)/2 Ч c ( + 1)4 ( + 2)( 222 2 333 48 + 24c ( + 1) + 6c ( + 1) + c Ч ( )( + 3) 4 3) exp -c ( + 3)/2 Ч ( + 1) + 4 4 c ( + 3)4 +1 ( 222 2 333 3) 48 + 24c ( + 3) + 6c ( + 3) + c ( + 3) - ( )( + 4)( 2 exp -c ( + 5)/2 48 + 24c Ч c4 4 ( + 5)4 +2 222 2 333 3) ( + 5) + 6c ( + 5) + c ( + 5) ; ( ) 2 3 (,0) P3 ( , )d = - 4 4 exp -c ( + 1)/2 Ч c ( + 1)4 ( + 3)( 222 2 333 48 + 24c ( + 1) + 6c ( + 1) + c Ч ( )( + 4) 6 3) exp -c ( + 3)/2 Ч ( + 1) + 4 4 c ( + 3)4 +1 ( 222 2 333 3) 48 + 24c ( + 3) + 6c ( + 3) + c ( + 3) - P0
3 (,0)

( , )d = -

Ч Ч Ч - Ч + Ч - Ч + Ч

( + 4)( 222 2 333 48 + 24c ( + 1) + 6c ( + 1) + c Ч ) ( )( + 5) 8 3 ( + 1) + 4 4 exp -c ( + 3)/2 Ч c ( + 3)4 +1 ( 222 2 333 3) 48 + 24c ( + 3) + 6c ( + 3) + c ( + 3) - ( )( + 6)( 12 exp -c ( + 5)/2 48 + 24c Ч c4 4 ( + 5)4 +2 222 2 333 3) ( + 5) + 6c ( + 5) + c ( + 5) + ( )( + 7)( 8 exp -c ( + 7)/2 48 + 24c Ч c4 4 ( + 7)4 +3 222 2 333 3) ( + 7) + 6c ( + 7) + c ( + 7) - ( )( + 8)( 2 exp -c ( + 9)/2 48 + 24c Ч c4 4 ( + 9)4 +4 222 2 333 3) ( + 9) + 6c ( + 9) + c ( + 9) ; ( ) 2 3 (,0) P5 ( , )d = - 4 4 exp -c ( + 1)/2 Ч c ( + 1)4 ( + 5)( 222 2 333 48 + 24c ( + 1) + 6c ( + 1) + c Ч ( )( + 6) ) 10 3 exp -c ( + 3)/2 Ч ( + 1) + 4 4 c ( + 3)4 +1 ( 222 2 333 3) 48 + 24c ( + 3) + 6c ( + 3) + c ( + 3) - ( )( + 7)( 20 exp -c ( + 5)/2 48 + 24c Ч c3 3 ( + 5)3 +2 222 2 333 3) ( + 5) + 6c ( + 5) + c ( + 5) + ( )( + 8)( 20 exp -c ( + 7)/2 48 + 24c Ч c4 4 ( + 7)4 +3 222 2 333 3) ( + 7) + 6c ( + 7) + c ( + 7) - ( )( + 9)( 10 exp -c ( + 9)/2 48 + 24c Ч 4 4 ( + 9)4 c +4 222 2 333 3) ( + 9) + 6c ( + 9) + c ( + 9) + ( )( + 10)( 2 exp -c ( + 11)/2 48 + 24c Ч 4 4 ( + 11)4 c +5 222 2 333 3) ( + 11) + 6c ( + 11) + c ( + 11) .

)( + 5)( 48 + 24c +2 333 3) + c ( + 5) + )( + 6)( + 7)/2 48 + 24c +3 333 3) + c ( + 7) ; ( 2 ( , )d = - 4 4 exp -c ( + 1)/ c ( + 1)4 ( exp -c ( 5)4 222 2 6c ( + 5) ( exp -c ( 7)4 222 2 6c ( + 7) + 5)/2

Ч

Ч ) 2Ч


70

Аналитические представления во временной области


3

Pk

(,0)

( , )d P
3

(,0) k

( , )d

0 -0, 2 -0, 1 -0, 2 -0, 4 -0, 6 -0, 8 4 2 4 0 1 3 2 1 1, 5 2 2, 5 3 4 2 0

-0, 3 0

а)

б)

Рис. 1.114. Вид неопределенного интеграла 3-ого рода от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 2, [0; 5]; б) (1; 3, 5], = 1

[1.115]

k (k)(k + s + ) Ч s s+ s=0 ( ) Ч (-1)s exp -(2s + + 1)c /2 Ч



n Pk

(,0)

( , )d = -

Ч

n j =0

( )j (n - j )! c (2s + + 1)/2

n!

n-j

+1

.

n ( ) n-j +3 n! Ч ( j =0 (n - j )! c ( + n ( + 4) -3 n! exp(-c ) +1 j =0 (n - j n ( + 5 ) +3 n! exp(-2c ) +2 j =0 (n - -

1)/2

)j

+1

-

n- j ( ) )! c ( + 3)/2 (
n- j

j +1

+

)

j )! c ( + 5)/2

j +1

- ;

n ( + 6) n-j n! exp(-3c ) ( )j +3 j =0 (n - j )! 9c ( + 7)/2 n (,0)

+1

Частные случаи для неопределенного интеграла n-ого рода от функций 0-5 порядков:

P0 Ч
n ( j =0 n

n

(,0)

( , )d = -

2n! exp(-c ( + 1)/2) Ч

)j n-j 2 ; c ( + 1)/2 (n - j )!
(,0)

P1

( , )d = - exp(-c ( + 1)/2) Ч n- j ( ) (n - j )! c ( + 1)/2
n j =0

n Ч ( + 1)n! j =0

j +1

-
+1

- ( + 2)n! exp(- )
n (,0)

( )j (n - j )! c ( + 3)/2



n-j

;

P2 ( , )d = - exp(-c ( + 1)/2) Ч n ( ) n-j +2 Ч n! ( )j +1 - j =0 (n - j )! c ( + 1)/2 n ( + 3) n-j -2 n! exp(-c ) ( )j +1 j =0 (n - j )! c ( + 3)/2
n ( + 4) n- j + n! exp(-2c ) ( )j +2 j =0 (n - j )! c ( + 5)/2 n (,0) P3 ( , )d = - exp(-c ( + 1)/2) Ч

+1

+

+1

;

P4 ( , )d = - exp(-c ( + 1)/2) Ч n ( ) n-j +4 n! Ч ( )j +1 - j =0 (n - j )! c ( + 1)/2 n ( + 5) n- j -4 n! exp(-c ) ( )j +1 + +1 j =0 (n - j )! c ( + 3)/2 n ( + 6 ) n- j +6 n! exp(-2c ) ( )j +1 - +2 j =0 (n - j )! c ( + 5)/2 n ( + 7) n- j -4 n! exp(-3c ) ( )j +1 + +3 j =0 (n - j )! c ( + 7)/2 n ( + 8) n-j + n! exp(-4c ) ( )j +1 ; +4 j =0 (n - j )! c ( + 9)/2 n (,0) P5 ( , )d = - exp(-c ( + 1)/2) Ч n ( ) n-j +5 Ч n! ( )j +1 - j =0 (n - j )! c ( + 1)/2 n ( + 6) n- j -5 n! exp(-c ) ( )j +1 + +1 j =0 (n - j )! c ( + 3)/2 n ( + 7) n- j + 10 n! exp(-2c ) ( )j +1 - +2 j =0 (n - j )! c ( + 5)/2


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций
n ( + 8 ) n- j n! exp(-3c ) ( )j +1 + +3 j =0 (n - j )! c ( + 7)/2 n ( + 9) n-j n! exp(-4c ) +5 ( )j +1 - +4 j =0 (n - j )! c ( + 9)/2 n (,0) Pk ( , )d n ( + 10) n- j n! exp(-5c ) ( )j +5 j =0 (n - j )! c ( + 11)/2

71


+1

- 10

-

.


n

0

Pk

(,0)

( , )d

0 1, 5 4 3 1 5 2 0, 5 n 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1 5 0 1 2 3 4 n 4 3 2 1 0

а)

б)

Рис. 1.115. Вид неопределенного интеграла n-ого рода от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) n = 0..5, = 2, [0; 5]; б) n = 0..5, (1; 3, 5], = 1



Pk

(0,1)

( , )d
-0,1

P5

(0,1)


[1.116]

Pk

(0,1)

( , )d = -

k (k)(k + s + 1) Ч s s s=0

-0,2 -0,3 -0,4 -0,5

(0,1) P4 (0,1) P3 (0,1) P2 (0,1) P1

( ) (-1)s exp -(2s + 1) . Ч (2s + 1)

P0

(0,1)

Частные случаи для неопределенного интеграла от функций 0-5 порядков:

0

1

2

3

4



P0 P1 P2

(0,1)

(0,1)

(0,1)

1 exp(- ); 1 ( , )d = - exp(- )(1 - exp(-2 )); 1 ( , )d = - exp(- )(3 - 8 exp(-2 ) + 6 Ч 3 ( , )d = -

Рис. 1.116. Вид неопределенного интеграла от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 0, = 1

[1.117]

Ч exp(-4 )); 1 (0,1) P3 ( , )d = - exp(- )(1 - 5 exp(-2 ) + 9 Ч Ч exp(-4 ) - 5 exp(-6 )); 1 (0,1) exp(- )(5 - 40 exp(-2 ) + 126 Ч P4 ( , )d = - 5 Ч exp(-4 ) - 160 exp(-6 ) + 70 exp(-8 )); 1 (0,1) P5 ( , )d = - exp(- )(3 - 35 exp(-2 ) + 168 Ч 3 Ч exp(-4 ) - 360 exp(-6 ) + 350 exp(-8 ) - 126 Ч Ч exp(-10 )).

k (k)(k + s + 1) Ч s s s=0 ( ) ( ) 1 Ч(-1)s exp -(2s+1) +2 . (2s + 1) (2s + 1)2



Pk

(0,1)

( , )d = -

Частные случаи для неопределенного интеграла 1-ого рода от функций 0-5 порядков:

1 exp(- )( + 1); 2 ( 1 (0,1) P1 ( , )d = - 2 exp(- ) 3 - exp(-2 ) + Ч 3 ) Ч (3 - 3 exp(-2 )) ; P
(0,1) 0

( , )d = -


72

Аналитические представления во временной области

( 1 exp(- ) 45 - 40 exp(-2 ) + 45 2 ) + 18 exp(-4 ) + (45 - 120 exp(-2 ) + 90 exp(-4 )) ; ( 1 P3 (0, 1)( , )d = - exp(- ) 105 - 175 Ч 105 2 P
(0,1) 2



( , )d = -

Ч exp(-6 )) + (11025 - 55125 exp(-2 ) + 99225 Ч ) Ч exp(-4 ) - 55125 exp(-6 )) ; ( 1 2 (0,1) P4 ( , )d = - exp(- ) 992250 - 496125 3 - Ч Ч + + Ч - Ч + Ч Ч Ч - - 882000 exp(-2 ) + 1000188 exp(-4 ) - 648000 Ч exp(-6 ) + 171500 exp(-8 ) + (992250 - 2646000 Ч exp(-2 ) + 5000940 exp(-4 ) - 4536000 exp(-6 ) + 22 1543500 exp(-8 )) + (496125 - 3969000 exp(-2 ) + 12502350 exp(-4 ) - 15876000 exp(-6 ) + 6945750 Ч ) exp(-8 )) ; ( 1 (0,1) 2 P5 ( , )d = - exp(- ) 72037350 - 36018675 3 93381750 exp(-2 ) + 161363664 exp(-4 ) - 176418000 Ч exp(-6 ) + 103757500 exp(-8 ) - 25004700 exp(-10 ) + (72037350 - 280145250 exp(-2 ) + 806818320 Ч exp(-4 ) - 1234926000 exp(-6 ) + 933817500 Ч 22 exp(-8 ) - 275051700 exp(-10 )) + Ч (36018675 - 420217875 exp(-2 ) + 2017045800 exp(-4 ) - 4322241000 exp(-6 ) + 4202178750 exp(-8 ) - ) 1512784350 exp(-10 )) . 2 (0,1) ( , )d Pk

22

Ч exp(-2 ) + 189 exp(-4 ) - 75 exp(-6 ) + Ч ) Ч (105 - 525 exp(-2 ) + 945 exp(-4 ) - 525 exp(-6 )) ; ( 1 (0,1) P4 ( , )d = - exp(- ) 1575 - 4200 Ч 1575 2 Ч exp(-2 ) + 7938 exp(-4 ) - 7200 exp(-6 ) + 2450 Ч Ч exp(-8 ) + (1575 - 12600 exp(-2 ) + 39690 exp(-4 ) - ) - 50400 exp(-6 ) + 22050 exp(-8 )) ; ( 1 (0,1) exp(- ) 10395 - 40425 Ч P5 ( , )d = - 10395 2 Ч + Ч + exp(-2 ) + 116424 exp(-4 ) - 178200 exp(-6 ) + 134750 exp(-8 ) - 39690 exp(-10 ) + (10395 - 121275 Ч exp(-2 ) + 582120 exp(-4 ) - 1247400 exp(-6 ) + ) 1212750 exp(-8 ) - 436590 exp(-10 )) . P
(0,1) k

( , )d (0,1) P5 (0, P4
-0,1

1)

P

(0,1) 3

P2
-0,2
(0,1) P1

(0,1)

-0,1

P5

(0,1)

P4

(0,1)

P0
-0,3

(0,1)

P3
-0,2

(0,1)

P P1 P0
(0,1) (0,1)

(0,1) 2

0

1

2

3

4


-0,3 0

Рис. 1.117. Вид неопределенного интеграла 1-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 0, = 1

1

2

3

4



Рис. 1.118. Вид неопределенного интеграла 2-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 0, = 1

[1.118]

k (k)(k + s + 1) Ч s s s=0 ( ( ) 2 Ч (-1)s exp -(2s + 1) + (2s + 1)



2 Pk

(0,1)

( , )d = -

[1.119]

+

2 2 +3 2 (2s + 1)2 (2s + 1)

) .

3

Частные случаи для неопределенного интеграла 2-ого рода от функций 0-5 порядков:

k (k)(k + s + 1) Ч s s s=0 ( ( ) 3 2 3 +2 Ч (-1)s exp -(2s + 1) + (2s + 1) (2s + 1)2 ) 6 6 +3 . +4 (2s + 1)3 (2s + 1)4



3 Pk

(0,1)

( , )d = -

Частные случаи для неопределенного интеграла 3-ого рода от функций 0-5 порядков:

+

2

1 22 P ( , )d = - 3 exp(- )( + 2 + 2); ( 1 2 (0,1) P1 ( , )d = - 3 exp(- ) 18 - 2 exp(-2 ) + 9 ) 22 (18 - 6 exp(-2 ) + (9 - 9 exp(-2 )) ; ( 1 (0,1) 2 P2 ( , )d = - exp(- ) 1350 - 400 Ч 675 3
(0,1) 0

P0
3

3

(0,1)

( , )d = -

P1

(0,1)

1 33 22 exp(- )( + 3 + 6 + 6); 4 ( 1 ( , )d = - 4 exp(- ) 54 - 2 exp(-2 ) + 9
22 33

Ч exp(-2 ) + 108 exp(-4 ) + (1350 - 1200 exp(-2 ) + 22 + 540 exp(-4 )) + (675 - 1800 exp(-2 ) + 1350 Ч ) Ч exp(-4 )) ; ( 1 2 (0,1) P3 ( , )d = - exp(- ) 22050 - 12250 Ч 11025 3 Ч exp(-2 ) + 7938 exp(-4 ) - 2250 exp(-6 ) + Ч Ч (22050 - 36750 exp(-2 ) + 39690 exp(-4 ) - 15750 Ч

+ (54 - 6 exp(-2 ) + (27 - 9 exp(-2 )) + Ч ) Ч (9 - 9 exp(-2 )) ; ( 1 3 (0,1) P2 ( , )d = - exp(- ) 20250 - 2000 Ч 3375 4 Ч + Ч Ч exp(-2 ) + 324 exp(-4 ) + (20250 - 6000 exp(-2 ) + 22 1620 exp(-4 )) + (10125 - 9000 exp(-2 ) + 4050 Ч 33 exp(-4 )) + (3375 - 9000 exp(-2 ) + 6750 Ч ) exp(-4 )) ; ( 1 3 (0,1) exp(- ) 2315250 - P3 ( , )d = - 385875 4


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 73

- + - + Ч - - Ч - Ч - Ч - - Ч Ч Ч - - - - - - - - - 428750 exp(-2 ) + 166698 exp(-4 ) - 33750 exp(-6 ) + (2315250 - 1286250 exp(-2 ) + 833490 exp(-4 ) - 22 236250 exp(-6 )) + (1157625 - 1929375 exp(-2 ) + 33 2083725 exp(-4 ) - 826875 exp(-6 )) + Ч (385875 - 1929375 exp(-2 ) + 3472875 exp(-4 ) - ) 1929375 exp(-6 )) ; ( 1 3 (0,1) P4 ( , )d = - exp(- ) 312558750 - 52093125 4
n Ч n! j =0

( )j (n - j )!
n j =0



n- j +1

-
n- j j +1

- 3n! exp(-2 )
n

() (n - j )! 3

;

92610000 exp(-2 ) + 63011844 exp(-4 ) - 29160000 Ч exp(-6 ) + 6002500 exp(-8 ) + (312558750 - 277830000 exp(-2 ) + 315059220 exp(-4 ) - 204120000 Ч 22 exp(-6 ) + 54022500 exp(-8 )) + (156279375 - 416745000 exp(-2 ) + 787648050 exp(-4 ) - 714420000 Ч 33 exp(-6 ) + 243101250 exp(-8 )) + (52093125 - 787648050 exp(-2 ) + 1312746750 exp(-4 ) - ) 1666980000 exp(-6 ) + 729303750 exp(-8 )) ; 1 3 (0,1) exp(- ) Ч P5 ( , )d = - 41601569625 4 ( 249609417750 - 107855921250 exp(-2 ) + 111825019152 Ч exp(-4 ) - 87326910000 exp(-6 ) + 39946637500 Ч exp(-8 ) - 7876480500 exp(-10 ) + (249609417750 - 323567763750 exp(-2 ) + 559125095760 exp(-4 ) - 611288370000 exp(-6 ) + 359519737500 exp(-8 ) - 22 86641285500 exp(-10 )) + (124804708875 - 485351645625 exp(-2 ) + 1397812739400 exp(-4 ) - 2139509295000 exp(-6 ) + 1617838818750 exp(-8 ) - 33 476527070250 exp(-10 )) + (41601569625 - 485351645625 exp(-2 ) + 2329687899000 exp(-4 ) - 4992188355000 exp(-6 ) + 4853516456250 exp(-8 ) - ) 1747265924250 exp(-10 )) . Pk
3 (0,1)

P2 n Ч n!

(0,1)

( , )d = - exp(- ) Ч
n- j +1

j =0

( )j (n - j )!
n j =0

-
n- j j +1

- 8n! exp(-2 )

() (n - j )! 3
n-j

+

+ 10n! exp(-4 )
n

n j =0

( )j (n - j )! 5

+1

;

P3 n Ч n!

(0,1)

( , )d = - exp(- ) Ч
n- j +1

j =0

( )j (n - j )!
n j =0

-
n-j +1

- 15n! exp(-2 ) + 45n! exp(-4 )

( )j (n - j )! 3 ( )j (n - j )! 5 ( )j (n - j )! 7
n-j

+

n j =0 n j =0



n-j +1

- ;

- 35n! exp(-6 )
n

+1

( , )d

-0,1

P5
-0,2

(0,1) (0,1) P4 (0,1) P3 (0,1) P2 (0,1) P1 (0,1) 0

P4 n Ч n!

(0,1)

( , )d = - exp(- ) Ч
n-j +1

j =0

( )j (n - j )! 3
n j =0

-
n-j +1

- 24n! exp(-2 )

( )j (n - j )! 5
n-j

+

-0,3

+ 126n! exp(-4 ) - 224n! exp(-6 )

n j =0

( )j (n - j )! 7 ( )j (n - j )! 9
n- j

+1

-

-0,4

P
0

1

2

3

4

n j =0 n j =0





n-j +1

+

Рис. 1.119. Вид неопределенного интеграла 3-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 0, = 1

+ 126n! exp(-8 )
n

( )j (n - j )! 11

+1

;


[1.120]

n Pk
s

(0,1)

( , )d = -

k (k)(k + s + 1) Ч s s s=0

P5 n Ч n!

(0,1)

( , )d = - exp(- ) Ч
n- j +1

j =0

( )j (n - j )!
n j =0

-
n-j +1

n ( ) Ч(-1) exp -(2s+1) j =0

n! n-j ( ) (n - j )! (2s + 1)

j +1

.

- 35n! exp(-2 )

( )j (n - j )! 3
n-j

+

Частные случаи для неопределенного интеграла n-ого рода от функций 0-5 порядков:

+ 280n! exp(-4 ) - 840n! exp(-6 )

n j =0 n j =0

( )j (n - j )! 5 ( )j (n - j )! 7
n-j

+1

-



P0 P1
n

n

(0,1)

( , )d = -

n ( 2 )j n-j 2n ! exp(- ) ; (n - j )! j =0

+1

+

(0,1)

( , )d = - exp(- ) Ч


74

Аналитические представления во временной области

+ 1050n! exp(-8 )

n j =0 n j =0

( )j (n - j )! 9
n- j



n-j +1

-
+1

Pk

(0,2)

( , )d
-0,2 0 -0,2 -0,4

- 462n! exp(-10 )
n

( )j (n - j )! 11

.

P

(0,2) (0,2) 5 P4 (0,2) P3 (0,2) P2 (0,2) P1

Pk

(0,1)

( , )d

P0

(0,2)

1, 5
-0,6 0 1 2 3 4



1

Рис. 1.121. Вид неопределенного интеграла от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 0, = 2

0, 5

0

1 2 3 4 0 1 2 3

4

n

Рис. 1.120. Вид неопределенного интеграла n-ого рода от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка; n = 0..5, = 2, c = 2, = 0, = 1

[1.122]

k (k)(k + s + 2) Ч s s s=0 ( ) ( ) 1 Ч(-1)s exp -(2s+1) +2 . (2s + 1) (2s + 1)2



Pk

(0,2)

( , )d = -


[1.121]

Pk

(0,2)

( , )d = - Ч

k (k)(k + s + 2) Ч s s s=0

( ) (-1)s exp -(2s + 1) . (2s + 1)

Частные случаи для неопределенного интеграла 1-ого рода от функций 0-5 порядков:

-

Частные случаи для неопределенного интеграла от функций 0-5 порядков:

P0 P1 P2

(0,2)

(0,2)

(0,2)

1 exp(- ); 1 exp(- )(3 - 4 exp(-2 )); ( , )d = - 3 1 ( , )d = - exp(- )(3 - 10 exp(-2 ) + 9 Ч 3 ( , )d = -

+

1 exp(- )( + 1); 2 ( 1 (0,2) P1 ( , )d = - 2 exp(- ) 9 - 4 exp(-2 ) + (9 - 9 ) 12 exp(-2 )) ; ( 1 (0,2) P2 ( , )d = - exp(- ) 45 - 50 exp(-2 ) + 45 2 ) 27 exp(-4 ) + (45 - 150 exp(-2 ) + 135 exp(-4 )) ; ( 1 P3 (0, 2)( , )d = - exp(- ) 175 - 350 Ч 175 2 P
(0,2) 0

( , )d = -

Ч exp(-4 )); 1 (0,2) P3 ( , )d = - exp(- )(5 - 30 exp(-2 ) + 63 Ч 5 Ч exp(-4 ) - 40 exp(-6 )); 1 (0,2) exp(- )(15 - 140 exp(-2 ) + P4 ( , )d = - 15 + 504 exp(-4 ) - 720 exp(-6 ) + 350 exp(-8 )); 1 (0,2) P5 ( , )d = - exp(- )(21 - 280 exp(-2 ) + 21 + 1512 exp(-4 ) - 3600 exp(-6 ) + 3850 exp(-8 ) - - 1512 exp(-10 )).

Ч exp(-2 ) + 441 exp(-4 ) - 200 exp(-6 ) + (175 - ) - 1050 exp(-2 ) + 2205 exp(-4 ) - 1400 exp(-6 )) ; ( 1 (0,2) P4 ( , )d = - exp(- ) 4725 - 14700 Ч 4725 2 Ч exp(-2 ) + 31752 exp(-4 ) - 32400 exp(-6 ) + + 12250 exp(-8 ) + (4725 - 44100 exp(-2 ) + ) + 158760 exp(-4 ) - 226800 exp(-6 ) + 110250 exp(-8 )) ; ( 1 (0,2) P5 ( , )d = - exp(- ) 72765 - 72765 2 - Ч Ч Ч 323400 exp(-2 ) + 1047816 exp(-4 ) - 1782000 exp(-6 ) + 1482250 exp(-8 ) - 476280 exp(-10 (72765 - 970200 exp(-2 ) + 5239080 exp(-4 ) - exp(-6 ) + 13340250 exp(-8 ) - 5239080 exp(- Ч ) + Ч 12474000 Ч ) 10 )) .


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 75

P

(0,2) k

( , )d (0,2) P5 P
-0,1

(0,2) 4

P P

(0,2) 3

+ 18153412200 exp(-4 ) - 43222410000 exp(-6 ) + ) + 46223966250 exp(-8 ) - 18153412200 exp(-10 )) . 2 (0,2) Pk ( , )d

(0,2) 2

-0,2

P1 P0

(0,2)

-0,1

P5

(0,2)

P4 P
-0,2
(0,2) P2 (0,2) P1 (0,2) P0

(0,2)

(0,2)

(0,2) 3

-0,3

0

1

2

3

4


-0,3 0

Рис. 1.122. Вид неопределенного интеграла 1-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 0, = 2

1

2

3

4



Рис. 1.123. Вид неопределенного интеграла 2-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 0, = 2

[1.123]

k (k)(k + s + 2) Ч s s s=0 ( ( ) 2 Ч (-1)s exp -(2s + 1) + (2s + 1)



2 Pk

(0,2)

( , )d = -

[1.124]

+

2 2 +3 2 (2s + 1)2 (2s + 1)

) .

3

Частные случаи для неопределенного интеграла 2-ого рода от

k (k)(k + s + 2) Ч s s s=0 ( ( ) 3 2 3 +2 Ч (-1)s exp -(2s + 1) + (2s + 1) (2s + 1)2 ) 6 6 +3 . +4 (2s + 1)3 (2s + 1)4



3 Pk

(0,2)

( , )d = -

1 22 exp(- )( + 2 + 2); 3 ( 1 2 (0,2) P1 ( , )d = - exp(- ) 54 - 8 exp(-2 ) + 27 3 ) 22 + (54 - 24 exp(-2 ) + (27 - 36 exp(-2 )) ; ( 1 2 (0,2) exp(- ) 1350 - 500 Ч P2 ( , )d = - 675 3 P0
2 (0,2)

функций 0-5 порядков:

Частные случаи для неопределенного интеграла 3-ого рода от функций 0-5 порядков:

( , )d = -

P0
3

3

(0,2)

P1

(0,2)

1 33 22 exp(- )( + 3 + 6 + 6); 4 ( 1 ( , )d = - exp(- ) 162 - 8 exp(-2 ) + 27 4 ( , )d = -
22 33

Ч exp(-2 ) + 162 exp(-4 ) + (1350 - 1500 exp(-2 ) + 22 + 810 exp(-4 )) + (675 - 2250 exp(-2 ) + 2025 Ч ) Ч exp(-4 )) ; ( 1 2 (0,2) P3 ( , )d = - exp(- ) 36750 - 24500 Ч 18375 3 Ч - + - - Ч Ч + + Ч - - - Ч Ч Ч exp(-2 ) + 18522 exp(-4 ) - 6000 exp(-6 ) + (36750 - 73500 exp(-2 ) + 92610 exp(-4 ) - 42000 exp(-6 )) + 22 (18375 - 110250 exp(-2 ) + 231525 exp(-4 ) - ) 147000 exp(-6 )) ; ( 1 2 (0,2) P4 ( , )d = - exp(- ) 2976750 - 1488375 3 3087000 exp(-2 ) + 4000752 exp(-4 ) - 2916000 Ч exp(-6 ) + 857500 exp(-8 ) + (2976750 - 9261000 Ч exp(-2 ) + 20003760 exp(-4 ) - 20412000 exp(-6 ) + 22 7717500 exp(-8 )) + (1488375 - 13891500 exp(-2 ) + 50009400 exp(-4 ) - 71442000 exp(-6 ) + 34728750 Ч ) exp(-8 )) ; ( 1 2 (0,2) exp(- ) 504261450 - P5 ( , )d = - 252130725 3 747054000 exp(-2 ) + 1452272976 exp(-4 ) - 1764180000 exp(-6 ) + 1141332500 exp(-8 ) - 300056400 exp(-10 ) + (504261450 - 2241162000 Ч exp(-2 ) + 7261364880 exp(-4 ) - 12349260000 Ч exp(-6 ) + 10271992500 exp(-8 ) - 3300620400 Ч 22 exp(-10 )) + (252130725 - 3361743000 exp(-2 ) +

+ (162 - 24 exp(-2 ) + (81 - 36 exp(-2 )) + Ч ) Ч (27 - 36 exp(-2 )) ; ( 1 3 (0,2) exp(- ) 20250 - 2500 Ч P2 ( , )d = - 3375 4 Ч + Ч Ч - + - + - Ч - Ч - Ч - - Ч Ч Ч exp(-2 ) + 486 exp(-4 ) + (20250 - 7500 exp(-2 ) + 22 2430 exp(-4 )) + (10125 - 11250 exp(-2 ) + 6075 Ч 33 exp(-4 )) + (3375 - 11250 exp(-2 ) + 10125 Ч ) exp(-4 )) ; ( 1 3 (0,2) P3 ( , )d = - exp(- ) 3858750 - 643125 4 857500 exp(-2 ) + 388962 exp(-4 ) - 90000 exp(-6 ) + (3858750 - 2572500 exp(-2 ) + 1944810 exp(-4 ) - 22 630000 exp(-6 )) + (1929375 - 3858750 exp(-2 ) + 33 4862025 exp(-4 ) - 2205000 exp(-6 )) + (643125 - 3858750 exp(-2 ) + 8103375 exp(-4 ) - 5145000 Ч ) exp(-6 )) ; ( 1 3 (0,2) exp(- ) 937676250 - P4 ( , )d = - 156279375 4 324135000 exp(-2 ) + 252047376 exp(-4 ) - 131220000 Ч exp(-6 ) + 30012500 exp(-8 ) + (937676250 - 972405000 exp(-2 ) + 1260236880 exp(-4 ) - 918540000 Ч 22 exp(-6 ) + 270112500 exp(-8 )) + (468838125 - 1458607500 exp(-2 ) + 3150592200 exp(-4 ) - 33 3214890000 exp(-6 ) + 1215506250 exp(-8 )) + Ч (156279375 - 787648050 exp(-2 ) + 5250987000 Ч exp(-4 ) - 7501410000 exp(-6 ) + 3646518750 Ч ) exp(-8 )) ;


76

Аналитические представления во временной области

P Ч + + + + + + + + + + + (
3

(0,2) 5

( , )d = -

1 exp(- ) Ч 291210987375 4

+ 15n! exp(-4 )
n n j =0 (0,2)

1747265924250 - 862847370000 exp(-2 ) + 1006425172368 exp(-4 ) - 873269100000 exp(-6 ) + 439413012500 exp(-8 ) - 94517766000 exp(-10 ) + (1747265924250 - 2588542110000 exp(-2 ) + 5032125861840 exp(-4 ) - 6112883700000 exp(-6 ) + 3954717112500 exp(-8 ) - 1039695426000 exp(-10 )) + 22 (873632962125 - 3882813165000 exp(-2 ) + 12580314654600 exp(-4 ) - 21395092950000 exp(-6 ) + 17796227006250 exp(-8 ) - 5718324843000 exp(-10 )) + 33 (291210987375 - 3882813165000 exp(-2 ) + 20967191091000 exp(-4 ) - 49921883550000 exp(-6 ) + ) 53388681018750 exp(-8 ) - 20967191091000 exp(-10 )) . Pk
3 (0,2)

( )j (n - j )! 5



n-j +1

;

P3 n Ч n!

( , )d = - exp(- ) Ч
n-j j +1

j =0

() (n - j )!
n j =0

-
n- j +1

- 18n! exp(-2 ) + 63n! exp(-4 )

( )j (n - j )! 3 ( )j (n - j )! 5 ( )j (n - j )! 7
n- j

+

n j =0 n j =0



n-j +1

- ;

( , )d

- 56n! exp(-6 )
n

+1

-0,1

-0,2

P5
-0,3

(0,2)

P4 n Ч n!
(0,2)

(0,2)

( , )d = - exp(- ) Ч
n- j j +1

P4

P3

(0,2)

j =0

() (n - j )! 3
n j =0

-
n- j +1

P2 (0,2) P1 P0
0 1
(0,2)

(0,2)

- 28n! exp(-2 )

( )j (n - j )! 5
n- j

+

-0,4

2

3

4



+ 168n! exp(-4 ) - 336n! exp(-6 )

n j =0 n j =0 n j =0

() (n - j )! 7
n- j

j +1

-

Рис. 1.124. Вид неопределенного интеграла 3-ого рода от ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 2, c = 2, = 0, = 2

() (n - j )! 9
n-j

j +1

+

+ 210n! exp(-8 )
n

( ) (n - j )! 11

j +1

;


[1.125]

n Pk

(0,2)

k (k)(k + s + 2) ( , )d = - Ч s s s=0 n ) j =0

P5 n Ч n!
+1

(0,2)

( , )d = - exp(- ) Ч
n-j j +1

( Ч(-1)s exp -(2s+1)

n! ( )j (n - j )! (2s + 1)

n-j

j =0

() (n - j )!
n j =0

-
n- j +1

.

- 40n! exp(-2 )

( )j (n - j )! 3
n- j

+

Частные случаи для неопределенного интеграла n-ого рода от функций 0-5 порядков:

+ 360n! exp(-4 )

n j =0

() (n - j )! 5
n- j

j +1

-



P0
n

n

(0,2)

( , )d = -

n ( 2 )j n-j 2n! exp(- ) ; (n - j )! j =0

- 1200n! exp(-6 ) + 1650n! exp(-8 )

n j =0 n j =0

() (n - j )! 7 () (n - j )! 9
n-j

j +1

+

P1 n Ч n!

(0,2)

( , )d = - exp(- ) Ч
n- j +1



n- j j +1

- .

j =0

( )j (n - j )!
n j =0

-
n- j j +1

- 792n! exp(-10 ) ;

n j =0

( )j (n - j )! 11

+1

- 4n! exp(-2 )
n

() (n - j )! 3

P2 n Ч n!

(0,2)

( , )d = - exp(- ) Ч
n- j +1

j =0

( )j (n - j )!
n j =0

-
n-j +1

- 10n! exp(-2 )

( )j (n - j )! 3

+


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 77
(0,2)


n

Pk

( , )d

Частные случаи для неопределенного интеграла от функций 0-5 порядков:

1, 5

Ч

1

0, 5

Ч

( ) 2 exp -(2s + 1)c /2 ; c ( )( 2 (0, ) P1 ( , )d = - exp -(2s + 1)c /2 3 - ( + 2) Ч 3c ) exp(-c ) ; ( )( 1 (0, ) exp -(2s + 1)c /2 30 - 20 Ч P2 ( , )d = - 15c ) 2 ( + 3) exp(-c ) + 3( + 7 + 12) exp(-2c ) ; ( )( 1 (0, ) exp -(2s + 1)c /2 210 - 210 Ч P3 ( , )d = - 105c P0
(0, )

( , )d = -

0

1 2 3 4 0 1 2 3

4

n

Рис. 1.125. Вид неопределенного интеграла n-ого рода от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка; n = 0..5, = 2, c = 2, = 0, = 2


[1.126]

Pk

(0, )

( , )d = - Ч

k (k)(k + s + ) Ч s s s=0

Ч ( + 4) exp(-c ) + 63( + 9 + 20) exp(-2c ) - 5 Ч ) 3 2 Ч ( + 15 + 74 + 120) exp(-3c ) ; ( ) 1 (0, ) P4 ( , )d = - exp -(2s + 1)c /2 Ч 3780c ( 2 Ч 7560 - 10080( + 5) exp(-c ) + 4536( + 11 + 30) Ч 3 2 Ч exp(-2c ) - 720( + 18 + 107 + 210) exp(-3c ) + 35 Ч ) 4 3 2 Ч ( + 26 + 251 + 1066 + 1680) exp(-4c ) ; ( ) 1 (0, ) exp -(2s + 1)c /2 Ч P5 ( , )d = - 41580c ( 2 Ч 83160 - 138600( + 6) exp(-c ) + 83160( + 13 + 42) Ч 3 2 Ч exp(-2c ) - 19800( + 21 + 146 + 336) exp(-3c ) + 4 3 2 + 1925( + 30 + 335 + 1650 + 3024) exp(-4c ) - 63 Ч ) 5 4 3 2 Ч ( + 40 + 635 + 5000 + 19524 + 30240) exp(-5c ) .

2

( ) 2(-1)s exp -(2s + 1)c /2 . c (2s + 1)




Pk

(0, )

( , )d

Pk

(0, )

( , )d

-0, 5

-0, 1 -0, 2

-1

-0, 3 1 1, 5 2 2, 5 3 4 2 0

0 2 4 0 1 3 2

4

а)
=1

б)

Рис. 1.126. Вид неопределенного интеграла от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 2, [0; 5]; б) (1; 3, 5],

[

(k)(k + s + ) (0, ) Ч 1.127] Pk ( , )d = - s s s=0 ( ( ) 2 Ч (-1)s exp -(2s + 1)c /2 + c (2s + 1)
k



4 +22 c (2s + 1)

)
2

( c )( ) 2 exp - + 2 ; 2 2 ( c )( 2 (0, ) P1 ( , )d = - 2 2 exp - 18 - 2( + 2) Ч 9c 2 ) Ч exp(-c ) + (9 - 3( + 2) exp(-c )) ; P
(0, ) 0

Частные случаи для неопределенного интеграла 1-ого рода от функций 0-5 порядков:

( , )d = -

c2

.


78

Аналитические представления во временной области

P

(0, ) 2

( , )d = -

( c )( 1 exp - 450(c + 2) - 225c2 2 2
2

- 100( + 3)(3c + 2) exp(-c ) + 9( + 7 + 12)(5c + 2) Ч ) Ч exp(-2c ) ; ( c )( 1 (0, ) P3 ( , )d = - exp - 7350(c + 2) - 22 3675c 2 - 2450( + 4)(3c + 2) exp(-c ) + 441( + 9 + 20) Ч 3 2 Ч (5c + 2) exp(-2c ) - 25( + 15 + 74 + 120)(7c + 2) Ч ) Ч exp(-3c ) ; ( c ) 1 (0, ) exp - P4 ( , )d = - Ч 22 1190700c 2 ( Ч 2381400(c + 2) - 1058400( + 5)(3c + 2) exp(-c ) +
2

+ 285768( + 11 + 30)(5c + 2) exp(-2c ) - 32400( + 18 2 4 3 Ч + 107 + 210)(7c + 2) exp(-3c ) + 1225( + 26 + ) 2 + 251 + 1066 + 1680)(9c + 2) exp(-4c ) ; ( c ) 1 (0, ) P5 ( , )d = - exp - Ч 28814940c2 2 2 ( 57629880(c + 2) - 32016600( + 6)(3c + 2) exp(-c ) + 2 + 11525976( + 13 + 42)(5c + 2) exp(-2c ) - 1960200 Ч 3 2 4 Ч ( + 21 + 146 + 336)(7c + 2) exp(-3c ) + 148225( 3 2 + 30 + 335 + 1650 + 3024)(9c + 2) exp(-4c ) - 3969 5 4 3 2 Ч ( + 40 + 635 + 5000 + 19524 + 30240)(11c + 2) ) Ч exp(-5c ) .

2

3

Ч

+ Ч Ч

P

(0, ) k

( , )d P

(0, ) k

( , )d

-0, 05

-0, 2

-0, 1 -0, 4 -0, 15 0 2 4 0 1 3 2 4 1 1, 5 2 2, 5 3 4 2 0

а)

б)

Рис. 1.127. Вид неопределенного интеграла 1-ого рода от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 2, [0; 5]; б) (1; 3, 5], = 1

[1.128]

k (k)(k + s + ) Ч s s s=0 ( )( (2s + 1) 2 2 Ч (-1)s exp - c + 2 c (2s + 1)



2 Pk

(0, )

( , )d = -

Ч + + Ч

8 16 +22 +33 c (2s + 1)2 c (2s + 1)

) .

3

( c )( 2 2 2 2) exp - 8 + 4c + c ; c3 3 2 ( c )( 2 2 (0, ) 222 exp - P1 ( , )d = - 54(c + 27c3 3 2 ) 222 + 4c + 8) - 2( + 2)(9c + 12c + 8) exp(-c ) ; ( c )( 1 2 (0, ) 222 exp - P2 ( , )d = - 6750(c + 3375c3 3 2 P
2 (0, ) 0

Частные случаи для неопределенного интеграла 2-ого рода от функций 0-5 порядков:

Ч + + Ч Ч

( , )d = -

+ 4c + 8) - 500( + 3)(9c + 12c + 8) exp(-c ) + ) 2 222 + 27( + 7 + 12)(25c + 20c + 8) exp(-2c ) ; ( c ) 1 2 (0, ) P3 ( , )d = - exp - Ч 385875c3 3 2

2

22

Ч Ч + Ч + + Ч

771750(c + 4c + 8) - 85750( + 4)(9c + 2 222 12c + 8) exp(-c ) + 9261( + 9 + 20)(25c + 3 2 20c + 8) exp(-2c ) - 375( + 15 + 74 + 120) Ч ) 222 (49c + 28c + 8) exp(-3c ) ; ( c ) 1 2 (0, ) P4 ( , )d = - exp - Ч 33 375070500c 2 ( 222 222 750141000(c + 4c + 8) - 111132000( + 5)(9c + 2 222 12c + 8) exp(-c ) + 18003384( + 11 + 30)(25c + 3 2 20c + 8) exp(-2c ) - 1458000( + 18 + 107 + 210) Ч 222 4 3 (49c + 28c + 8) exp(-3c ) + 42875( + 26 + 251 Ч ) 2 222 + 1066 + 1680)(81c + 36c + 8) exp(-4c ) ; ( c ) 1 2 (0, ) exp - Ч P5 ( , )d = - 99843767100c3 3 2 ( 222 199687534200(c + 4c + 8) - 36979173000( + 6) Ч 222 2 (9c + 12c + 8) exp(-c ) + 7987501368( + 13 + 222 3 42)(25c + 20c + 8) exp(-2c ) - 970299000( + 21 Ч 2 222 + 146 + 336)(49c + 28c + 8) exp(-3c ) + 4 3 2 222 57066625( + 30 + 335 + 1650 + 3024)(81c + 5 4 3 36c + 8) exp(-4c ) - 12502359( + 40 + 635 + 5000 Ч ) 2 222 + 19524 + 30240)(121c + 44c + 8) exp(-5c ) .

(

2

22

2

22


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 79
2 (0, )



Pk

( , )d


2

Pk

(0, )

( , )d

-0, 5 -0, 1 -1

-0, 2 0 2 4 0 1 3 2 4



-1, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 4 2 0

а)

б)

Рис. 1.128. Вид неопределенного интеграла 2-ого рода от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 2, [0; 5]; б) (1; 3, 5], = 1

[1.129]

k (k)(k + s + ) Ч s s s=0 ( ( ) 2 3 s Ч (-1) exp -(2s + 1)c /2 + c (2s + 1)



3 Pk

(0, )

( , )d = -

Ч Ч + - +

12 2 48 96 +22 +33 +44 c (2s + 1)2 c (2s + 1)3 c (2s + 1)
( c )( 2 exp - 48 + 24c + c4 4 2

) .

4

Частные случаи для неопределенного интеграла 3-ого рода от функций 0-5 порядков:

P0

3

(0, )

( , )d = -

222 3 3 3) + 6c + c ; 3 (0, ) P1 ( , )d = - 2 22

Ч Ч + + Ч + +

( c )( 2 333 exp - 54(c + 27c4 4 2
3 33 2 22

+ 6c + 24c + 48) ) 2( + 2)(9c + 18c + - + 24c + 16) exp(-c ) ; ( c ) 1 3 (0, ) exp - Ч P2 ( , )d = - 16875c4 4 2 ( 333 222 Ч 33750(c + 6c + 24c + 48) - 2500( + 3) Ч 333 222 2 Ч (9c + 18c + 24c + 16) exp(-c ) + 27( + ) 333 222 + 7 + 12)(125c + 150c + 120c + 48) exp(-2c ) ; ( c ) 1 3 (0, ) P3 ( , )d = - exp - Ч 13505625c4 4 2

Ч - Ч + Ч Ч + - +

27011250(c + 6c + 24c + 48) - 3001250( + 4) Ч 333 222 2 (9c + 18c + 24c + 16) exp(-c ) + 64827( + 333 222 9 + 20)(125c + 150c + 120c + 48) exp(-2c ) - 3 2 333 222 1875( + 15 + 74 + 120)(343c + 294c + 168c + ) 48) exp(-3c ) ; ( c ) 1 3 (0, ) P4 ( , )d = - exp - Ч 39382402500c4 4 2 ( 333 222 78764805000(c + 6c + 24c + 48) - 11668860000 Ч 333 222 ( + 5)(9c + 18c + 24c + 16) exp(-c ) + 2 333 222 378071064( + 11 + 30)(125c + 150c + 3 2 120c + 48) exp(-2c ) - 21870000( + 18 + 107 + 210) Ч 333 222 (343c + 294c + 168c + 48) exp(-3c ) + 4 3 2 333 1500625( + 26 + 251 + 1066 + 1680)(243c + ) 222 162c + 72c + 16) exp(-4c ) ; ( c ) 1 3 (0, ) P5 ( , )d = - exp - Ч 9609962583375c4 4 2 ( 333 222 19219925166750(c + 6c + 24c + 48) - 333 222 3559245401250( + 6)(9c + 18c + 24c + 16) Ч 2 333 exp(-c ) + 307518802668( + 13 + 42)(125c + 222 3 150c + 120c + 48) exp(-2c ) - 80049667500( + 21 Ч 2 333 222 + 146 + 336)(343c + 294c + 168c + 48) Ч 4 3 2 exp(-3c ) + 43941301250( + 30 + 335 + 1650 + 333 222 3024)(243c + 162c + 72c + 16) exp(-4c ) - 5 4 3 2 1312746750( + 40 + 635 + 5000 + 19524 + ) 333 222 30240)(1331c + 726c + 264c + 48) exp(-5c ) .

(

3

33

2

22


80

Аналитические представления во временной области


3

Pk

(0, )

( , )d
3

Pk

(0, )

( , )d

-0, 1

-2

-0, 2

-4

-0, 3 0 2 4 0 1 3 2 4 1 1, 5 2 2, 5 3 4 2 0

а)

б)

Рис. 1.129. Вид неопределенного интеграла 3-ого рода от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 2, [0; 5]; б) (1; 3, 5], = 1


n Ч n!

[1.130]

k (k)(k + s + ) Ч s s s=0 ( ) Ч (-1)s exp -(2s + 1)c /2 Ч



j =0

n- j ( )j (n - j )! c /2

+1

-

n Pk

(0, )

( , )d = -

- 3( + 4)n! exp(-c )

n j =0

n- j ( )j (n - j )! 3c /2

+1

+

Ч

n j =0

( )j (n - j )! c (2s + 1)/2

n!

n-j

+3

+1

.

n ( + 5 ) n- j n! exp(-2c ) ( )j 2 j =0 (n - j )! 5c /2

+1

-

Частные случаи для неопределенного интеграла n-ого рода от функций 0-5 порядков:

P0 Ч
n ( j =0

n

(0, )

( , )d = -

2n ! exp(-c /2) Ч

2 )j n-j ; c /2 (n - j )! ( , )d = - exp(-c /2) Ч -
n-j j +1

n ( + 6) n- j - n! exp(-3c ) ( )j 3 j =0 (n - j )! 7c /2 n (0, ) P4 ( , )d = - exp(-c /2) Ч n n- j Ч n! ( )j +1 - j =0 (n - j )! c /2

;

+1



n

(0, ) P1

- 4( + 5)n! exp(-c )

n j =0

n- j ( )j (n - j )! 3c /2

+1

+

n Ч n! j =0

n-j ( )j (n - j )! c /2
n j =0

+1

- ( + 2)n! exp(- )
n

( ) (n - j )! 3c /2

;

n ( + 6 ) n! exp(-2c ) 2 j =0 (n - j n ( + 7 ) -4 n! exp(-3c ) 3 j =0 (n - j

+6

n- j ( )j )! 5c /2 n- j ( )j )! 7c /2

+1

-

+1

+

P2 n Ч n!

(0, )

( , )d = - exp(-c /2) Ч -

j =0

n-j ( )j (n - j )! c /2

+1

- 2( + 3)n! exp(-c )

n j =0

n-j ( )j (n - j )! 3c /2

+1

+

n ( + 8) n-j + n! exp(-4c ) ( ) 4 j =0 (n - j )! 9c /2 n (0, ) P5 ( , )d = - exp(-c /2) Ч n n- j Ч n! ( )j +1 - j =0 (n - j )! c /2

;

j +1

n ( + 4) n-j + n! exp(-2c ) ( ) 2 j =0 (n - j )! 5c /2 n (0, ) P3 ( , )d = - exp(-c /2) Ч

j +1

;

- 5( + 6)n! exp(-c )

n j =0

n- j ( )j (n - j )! 3c /2

+1

+

+ 10

n ( + 7 ) n- j n! exp(-2c ) ( )j 2 j =0 (n - j )! 5c /2

+1

-


1.3 Аналитические соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций
n ( + 8 ) n! exp(-3c ) 3 j =0 (n - n ( + 9) n! exp(-4c ) +5 4 j =0 (n - j n (0, ) Pk ( , )d

81

- 10

n- j ( )j j )! 7c /2 n- j ( )j )! 9c /2

+1

+

-

n ( + 10) n- j n! exp(-5c ) ( )j 5 j =0 (n - j )! 11c /2


+1

.

+1

-
n

Pk

(0, )

( , )d

0 100 1, 5 5

1

50

0, 5 0 n 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 n 4 3 2 1 5 0

а)

б)

Рис. 1.130. Вид неопределенного интеграла n-ого рода от ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) n = 0..5, = 2, [0; 5]; б) n = 0..5, (1; 3, 5], = 1


82

Аналитические представления во временной области


Глава 2

Основные и расширенные свойства во временной области
Определение.

Для ортогональных функций, определенных в Главе 1, определены основные свойства [13]. Вид функций k ( , ) Норма 2 k Вес
{k ( , )}

ч

( , )

Значение в ?нуле? k (0, )

Pk

(,0)

( , ) ( , )

c (2k c (2k (k k!

Pk

(0, )

() Lk

( , )

1 + + 1) 1 + + 1) + )! +1

1 ( 1 - exp(-c )


)

(-1)k ( ) k+ (-1)k k ( ) k+ k

и выявлено расширенное свойство [5]


0



k ( , ) d = -k (0, ).


84

Основные и расширенные свойства во временной области

Таблица 2.1. Основные и расширенные свойства во временной области

Вид многочлена
k ( , ) Lk ( , ) (1) Lk ( , ) L L
(2) k

Весовая функция
ч
{k ( , )}

Значение в "нуле"
k (0, ) 1 k+1 (k + 1)(k + 2) (2) k+ (-1)k (-1)k (-1)k (-1)k (-1)k (-1)k (-1)k (k + 1) (k + 1)(k + 2) (-1)k (2) k k+ (-1)

Интегральная характеристика k ( , ) d
-1 -k - 1 (k + 1)(k + 2) - (2) k+ - (-1)k+1 (-1)k+1 (-1)k+1 (-1)k+1 (-1)k+1 (-1)k+1 (-1)k+1 (k + 1) (k + 1)(k + 2) (-1)k+1 (2) k+1 k + (-1)
0

1
2

( , ) ( , )

() k



Pk ( , ) Legk ( , ) (1/2,0) Pk ( , ) (1,0) Pk ( , ) (2,0) Pk ( , ) (,0) Pk ( , ) (0,1) Pk ( , ) P
(0,2) k (0, )

(-1/2,0)

( , ) ( , )

1 1 1 1 1 1 1 - exp(-c ) ( )2 1 - exp(-c ) ( ) 1 - exp(-c )


Pk


Глава 3

Основные и расширенные соотношения ортогональности во временной области
Определение.

Основное соотношение ортогональности имеет значения только по главной диагонали k ( , ) ( , )ч{ ( , )} ( , )d = gk, ( ),
0

G( ) = diag {g0,0 ( ), g

1, 1

( ), ..., g

K,K

( )} .

Значения диагональных элементов матрицы gk, ( ) приведены в Главе 1. В отличие от основного соотношения в расширенном соотношении ортогональности [5]


0



k ( , ) ( , )ч{

( , )}

( , )d = h

k,

( )

(k = 0..K, = 0..K )

элементы располагаются по нескольким смежным диагоналям, например,

h h H ( ) =



0, 0 0,

( ) 1 ( ) 0 0 . . . 0

h h h

1, 0 1, 1 1, 2

( ) ( ) ( )

0 h2,1 ( ) h2,2 ( ) h
2, 3

0 0 h3,2 ( ) h
3, 3

0 . . . 0

( ) . . . 0

( ) . . . ...

. ... .. . hK -1,K ( ) hK,K -1 ( ) hK,K ( )
Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

... ... ...

0 0 0 . . .



3.1

Основные соотношения ортогональности


[3.1]

0

1, Ls ( , )Lk ( , )d = 0,

M[3
если

.1]

k=s

;

1 0 1 0 = 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1



.

иначе.


86

Основные и расширенные соотношения ортогональности во временной области

0

1

2

3

4

k

[3.3]

Ls ( , )Lk ( , )ч{
(2) (2)

Ls ( , )}

(2)

( , )d =

1

0

(k + 1)(k + 2) , = 3 0,
0 6 0 0 0 0
1

если

k=s

;

иначе.

2

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

3

M[3

.3]

2 0 1 0 = 3 0 0 0

0 0 12 0 0 0

0 0 0 20 0 0
2

0 0 0 0 30 0
3

0 0 0 0 0 42

.
4

4

0

k

s
Рис. 3.1. Графическое представление соотношения [3.1] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

1

2

[3.2]

Ls ( , )Lk ( , )ч
0

(1)

(1)

{Ls ( , )}

(1)

( , )d =
3
если

k + 1, = 2 0,
0 2 0 0 0 0
1

k=s

;

иначе.

4

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[3

.2]

1 0 1 0 = 2 0 0 0

0 0 3 0 0 0

0 0 0 4 0 0
2

0 0 0 0 5 0

0 0 0 0 0 6



.
3 4

s
Рис. 3.3. Графическое представление соотношения [3.3] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

0

k


1

[3.4]

Ls ( , )Lk ( , )ч{
() ()

Ls

( )

( , )}

( , )d =

0

2

(k + )! , = k! +1 0,

если

k=s

;

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5: 3

4

1 M[3.4] = +1 Ч ! 0 0 ( + 1)! 0 0 Ч 0 0 0 0 0 0

0 0 ( + 2)! 0 0 0

0 0 0 ( + 3)! 0 0

0 0 0 0 ( + 4)! 0

0 0 0 0 0 ( + 5)!

.

s
Рис. 3.2. Графическое представление соотношения [3.2] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


3.1 Основные соотношения ортогональности

87

Lk 6

( ) 2

L 3 ћ 10
4

( ) 2 k

4

2 ћ 10

4

2

10

4

0

1 1 2 3 4 1 0 2 3 4 k

k 2 3 4 5 1 0 2 3 4

а)

б)

Рис. 3.4. Графическое представление соотношения [3.4] при k = 0..5 и k = s: а) = 1, [0; 5]; б) [1; 6], = 1

[3.6]

Legs ( , )Legk ( , )d =
0


[3.5]

Ps
0

(-1/2,0)

( , )Pk

(-1/2,0)

( , )d = =
если



=

1 , (4k + 1) 0,
0 0 0 0 1/17 0
3

k = s;

1 , 2 (2k + 1) 0,

если

k=s

;

иначе.

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M

[3.5]

1 0 1 0 = 0 0 0

0 1 /5 0 0 0 0
1

0 0 1 /9 0 0 0
2

0 0 0 1/13 0 0

0 0 0 0 0 1/21
4

. k

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[3

.6]

1 0 1 0 = 2 0 0 0

0 1 /3 0 0 0 0
1

0 0 1 /5 0 0 0
2

0 0 0 1 /7 0 0

0 0 0 0 1 /9 0
3

0 0 0 0 0 1/11
4

. k

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

s
Рис. 3.5. Графическое представление соотношения [3.5] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

s
Рис. 3.6. Графическое представление соотношения [3.6] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


88

Основные и расширенные соотношения ортогональности во временной области


[3.7]

Ps
0

(1/2,0)

( , )Pk

(1/2,0)

( , )d =

если [3.9]

1 , = (4k + 3) 0,
Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

k=s

;

Ps
0

(2,0)

( , )Pk

(2,0)

( , )d = = 1 , 2 (2k + 3) 0,
0 0 0 1 /9 0 0
3

иначе.

M[3

.7]

1 1 =

/3 0 0 0 0 0
1

0 1 /7 0 0 0 0

0 0 1/11 0 0 0
2

0 0 0 1/15 0 0
3

0 0 0 0 1/19 0
4

0 0 0 0 0 1/23

. k

если

k=s

;

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

0

M[3

.9]

1 1 = 2

/3 0 0 0 0 0
1

0 1 /5 0 0 0 0

0 0 1/7 0 0 0
2

0 0 0 0 1/11 0

0 0 0 0 0 1/13
4

. k

0 1

1 2

3

2

4

3

s
Рис. 3.7. Графическое представление соотношения [3.7] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

[3.8]

4

s
Рис. 3.9. Графическое представление соотношения [3.9] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

(1,0) Ps

( ,

(1,0) )Pk

( , )d = = 1 , 2 (k + 1) 0,
0 0 0 0 1 /5 0
3

[3.10]

0

если

k=s

;

Ps
0

(,0)

( , )Pk

(,0)

( , )d =

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[3

.8]

1 0 1 0 = 2 0 0 0

0 1 /2 0 0 0 0
1

0 0 1 /3 0 0 0
2

0 0 0 1 /4 0 0

0 0 0 0 0 1/

. 6
4

=

1 , c (2k + + 1) 0,

если

k=s

;

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

0

k

1

1 Ч M[3.10] = c 1 0 (+1) 1 0 (+3) 0 0 Ч 0 0 0 0 0 0

0 0
1 (+5)

0 0 0
1 (+7)

0 0 0

0 0 0 0
1 (+9)

0 0

0 0 0 0 0
1 (+11)

.

0

2

3

4

s
Рис. 3.8. Графическое представление соотношения [3.8] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


3.1 Основные соотношения ортогональности

89

Pk

(,0) 2



P

(,0) 2 k

0, 4 0, 3 0, 2 0, 1 0 k 1 2 3 4 1 0 2 3 4

0, 4 0, 3 0, 2 0, 1 0, 5 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 0 1 2 3 4 k

а)
=1

б)

Рис. 3.10. Графическое представление соотношения [3.10] при k = 0..5 и k = s: а) = 1, c = 2, [0; 5]; б) [0, 5; 5, 5], c = 2,


[3.11]

Ps
0

(0,1)

( , )Pk

(0,1)

( , )ч

{Ps

(0,1)

( , )}

( , )d =


[3.12]

Ps
0

(0,2)

( , )Pk

(0,2)

( , )ч{ =

Ps

(0,2)

( , )}

( , )d =

1 , = 4 (k + 1) 0,
Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

если

k = s;

иначе.

1 , 2 (2k + 3) 0,
0 0 0 1 /9 0 0
3

если

k=s

;

иначе.

M

[3.11]

1 0 1 0 = 4 0 0 0
0

0 1 /2 0 0 0 0

0 0 1 /3 0 0 0
1

0 0 0 1 /4 0 0
2

0 0 0 0 1/5 0

0 0 0 0 0 1/
3

. 6
4

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[3

.12]

1 1 = 2

/3 0 0 0 0 0
1

0 1 /5 0 0 0 0

0 0 1 /7 0 0 0
2

0 0 0 0 1/11 0
4

0 0 0 0 0 1/13

. k

k

0

1

1

2

2

3

3

4

4

s
Рис. 3.11. Графическое представление соотношения [3.11] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

s
Рис. 3.12. Графическое представление соотношения [3.12] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


90

Основные и расширенные соотношения ортогональности во временной области

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

[3.13]

Ps
0

(0, )

( , )Pk

(0, )

( , )ч

{Ps

(0, )

( , )}

( , )d =

=

1 , c (2k + + 1) 0,

если

k=s

;

иначе.

1 M[3.13] = Ч c 1 0 ( +1) 1 0 ( +3) 0 0 Ч 0 0 0 0 0 0

0 0
1 ( +5)

0 0 0
1 ( +7)

0 0 0

0 0 0 0
1 ( +9)

0 0

0 0 0 0 0
1 ( +11)

.

0

Pk

(0, ) 2



Pk

(0, ) 2



0, 4 0, 3 0, 2 0, 1 0 k 1 2 3 4 1 0 2 3 4

0, 4 0, 3 0, 2 0, 1 0, 5 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 0 1 2 3 4 k

а)
=1

б)

Рис. 3.13. Графическое представление соотношения [3.13] при k = 0..5 и k = s: а) = 1, c = 2, [0; 5]; б) [0, 5; 5, 5], c = 2,

3.2 Расширенные соотношения ортогональности

0

1

2

3

4

k

1


[3.14]

2

Ls ( , )Lk ( , )ч{
(1)

Ls ( , )}

(1)

( , )d =
3
если

0

k + 1, 2 = -k, 2 0,

k=s

;

если

k =s+1

;

4

иначе.

s
Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[3

.14]

1 0 1 0 = 2 0 0 0

-1 2 0 0 0 0

0 -2 3 0 0 0

0 0 -3 4 0 0

0 0 0 -4 5 0

0 0 0 0 -5 6

.

Рис. 3.14. Графическое представление соотношения [3.14] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


3.2 Расширенные соотношения ортогональности

91


[3.15]

Ls ( , )Lk ( , )d =
0

0

1

2

3

4

k

- k + 1 , 2 2k + 1 , = 2 k - , 2 0,

если

k = s - 1; k=s
;

если

1

если

k =s+1

;

иначе.

2

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M

[3.15]

1 -1 1 0 = 2 0 0 0
1



-1 3 -2 0 0 0

0 -2 5 -3 0 0
2

0 0 -3 7 -4 0
3

0 0 0 -4 9 -5

0 0 0 0 -5 11
4

. k

3

4

0

s
Рис. 3.16. Графическое представление соотношения [3.16] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

1

2

3

4
[3.17]



Ls ( , )Lk ( , )ч{
(1)

Ls ( , )}

(1)

( , )d = k = s - 1; k=s
;

0

s
Рис. 3.15. Графическое представление соотношения [3.15] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[3.16]

Ls ( , )Lk ( , )ч{
(2) (1)

L

(2) s

( , )}

( , )d =

- (k + 1)(k + 2) , 3 (3k + 2)(k + 1) , 3 (3k + 1)k =- , 3 k(k - 1) , 3 0,

если

если

если

k =s+1 k =s+2

;

если

;

иначе.

0

(k + 1)(k + 2) , 3 = - k(k + 1) , 3 0,

если

k=s

;

если

k =s+1

;

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M

[3.16]

2 0 1 0 = 3 0 0 0

-2 6 0 0 0 0

0 -6 12 0 0 0

0 0 -12 20 0 0

0 0 0 -20 30 0

0 0 0 0 -30 42

.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[3

.17]

2 -2 1 0 = 3 0 0 0



-4 10 -6 0 0 0

2 -14 24 -12 0 0

0 6 -30 44 -20 0

0 0 0 -52 70 -30

0 0 0 0 -80 102

.


92

Основные и расширенные соотношения ортогональности во временной области



( Ls ( , )

0

1

2

3

4

k

[3.19]

) Lk ( , )d d = 2, 2 k = 4(-1) 2 0, k=s k
0

если

;

1

+s

,

если

;

иначе.

2 Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

3

M[3

.19]

2 -4 1 4 = 2 -4 4 -4
1



0 2 -4 4 -4 4

0 0 2 -4 4 -4
2

0 0 0 2 -4 4
3

0 0 0 0 2 -4

0 0 0 0 0 2

.
4

4

0

k

s
Рис. 3.17. Графическое представление соотношения [3.17] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

1

2


[3.18]

0

Lk ( , ) Ls ( , ) d =

-1, 1 -, 2 0,

если если

k>s k=s

; ;

3

иначе.

4 Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[3

.18]

-1/2 0 0 = 0 0 0

-1 - 1 /2 0 0 0 0

-1 -1 - 1 /2 0 0 0

-1 -1 -1 -1/2 0 0
3

-1 -1 -1 -1 - 1 /2 0
4

-1 -1 -1 -1 -1 -1/ k

. 2 s
Рис. 3.19. Графическое представление соотношения [3.19] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

0

1

2

1


[3.20]

( Ls ( , )

) Lk ( , )d d =

0

2

3

4

- 2k , 3 2(4k + 1) , 3 2(7k + 3) =- , 3 2(8k + 4)(-1) 3 0,

если

k =s+1 k = s; k =s-1

;

если

если

;

k +s

,

k иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

s
Рис. 3.18. Графическое представление соотношения [3.18] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

M[3

.20]

2 -6 1 8 = 3 -8 8 -8



-2 10 -20 24 -24 24

0 -4 18 -34 40 -40

0 0 -6 26 -48 56

0 0 0 -8 34 -62

0 0 0 0 -10 42

.


3.2 Расширенные соотношения ортогональности

93



0

1

2

3

4

k

[3.22]

Ls ( , )Lk ( , )d =
0

(1)

1

k + 1, 2 = -k + 1, 2 0,

если

k=s

;

если

k = s - 1;

иначе.

2

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5: 3

M[3
4

.22]

1 -1 1 0 = 2 0 0 0
1



0 2 -2 0 0 0

0 0 3 -3 0 0
2

0 0 0 4 -4 0
3

0 0 0 0 5 -5

0 0 0 0 0 6

.
4

0

k

s
Рис. 3.20. Графическое представление соотношения [3.20] при k = 0..5, s = 0..5; = 1 1


[3.21]

Ls ( , )Lk
0

(1)

1, ( , )d = 0,

2
если

k s;
3

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M

[3.21]

1 0 1 0 = 0 0 0

1 1 0 0 0 0
1

1 1 1 0 0 0

1 1 1 1 0 0
2

1 1 1 1 1 0

1 1 1 1 1 1



4

.
3 4

s k
Рис. 3.22. Графическое представление соотношения [3.22] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

0

1
(1) k

2

[3.23]

Ls ( , )
0

L

( , )



d =

3

- 2(k - s) + 1 , 2 = -1, 2 0,

если если

k>s k=s

; ;

иначе.

4

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

s
Рис. 3.21. Графическое представление соотношения [3.21] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

M[3

.23]

-1/2 0 0 = 0 0 0

- 3 /2 - 1 /2 0 0 0 0

- 5 /2 - 3 /2 - 1 /2 0 0 0

-7/ -5/ -3/ -1/ 0 0

2 2 2 2

- - - - -

9/ 7/ 5/ 3/ 1/ 0

2 2 2 2 2

-11/2 - 9 /2 - 7 /2 - 5 /2 - 5 /2 - 1 /2

.


94

Основные и расширенные соотношения ортогональности во временной области

0

1

2

3

4

k

0

1

2

3

4

k

1

1

2

2

3

3

4

4

s
Рис. 3.23. Графическое представление соотношения [3.23] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

s
Рис. 3.24. Графическое представление соотношения [3.24] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[3.24]



Ls ( , )Lk ( , )d =
0

(2)

[3.25]

Ls ( , )Lk ( , )d =
0

(2)

k - s + 1, = 1, 0,

если

k>s k=s

;

если

;

иначе.

1, 2 = -k + 1, 2 0,

если

k s; k =s-1
;

если

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[3

.24]

1 0 1 0 = 0 0 0

2 1 0 0 0 0

3 2 1 0 0 0

4 3 2 1 0 0

5 4 3 2 1 0

6 5 4 3 2 1



Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

.

M[3

.25]

1 -1 1 0 = 2 0 0 0



1 1 -2 0 0 0

1 1 1 -3 0 0

1 1 1 1 -4 0

1 1 1 1 1 -5

1 1 1 1 1 1

.


3.2 Расширенные соотношения ортогональности

95

0

1

2

3

4

k

M[3

.26]

-1/2 0 0 = 0 0 0
1

-2 - 1 /2 0 0 0 0
2

- 9 /2 -2 - 1 /2 0 0 0

-8 -9/2 -2 -1/2 0 0
3

-25/2 -8 -9/2 -2 -1/2 0
4

-18 -25/2 -8 - 9 /2 -2 - 1 /2 k

.

1

0

2

1

3

2

4

3

s
Рис. 3.25. Графическое представление соотношения [3.25] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

4

s
Рис. 3.26. Графическое представление соотношения [3.26] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[3.26]

Ls ( , )
0

Lk ( , )

(2)



d =

[3.27]

Ls ( , )
0

(1)

Lk ( , )

(1)

ч{

Ls ( , )}

(1)

( , )d =

2 - (k - s + 1) , 2 = -1, 2 0,

если если

k>s

;

k = s;

иначе.

- s + = -k + 0,

1 1

, ,

если

k>s k=s

;

если

;

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[3
Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

.27]

- 1 =

1 /2 0 0 0 0 0

-1 -1 0 0 0 0

-1 -2 -3/2 0 0 0

-1 -2 -3 -2 0 0

-1 -2 -3 -4 - 5 /2 0

- - - - - -

1 2 3 4 5 3

.


96

Основные и расширенные соотношения ортогональности во временной области

0

1

2

3

4

k M[3
.28]

-1 1 1 0 = 2 0 0 0
1

-1 -2 3 0 0 0

0 -3 -3 6 0 0
2

0 0 -6 -4 10 0
3

0 0 0 -10 -5 15

0 0 0 0 -15 -6
4

. k

1

0

2

1

3

2

4

3

s
Рис. 3.27. Графическое представление соотношения [3.27] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

4

s
Рис. 3.28. Графическое представление соотношения [3.28] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[3.28]

Ls ( , )
0

(1)

Lk ( , )

(1)

ч

{Ls ( , )}

(1)

( , )d =


[3.29]

Ls ( , )
0

(2)

L

- - = - 0,

(s + 1)(s + 2) , 2 2 k+1 , 2 s(s + 1) , 2 2

если

k =s+1 k=s
;

;

если

если

k = s - 1;

( , ) {L(2) ( , )} чs ( , )d = - (s + 1)(s + 2) , если k > s 2 = - (k + 1)(k + 2) , если k = s 2 2 0, иначе.

(2) k

;

;

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[3
Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

.29]

-1 0 1 0 = 2 0 0 0

-2 -3 0 0 0 0

-2 -6 -6 0 0 0

-2 -6 -12 -10 0 0

-2 -6 -12 -20 -15 0

-2 -6 -12 -20 -30 -21

.


3.2 Расширенные соотношения ортогональности

97

0

1

2

3

4

k

M[3

.30]

-3 3 1 0 = 3 0 0 0
1

-3 -9 12 0 0 0

0 -12 -18 30 0 0
2

0 0 -30 -30 60 0
3

0 0 0 -60 -45 105
4

0 0 0 0 -105 -63

. k

1

0

2

1

3

2

4

3

s
Рис. 3.29. Графическое представление соотношения [3.29] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

4

s
Рис. 3.30. Графическое представление соотношения [3.30] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[3.30]

Ls ( , )
0

(2)

Lk ( , )

(2)

ч{

Ls ( , )}

(2)

( , )d =
[3.31]



Ps
0

(0,1)

( , )Legk ( , )ч{

Ps

(0,1)

( , )}

( , )d =

=

- -

- 0,

(s + 1)(s + 2)(s + 3) , 2 3 3(k + 1)(k + 2) , 2 3 s(s + 1)(s + 2) , 2 3

если

k =s+1 k=s
;

;

если

если

k = s - 1;

1 4(2k + 1) 1 = 4(2k + 1) 0,



, ,

если

k =s+1 k=s
;

;

если

иначе.

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[3
Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

.31]

1 1 =

/4 0 0 0 0 0

1/12 1/12 0 0 0 0

0 1/20 1/20 0 0 0

0 0 1/28 1/28 0 0

0 0 0 1/36 1/36 0

0 0 0 0 1/44 1/44

.


98

Основные и расширенные соотношения ортогональности во временной области

0

1

2

3

4

k

M[3

.32]

1 1 =

/6 0 0 0 0 0
1

1/12 1/20 0 0 0 0

1/60 1/20 1/35 0 0 0
2

0 1/70 1/28 5/252 0 0
3

0 0 1/84 1/36 7/572 0
4

0 0 0 1/99 1/44 2/195 k

.

1

0

2

1

3

2

4

3

s
Рис. 3.31. Графическое представление соотношения [3.31] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

4

s
Рис. 3.32. Графическое представление соотношения [3.32] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[3.32]

Ps
0

(0,2)

( , )Legk ( , )ч

{Ps

(0,2)

( , )}

( , )d =


[3.33]

Ps
0

(0,2)

4(2k - 1 = 4(2k + 4(2k + 0,

( , )Pk

(0,1)

( , )ч

{Ps

(0,2)

( , )}

( , )d =

k-1 , 1)(2k + 1) 1) k+2 , 1)(2k + 3) ,

если

k =s+2 k =s+1 k=s
;

;

если

;

если

k , 4(k + 1)(2k + 1) k+2 = , 4(k + 1)(2k + 3) 0,

если

k =s+1 k = s;

;

если

иначе.

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5

M[3
Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

.33]

1 1 =

/6 0 0 0 0 0

1/24 3/40 0 0 0 0

0 1/30 1/21 0 0 0

0 0 3/112 5/144 0 0

0 0 0 1/45 3/110 0

0 0 0 0 5/264 7/312




3.2 Расширенные соотношения ортогональности

99

0

1

2

3

4

k



1

[3.35]

Legs ( , )
0

2

Legk ( , ) d = -(-1) 1 = -, 2 0,

k +s

,

если если

k>s k=s

; ;

иначе.

3 Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5 4

M[3

.35]

-1/2 0 0 = 0 0 0

1 - 1 /2 0 0 0 0
1 2

-1 1 - 1 /2 0 0 0

1 -1 1 -1/2 0 0
3

-1 1 -1 1 - 1 /2 0
4

1 -1 1 -1 1 -1/ k

2

s
Рис. 3.33. Графическое представление соотношения [3.33] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

0


[3.34]

1

Ps
0

(-1/2,0)

( , )

Pk

(-1/2,0)

( , )

-(-1) 1 = -, 2 0,
-1 1 -1/2 0 0 0 1 -1 1 - 1 /2 0 0
3

d =
2

k +s

,

если если

k>s

;

k = s;
3

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5

M

[3.34]

- =

1 /2 0 0 0 0 0
1

1 - 1 /2 0 0 0 0
2

-1 1 -1 1 -1/2 0
4

1 -1 1 -1 1 -1/ k

2 s
Рис. 3.35. Графическое представление соотношения [3.35] при k = 0..5, s = 0..5; = 1 4

0

1

2


[3.36]

Ps
0

(1/2,0)

( , )

Pk

(1/2,0)

( , )

3

=

d =
k +s

-(-1) 1 -, 2 0,

,

если если

k>s k=s

; ;

иначе.

4 Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5

s
Рис. 3.34. Графическое представление соотношения [3.34] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

M[3

.36]

-1/2 0 0 = 0 0 0

1 - 1 /2 0 0 0 0

-1 1 - 1 /2 0 0 0

1 -1 1 -1/2 0 0

-1 1 -1 1 - 1 /2 0

1 -1 1 -1 1 -1/

2


100

Основные и расширенные соотношения ортогональности во временной области

0

1

2

3

4

k

[3.38]

Ps
0

(2,0)

( , )

P

(2,0) k

( , )



d =
k +s

1

2

-(-1) 1 = -, 2 0,
1 /2 0 0 0 0 0
1

,

если если

k>s k=s

; ;

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5 3

M[3

.38]

- =

1 -1/2 0 0 0 0
2

-1 1 - 1 /2 0 0 0

1 -1 1 - 1 /2 0 0
3

-1 1 -1 1 -1/2 0
4

4

1 -1 1 -1 1 -1/ k

2

0

s
1 Рис. 3.36. Графическое представление соотношения [3.36] при k = 0..5, s = 0..5; = 1 2
(1,0) Ps


[3.37]

( , )

Pk

(1,0)

( , )



d =
k +s

0

-(-1) 1 = -, 2 0,
1 - 1 /2 0 0 0 0
1 2

,

если если

k>s k=s

; ;

3

иначе.

4

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5

M[3

.37]

-1/2 0 0 = 0 0 0

-1 1 - 1 /2 0 0 0

1 -1 1 -1/2 0 0
3

-1 1 -1 1 - 1 /2 0
4

1 -1 1 -1 1 -1/ k

2 s
Рис. 3.38. Графическое представление соотношения [3.38] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

[3.39]

0

Ps
0

(,0)

( , )

Pk

(,0)

( , )



d =
k +s

1

2

-(-1) 1 = -, 2 0,

,

если если

k>s k=s

; ;

иначе.

3


[3.40]

Ps
0

(-1/2,0)

( ( ( , ) Pk

-1/2,0)

) ( , )d d =

4

s
Рис. 3.37. Графическое представление соотношения [3.37] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

2 , (4k + 1)2 2 4 = (4s + 1)(4k + 1) 2 , 0,
1 Ч 2

если

k=s k
;

если

;

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[3

.40]

=


3.2 Расширенные соотношения ортогональности

101

2 4 /5 4 /9 Ч 4/13 4/17 4/21
0



0 2/25 4/45 4/65 4/85 4/105
1

0 0 2/81 4/117 4/153 4/189
2

0 0 0 2/169 4/221 4/273

0 0 0 0 2/289 4/357
3

0 0 0 0 0 2/441
4

. k
0 1 2 3 4

k

1

1

2

2

3

3

4

4

s
Рис. 3.40. Графическое представление соотношения [3.41] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

s
Рис. 3.39. Графическое представление соотношения [3.40] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[3.42]

Ps
0

(1/2,0)

( ( , )

Pk

(1/2,0)

) ( , )d d =


[3.41]

( ) Legs ( , ) Legk ( , )d d = 1 , 2(2k + 1)2 2 1 = (2s + 1)(2k + 1) 2 , 0, k = s; k ;

0

если

2 , (4k + 3)2 2 4 = (4s + 3)(4k + 3) 2 , 0,

если

k=s k
;

если

;

иначе.

если

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5: Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:



M

[3.41]

1 = 2

1 /2 1 /3 1 /5 1 /7 1 /9 1/11

1 1 1 1 1

0 /18 /15 /21 /27 /33

1 1 1 1

0 0 /50 /35 /45 /55

0 0 0 1/98 1/63 1/77

0 0 0 0 1/162 1/99

0 0 0 0 0 1/242

.

M[3.42] = 2/ 9 4/21 4/33 Ч 4/45 4/57 4/69

1 Ч 2 0 2/49 4/77 4/105 4/133 4/161

2 4 4 4

0 0 /121 /165 /209 /253

0 0 0 2/225 4/285 4/345

0 0 0 0 2/361 4/437

0 0 0 0 0 2/529

.


102

Основные и расширенные соотношения ортогональности во временной области

0

1

2

3

4

k

M[3

.43]

1 1 1 1 = 2 1 1 1

/ / / / / /

2 2 3 4 5 6

0 1 /8 1 /6 1 /8 1/10 1/12
2

1 1 1 1

0 0 /18 /12 /15 /18

0 0 0 1/32 1/20 1/24
3

0 0 0 0 1/50 1/30
4

0 0 0 0 0 1/72

.

1

0

1

k

2

1

3

2

4

3

s
Рис. 3.41. Графическое представление соотношения [3.42] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

4

s
Рис. 3.42. Графическое представление соотношения [3.43] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[3.43]

Ps
0

(1,0)

( (1 ( , ) Pk

,0)

) ( , )d d =


[3.44]

Ps
0

(2,0)

( (2 ( , ) Pk

,0)

) ( , )d d =

1 , 2(k + 1)2 2 1 = (s + 1)(k + 1) 2 , 0,

если

k=s k
;

если

;

иначе.

1 , 2(2k + 3)2 2 1 = (2s + 3)(2k + 3) 2 , 0,

если

k=s k
;

если

;

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[3
Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

.44]

1 1 1 1 = 2 1 1 1

/ / / / / /

18 15 21 27 33 39

1 1 1 1 1

0 /50 /35 /45 /55 /65

1 1 1 1

0 0 /98 /63 /77 /91

0 0 0 1/162 1/99 1/117

0 0 0 0 1/242 1/143

0 0 0 0 0 1/338

.


3.2 Расширенные соотношения ортогональности

103

0

1

2

3

4

k

0

1

2

3

4

k

1

1

2

2

3

3

4

4

s
Рис. 3.43. Графическое представление соотношения [3.44] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

s
Рис. 3.44. Графическое представление соотношения [3.46] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[3.45]

Ps
0

(,0)

( ) (,0) ( , ) Pk ( , )d d = 2 , (2k + + 1)2 c2 2 4 = (2s + 3)(2k + 3)c2 2 , 0,
если

k = s; k ; [3.47]

если



иначе.

Legs ( , )
0

P

(0,1) k

( , )



d =


[3.46]

Legs ( , )Pk
0

(0,1)

( , )d = k +s (-1) 2 (k + 1) , 1 = 2 (k + 1) , 0,

( 2k + 1 -(-1)k+s - 2(k + 1) ) 2s(s + 1) - 2k(k + 1) , = 2(k + 1) 2k + 1 - , 2(k + 1) 0,

если

k>s k=s

;

если

;

иначе.

если

k>s

;

если

k = s;

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5: Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M

[3.46]

1 1 =

/2 0 0 0 0 0

- 1 /4 1 /4 0 0 0 0

1 /6 -1/6 1 /6 0 0 0

- 1 /8 1 /8 1 /8 1 /8 0 0

1/10 -1/10 -1/10 -1/10 1/10 0

-1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12

.

M[3.47] = - 1 /2 0 0 = 0 0 0

7 /4 - 3 /4 0 0 0 0

-17/6 13/6 - 5 /6 0 0 0

31/8 -27/8 19/8 - 7 /8 0 0

-49/10 9/ 2 -37/10 5/2 -9/10 0

71/12 -67/12 59/12 -47/12 31/12 -11/12

.


104

Основные и расширенные соотношения ортогональности во временной области

0

1

2

3

4

k

[3.49]

Legs ( , )
0

1

2

- - = - - 0,

3

( , ) d = ( (k(k + 3) + 1) (-1)k+s - 2 (2k(k + 3) + 3)s(s + 1) - 2(k + 1)(k + 2) ) 2 (s + 1)2 s , 2(k + 1)(k + 2) (2k + 1) , (k + 2)

Pk

(0,2)

если

k>s k=s

;

если

;

иначе.

4

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

s
Рис. 3.45. Графическое представление соотношения [3.47] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

[3.48]

M[3.49] = -1/2 0 0 = 0 0 0
0

5 /2 -1 0 0 0 0

-11/2 15/4 - 5 /4 0 0 0
1

19/2 -153/20 91/20 - 7 /5 0 0
2 3

-29/2 63/5 -46/5 51/10 -3/2 0
4

41/2 -130/7 15 -145/14 11/2 -11/7 k

.

Legs ( , )Pk
0

(0,2)

( , )d =
1

( (k + 1)(k + 2) (-1)k+s - 2 (k + 1)(k + 2) ) s(s + 1) = - 2 (k + 1)(k + 2) , 1 , (k + 2) 0,

если

k>s k=s

;

2

если

;

иначе.

3

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

1 M[3.48] = Ч 1 /2 - 1 /2 0 1 /3 0 0 Ч 0 0 0 0 0 0
0

1 /2 -5/12 1 /4 0 0 0
1

- 1 /2 9/20 -7/20 1/ 5 0 0
2

1 /2 -7/15 2 /5 -3/10 1 /6 0
3

- 1 /2 10/21 - 3 /7 5/14 -11/42 1 /7
4

. k

4

s
Рис. 3.47. Графическое представление соотношения [3.49] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

1

2

3

4

s
Рис. 3.46. Графическое представление соотношения [3.48] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


Глава 4

Фазовые представления ортогональных функций
Определение.

В общем виде определим фазовые ортогональные функции во временной области как [5]



{k ( , )} k

(j ) = k ( , ) + j

k ( , ) .

Фазовое представление ортогональных функций во временной области обладает следующими основными свойствами:

Re{k ( , )} (0) = k (0, ); k { ( , )} Imk k (j )d = -k (0, ).
0

[4.1]



{Lk ( , } k

(j ) = Lk ( , ) + j

Lk ( , ) .

[4.2]

k

{Lk ( , }

(1)

(j ) = Lk ( , ) + j

(1)

Lk ( , )

(1)

.

(0; 0) Imk (j )

Imk (j )

(0; 0)

-10 -5

-20

-10 0 0, 5 Rek (j ) 4 3 2 1

-30

0 0 2 4 Rek (j ) k 4 3 2 1 0

k

Рис. 4.1. Вид фазового представления ортогональных функций Лагерра 0-5 порядков; = 2

Рис. 4.2. Вид фазового представления ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 2, = 1


106

Фазовые представления ортогональных функций

(0; 0) Imk (j ) -20 -40 -60 -80 0 10 Rek (j ) k 4 3 2 1 0

Рис. 4.3. Вид фазового представления ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 2, = 2
{Lk ( , }
(2)

[4.3]

k

(j ) = Lk ( , ) + j

(2)

Lk ( , )
(0; 0)

(2)

.

[4.4]



{L k k

()

( , }

(j ) = Lk ( , ) + j

()

L

() k

( , )



.

(0; 0) Imk (j )

Imk (j )

-1

-5 -10 -15

-2

-3 0 10 Rek (j ) 4 3 2 1 0

0 1 2 Rek (j ) 3 2

1

а)
=1

б)

Рис. 4.4. Вид фазового представления ортогональных функций Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) = 2, [0; 5]; б) [1; 4],

Imk (j ) 20 10 0 -10 (0; 0)

[4.5]

k

{P k

(-1/2,0)

( , )}

(j ) =
(-1/2,0)

= Pk

( , ) + j

P

(-1/2,0) k

( , )



.

-1 -0, 5

0 0, 5 Rek (j ) k 4 3 2 1

0

Рис. 4.5. Вид фазового представления ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 5, c = 2, = -1/2, = 0


107

[4.6]



{Legk ( , )} k

(j ) = Legk ( , ) + j

Legk ( , ) .

[4.8]

k

{Pk

(1,0)

( , )}

(j ) = Pk

(1,0)

( , ) + j

P

(1,0) k

( , )



.

Imk (j ) 20

Imk (j )

10

0

(0; 0) 0

(0; 0)

-20 -1 -0, 5

-10 0 0, 5 Rek (j ) k 4 3 2 1 -1 -0, 5

0

0 0, 5 Rek (j ) k 4 3 2 1

0

Рис. 4.6. Вид фазового представления ортогональных функций Лежандра 0-5 порядков; = 1, c = 2
(1/2,0)

Рис. 4.8. Вид фазового представления ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 5, c = 1, = 1, = 0
{Pk
(2,0)

[4.7]



{Pk k

( , )}

(j ) = = Pk
(1/2,0)

[4.9]

k

( , )}

(j ) = Pk

(2,0)

( , ) + j

P

(2,0) k

( , )

( , ) + j

P

(1/2,0) k



.

( , )



.
Imk (j )

Imk (j ) 20 20 0 (0; 0) -20 -1 -0, 5 (0; 0)

0

-20 -1 -0, 5

0 0, 5 Rek (j ) k 4 3 2 1

0

0 0, 5 Rek (j ) k 4 3 2 1

0

Рис. 4.9. Вид фазового представления ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 5, c = 2, = 2, = 0
{Pk k
(,0)

Рис. 4.7. Вид фазового представления ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 5, c = 2, = 1/2, = 0

[4.10]



( , }

(j ) = Pk

(,0)

( , ) + j

P

(,0) k

( , )



.


108

Фазовые представления ортогональных функций

(0; 0)

Imk (j ) 0

(0; 0) Imk (j ) -10 -20

-10

-30 -40 0, 5 0 0 0, 5 Rek (j ) 4 3 2 1 0 1, 5 0, 5 Rek (j ) 2 1

а)

б)

Рис. 4.10. Вид фазового представления ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 0, 5, c = 2, [0; 5], = 0; б) [0, 5; 2, 5], c = 2, = 1, = 0

[4.11]



{ k

(0,1) Pk

( , )}

(j ) = Pk

(0,1)

( , ) + j

P

(0,1) k

( , )

[4.12]

k

{Pk

(0,2)

( , )}

(j ) = Pk

(0,2)

( , ) + j

P

(0,2) k

( , )



.
Imk (j )



.

Imk (j )

200 100

50 0 0 (0; 0) -100 -20 -50 -5 0 Rek (j ) k 4 3 2 1 0 -10 0 10 Rek (j ) k 4 3 2 1 0 (0; 0)

Рис. 4.12. Вид фазового представления ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 5, c = 2, = 0, = 2
{Pk
(,0)

Рис. 4.11. Вид фазового представления ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 5, c = 2, = 0, = 1

[4.13]

k

( , }

(j ) = Pk

(,0)

( , ) + j

Pk

(,0)

( , )



.


109

(0; 0) Imk (j ) Imk (j ) -20 -20 -40 -40 -60 0 10 Rek (j ) 4 3 2 1 0 0 1 2 Rek (j )

(0; 0)

0, 5 1 1, 5

а)

б)

Рис. 4.13. Вид фазового представления ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 0, 5, c = 2, = 0, [0; 5]; б) [0, 5; 2], c = 2, = 0, = 1


110

Фазовые представления ортогональных функций


Глава 5

Интегральные представления ортогональных функций
Определение.

Данное определение ортогональных функций введено как обратное преобразование Фурье

k ( , ) =
0



W

{k ( , )} k

(j ) exp(j )d .

[5.1]

Lk ( , ) = = 2(-1)
k /2

( ) cos (2k + 1) cos

[5.5]

Pk

(-1/2,0)

( , ) =

cos

( ) tan d. 2

0

[5.2]

Lk ( , ) = = 4(-1)k (k + 1)
/2 ( ) ( ) cos (2k+2) cos tan d. 2 0

(1)

/2 ( ) cos (4k + 1) /2 tan d, 0 /2 ( cos + Ч 0 )) ( k -1 4k + 1 arctan +2 tan Ч 4s + 1 s=0 ( ) cos (4k + 1) /2 tan Ч d, cos

2 Ч

если

k=0

;

если

k > 0.

[5.3]

Lk ( , ) = Ч
0

(2)

8(-1)k (k + 1)(k + 2) Ч ( )2 ( ) ( ) cos (2k + 3) cos cos tan d. 2

/2

[5.6]

Legk ( , ) =

[5.4]

Lk ( , ) = Ч

()

2

+1

(-1)k (k + )! Ч ( ) k!
-1

/2 ( ) cos (2k + + 1) (cos ) 0

cos

( ) tan d. 2

/2 ( ) cos (2k + 1) tan d, 0 /2 ( cos + Ч 0 ( )) k -1 2k + 1 +2 arctan tan Ч 2s + 1 s=0 ( ) cos (2k + 1) tan Ч d, cos

2 Ч

если

k=0

;

если

k > 0.


112

Интегральные представления ортогональных функций

[5.7]

Pk

(1/2,0)

( , ) =

/2 ( ) cos (4k + 3) /2 tan d, 0 /2 ( cos + Ч 0 ( )) k -1 4k + 3 +2 arctan tan Ч 4s + 3 s=0 ( ) cos (4k + 3) /2 tan Ч d, cos

2 Ч

[5.11]

Pk

(0,1)

если

k=0

;

если

k > 0.

Ч

[5.8]

Pk

(1,0)

( , ) =

/2 ( cos (k + 1) 0 /2 ( cos + Ч 0 ( k-1 +2 arctan s=0 ( cos (k + 1) Ч cos

2 Ч

) tan d,

если

k=0

;

4(k + 1) ( )Ч (2k + 3) 1 - exp(-2 ) ( )) /2 ( 2k + 1 cos arctan tan Ч 2k + 3 0 ( ( )) 2k + 1 Ч cos + arctan tan Ч 2k + 3 ( ) cos (2k + 1) tan d, если k = 0 Ч cos ( )) /2 ( 2k + 1 cos arctan tan Ч 2k + 3 0 ( ( ) 2k + 1 tan + Ч cos + arctan 2k + 3 ( )) k -1 2k + 1 arctan +2 tan Ч 2s + 1 s=0 ( ) cos (2k + 1) tan Ч d, если k > 0 cos ( , ) =

;

.

k+ s+ tan

1 tan 1 ) d,

)) Ч
если

k > 0.

[5.9]

Pk

(2,0)

( , ) =

/2 ( ) cos (2k + 3) tan d, 0 /2 ( cos + Ч 0 ( )) k -1 2k + 3 +2 arctan tan Ч 2s + 3 s=0 ( ) cos (2k + 3) tan Ч d, cos

2 Ч

[5.12]

Pk

(0,2)

если

k=0

;

если

k > 0.

[5.10]

Pk Ч

(,0)

( , ) =

2 Ч
если

/2 ( ) cos (2k + + 1)c /2 tan d, 0 /2

k=0

;

(

cos + 2Ч ( )) 2k + + 1 arctan tan Ч 2s + + 1 s=0 ( ) cos (2k + + 1)c /2 tan Ч d, cos
0

Ч

k -1

если

k > 0.

1 Ч

8(k + 1)(k + 2) ( )2 Ч (2k + 3)(2k + 5) 1 - exp(-2 ) ( )) /2 ( 2k + 1 cos arctan tan Ч 2k + 3 0 ( ( )) 2k + 1 Ч cos arctan tan Ч 2k + 5 ( ) ( 2k + 1 tan + Ч cos + arctan 2k + 3 ( )) 2k + 1 + arctan tan Ч 2k + 5 ( ) cos (2k + 1) tan Ч d, если k = 0; cos ( )) /2 ( 2k + 1 cos arctan tan Ч 2k + 3 0 ) ( ) ( 2k + 1 tan Ч Ч cos arctan 2k + 5 ( ( ) 2k + 1 Ч cos + arctan tan 2k + 3 ( ) 2k + 1 + arctan tan + 2k + 5 ( )) k -1 2k + 1 +2 arctan tan Ч 2s + 1 s=0 ( ) cos (2k + 1) tan Ч d, если k > 0. cos ( , ) =


113

[5.13]

Pk =

(0, )

( , ) = 2
+1

(k + )!(2k + 1)

( ) k! 1 - exp(-2c /2) (2k + 2p + 1) p=0

Ч

/2 ( ( )) 2k + 1 cos arctan tan Ч 2 k + 2p + 1 0 p=0 ( Ч cos + ( )) 2k + 1 + arctan tan Ч 2k + 2p + 1 p=0 ( ) cos (2k + 1)c /2 tan Ч d, (cos )2 /2 ( ( )) 2k + 1 Ч cos arctan tan Ч 2 k + 2p + 1 0 p=0 ( Ч cos + ( ) 2k + 1 + arctan tan + 2k + 2p + 1 p=0 ( )) k -1 2k + 1 +2 arctan tan Ч 2s + 1 s=0 ( ) cos (2k + 1)c /2 tan Ч d, (cos )2

k=0

;

k > 0.


114

Интегральные представления ортогональных функций


Глава 6

Аналитические представления в частотной области
Определение.

Для представления ортогональных функций в частотной области имеет место ряд определений в зависимости от дальнейшего приложения. Наиболее распространено следующее определение, известное как преобразование Фурье ортогональных функций[9, 1]
{k ( , )} k

(j ) =
0



W

k ( , ) exp(-j )d .

В отличие от вышеприведенной характеристики преобразование Фурье ортогональных фильтров является физически реализуемым [6]
{k ( , )} k

(j ) =
0



V

k ( , ) exp(-j )ч

{k ( , )}

( , )d .

Значительно} е используется определение преобразования Фурье производных ортогональных функреж { ций W
k ( , )

k

(j ).
[6.3]

6.1

Преобразование Фурье ортогональных функций

W

[3]{Lk ( , )} k

(j ) =

2 (-1)k cos Ч = arctan 2 .

Ч exp(-j (2k + 1)),

Частные случаи для преобразования Фурье функций 0-5 по[6.1]

W

[1]{Lk ( , )} k

рядков:

(j ) = )s k ( k )( - 1 . j + /2 s=0 k - s j + /2

W W

{L0 ( , )} 0 {L1 ( , )} 1

(j ) =

1 ; j + /2 j + /2 j - /2 )2 ; ) - /2 2 )3 ; + /2 ) - /2 3 )4 ; + /2

=

(j ) = (

W
[2]{Lk ( , )} k

{L2 ( , )} 2

[6.2]

W

(j ) =

1 j + /2

(

j - /2 j + /2

)k .
W

{L3 ( , )} 3

( j (j ) = ( j ( j (j ) = ( j


116

Аналитические представления в частотной области

W

{L4 ( , )} 4

W

{L5 ( , )} 5

( j (j ) = ( j ( j (j ) = ( j

) - /2 4 )5 ; + /2 ) - /2 5 )6 . + /2 k

(0; 0)

(0; 0) k

4

3

4

2 ImWk (j ) 0, 1 0 -0, 1 -0, 2 0, 3 ReWk (j )

3

1

2 ImWk (j ) 0, 2 0 -0, 2 -0, 4 ReWk (j )

0 0 0, 1 0, 2

1

Рис. 6.2. Вид преобразования Фурье ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 4, = 1

0 -0, 4 -0, 2 0 0, 2

Рис. 6.1. Вид преобразования Фурье ортогональных функций Лагерра 0-5 порядков; = 4

[6.7]

W

[1]{Lk ( , )} k

(2)

(j ) = )s k (k + 2)( - 1 . j + /2 s=0 k - s j + /2 (j ) = 2 2 )k
+1

=

[6.4]

W

[1]{Lk ( , )} k

(1)

(j ) = )s k (k + 1)( - 1 . j + /2 s=0 k - s j + /2 1 ( 1- ( j - /2 j + /2 )k
+1

[6.8]

=

k Wk [(( j - / Ч j + /

[2]{L

(2)

( , )}

1 Ч 2 ) ] ( ) - 1 j - /2 + (k + 1) .

[6.5]

W

[2]{Lk ( , )} k

(1)

) .
[6.9]

(j ) =

W Ч

[3]{Lk ( , )} k

(2)

(j ) =

(

) exp(-j ) + (-1)k exp(-j (2k + 3)) +k+1 , 2 cos = arctan 2 .

1 Ч

[6.6]

W =

[3]{Lk ( , )} k

(1)

) 1( 1 + (-1)k exp(-j (2k + 2)) ,

(j ) =

= arctan

2 .

Частные случаи для преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(2) {L0 ( , )}

Частные случаи для преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(1) {L0 ( , )} 0 (1) {L1 ( , )} 1 (1) {L2 ( , )} 2 (1) {L3 ( , )} 3 (1) {L4 ( , )} 4 (1) {L5 ( , )} 5

W0 W1

(j ) =

1 ; j + /2

W W

(j ) =

1 ; j + /2 2j j + /2 )2 ;

(2) {L1 ( , )}

/2 + 3 j (j ) = ( ); j + /2 2 (j ) = 2 /2 + 2 j - 6 2 ; ( ) j + /2 3 3 /4 + 5 2 j /2 - 5 2 - 10j 3 ; ( ) j + /2 4

(j ) = (

W2 W3 W4

(2) {L2 ( , )}

W

2 /4 - 3 2 (j ) = ( ); j + /2 3 2 j - 4j 3 (j ) = ( ); j + /2 4 (j ) = 4 /16 - 5 2 2 /2 + 5 4 ; ( ) j + /2 5 3 4 j /8 - 5 2 j 3 + 6j 4 . ( ) j + /2 6

(2) {L3 ( , )}

(j ) =

W

W

W

(j ) =

(4 1 3 ) 3 /16 + 3 j /2 - j + /2 5 22 3 4) - 15 /2 - 10 j + 15 ; (2) (5 1 ( , )} {L 4 (j ) = ( W5 5 ) 3 /32 + 21 j /16 - j + /2 6 32 2 3 4 5) - 21 /4 - 35 j /2 + 35 /2 + 21j .
(2) {L4 ( , )}

(j ) = (


6.1 Преобразование Фурье ортогональных функций

117

(0; 0)

[6.11]

k

k Wk (j ) = ( )-1 [( ) j + /2 j - /2 k = (- ) j + /2

[2]{L

( )

( , )}

+

-

4

-

-1 p=0

] (k + )( )p - , p j + /2

Z

.

3

Частные случаи для преобразования Фурье функций 0-5 порядков:

2 ImWk (j ) -0, 5 0 0 0, 5 1 1, 5 -1 ReWk (j )

W W

() {L0 ( , )} 0 () {L1 ( , )} 1

(j ) = (j ) =

1 ; j + /2 ( - 1)/2 + j ( + 1) ; ( ) j + /2 2 1 j + /2 ) (
3

1

W

() {L2 ( , )} 2

(j ) = (

( + - 2)/8 + j ( -

2

2

2

Рис. 6.3. Вид преобразования Фурье ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 4, = 2

) 2 2 - + 2)/2 - ( + 3 + 2)/2 ; ( ) ( 1 ( , )} {L 3 2 (j ) = ( W3 3 ) - + (j + /2)( + 3) - j + /2 4 ) 2 3 - (j + /2) ( + 2)( + 3)/2 - (j + /2) ( + 3)!/(6!) ; () ( 1 {L ( , )} 4 3 (j ) = ( W4 4 ) - (j + /2)( + 4) + j + /2 5 + (j + /2) ( + 3)( + 4)/2 - (j + /2) Ч ) ( ) 4 Ч ( + 4)!/ 6( + 1)! + (j + /2) ( + 4)!)/(24!) ; ( ) ( 1 {L ( , )} 5 4 (j ) = ( W5 5 ) - + (j + /2)( + 5) - j + /2 6
2 2 3

[6.10]

W

[1]{Lk k

()

( , )}

(j ) =
k s=0

=

1 j + /2

)s (k + )( - . k-s j + /2

- (j + /2) ( + 4)( + 5)/2 + (j + /2) Ч ( ) ( ) 4 Ч ( + 5)!/ 6( + 2)! - (j + /2) ( + 5)!/ 24( + 1)! + ) 5 + (j + /2) ( + 5)!/(120!) .

3

2

2

3

(0; 0) 4 3 2 2 1 0 0 -1 2 -2 0 ImWk (j ) а) 4 ReWk (j ) 1 -0, 5 1 0 ImWk (j ) б) 2 1, 5 ReWk (j ) 0, 5 (0; 0)

4

3

Рис. 6.4. Вид преобразования Фурье ортогональных функций Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) = 4, [0; 5]; б) [1; 5], = 1

[6.12]

W

[1]{Pk k

(-1/2,0)

( , )}

(j ) =

k (k)(k + s - 1/2) 1 (-1)s = . s s - 1/2 (4s + 1) /2 + j s=0


118

Аналитические представления в частотной области

[6.13]

W

[2]{Pk k

(-1/2,0)

( , )}

1 /2 + = (4k + k -1 Ч
s=0

(j ) =
(0; 0)

j 1 Ч 1) /2 + j (4s + 1) /2 - j , (4s + 1) /2 + j

,

если

k=0

;

k

если

k > 0.

4

3

2 ImWk (j ) -0, 5 0 0 1 ReWk (j )

1

Рис. 6.5. Вид преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = -1/2, = 0
(-1/2,0)

[6.14]

k Wk (j ( 2 cos exp -j 0 0 2 cos k Ч = (4k + 1) (( Ч exp -j k + 2

[3]{P

( , )}

) = ) , )) s ,

[6.15] если

k=0

;

W
k -1 s=0

[1]{Legk ( , )} k

(j ) =

k (k)(k + s) 1 (-1)s . s s (2s + 1) + j s=0

если

k > 0, 2 . (4k + 1)

[6.16]

k = arctan

k Wk (j ) = 1 , + j k -1 = (2s + 1) - j 1 , (2k + 1) + j (2s + 1) + j s=0

[2]{Leg ( , )}

если

k=0

;

если

k > 0.

[6.17]

Частные случаи для преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(-1/2,0) { P0 ( , )} 0 (-1/2,0) { P1 ( , )} 1 (-1/2,0) ( , )} { P2 2 (-1/2,0) ( , )} { P3 3

W W W W Ч

(j ) = (j ) = (j ) = (j ) =

1 ; /2 + j /2 - j ; ( /2 + j )(5 /2 + j ) ( /2 - j )(5 /2 - j ) ; ( /2 + j )(5 /2 + j )(9 /2 + j ) 1 ( /2 - j ) Ч (13 /2 + j ) ( /2 + j )

k Wk (j ) = ( 1 cos exp -j ), 0 0 1 cos k Ч = (2k + 1) (( ) k-1 ) Ч exp -j k + 2 s ,

[3]{Leg ( , )}

если

k=0

;

если

k>0

,

s=0

k = arctan
рядков:

. (2k + 1)

Частные случаи для преобразования Фурье функций 0-5 по-

W0

{Leg0 ( , )}

(j ) =

(5 /2 - j )(9 /2 - j ) ; (5 /2 + j )(9 /2 + j )
(-1/2,0) ( , )} { P4 4

W1

{Leg1 ( , )}

1 ; + j - j (j ) = ; ( + j )(3 + j ) (j ) = (j ) = (j ) = ( - j )(3 - j ) ; ( + j )(3 + j )(5 + j ) ( - j )(3 - j )(5 - j ) ; ( + j )(3 + j )(5 + j )(7 + j ) 1 ( - j )(3 - j ) Ч (9 + j ) ( + j )(3 + j )

W Ч

(j ) =

1 ( /2 - j ) Ч (17 /2 + j ) ( /2 + j )

W2

{Leg2 ( , )}

(5 /2 - j )(9 /2 - j ) (13 /2 - j ) ; (5 /2 + j )(9 /2 + j ) (13 /2 + j ) (-1/2,0) 1 ( /2 - j ) ( , )} {P (j ) = W5 5 Ч (21 /2 + j ) ( /2 + j ) (5 /2 - j )(9 /2 - j ) (13 /2 - j )(17 /2 - j ) . (5 /2 + j )(9 /2 + j ) (13 /2 + j )(17 /2 + j )

W3 W4 Ч

{Leg3 ( , )}

{Leg4 ( , )}

Ч

(5 - j )(7 - j ) ; (5 + j )(7 + j )


6.1 Преобразование Фурье ортогональных функций

119

W5 Ч

{Leg5 ( , )}

(j ) =

1 ( - j )(3 - j ) Ч (11 + j ) ( + j )(3 + j )

W W Ч

(1/2,0) { P2 ( , )} 2 (1/2,0) { P3 ( , )} 3

(j ) = (j ) =

(3 /2 - j )(7 /2 - j ) ; (3 /2 + j )(7 /2 + j )(11 /2 + j ) 1 (3 /2 - j ) Ч (15 /2 + j ) (3 /2 + j )

(5 - j )(7 - j )(9 - j ) . (5 + j )(7 + j )(9 + j )

(0; 0) k

(7 /2 - j )(11 /2 - j ) ; (7 /2 + j )(11 /2 + j )
(1/2,0) { P4 ( , )} 4

W Ч 4

(j ) =

(3 /2 - j ) 1 Ч (19 /2 + j ) (3 /2 + j ) j ) ; j ) (3 /2 - j ) Ч ) (3 /2 + j )

(7 /2 - j )(11 /2 - j ) (15 /2 - (7 /2 + j )(11 /2 + j ) (15 /2 + (1/2,0) 1 ( , )} {P W5 5 (j ) = (23 /2 + j

3

Ч

(7 /2 - j )(11 /2 - j ) (15 /2 - j )(19 /2 - j ) . (7 /2 + j )(11 /2 + j ) (15 /2 + j )(19 /2 + j )

2 (0; 0) 1 ImWk (j ) -0, 2 -0, 4 0, 5 ReWk (j ) k

0 0

4

Рис. 6.6. Вид преобразования Фурье ортогональных функций Лежандра 0-5 порядков; = 1, c = 2

3

2
[6.18]

W

[1]{Pk k

(1/2,0)

( , )}

(j ) =
1 ImWk (j ) -0, 1 -0, 2 -0, 3 ReWk (j )

k (k)(k + s + 1/2) 1 = (-1)s . s s + 1/2 (4s + 3) /2 + j s=0

0 -0, 2

0

0, 2

0, 4

[6.19]

W

[2]{ k

(1/2,0) Pk

(j ) = 1 , 3 /2 + j 1 Ч = (4k + 3) /2 + j k-1 (4s + 3) /2 - j Ч , (4s + 3) /2 + j s=0
( , )}

( , )}

Рис. 6.7. Вид преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 1/2, = 0
если

k=0

;

если

k > 0.
[6.21]

W

[1]{Pk k

(1,0)

( , )}

(j ) =

[6.20]

Wk (j ) = 2 cos exp(-j ), 0 0 3 2 cos k Ч = (4k + 3) ) (( k-1 ) Ч exp -j k + 2 s ,
s=0

[3]{

(1/2,0) Pk

=
если

k s=0

(k)(k + s + 1) 1 (-1)s . s s+1 (s + 1) + j

k=0

;

если

k > 0, 2 . (4k + 3)
[6.22]

k = arctan

Частные случаи для преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(1/2,0) ( , )} { P0

W0 W1

(j ) = (j ) =

1 ; 3 / 2 + j 3 /2 - j ; (3 /2 + j )(7 /2 + j )

(1/2,0) ( , )} { P1

k Wk (j ) = 1 , + j k -1 = (s + 1) - j 1 , (k + 1) + j (s + 1) + j s=0

[2]{P

(1,0)

( , )}

если

k=0 k>0

;

если

.


120

Аналитические представления в частотной области

[6.23]

k Wk (j ) = ( 1 cos exp -j ), 0 0 1 cos k Ч = (k + 1) (( ) k -1 ) Ч exp -j k + 2 s ,

[3]{P

(1,0)

( , )}

[6.25] если

k=0

;

k Wk (j ) = 1 , 3 + j k -1 = (2s + 3) - j 1 , (2k + 3) + j (2s + 3) + j s=0

[2]{P

(2,0)

( , )}

если

k=0

;

если

k > 0.

если

k > 0, . (k + 1)
[6.26]

s=0

k = arctan

Частные случаи для преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(1,0) { P0 ( , )} 0 (1,0) { P1 ( , )} 1 (1,0) ( , )} { P2 2 (1,0) { P3 ( , )} 3 (1,0) { P4 ( , )} 4

W W W W W Ч

(j ) = (j ) = (j ) = (j ) = (j ) =

1 ; + j - j ; ( + j )(2 + j ) ( - j )(2 - j ) ; ( + j )(2 + j )(3 + j ) ( - j )(2 - j )(3 - j ) ; ( + j )(2 + j )(3 + j )(4 + j ) 1 ( - j )(2 - j )(3 - j ) Ч (5 + j ) ( + j )(2 + j )(3 + j )

k (j ) = Wk 1 cos exp(-j ), 0 0 3 1 cos k Ч = (2k + 3) (( ) k -1 ) exp -j k + 2 s ,

[3]{P

(2,0)

( , )}

если

k=0

;

если

k>0

,

s=0

k = arctan

. (2k + 3)

Частные случаи для преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(2,0) { P0 ( , )} (2,0) { P1 ( , )}

W0

(j ) = (j ) = (j ) = (j ) = (j ) =

1 ; 3 + j 3 - j ; (3 + j )(5 + j ) (3 - j )(5 - j ) ; (3 + j )(5 + j )(7 + j ) 1 (3 - j )(5 - j ) (7 - j ) ; (9 + j ) (3 + j )(5 + j ) (7 + j ) 1 (3 - j )(5 - j ) Ч (11 + j ) (3 + j )(5 + j )

W1

(4 - j ) ; (4 + j )
(1,0) { P5 ( , )} 5

W2 (j ) = 1 ( - j ) (2 - j )(3 - j ) Ч (6 + j ) ( + j ) (2 + j )(3 + j ) W3 W4 Ч

(2,0) { P2 ( , )}

W

(2,0) { P3 ( , )}

(4 - j )(5 - j ) Ч . (4 + j )(5 + j )

(2,0) { P4 ( , )}

(7 - j )(9 - j ) ; (7 + j )(9 + j )
(2,0) { P5 ( , )}

(0; 0) k

W5 Ч

(j ) =

(3 - j )(5 - j ) 1 Ч (13 + j ) (3 + j )(5 + j )

4

(7 - j )(9 - j )(11 - j ) . (7 + j )(9 + j )(11 + j )

3 k

(0; 0)

2 ImWk (j ) 0 -0, 2 -0, 4 0, 5 ReWk (j )

1

4

0 0

3

Рис. 6.8. Вид преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 1, = 1, = 0

2 ImWk (j ) 0 0 -0, 1 -0, 1 0 0, 1 0, 2 ReWk (j )

1

[6.24]

W

[1]{Pk k

(2,0)

( , )}

(j ) =

=

k (k)(k + s + 2) 1 . (-1)s (2s + 3) + j s s+2 s=0

Рис. 6.9. Вид преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 2, = 0


6.1 Преобразование Фурье ортогональных функций

121

[6.27]

W =

[1]{Pk k

(,0)

( , )}

(j ) =

k s=0

(k)(k + s + ) 1 (-1)s . s s+ (2s + + 1)c /2 + j
(,0) Pk

Частные случаи для преобразования Фурье функций 0-5 порядков:

W W

(,0) { P0 ( , )} 0 (,0) { P1 ( , )} 1

(j ) =

1 ; ( + 1)c /2 + j ( + 1)c /2 + j

[6.28]

W

[2]{ k

(j ) = 1 , ( + 1)c /2 + j 1 Ч = (2k + + 1)c /2 + j k -1 (2s + + 1)c /2 - j Ч , (2s + + 1)c /2 + j s=0
(,0)

( , )}

W
если

(,0) {P2 ( , )} 2

k=0

;

( ( + 3)c /2 Ч( ( + 3)c /2 W
(,0) ( , )} {P3 3

если

k > 0.

( ( + 3)c /2 Ч( ( + 3)c /2 W
(,0) {P4 ( , )} 4

[6.29]

k Wk 2 ( + 1)c 2 = (2k + + ( Ч exp -j

[3]{P

( , )}

(j ) = ( ) cos 0 exp -j 0 ,

если

k=0

;

( ( + 3)c /2 Ч( ( + 3)c /2 W5
(,0) { P5 ( , )}

cos k Ч 1)c ) ( k-1 ) k + 2 s ,
s=0

если

k > 0,

2 k = arctan . (2k + + 1)c

( ( Ч( ( ( ( + ( ( +

+ 3)c /2 + 3)c /2 9)c /2 - 9)c /2 +

( + 1)c /2 - j )( ); ( + 3)c /2 + j ( ) ( + 1)c /2 - j 1 )( )Ч (j ) = ( ( + 5)c /2 + j ( + 1)c /2 + j ) - j ); + j ( ) ( + 1)c /2 - j 1 )( )Ч (j ) = ( ( + 7)c /2 + j ( + 1)c /2 + j )( ) - j ( + 5)c /2 - j )( ); + j ( + 5)c /2 + j ( ) ( + 1)c /2 - j 1 )( )Ч (j ) = ( ( + 9)c /2 + j ( + 7)c /2 + j )( )( ) - j ( + 5)c /2 - j ( + 7)c /2 - j )( )( ); + j ( + 5)c /2 + j ( + 7)c /2 + j ( ) ( + 1)c /2 - j 1 )( )Ч (j ) = ( ( + 11)c /2 + j ( + 1)c /2 + j )( )( ) - j ( + 5)c /2 - j ( + 7)c /2 - j )( )( )Ч + j ( + 5)c /2 + j ( + 7)c /2 + j ) j ). j (j ) = (

(0; 0) 4



(0; 0)

2 3 2 1 0 0 0, 1 0 ImWk (j ) а) -0, 1 ReWk (j ) 0, 1 1 -0, 1 0 ImWk (j ) 0, 1 0 -0, 1 ReWk (j )

б)

Рис. 6.10. Вид преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 1, c = 2, [0; 5], = 0; б) [1; 3, 5], c = 2 , = 1, = 0
k (k)(k + s + 1) Ч s s s=0

[6.31]

W

[2]{Pk k

(0,1)

( , )}

(j ) =

Ч (-1)
[6.30]

s

( ) cos s exp -j s (2s + 1)

,

k = arctan

. (2k + 1)

W

[1]{Pk k

(0,1)

( , )}

(j ) =
Частные случаи для преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(0,1) ( , )} { P0 0

k (k)(k + s + 1) 1 . (-1)s = (2s + 1) + j s s s=0

W

(j ) =

1 ; + j


122

Аналитические представления в частотной области

W W W W -

(0,1) { P1 ( , )} 1 (0,1) { P2 ( , )} 2 (0,1) { P3 ( , )} 3 (0,1) { P4 ( , )} 4

(j ) = (j ) = (j ) = (j ) =

1 3 - ; + j 3 + j 8 10 1 - + ; + j 3 + j 5 + j 1 15 45 35 - + - ; + j 3 + j 5 + j 7 + j 1 24 126 - + - + j 3 + j 5 + j

W4 -

(0,2) { P4 ( , )}

(j ) =

1 28 168 - + - + j 3 + j 5 + j

336 210 + ; 7 + j 9 + j
(0,2) { P5 ( , )}

40 360 1 - + - + j 3 + j 5 + j 1200 1650 792 - + - . 7 + j 9 + j 11 + j W5 (j ) =

224 126 + ; 7 + j 9 + j
(0,1) ( , )} { P5 5

1 35 280 - + - + j 3 + j 5 + j 840 1050 462 - + - . 7 + j 9 + j 11 + j W (j ) =

(0; 0) k

4 (0; 0) 3 k 2 4 1 3 0 -0, 5 2 ImWk (j ) 0 -0, 2 0 0 0, 5 -0, 4 ReWk (j )
[6.34]

ImWk (j ) 0, 2 0 -0, 2 -0, 4 0, 5 ReWk (j )

0

Рис. 6.12. Вид преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 0, = 2

1

W

[1]{Pk k

(0, )

( , )}

(j ) =

Рис. 6.11. Вид преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 0, = 1

k (k)(k + s + ) 1 . = (-1)s s s (2s + 1)c /2 + j s=0
(0, )

[6.32]

W

[1]{P k

(0,2) k

( , )}

[6.35]

W

[2]{Pk k

( , )}

(j ) =

(j ) = Ч(-1)
s

=

k s=0

(k)(k + s + 2) 1 (-1)s . s s (2s + 1) + j

( ) cos s exp -j s (2s + 1)c /2

k (k)(k + s + ) Ч s s s=0

,

k = arctan

2 . (2k + 1)c

Частные случаи для преобразования Фурье функций 0-5 порядков:

[6.33]

k (k)(k + s + 2) W (j ) = Ч s s s=0 ( ) cos s exp -j s , k = arctan . Ч (-1)s (2s + 1) (2k + 1) [2]{Pk k
(0,2)

( , )}

W0 W1 W2 +

(0, ) { P0 ( , )}

(j ) = (j ) = (j ) =

1 ; c /2 + j 1 +2 - ; c /2 + j 3c /2 + j 1 2( + 3) - + c /2 + j 3c /2 + j

(0, ) ( , )} { P1

(0, ) ( , )} { P2

Частные случаи для преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(0,2) ( , )} { P0 0 (0,2) ( , )} { P1 1 (0,2) ( , )} { P2 2 (0,2) ( , )} { P3 3

W W W W

(j ) = (j ) = (j ) = (j ) =

1 ; + j 1 4 - ; + j 3 + j 1 10 15 - + ; + j 3 + j 5 + j 1 18 63 56 - + - ; + j 3 + j 5 + j 7 + j

( + 3)( + 4)/2 ; 5c /2 + j
(0, ) ( , )} { P3

W3 +

(j ) =

1 3( + 4) - + c /2 + j 3c /2 + j

3( + 4)( + 5)/2 ( + 4)( + 5)( + 6)/6 - ; 5c /2 + j 7c /2 + j (0, ) 1 4( + 5) ( , )} {P (j ) = W4 4 - + c /2 + j 3c /2 + j 3( + 5)( + 6) 2( + 5)( + 6)( + 7)/3 - + 5c /2 + j 7c /2 + j

+


6.2 Преобразование Фурье ортогональных фильтров

123

+

( + 8)! ; 24( + 4)!(9c /2 + j )
(0, ) { P5 ( , )}

W5

(j ) =

5( + 6) 1 - + c /2 + j 3c /2 + j

5( + 6)( + 7) 5( + 6)( + 7)( + 8)/3 - + 5c /2 + j 7c /2 + j ( + 10)! 5( + 9)! - . + 24( + 5)!(9c /2 + j ) 120( + 5)!(11c /2 + j ) +



(0; 0)

(0; 0)

4

3 2 2 1 0 0 -0, 5 -1 0 ImWk (j ) 1 ReWk (j ) 2 1 0 0, 1 0, 2 ReWk (j ) ImWk (j ) -0, 1 0

а)

б)

Рис. 6.13. Вид преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 1, c = 2, = 0, [0; 5]; б) [1; 3, 5], c = 2 , = 0, = 1

6.2

Преобразование Фурье ортогональных фильтров
k

(0; 0)

[6.36]

Vk

[1]{Lk ( , )}

(j ) = - s j + /2 ) - /2 k . + /2 )( )
s

[6.37]

V

[2]{Lk ( , )} k

k ( k j + /2 s=0 k - ( j (j ) = j + /2 j

4

=

.
3

2 ImVk (j ) 1 0 -1 -1 0 1 ReVk (j )

[6.38]

[3]{Lk ( , )} Vk

(j ) = 2(-1) cos Ч
k

Ч exp(-j (2k + 1)),
рядков:

2 = arctan .

1

Частные случаи для преобразования Фурье фильтров 0-5 по-

0 -2

V0 V1

{L0 ( , )}

(j ) =

; j + /2

{L1 ( , )}

V2 V3 V4 V5

{L2 ( , )}

{L3 ( , )}

{L4 ( , )}

{L5 ( , )}

(j - /2) (j ) = ( ); j + /2 2 ( ) j - /2 2 (j ) = ( )3 j + /2 ( ) j - /2 3 (j ) = ( )4 j + /2 ( ) j - /2 4 (j ) = ( )5 j + /2 ( ) j - /2 5 (j ) = ( )6 j + /2

Рис. 6.14. Вид преобразования Фурье ортогональных фильтров Лагерра 0-5 порядков; = 4

;
[6.39]

Vk

[1]{Lk ( , )}

(1)

(j ) =

;

=
;
(1)

)s k ( k )( - 2 . (j + /2)2 s=0 k - s j + /2 2 (j ) = ( )2 j + /2 ( j - /2 j + /2 )
k

.

[6.40]

Vk

[2]{Lk ( , )}

.


124

Аналитические представления в частотной области

[6.41]

Vk

[3]{Lk ( , )}

(1)

(j ) = 4(-1)k (cos )2 Ч = arctan 2 .

V1 V2 V3

(2) {L1 ( , )}

Ч exp(-j (2k + 2)),
рядков:

(2) {L2 ( , )}

Частные случаи для преобразования Фурье фильтров 0-5 по(1) {L0 ( , )} 0 (1) {L1 ( , )} 1 (1) {L2 ( , )} 2 (1) {L3 ( , )} 3 (1) {L4 ( , )} 4 (1) {L5 ( , )} 5

(2) {L3 ( , )}

V

(j ) = ( (j ) =



2

j + /2

)2 ;

V

V

(j ) =

V

(j ) =

V

(j ) =

V

(j ) =

2 (j - /2) ( ); j + /2 3 ( ) 2 j - /2 2 ( )4 j + /2 ( ) 2 j - /2 3 ( )5 j + /2 ( ) 2 j - /2 4 ( )6 j + /2 ( ) 2 j - /2 5 ( )7 j + /2

V4 V5
;

(2) {L4 ( , )}

(2) {L5 ( , )}

3 (j - /2) (j ) = ( ); j + /2 4 ( ) 3 j - /2 2 (j ) = ( )5 j + /2 ( ) 3 j - /2 3 (j ) = ( )6 j + /2 ( ) 3 j - /2 4 (j ) = ( )7 j + /2 ( ) 3 j - /2 5 (j ) = ( )8 j + /2

;

;

;

.

;

(0; 0)
;

k

.

4

3 (0; 0) k 1 4 0 3 -5 0 5 0 -5 ReVk (j ) ImVk (j ) 5

2

2 ImVk (j ) 2 0 -2 -2 0 2 ReVk (j )

Рис. 6.16. Вид преобразования Фурье ортогональных фильтров Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 4, = 2

1

[6.45]

V

[1]{Lk k

()

( , )}

(j ) = )s k ( k )( - . k-s j + /2 s=0

0 -4

=

+1 (j + /2)

+1

Рис. 6.15. Вид преобразования Фурье ортогональных фильтров Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 4, = 1
[6.46]

V

[2]{Lk k

()

( , )}

[6.42]

Vk

[1]{L

(2) k

( , )}

(j ) =

=
(2)

)s k ( k )( 3 - . 3 (j + /2) s=0 k - s j + /2 (j ) = ( )3 j + /2
3

(j ) = ( )+1 ( ) j - /2 k = . j + /2 j + /2

[6.43]

[2]{Lk ( , )} Vk

(

j - /2 j + /2

)

[6.47]

V

k

[3]{Lk k

()

( , )}

(j ) = (-1)k (2 cos )+1 Ч = arctan 2 .

.

Ч exp(-j (2k + + 1)),

[6.44]

Vk

[3]{Lk ( , )}

(2)

(j ) = 8(-1)k (cos )3 Ч 2 . = arctan

Частные случаи для преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:

Ч exp(-j (2k + 3)),
рядков:

V0 V1 V2

() {L0 ( , )}

(j ) = (



+1

j + /2

)

+1

;

Частные случаи для преобразования Фурье фильтров 0-5 по(2) {L0 ( , )} 0

() {L1 ( , )}

V

(j ) = (



3

j + /2

)3 ;

() {L2 ( , )}

+1 (j - /2) (j ) = ( ; ) j + /2 +2 ( )2 +1 j - /2 (j ) = ( ; ) j + /2 +3


6.2 Преобразование Фурье ортогональных фильтров

125

V3

( ) {L3 ( , )}

(j ) =

V4

( ) {L4 ( , )}

) j - /2 3 )+4 ; j + /2 ( ) +1 j - /2 4 (j ) = ( )+5 ; j + /2
+1

(

(

V

( ) {L5 ( , )} 5

(j ) =



+1

(

) j - /2 5 )+6 . j + /2

(



(0; 0)



(0; 0)

3 3 2 2 1 ReVk (j ) -20 0 -10 0 20 ImVk (j ) а) =1
(-1/2,0) { P2 ( , )} 2 (-1/2,0) { P3 ( , )} 3

1 -2 0 ImVk (j ) б) 2 4

ReVk (j ) 0

0

Рис. 6.17. Вид преобразования Фурье ортогональных фильтров Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) = 4, [0; 4]; б) [1; 4],

V
[6.48]

(j ) = (j ) =

Vk

[1]{Pk

(-1/2,0)

9 ( /2 - j )(5 /2 - j ) ; ( /2 + j )(5 /2 + j )(9 /2 + j ) 13 ( /2 - j ) Ч (13 /2 + j ) ( /2 + j )

( , )}

(j ) = (4k + 1) Ч

V Ч V

Ч

k s=0

(k)(k + s - 1/2) 1 . (-1)s s s - 1/2 (4s + 1) /2 + j
( , )}

(5 /2 - j )(9 /2 - j ) ; (5 /2 + j )(9 /2 + j )
(-1/2,0) { P4 ( , )} 4

[6.49]

Vk

[2]{P

(-1/2,0) k

(j ) =

17 ( /2 - j ) Ч (17 /2 + j ) ( /2 + j )

(j ) = , /2 + j (4k + 1) Ч = (4k + 1) /2 + j k-1 (4s + 1) /2 - j Ч , (4s + 1) /2 + j s=0
( , )}

Ч
если

k=0

;

(5 /2 - j )(9 /2 - j ) (13 /2 - j ) ; (5 /2 + j )(9 /2 + j ) (13 /2 + j ) (-1/2,0) 21 ( /2 - j ) { P5 ( , )} V5 (j ) = Ч (21 /2 + j ) ( /2 + j ) (5 /2 - j )(9 /2 - j ) (13 /2 - j )(17 /2 - j ) . (5 /2 + j )(9 /2 + j ) (13 /2 + j )(17 /2 + j )

Ч
если

k > 0.

[6.50]

k Vk ( 2 cos 0 exp -j 2 cos k Ч (( = exp -j k +

[3]{P

(-1/2,0)



(j ) = ) 0,
k-1 s=0

если

k=0

;

))
s

2

,

если

k>0

,

k = arctan
рядков:

2 . (4k + 1)

Частные случаи для преобразования Фурье фильтров 0-5 по(-1/2,0) ( , )} {P0 (-1/2,0) ( , )} {P1

V0 V1

(j ) = (j ) =

; /2 + j 5 ( /2 - j ) ; ( /2 + j )(5 /2 + j )


126

Аналитические представления в частотной области

Ч (0; 0) k k 4 4

(7 - j )(9 - j ) . (7 + j )(9 + j )

(0; 0)

3

2 ImWk (j ) 1 0 -1 -1 0 1 ReWk (j )

3

1

2 ImWk (j ) 1 0 -1 -1 0 1 ReWk (j )

0

1

Рис. 6.18. Вид преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = -1/2, = 0

0

Рис. 6.19. Вид преобразования Фурье ортогональных фильтров Лежандра 0-5 порядков; = 1, c = 2
[6.51]

Vk

[1]{Legk ( , )}

(j ) = 2(2k + 1) Ч (k)(k + s) 1 (-1)s . s s (2s + 1) + j
[6.54]

Ч

k s=0

V

[1]{Pk k

(1/2,0)

( , )}

(j ) = (4k + 3) Ч

[6.52]

k Vk (j ) = 2 , + j k-1 = (2s + 1) - j 2(2k + 1) , (2k + 1) + j (2s + 1) + j s=0

[2]{Leg ( , )}

Ч
если

k s=0

(k)(k + s + 1/2) 1 (-1)s . s s + 1/ 2 (4s + 3) /2 + j
( , )}

k=0 k>0

; [6.55]

V

[2]{Pk k

(1/2,0)

если

.

[6.53]

k Vk (j ) = ( ) 2 cos 0 exp -j 0 , 2 cos k Ч (( ) = k -1 ) Ч exp -j k + 2 s ,

[3]{Leg ( , )}

если

k=0

;

(j ) = 3 3 /2 + j , (4k + 3) = (4k + 3) /2 + j Ч k-1 (4s + 3) /2 - j , Ч (4s + 3) /2 + j s=0
( , )}

если

k=0

;

если

k>0

.

если

k > 0,
[6.56]

s=0

k = arctan
рядков:

. (2k + 1)

Частные случаи для преобразования Фурье фильтров 0-5 по-

V V V V V Ч V

{Leg0 ( , )} 0 {Leg1 ( , )} 1 {Leg2 ( , )} 2 {Leg3 ( , )} 3 {Leg4 ( , )} 4

(j ) = (j ) = (j ) =

2 ; + j 6 ( - j ) ; ( + j )(3 + j ) 10 ( - j )(3 - j ) ; ( + j )(3 + j )(5 + j )

k Vk (j ) = ( ) 2 cos 0 exp -j 0 , 2 cos k Ч (( ) = k-1 ) Ч exp -j k + 2 s ,

[3]{P

(1/2,0)

если

k=0

;

если

k>0

,

s=0

k = arctan
рядков:

2 . (4k + 3)

Частные случаи для преобразования Фурье фильтров 0-5 по(1/2,0) ( , )} { P0

14 ( - j )(3 - j )(5 - j ) ; (j ) = ( + j )(3 + j )(5 + j )(7 + j ) (j ) = 18 ( - j )(3 - j )(5 - j ) Ч (9 + j ) ( + j )(3 + j )(5 + j )

V0

(j ) = (j ) = (j ) = (j ) =

3 ; 3 /2 + j 7 (3 /2 - j ) ; (3 /2 + j )(7 /2 + j ) 11 (3 /2 - j )(7 /2 - j ) ; (3 /2 + j )(7 /2 + j )(11 /2 + j ) 15 (3 /2 - j ) Ч (15 /2 + j ) (3 /2 + j )

V1 V2

(1/2,0) ( , )} { P1

(7 - j ) ; (7 + j )
{Leg5 ( , )} 5

(1/2,0) ( , )} { P2

(j ) =

( - j ) (3 - j )(5 - j ) 22 Ч (11 + j ) ( + j ) (3 + j )(5 + j )

V3

(1/2,0) ( , )} { P3


6.2 Преобразование Фурье ортогональных фильтров

127

Ч

(7 /2 - j )(11 /2 - j ) ; (7 /2 + j )(11 /2 + j )
(1/2,0) {P4 ( , )}

V V V V Ч V

(1,0) { P1 ( , )} 1 (1,0) { P2 ( , )} 2 (1,0) { P3 ( , )} 3 (1,0) { P4 ( , )} 4

(j ) = (j ) = (j ) = (j ) =

V4 Ч

(j ) =

(3 /2 - j ) 19 Ч (19 /2 + j ) (3 /2 + j )

4 ( - j ) ; ( + j )(2 + j ) 6 ( - j )(2 - j ) ; ( + j )(2 + j )(3 + j ) 8 ( - j )(2 - j )(3 - j ) ; ( + j )(2 + j )(3 + j )(4 + j ) ( - j )(2 - j )(3 - j ) 10 Ч (5 + j ) ( + j )(2 + j )(3 + j )

(7 /2 - j )(11 /2 - j ) (15 /2 - j ) ; (7 /2 + j )(11 /2 + j ) (15 /2 + j ) (1/2,0) 23 (3 /2 - j ) {P ( , )} V5 5 (j ) = Ч (23 /2 + j ) (3 /2 + j )

(7 /2 - j )(11 /2 - j ) (15 /2 - j )(19 /2 - j ) . Ч (7 /2 + j )(11 /2 + j ) (15 /2 + j )(19 /2 + j )

(4 - j ) ; (4 + j )
(1,0) ( , )} { P5 5

(j ) =

(0; 0) k Ч

12 ( - j ) (2 - j )(3 - j ) Ч (6 + j ) ( + j ) (2 + j )(3 + j )

(4 - j )(5 - j ) . (4 + j )(5 + j )

4 k

(0; 0)

3

2 ImWk (j ) 1 0 -1 -1 0 1 ReWk (j )

4

1

3

0

2 ImWk (j ) 1 0 -1 -1 0 1 ReWk (j )

Рис. 6.20. Вид преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 1/2, = 0

1

0
[1]{Pk Vk
(1,0)

[6.57]

( , )}

(j ) = 2(k + 1) Ч

Ч

k (k)(k + s + 1) 1 . (-1)s (s + 1) + j s s+1 s=0

Рис. 6.21. Вид преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 1, = 1, = 0

[6.60] [6.58]

(j ) = 2 , + j k-1 = (s + 1) - j 2(k + 1) , (k + 1) + j (s + 1) + j s=0
[3]{P
(1,0) k

[2]{Pk Vk

(1,0)

( , )}

Vk

[1]{Pk

(2,0)

( , )}

(j ) = 2(2k + 3) Ч

Ч
если

k s=0

k=0

;

(k)(k + s + 2) 1 . (-1)s s s+2 (2s + 3) + j

если

k > 0.

[6.61]

[6.59]

Vk (j ) = ( ) 2 cos 0 exp -j 0 , 2 cos k Ч (( ) = k-1 ) Ч exp -j k + 2 s ,
s=0

( , )}

если

k=0

;

k Vk (j ) = 6 , 3 + j k-1 = (2s + 3) - j 2(2k + 3) , (2k + 3) + j (2s + 3) + j s=0

[2]{P

(2,0)

( , )}

если

k=0 k>0

;

если

.

[6.62] если

k > 0,

. k = arctan (k + 1)
Частные случаи для преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:
(1,0) ( , )} {P0

k Vk (j ) = ( ) 2 cos 0 exp -j 0 , 2 cos k Ч (( ) = k -1 ) Ч exp -j k + 2 s ,

[3]{P

(2,0)

( , )}

если

k=0

;

если

k > 0, . (2k + 3)

s=0

V0

(j ) =

2 ; + j

k = arctan


128

Аналитические представления в частотной области

Частные случаи для преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:
(2,0) { P0 ( , )} 0 (2,0) { P1 ( , )} 1 (2,0) { P2 ( , )} 2 (2,0) ( , )} { P3 3

[6.64]

V

[2]{Pk k

(,0)

V V V V

(j ) = (j ) = (j ) = (j ) =

6 ; 3 + j 10 (3 - j ) ; (3 + j )(5 + j ) 14 (3 - j )(5 - j ) ; (3 + j )(5 + j )(7 + j ) (3 - j )(5 - j ) 18 Ч (9 + j ) (3 + j )(5 + j )

(j ) = ( + 1)c , ( + 1)c /2 + j (2k + + 1)c = (2k + + 1)c /2 + j Ч k -1 (2s + + 1)c /2 - j Ч , (2s + + 1)c /2 + j s=0
(,0)

( , )}

если

k=0

;

если

k>0

.

(7 - j ) Ч ; (7 + j ) V Ч V Ч
(2,0) { P4 ( , )} 4

[6.65]

22 (3 - j )(5 - j ) Ч (j ) = (11 + j ) (3 + j )(5 + j )

(7 - j )(9 - j ) ; (7 + j )(9 + j )
(2,0) { P5 ( , )} 5

k Vk (j ) = ( ) 2 cos 0 exp -j 0 , 2 cos k Ч (( ) = k-1 ) Ч exp -j k + 2 s ,

[3]{P

( , )}

если

k=0

;

если

k>0

,

s=0

(j ) =

26 (3 - j )(5 - j ) Ч (13 + j ) (3 + j )(5 + j )

k = arctan

2 . (2k + + 1)c

(7 - j )(9 - j )(11 - j ) . (7 + j )(9 + j )(11 + j )

Частные случаи для преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:

(0; 0) k

4

3

2 ImWk (j ) 1 0 -1 -1 0 1 ReWk (j )

1

0

Рис. 6.22. Вид преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 2, = 0

[6.63]

Vk

[1]{Pk

(,0)

( , )}

(j ) = (2k + + 1)c Ч

( + 1)c ; ( + 1)c /2 + j ( ) (,0) ( + 3)c ( + 1)c /2 - j {P ( , )} )( ); V1 1 (j ) = ( ( + 1)c /2 + j ( + 3)c /2 + j ( ) (,0) ( + 1)c /2 - j ( + 5)c {P ( , )} )( )Ч V2 2 (j ) = ( ( + 5)c /2 + j ( + 1)c /2 + j ( ) ( + 3)c /2 - j ); Ч( ( + 3)c /2 + j ( ) (,0) ( + 1)c /2 - j ( + 7)c {P ( , )} )( )Ч V3 3 (j ) = ( ( + 7)c /2 + j ( + 1)c /2 + j ( )( ) ( + 3)c /2 - j ( + 5)c /2 - j )( ); Ч( ( + 3)c /2 + j ( + 5)c /2 + j ( ) (,0) ( + 1)c /2 - j ( + 9)c {P ( , )} )( )Ч V4 4 (j ) = ( ( + 9)c /2 + j ( + 7)c /2 + j ) ( )( )( ( + 3)c /2 - j ( + 5)c /2 - j ( + 7)c /2 - j )( )( ); Ч( ( + 3)c /2 + j ( + 5)c /2 + j ( + 7)c /2 + j (,0) ( + 11)c {P ( , )} )Ч V5 5 (j ) = ( ( + 11)c /2 + j ( )( )( ) ( + 1)c /2 - j ( + 3)c /2 - j ( + 5)c /2 - j )( )( )Ч Ч( ( + 3)c /2 + j ( + 3)c /2 + j ( + 5)c /2 + j ( )( ) ( + 7)c /2 - j ( + 9)c /2 - j )( ). Ч( ( + 7)c /2 + j ( + 9)c /2 + j V0 (j ) =

(,0) { P0 ( , )}

k (k)(k + s + ) 1 (-1)s Ч . s s+ (2s + + 1)c /2 + j s=0


6.2 Преобразование Фурье ортогональных фильтров

129

(0; 0) (0; 0)

3 2 2

1 1 0 0 -1 0 1 -1 ImWk (j )

ReWk (j )

1 -1 0 1 ImVk (j ) б) 2 0 1 ReVk (j )

а)

Рис. 6.23. Вид преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 2-ого порядка: а) = 1, c = 2, [0; 4], = 0; б) [1; 3, 5], c = 2, = 1, = 0

V
[6.66]

(0,1) { P2 ( , )} 2 (0,1) { P3 ( , )} 3

(j ) = (j ) =

Vk

[1]{Pk

(0,1)

( , )}

(j ) =

8 2 (k + 1)2 Ч (2k + 3) + j

72 2 ( - j ) (3 - j ) ; (5 + j )(7 + j ) ( + j ) (3 + j ) ( - j ) 128 2 Ч (7 + j )(9 + j ) ( + j )

V Ч V

Ч
(0,1)

k (k)(k + s) 1 (-1)s . s s (2s + 1) + j s=0

(3 - j )(5 - j ) ; (3 + j )(5 + j )
(0,1) { P4 ( , )} 4

(j ) =

[6.67]

Vk =

[2]{Pk

( , )} 2

200 2 ( - j ) Ч (9 + j )(11 + j ) ( + j )

(j ) =
если

Ч

8 , ( + j )(3 + j ) 8(k + 1)2 2 ( )( )Ч (2k + 1) + j (2k + 3) + j k -1 (2s + 1) - j , Ч (2s + 1) + j s=0
(0,1)

k=0

;

(3 - j )(5 - j )(7 - j ) ; (3 + j )(5 + j )(7 + j ) (0,1) 288 2 ( - j ) { P5 ( , )} V5 (j ) = Ч (11 + j )(13 + j ) ( + j ) (3 - j )(5 - j )(7 - j )(9 - j ) . (3 + j )(5 + j )(7 + j )(9 + j )

Ч
если

k>0

.

(0; 0)
[6.68]

(j ) = 2 cos [0] cos [1] /3Ч 8(k + 1) 0 0 Ч exp(-j ([0] + [1] )), 0 0 8(k + 1)2 cos [0] cos [1] k k Ч (2k + 1)(2k + 3) (( = Ч exp -j [0] + [1] + k k ) k-1 [0] ) s , +2
s=0

[3]{Pk Vk

( , )}

k

если

k=0

;

4

3

2
если

k > 0,
1

k = arctan
рядков:
(0,1) ( , )} {P V0 0 (0,1) ( , )} {P1

[0]

(2k + 1)

;



[1] k

= arctan

. (2k + 3)

ImWk (j ) 1 0 -1 -1 0 1 ReWk (j )

0

Частные случаи для преобразования Фурье фильтров 0-5 по-

8 (j ) = ; ( + j )(3 + j ) (j ) = 32 2 ( - j ) ; (3 + j )(5 + j ) ( + j )

2

Рис. 6.24. Вид преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 0, = 1

V1


130

Аналитические представления в частотной области

[6.69]

Vk

[1]{Pk

(0,2)

( , )}

(j ) =
(0; 0) k

8(2k + 3)(k + 1)(k + 2) 3 )( )Ч =( (2k + 3) + j (2k + 5) + j Ч
k (k)(k + s) 1 (-1)s . s s (2s + 1) + j s=0

4

[6.70]

k Vk (j ) = 48 3 ( + j )(3 + j )(5 + j ) , 8(2k + 3) 3 ( )( )Ч (2k + 1) + j (2k + 3) + j = Ч ( (k + 1)(k + 2) ) Ч (2k + 5) + j k-1 (2s + 1) - j , Ч (2s + 1) + j s=0

[2]{P

(0,2)

( , )}

3
если

k=0

;

2 ImWk (j ) 1 0 -1 0 2 ReWk (j )

1

если

k > 0.

0 -2

Рис. 6.25. Вид преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 0, = 2

[6.71]

k Vk (j ) = [0] 16 cos 0 cos [1] cos [2] /5Ч 0 0 Ч exp(-j ([0] + [1] + [2] )), 0 0 0 8(k + 1)(k + 2) cos [0] cos [1] k k Ч (2k + ( k + 5) 1)(2 ( = Ч cos [2] exp -j [0] + [1] + k k k )) k-1 [0] +[2] + 2 s , k

[3]{P

(0,2)

( , )}

[6.72] если

V =

k=0

;

[1]{Pk ( , )} (j k (c ) +1 (2k +

(0, )

) = + 1)(k + )! Ч

k!

p=1

( ) (2k + 2p + 1)c /2 + j

Ч
если

k > 0,
[6.73]

k (k)(k + s) 1 (-1)s . s s (2s + 1)c /2 + j s=0 ( , )}

s=0

k = arctan

[0]

(2k + 1)

;



[1] k

= arctan

k

[2]

; (2k + 3) = arctan . (2k + 5)

Частные случаи для преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:
(0,2) { P0 ( , )} 0 (0,2) { P1 ( , )} 1 (0,2) { P2 ( , )} 2

V V V

(j ) = (j ) = (j ) =

48 3 ; ( + j )(3 + j )(5 + j ) 240 3 ( - j ) ; (3 + j )(5 + j )(7 + j ) ( + j ) 672 3 ( - j ) Ч (5 + j )(7 + j )(9 + j ) ( + j )
[6.74]

Vk =

[2]{Pk

(0, )

(j ) = ( + 1)! ), 1)c /2 + j + + 1)(k + )!
если



p=0 (2p + (c ) +1 (2k

(c (

) +1

k=0

;

( ) k! (2k + 2p + 1)c /2 + j p=0 k -1 s=0

Ч

Ч

(2s + 1)c /2 - j , (2s + 1)c /2 + j
( , )}

если

k>0

.

(3 - j ) Ч ; (3 + j ) V
(0,2) ( , )} { P3 3

(j ) =

1440 3 Ч (7 + j )(9 + j )(11 + j )

( - j )(3 - j )(5 - j ) Ч ; ( + j )(3 + j )(5 + j ) V Ч
(0,2) ( , )} { P4 4

2640 3 (j ) = Ч (9 + j )(11 + j )(13 + j )

( - j )(3 - j )(5 - j )(7 - j ) ; ( + j )(3 + j )(5 + j )(7 + j ) (0,2) 4368 3 ( , )} {P (j ) = V5 5 Ч (11 + j )(13 + j )(15 + j ) ( - j )(3 - j )(5 - j )(7 - j )(9 - j ) . ( + j )(3 + j )(5 + j )(7 + j )(9 + j )

Vk =

[3]{Pk

(0, )

(j ) =
[p]

cos 0 ( + 1)! =0 Ч p 2) + 1 p ( [ p] Ч exp -j =0 0 , p 2
+1

если

k=0

;

2

(2k + + 1)(k + )!/k!Ч cos [p] k Ч Ч 2k + 2p + 1 p=0 ) ( ( k -1 [0] ) [p] s , k + 2 Ч exp -j
+1 p=0 s=0

если

k>0

,

Ч



[p] k

= arctan

2 (2k + 2p + 1)c

;



Z

.


6.3 Преобразование Фурье производных ортогональных функций

131

Частные случаи для преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:

V

(0, ) { P3 ( , )} 3

(j ) = 6

(c )


+1

V0

(0, ) {P0 ( , )}

(j ) =

(c )


+1

(

( + 1)! )

( + 7)( + 3)! (c /2 - j ) Ч ) (c /2 + j ) (2p + 7)c /2 + j

(

;

p=0

(2p + 1)c /2 + j
+1

p=0 (0, ) {P ( , )} V1 1

(j ) =

(c )
( p=0

( + 3)( + 1)! (c /2 - j ) ; ) (c /2 + j ) (2p + 3)c /2 + j
+1

(3c /2 - j )(5c /2 - j ) Ч ; (3c /2 + j )(5c /2 + j ) (0, ) (c ) +1 ( + 9)( + 4)! (c /2 - j ) {P ( , )} V4 4 Ч (j ) = ( ) (c /2 + j ) (2p + 9)c /2 + j 24
p=0

(0, ) {P ( , )} V2 2

( + 5)( + 2)! (c /2 - j ) (j ) = Ч ( ) (c /2 + j ) 2 (2p + 5)c /2 + j (c )
p=0

(3c /2 - j ) ; Ч (3c /2 + j )

(3c /2 - j )(5c /2 - j )(7c /2 - j ) Ч ; (3c /2 + j )(5c /2 + j )(7c /2 + j ) (0, ) (c ) +1 ( + 11)( + 5)! (c /2 - j ) {P5 ( , )} Ч V5 (j ) = ( ) (c /2 + j ) 120 (2p + 11)c /2 + j
p=0

(3c /2 - j )(5c /2 - j )(7c /2 - j )(9c /2 - j ) Ч . (3c /2 + j )(5c /2 + j )(7c /2 + j )(9c /2 + j )

(0; 0) (0; 0)

3 2 2

1 1 0 0 1 0 -1 -1 ImWk (j )

ReWk (j )

1 -1 0 1 ImVk (j )

1

а)

-1 ReVk (j ) б)

0

Рис. 6.26. Вид преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 2-ого порядка: а) = 1, c = 2, = 0, [0; 5]; б) [1; 3, 5], c = 2, = 0, = 1

6.3

Преобразование Фурье производных ортогональных функций
[1] k

Частные случаи для преобразования Фурье производных функций 0-5 порядков:

{ {

W W

L0 ( , )

} } } } } }

0 L1 ( , )

(j ) = -

/2 ; j + /2 - 1;
2

1

{

[6.75]

W

Lk ( , )

} (j ) =
k =0

{ W
2

L2 ( , )

=
[2] k

{

[6.76]

W

Lk (

j j + /2 s } , ) (j ) = }

)s ( k )( - - 1. k-s j + /2 ( j - /2 j + /2 )
k

{ W
3

L3 ( , )

{

j j + /2

- 1.

W

L4 ( , )

4

[6.77]

W

[3] k

{

{ W
5

L5 ( , )

Lk ( , )

(j ) = (-1)k j sin Ч = arctan 2 .

j (j - /2) (j ) = ( ) j + /2 2 ( ) j j - /2 (j ) = ( )3 j + /2 ( ) j j - /2 (j ) = ( )4 j + /2 ( ) j j - /2 (j ) = ( )5 j + /2 ( ) j j - /2 (j ) = ( )6 j + /2

- 1;
3

- 1;
4

- 1;
5

- 1.

Ч exp(-j (2k + 1)) - 1,


132

Аналитические представления в частотной области

(-1; 0) k k (-1; 0) 4

4

3

3

2 ImWk (j ) 0, 5 0 -0, 5 -1, 5 -1 -0, 5 ReWk (j )
Рис. 6.27. Вид преобразования Фурье производных ортогональных функций Лагерра 0-5 порядков; = 1

2 ImWk (j ) 3 2 0 -6 -4 -2 ReWk (j ) 0 1

1

1

0

Рис. 6.28. Вид преобразования Фурье производных ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 1, = 1

[6.78]

W

)s k (k + 1)( - j = - (k + 1). j + /2 s=0 k - s j + /2 {
(1) ( , ) k

[1] k

{

L

(1) ( , ) k

} (j ) =
[6.81]

W =

[1] k

{

(2) L ( , ) k

}

j j + /2 {

k s=0

(j ) = )s (k + 2)( - (k + 1)(k + 2) . - k-s j + /2 2

[6.79]

W

[2] k

L

}
+1

(j ) = ( ( ) j - /2 k j 1- = j + /2 }

) - (k + 1).

[6.82]

} j W (j ) = 2 Ч ) ] [(( )k+1 ( ) j - /2 - 1 j - /2 + (k + 1) - Ч j + /2
[2] k
(2) L ( , ) k

[6.80]

j tan() [3] Wk Ч (j ) = 2 ( ) Ч 1+(-1)k exp(-j (2k+2)) -(k+1),

{

L

(1) ( , ) k

-

(k + 1)(k + 2) . 2

2 = arctan .

[6.83]

Частные случаи для преобразования Фурье производных функций 0-5 порядков:

{ L(2) (, ) } k j tan() [3] Wk (j ) = Ч 2 ( ) (-1)k exp(-j (2k + 3)) - exp(-j ) Ч +k+1 - 2 cos - (k + 1)(k + 2) , 2 = arctan 2 .

{

W

(1) L0 ( , )

}

0

(j ) = - }

/2 ; j + /2 2
2

{ W
1

(1) L1 ( , )

Частные случаи для преобразования Фурье производных функ-

(j ) = - ( }

j + /2
2

)2 - 2 ;
2

ций 0-5 порядков:

{

{ W
2

(1) L2 ( , )

j ( /4 - 3 ) (j ) = ( - 3; ) j + /2 3 j ( 2 j - 4j 3 ) (j ) = - 4; ( ) j + /2 4 (j ) = j ( 4 /16 - 5 2 2 /2 + 5 4 ) - 5; ( ) j + /2 5 j (3 4 j /8 - 5 2 j 3 + 6j 4 ) - 6. ( ) j + /2 6

W0 { W1 { W2 { W3

(2) L0 ( , )

}

(j ) = - } (j ) = } (j ) = } (j ) =

/2 ; j + /2

{ W
3

(1) L3 ( , )

}

(2) L1 ( , )

j ( /2 + 3j ) - 3; ( ) j + /2 2 j ( 2 /2 + 2 j - 6 2 ) - 6; ( ) j + /2 3 j ( 3 /4 + 5 2 j /2 - 5 2 - 10j 3 ) - ( ) j + /2 4

{ W
4

(1) L4 ( , )

}

(2) L2 ( , )

{ W
5

(1) L5 ( , )

} (j ) =

(2) L3 ( , )

- 10;


6.3 Преобразование Фурье производных ортогональных функций

133

{ W4

(2) L4 ( , )

} (j ) = (

j

j + /2 5 22 3 4) - 15 /2 - 10 j + 15 - 15; { L(2) ( , ) } 5 (5 j 4 W5 (j ) = ( ) 3 /32 + 21 j /16 - j + /2 6 32 2 3 4 5) - 21 /4 - 35 j /2 + 35 /2 + 21j - 21.

)

(

3 /16 + 3 j /2 -

4

3

[6.85]

(j ) = ( )-1 [( ) j j - /2 j - / 2 k + - = (- ) j + /2 ] -1 ( )p (k + ) k + )( - - - , p j + /2 k p=0

W

[2] k

{

L

() ( , ) k

}



Z

.

Частные случаи для преобразования Фурье производных функций 0-5 порядков:

{

k

(-1; 0)

W

() L0 ( , )

}

0

(j ) = - } (j ) = }

/2 ; j + /2

{ 4 W
1

() L1 ( , )

( ) j ( - 1)/2 + j ( + 1) - - 1; ( )2 j + /2

3

2 ImWk (j ) 10 5 -20 -10 0 ReWk (j )

1

0

Рис. 6.29. Вид преобразования Фурье производных ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 1, = 2

(2 2 j 2 ) ( + - 2)/8 + j ( - j + /2 3 ) 2 2 - + 2)/2 - ( + 3 + 2)/2 - ( + 1)( + 2)/2; ( ) { L ( , ) } 3 ( j 3 2 (j ) = ( W3 ) - + (j + /2)( + 3) - j + /2 4 ) 2 3 - (j + /2) ( + 2)( + 3)/2 - (j + /2) ( + 3)!/(6!) - - ( + 1)( + 2)( + 3)/6; { L() ( , ) } ( 4 j 4 3 (j ) = ( W4 ) - (j + /2)( + 4) + j + /2 5 W
2

{

( ) L2 ( , )

(j ) = (

+ (j + /2) ( + 3)( + 4)/2 - (j) + /2) ( + 4)!/ ( 4 / 6( + 1)! + (j + /2) ( + 4)!/(24!) - ( + 1)( + 2)( + 3) Ч Ч ( + 4)/24; { L() ( , ) }
5

2

2

3

[6.84]

W

[1] k

{

( ) L ( , ) k

} (j ) = )s ( (k + )( - k + ) - . k-s j + /2 k

W5
3



(j ) = (
2

j j + /2

)

(
6

- + (j + /2)( + 5) -
3

5

4

=

j j + /2

k s=0

- (j + /2) ( + 4)( + 5)/2 + (j + /2) ( + 5)!/ ( ( 4 5 / 6( + 2)! - (j + /2) ( + 5)!/ 24( + 1)! + (j + /2) Ч ) Ч ( + 5)!/(120!) - ( + 1)( + 2)( + 3)( + 4)( + 5)/120.

2

4 (-1; 0) 3 2 1 0 -20 -10 ReWk (j ) 0 а) 5 ImWk (j ) 10

(-1; 0)

4

3

2 ReWk (j ) 1 0 1 ImWk (j ) б) -2 -1

Рис. 6.30. Вид преобразования Фурье производных ортогональных функций Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) = 1, [0; 5]; б) [1; 5], = 1


134

Аналитические представления в частотной области

[6.86]

W

[1] k

{

P

(-1/2,0) ( , ) k

}

(-1; 0)
k (k) (j ) = j Ч s s=0

k

(1; 0)

Ч

(k + s - 1/2) 1 (-1)s - (-1)k . s - 1/2 (4s + 1) /2 + j

4

3

[6.87]

{ P (-1/2,0) (, ) } k [2] Wk (j ) = j - 1, /2 + j j Ч = (4k + 1) /2 + j k -1 (4s + 1) /2 - j Ч - (-1)k , (4s + 1) /2 + j s=0

2 ImWk (j ) 0, 5 0 -0, 5 -1
если

если

k=0

;

1

0 0

k > 0.

1

ReWk (j )

Рис. 6.31. Вид преобразования Фурье производных ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = - 1 /2 , = 0

[6.88]

{ P (-1/2,0) (, ) } k [3] Wk (j ) = ( ) - j sin 0 exp ( j 0 - 1, если k = 0; ( j sin k exp -j k + = ) k -1 ) +2 s - (-1)k , если k > 0,
s=0

[6.89]

W

[1] k

{

Legk ( , )

} (j ) =

= j

k s=0

(k)(k + s) 1 - (-1)k . (-1)s (2s + 1) + j s s } (j ) = 1, Ч + j + 1) - j - (-1)k , + 1) + j
если

[6.90]

W

k = arctan

2 . (4k + 1)

Частные случаи для преобразования Фурье производных функций 0-5 порядков:

{

W

(-1/2,0) P0 ( , )

} (j ) = - } (j ) = } (j ) =

j - + j j = (2k + 1) k-1 (2s Ч (2s s=0

[2] k

{

Legk ( , )

k=0

;

если

k>0

.

0

/2 ; /2 + j
[6.91]

{ W
1

(-1/2,0) P1 ( , ) (-1/2,0) P2 ( , )

j ( /2 - j ) + 1; ( /2 + j )(5 /2 + j ) j ( /2 - j )(5 /2 - j ) - ( /2 + j )(5 /2 + j )(9 /2 + j )

{ W2 - 1; { W Ч
3

{ Leg (, ) } k [3] Wk (j ) = ( ) - j sin 0 exp ( j 0 - 1, ( j sin k exp -j k + = ) k-1 ) +2 s - (-1)k ,
s=0

если

k=0

;

если

k > 0, . (2k + 1)

(-1/2,0) ( , ) P3

} (j ) =

( /2 - j ) j Ч (13 /2 + j ) ( /2 + j )

k = arctan
ций 0-5 порядков:

(5 /2 - j )(9 /2 - j ) + 1; (5 /2 + j )(9 /2 + j ) { P (-1/2,0) ( , ) }
4 4

Частные случаи для преобразования Фурье производных функ-

W Ч

( /2 - j ) j Ч (j ) = (17 /2 + j ) ( /2 + j )

{ {

W0 W1 { W2 { W
3

Leg0 ( , ) Leg1 ( , )

} }

(j ) = - (j ) = } (j ) = } (j ) =

; + j

(5 /2 - j )(9 /2 - j ) (13 /2 - j ) - 1; (5 /2 + j )(9 /2 + j ) (13 /2 + j ) { P (-1/2,0) ( , ) } 5 j ( /2 - j ) W5 (j ) = Ч (21 /2 + j ) ( /2 + j ) (5 /2 - j )(9 /2 - j ) (13 /2 - j )(17 /2 - j ) + 1. (5 /2 + j )(9 /2 + j ) (13 /2 + j )(17 /2 + j )

j ( - j ) + 1; ( + j )(3 + j ) j ( - j )(3 - j ) - 1; ( + j )(3 + j )(5 + j ) j ( - j )(3 - j )(5 - j ) + 1; ( + j )(3 + j )(5 + j )(7 + j )

Leg2 ( , )

Ч

Leg3 ( , )


6.3 Преобразование Фурье производных ортогональных функций

135

{ W4

Leg4 ( , )

} (j ) =

j ( - j )(3 - j ) Ч (9 + j ) ( + j )(3 + j )

Частные случаи для преобразования Фурье производных функций 0-5 порядков:

(5 - j )(7 - j ) Ч - 1; (5 + j )(7 + j ) { Leg ( , ) } W5
5

{

W

(1/2,0) P0 ( , )

} (j ) = - } (j ) = } (j ) =

0

(j ) =

( - j )(3 - j ) j Ч (11 + j ) ( + j )(3 + j )

3 /2 ; 3 /2 + j

{ W
1

(5 - j )(7 - j )(9 - j ) Ч + 1. (5 + j )(7 + j )(9 + j )

(1/2,0) P1 ( , )

j (3 /2 - j ) + 1; (3 /2 + j )(7 /2 + j ) j (3 /2 - j )(7 /2 - j ) Ч (3 /2 + j )(7 /2 + j )

{ W
2

(1/2,0) P2 ( , )

(-1; 0) k (1; 0)

Ч

1 - 1; (11 /2 + j ) { P (1/2,0) ( , ) }
3 3

W 4 Ч

(j ) =

j (3 /2 - j ) Ч (15 /2 + j ) (3 /2 + j )

(7 /2 - j )(11 /2 - j ) + 1; (7 /2 + j )(11 /2 + j ) (1/2,0) { P ( , ) }
4 4

3

W Ч ImWk (j ) 0, 5 0 -0, 5 -1 0 1 ReWk (j )

(j ) =

(3 /2 - j ) j Ч (19 /2 + j ) (3 /2 + j )

2

1

(7 /2 - j )(11 /2 - j ) (15 /2 - j ) - 1; (7 /2 + j )(11 /2 + j ) (15 /2 + j ) { P (1/2,0) ( , ) } 5 j (3 /2 - j ) (j ) = Ч W5 (23 /2 + j ) (3 /2 + j ) (7 /2 - j )(11 /2 - j ) (15 /2 - j )(19 /2 - j ) + 1. (7 /2 + j )(11 /2 + j ) (15 /2 + j )(19 /2 + j )

0

Ч

Рис. 6.32. Вид преобразования Фурье производных ортогональных функций Лежандра 0-5 порядков; = 0, 25,

(-1; 0) k (1; 0)

c=2

[6.92]

W

[1] k

{

P

(1/2,0) ( , ) k

} (j ) = j

Ч

(k + s + 1/2) 1 - (-1)k . (-1)s s + 1/2 (4s + 3) /2 + j

k (k) Ч s s=0

4

3

2

[6.93]

{ P (1/2,0) (, ) } k [2] Wk (j ) = j - 1, 3 /2 + j j Ч = (4k + 3) /2 + j k-1 (4s + 3) /2 - j Ч - (-1)k , (4s + 3) /2 + j s=0 { P (1/2,0) (, ) } k [3] (j ) = Wk ( ) - j sin 0 exp ( j 0 - 1, ( j sin k exp -j k + = ) k-1 ) +2 s - (-1)k ,
s=0

1
если

ImWk (j ) 0, 5 0 -0, 5 -1 0 1 ReWk (j )

k=0

;

0

если

k > 0.

Рис. 6.33. Вид преобразования Фурье производных ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 1 /2 , = 0

[6.94]

если

k=0

;

если

k>0

,

[6.95]

W

[1] k

{

P

(1,0) ( , ) k

} (j ) =

k = arctan

2 . (4k + 3)

k (k)(k + s + 1) 1 (-1)s = j -(-1)k . s s+1 (s + 1) + j s=0


136

Аналитические представления в частотной области

[6.96]

W

[2] k

{

P

(j ) = j + j - 1, j Ч = (k + 1) + j k -1 (s + 1) - j - (-1)k , Ч (s + 1) + j s=0

(1,0) ( , ) k

}
(-1; 0)
если

k=0

;

k

(1; 0)

если

k > 0.

4

3

2 ImWk (j ) 0, 5 0 -0, 5 -1 0 1 ReWk (j )

1

0

[6.97]

{ P (1,0) (, ) } k [3] Wk (j ) = ( ) - j sin 0 exp ( j 0 - 1, ( j sin k exp -j k + = ) k -1 ) +2 s - (-1)k ,
s=0

Рис. 6.34. Вид преобразования Фурье производных ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 1, = 1, = 0

если

k=0

; [6.98]

W

[1] k

{

P

(2,0) ( , ) k

} (j ) =

если

k > 0, . (k + 1)
[6.99]

k (k)(k + s + 2) 1 -(-1)k . = j (-1)s s s+2 (2s + 3) + j s=0

k = arctan

W

Частные случаи для преобразования Фурье производных функций 0-5 порядков:

{ {

W

(1,0) P0 ( , ) (1,0) P1 ( , )

} }

(j ) = j 3 + j - 1, j Ч = (2k + 3) + j k-1 (2s + 3) - j Ч - (-1)k , (2s + 3) + j s=0

[2] k

{

P

(2,0) ( , ) k

}

если

k=0

;

если

k>0

.

0

(j ) = -

; + j
[6.100]

W

1

(j ) = } (j ) = } (j ) = } (j ) =

j ( - j ) + 1; ( + j )(2 + j ) j ( - j )(2 - j ) - 1; ( + j )(2 + j )(3 + j ) j ( - j )(2 - j )(3 - j ) + ( + j )(2 + j )(3 + j )(4 + j ) j ( - j )(2 - j )(3 - j ) Ч (5 + j ) ( + j )(2 + j )(3 + j )

{ W
2

(1,0) P2 ( , )

{ W3 + 1; { W4 Ч

(1,0) ( , ) P3

{ P (2,0) (, ) } k [3] Wk (j ) = ( ) j sin 0 exp -j 0 - 1, j sin k Ч (( exp -j k + = ) k-1 ) +2 s - (-1)k ,
s=0

если

k=0

;

если

k > 0, . (2k + 3)

(1,0) ( , ) P4

k = arctan

(4 - j ) - 1; (4 + j ) (1,0) { P ( , ) }
5

Частные случаи для преобразования Фурье производных функций 0-5 порядков:

W5 Ч

(j ) =

j ( - j ) (2 - j )(3 - j ) Ч (6 + j ) ( + j ) (2 + j )(3 + j )

{

W0 { W1

(2,0) ( , ) P0 (2,0) ( , ) P1

} }

(j ) = -

3 ; 3 + j

(4 - j )(5 - j ) + 1. (4 + j )(5 + j )

(j ) =

j (3 - j ) + 1; (3 + j )(5 + j )


6.3 Преобразование Фурье производных ортогональных функций

137

{ W2 { W3 + 1; { W4

(2,0) P2 ( , )

} (j ) = } (j ) =

j (3 - j )(5 - j ) - 1; (3 + j )(5 + j )(7 + j ) j (3 - j )(5 - j ) (7 - j ) + (9 + j ) (3 + j )(5 + j ) (7 + j )

[6.103]

(2,0) P3 ( , )

(2,0) P4 ( , )

} (j ) =

j (3 - j )(5 - j ) Ч (11 + j ) (3 + j )(5 + j )

{ P (,0) (, ) } k [3] Wk (j ) = ( ) j sin 0 exp -j 0 - 1, j sin k Ч (( Ч exp -j k + = ) k -1 ) +2 s - (-1)k ,
s=0

если

k=0

;

если

k > 0, 2 . (2k + + 1)c

(7 - j )(9 - j ) Ч - 1; (7 + j )(9 + j ) (2,0) { P ( , ) }
5

k = arctan

W5



(j ) =

j (3 - j )(5 - j ) Ч (13 + j ) (3 + j )(5 + j )

(7 - j )(9 - j )(11 - j ) Ч + 1. (7 + j )(9 + j )(11 + j )

Частные случаи для преобразования Фурье производных функций 0-5 порядков:

{

W

(,0) ( , ) P0

}

0

(j ) = - } (j ) =

( + 1)c /2 ; ( + 1)c /2 + j

{ (-1; 0) k (1; 0) W
1

(,0) P1 ( , )

( ) j ( + 1)c /2 - j ( )Ч ( + 1)c /2 + j

Ч( W

1

4

3

2 ImWk (j ) 0, 5 0 -0, 5 -1 0 1 ReWk (j )

1

0

Рис. 6.35. Вид преобразования Фурье производных ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 2, = 0

[6.101]

W

[1] k

{

P

(,0) ( , ) k

} (j ) = j

Ч

(k + s + ) 1 (-1)s - (-1)k . s+ (2s + + 1)c /2 + j

k (k) Ч s s=0

j )Ч ( + 5)c /2 + j ( )( ) ( + 1)c /2 - j ( + 3)c /2 - j )( ) - 1; Ч( ( + 1)c /2 + j ( + 3)c /2 + j { P (,0) ( , ) } 3 j )Ч (j ) = ( W3 ( + 7)c /2 + j ( )( )( ( + 1)c /2 - j ( + 3)c /2 - j ( + 5)c )( )( Ч( ( + 1)c /2 + j ( + 3)c /2 + j ( + 5)c { P (,0) ( , ) } 4 j )Ч (j ) = ( W4 ( + 9)c /2 + j ( )( )( ( + 1)c /2 - j ( + 3)c /2 - j ( + 5)c )( )( Ч( ( + 1)c /2 + j ( + 3)c /2 + j ( + 5)c ( ) ( + 7)c /2 - j ) - 1; Ч( ( + 7)c /2 + j (,0) { P ( , ) } 5 j )Ч (j ) = ( W5 ( + 11)c /2 + j ( )( )( ( + 1)c /2 - j ( + 3)c /2 - j ( + 5)c )( )( Ч( ( + 1)c /2 + j ( + 3)c /2 + j ( + 5)c ( )( ) ( + 7)c /2 - j ( + 9)c /2 - j )( ) + 1. Ч( ( + 7)c /2 + j ( + 9)c /2 + j
2

( + 3)c /2 + j { P (,0) ( , ) }
2

) + 1;

(j ) = (

/2 - j /2 + j

) ) + 1;

/2 - j /2 + j

) )Ч

/2 - j /2 + j

) )Ч

[6.102]

{ P (,0) (, ) } k [2] Wk (j ) = j - 1, ( + 1)c /2 + j j Ч = (2k + + 1)c /2 + j k -1 (2s + + 1)c /2 - j Ч - (-1)k , (2s + + 1)c /2 + j s=0

если

k=0

;

если

k>0

.


138

Аналитические представления в частотной области

(-1; 0)

(-1; 0)

4 1, 5 3 1 2 0, 5 1 0 0, 5 0 ReWk (j ) -1 -1, 5 ImWk (j ) 0 0, 5 ImWk (j ) б) -1 -0, 5 ReWk (j )

а)

Рис. 6.36. Вид преобразования Фурье производных ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 0, 25, c = 2, [0; 5], = 0; б) [0, 25; 2], c = 2, = 1, = 0

[6.104]

W

[1] k

{

P

(0,1) ( , ) k

}

(k + s + 1) 1 Ч (-1)s - (-1)k (k + 1). s (2s + 1) + j

k (k) Ч (j ) = j s s=0

(-1; 0) k

(1; 0)

4

k (k)(k + s + 1) [6.105] W (j ) = Ч s s s=0 ( ) Ч (-1)s j sin s exp -j s - (-1)k (k + 1), . k = arctan (2k + 1) [2] k
P

{

(0,1) ( , ) k

}

3

2 ImWk (j ) 2 0 -2 -5 0 5 ReWk (j )

1

0
Частные случаи для преобразования Фурье производных функций 0-5 порядков:

{ {

W

(0,1) P0 ( , ) (0,1) P1 ( , ) (0,1) ( , ) P2 (0,1) ( , ) P3

} }

0

(j ) = -

; + j

Рис. 6.37. Вид преобразования Фурье производных ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 0, = 1

W

1

(j ) = } }

j 3j - + 2; + j 3 + j
[6.106]

{ W
2

j 8j 10j (j ) = - + - 3; + j 3 + j 5 + j

Wk

[1]

{

P

(0,2) ( , ) k

} (j ) = j

{ W3 + 4; { W
4

j 15j 45j 35j (j ) = - + - + + j 3 + j 5 + j 7 + j j 24j 126j - + - + j 3 + j 5 + j

Ч

(k + s + 2) 1 (-1)s - s (2s + 1) + j - (-1)
k

k (k) Ч s s=0

(0,1) ( , ) P4

} (j ) =

(k + 1)(k + 2) . 2

224j 126j - + - 5; 7 + j 9 + j (0,1) { P ( , ) }
5

[6.107]

Wk

[2]

{

P

(0,2) ( , ) k

} (j ) =

k (k)(k + s + 2) Ч s s s=0

35j 280j j - + - 5 + j 3 + j 5 + j 840j 1050j 462j - + - + 6. 7 + j 9 + j 11 + j W


(j ) =

( ) (k + 1)(k + 2) Ч (-1)s j sin s exp -j s - (-1)k , 2 . k = arctan (2k + 1)


6.3 Преобразование Фурье производных ортогональных функций

139

Частные случаи для преобразования Фурье производных функций 0-5 порядков:
(0,2) { P0 ( , )}

[6.108]

W

[1] k

{

P

(0, ) ( , ) k

} (j ) = j

W0

(j ) = - (j ) = (j ) = (j ) =

; + j

(0,2) {P ( , )} W1 1 (0,2) { P2 ( , )}

j 4j - + 3; + j 3 + j j 10j 15j - + - 6; + j 3 + j 5 + j j 18j 63j 56j - + - + + j 3 + j 5 + j 7 + j j 28j 168j - + - + j 3 + j 5 + j

(k + s + ) (k + ) 1 Ч (-1)s -(-1)k . s (2s + 1)c /2 + j k
k (k)(k + s s=0 (k + ( ) Ч (-1)s j sin s exp -j s - (-1)k k

k (k) Ч s s=0

W2 W3

[6.109]

W

[2] k

{

P

(0, ) ( , ) k

}

(j ) =

(0,2) ( , )} {P3

+ 10; W4 -
(0,2) { P4 ( , )}

s + ) Ч s ) ,

(j ) =

k = arctan

2 . (2k + 1)c

210j 336j + - 15; 7 + j 9 + j (0,2) j 40j 360j ( , )} {P (j ) = W5 5 - + - + j 3 + j 5 + j 1650j 792j 1200j + - + 21. - 7 + j 9 + j 11 + j

Частные случаи для преобразования Фурье функций 0-5 порядков:

{

W

(0, ) P0 ( , )

}

0

(j ) = - } (j ) = } (j ) =

c /2 ; c /2 + j

{ W
1

(0, ) P1 ( , )

j j ( + 2) - + + 1; c /2 + j 3c /2 + j j 2j ( + 3) - + c /2 + j 3c /2 + j

(-1; 0) k

{ (1; 0) W +
2

(0, ) P2 ( , )

4

j ( + 3)( + 4)/2 - ( + 1)( + 2)/2; 5c /2 + j { P (0, ) ( , ) } 3 j 3j ( + 4) W3 (j ) = - + c /2 + j 3c /2 + j

3

2 ImWk (j ) 0 0 -10 0 10 -10 ReWk (j )

3j ( + 4)( + 5)/2 j ( + 4)( + 5)( + 6)/6 - + ( + 1) Ч 5c /2 + j 7c /2 + j Ч ( + 2)( + 3)/6; { P (0, ) ( , ) } 4 4j ( + 5) j W4 - + (j ) = c /2 + j 3c /2 + j + + 3j ( + 5)( + 6) 2j ( + 5)( + 6)( + 7)/3 - + 5c /2 + j 7c /2 + j j ( + 8)! - ( + 1)( + 2)( + 3)( + 4)/24; + 24( + 4)!(9c /2 + j ) { P (0, ) ( , ) } 5 j 5j ( + 6) W5 (j ) = - + c /2 + j 3c /2 + j

1

Рис. 6.38. Вид преобразования Фурье производных ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 0, 25, c = 2, = 0, = 2

5j ( + 6)( + 7) 5j ( + 6)( + 7)( + 8)/3 - + 5c /2 + j 7c /2 + j 5j ( + 9)! j ( + 10)! + - + ( + 1) Ч 24( + 5)!(9c /2 + j ) 120( + 5)!(11c /2 + j ) Ч ( + 2)( + 3)( + 4)( + 5)/120. +


140

Аналитические представления в частотной области

(-1; 0) 4 3 2 1 0 -20 -10 ReWk (j ) 0 а) ImWk (j ) 5 0 0, 5 1 ImWk (j ) б) 0, 5 -1 ReWk (j ) -2 (-1; 0) 1, 5

1

Рис. 6.39. Вид преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 0, 25, c = 2, = 0, [0; 5]; б) [0, 25; 2], c = 2, = 0, = 1

6.4 Производные преобразований Фурье ортогональных функций
W
[1]{Lk ( , )} k

W

{L4 ( , )} 4

W
{L5 ( , )} 5



)( ) + 9j /2 j - / 2 3 ; ( )6 j + /2 ( )( )4 + 11j /2 j - /2 (j ) = . ( ) j + /2 7 (j ) =

(

[6.110]

(j )
k

j =- (j + /2)
2 s=0

= )s ( k )( - (s + 1). k-s j + /2
(0; 0) k

[6.111]

W

[2]{Lk ( , )} k

4

= ( )( ) j j - (2k + 1)/2 j - /2 k =- 3 (j + /2) j + /2

(j )

-1

3

.
2 ImWk (j )

4j [6.112] = - 2 (-1)k (cos )2 Ч ( ) Ч exp(-j (2k + 1)) (2k + 1) cos - j sin , 2 . = arctan
Частные случаи для производных преобразования Фурье функций 0-5 порядков:

W

[3]{Lk ( , )} k

(j )

1 0 0 -2 -1 0 1 -2 ReWk (j )

2

Рис. 6.40. Вид производных преобразования Фурье ортогональных функций Лагерра 0-5 порядков; = 4

W

{L0 ( , )} 0

(j )

W
{L1 ( , )} 1

=

+ j /2 ( ); (j - /2) j + /2 2
(1)

W
{L2 ( , )} 2

W
{L3 ( , )} 3



+ 3j / 2 =( ); j + /2 3 ( )( + 5j / 2 j - / (j ) = ( ) j + /2 4 ( )( + 7j / 2 j - / (j ) = ( ) j + /2 5

(j )

2

)
;

[6.113]

W

[1]{Lk ( , )} k

(j )

=

=

2

)

2

;

)s k (k + 1)( 1 - . (j + /2)2 s=0 k - s j + /2


6.4 Производные преобразований Фурье ортогональных функций

141

[6.114]

W

[2]{Lk ( , )} k

(1)

(j )

( )( ) j (k + 1) j - /2 j - /2 =- (j + /2)3 j + /2
ций 0-5 порядков:



=
k -1

W

(2) {L1 ( , )} 1

(j )



( ) j 3 j - /2 =- ( )3 ; j + /2 =- ( ) 2 j j - 2 /4 + 3 2 ; ( )4 j + /2 2j j + /2 ) (
5

.

W

(2) {L2 ( , )} 2

(j )

W
(2) {L3 ( , )} 3

Частные случаи для производных преобразования Фурье функ(1) {L0 ( , )} 0

(j )

W

(j )

W
(1) {L1 ( , )} 1

= -(

j j + /2

)2 ; + 5j W
3

=(

/8-10j /8-20 /8+

3

2

2

)

;

(j )

W
(1) {L2 ( , )} 2

( ) 2j j - / 2 =- ( )3 ; j + /2 3j j - / 2 2 =- ( ); j + /2 4 ( ) 4j j - / 2 3 =- ( )5 ; j + /2 ( ) 5j j - / 2 4 =- ( )6 ; j + /2 ( ) 6j j - / 2 5 =- ( )7 . j + /2 ( )

(2) {L4 ( , )} 4

(j )


2 3 (2) {L5 ( , )} 5

= -(
4

j j + /2

)

(
6

/16 - 6j /4 - 20 Ч

4

3

2

Ч + 10j + 240 W (j )
3

)

;

(j )

W
(1) {L3 ( , )} 3


2 2

=(

j j + /2
4

)

(
7

/32 - 21j /4 - 21 Ч
5

5

4

3

(j )

Ч /4 + 35j /2 + 35 /2 - 672j

)

.

W
(1) {L4 ( , )} 4

(j )

(0; 0) k

W
(1) {L5 ( , )} 5

(j )



4

3 (0; 0) k 2 ImVk (j ) 0, 5 0 3 0 -0, 5 0 0, 5 -0, 5 ReVk (j )

4

1

2 ImWk (j ) 1 0 0 -1 0 1 -1 ReWk (j )

1

Рис. 6.42. Вид производных преобразования Фурье ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 4, = 2

[6.116]

W

{L k k

( )

( , )}

(j )

Рис. 6.41. Вид производных преобразования Фурье ортогональных функций Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 4, = 1

=

=

)s k (k + )( 1 - . (j + /2)2 s=0 k - s j + /2

[6.115]

W

{ k

(2) Lk

( , )}

Частные случаи для производных преобразования Фурье функций 0-5 порядков:

(j )

=

=

W

( ) {L0 ( , )} 0

(j )

)s k (k + 2)( - 1 . (j + /2)2 s=0 k - s j + /2

W
( ) {L1 ( , )} 1

=-

j ; (j + /2)2 j ( + 1) 2j + ; (j + /2)2 (j + /2)3 j ( + 1)( + 2) 2j ( + 2) + - 2(j + /2)2 (j + /2)3

(j )

W
( ) {L2 ( , )} 2

=-

Частные случаи для производных преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(2) {L0 ( , )} 0

(j )

= -( j j + /2 )2 ; - 3j 2 ; (j + /2)4

=-

W

(j )




142

Аналитические представления в частотной области

W

( ) {L3 ( , )} 3

(j )



=-

j ( + 3)! j ( + 2)( + 3) + - 6!(j + /2)2 (j + /2)3

Ч

1 3j 2 ( + 3)( + 4) 4j 3 ( + 4) 5j 4 - + - ; (j + /2)3 2(j + /2)4 (j + /2)5 (j + /2)6
( ) {L5 ( , )} 5

3j 2 ( + 3) 4j 3 - + ; (j + /2)4 (j + /2)5 W
( ) {L4 ( , )} 4

W

(j )

Ч

=-

j ( + 5)! j ( + 5)! + Ч 120!(j + /2)2 12( + 1)!

(j )



=-

j ( + 4)! j ( + 4)! + Ч 24!(j + /2)2 3( + 1)!

1 j 2 ( + 5)! 2j 3 ( + 4)( + 5) - + - (j + /2)3 2( + 2)!(j + /2)4 (j + /2)5 5j 4 ( + 5) 6j 5 - + . (j + /2)6 (j + /2)7

(0; 0) 4 3 2 1 0 -1 -0, 5 0 ImWk (j ) а) 0 ReWk (j ) -0, 5 3 2, 5 3, 5 (0; 0)

2 -3

-2

-1

-1 0 ImWk (j ) 1 б) 0

ReWk (j )

Рис. 6.43. Вид производных преобразования Фурье ортогональных функций Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) = 4, [0; 5]; б) [2; 4], = 1
(-1/2,0)

[6.119]

W - - =Ч Ч +

[6.117]

W

[1]{Pk k

(-1/2,0)

( , )}

(j )

k (k)(k + s - 1/2) 1 = -j (-1)s ( )2 . s s - 1/2 (4s + 1) /2 + j s=0

=

[6.118]

W

[2]{Pk k

(-1/2,0)

- - =Ч Ч +

(j ) = j , ( /2 + j ) 2 j Ч (4k + 1) /2 + j k-1 (4s + 1) /2 - j Ч (4s + 1) /2 + j s (=0 1 + (4k + 1) /2 + j ) k-1 4s + 1 , ( )2 + 2 s=0 (4s + 1) /2

( , )}

(j ) = 2 ( ) 4j (cos 0 ) exp -2j 0 , 2 2j cos k Ч (4k ( 1) + ) ( k-1 ) exp -j k + 2 s Ч ( s=0 ) ( 2 cos k exp -j k + (4k + 1) ) k-1 4 (cosk )2 , s=0 4s + 1

[3]{Pk k

( , )}

если

k=0

;

если

k > 0,

k = arctan
если

2 . (4k + 1)

k=0

;

Частные случаи для производных преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(-1/2,0) ( , )} { P0 0

W

(j )

W
(-1/2,0) ( , )} { P1 1

=-

j ; ( /2 + j )2 j 3j + ; 2( /2 + j )2 2(5 /2 + j )2 3j 15j + - 8( /2 + j )2 4(5 /2 + j )2

(j )


если

=-

k > 0.

W

(-1/2,0) ( , )} { P2 2

(j )



=-


6.4 Производные преобразований Фурье ортогональных функций

143

-

35j ; 8(9 /2 + j )2
(-1/2,0) {P3 ( , )} 3

[6.121]

W

[2]{Legk ( , )} k

(j ) 5j 105j =- + - 16( /2 + j )2 16(5 /2 + j )2 315j 231j - + ; 16(9 /2 + j )2 16(13 /2 + j )2 35j 315j + Ч 128( /2 + j )2 32 1 3465j 3003j Ч - + - (5 /2 + j )2 64(9 /2 + j )2 32(13 /2 + j )2 6435j - ; 128(17 /2 + j )2 W (j ) =- 63j 3465j + Ч 256( /2 + j )2 256 1 15015j 45045j Ч - + - (5 /2 + j )2 128(9 /2 + j )2 128(13 /2 + j )2 109395j 46189j + . - 256(17 /2 + j )2 256(21 /2 + j )2 =- W
(-1/2,0) { P5 ( , )} 5 (-1/2,0) { P4 ( , )} 4

W

=

(j )

(j ) = j - , ( + j )2 j - Ч (2k + 1) + j k -1 (2s + 1) - j Ч Ч (2s + 1) + j s (=0 1 + Ч (2k + 1) + j ) k-1 2s + 1 +2 , ( )2 + 2 s=0 (2s + 1)

если

k=0

;

если

k > 0.

(0; 0) k

[6.122]

W =

4

3

2 ImWk (j ) -1 -2 -3 -2 -1 ReWk (j )

1

(j ) = ( ) j (cos 0 )2 - exp -2j 0 , 2 j cos k Ч - (2k ( 1) + ) ( k -1 ) Ч exp -j k + 2 s Ч s=0 ( ) ( cos k exp -j k Ч + (2k + 1) ) k -1 2 (cosk )2 , + s=0 2s + 1

[3]{Legk ( , )} k

если

k=0

;

если

k > 0,

k = arctan

0

. (2k + 1)

Рис. 6.44. Вид производных преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = - 1 /2 , = 0

Частные случаи для производных преобразования Фурье функций 0-5 порядков:

W

{Leg0 ( , )} 0

(j )

W
{Leg1 ( , )} 1

=- =- =-

j ; ( + j )2 j 2j + ; ( + j )2 (3 + j )2 j 6j 6j + - ; ( + j )2 (3 + j )2 (5 + j )2 j 12j + - ( + j )2 (3 + j )2 )2
;

(j )

W
{Leg2 ( , )} 2

(j )

W
{Leg3 ( , )} 3

-
[1]{Legk ( , )} k

[6.120]

W

(j ) = k (k)(k + s) 1 (-1)s ( = -j )2 . s s (2s + 1) + j s=0

-

-

(j ) =- 30j 20j + (5 + j )2 (7 + j {Leg4 ( , )} W4 (j ) =- 140j 90j + (5 + j )2 (7 + j {Leg5 ( , )} W5 (j ) =- 560j 210j + (5 + j )2 (7 + j

j 20 + ( + j )2 (3 + 70j - ; )2 (9 + j )2 j 30 + ( + j )2 (3 + 630j - + )2 (9 + j )2

j - j )2

j - j )2 252j . (11 + j )2


144

Аналитические представления в частотной области

[6.125]

W - - =Ч Ч +

(0; 0) k

4

3

2 ImWk (j ) 0 -0, 5 -0, 6 -0, 4 -0, 2 ReWk (j ) -1

(j ) = 2 ( ) 4j (cos 0 ) exp -2j 0 , 2 2j cos k Ч (4k ( 3) + ) ( k-1 ) exp -j k + 2 s Ч ( s=0 ) ( 2 cos k exp -j k + (4k + 3) k-1 2) 4 (cosk ) , s=0 4s + 3

[3]{Pk k

(1/2,0)

( , )}

если

k=0

;

если

k > 0,

1

k = arctan

2 . (4k + 3)

0

Рис. 6.45. Вид производных преобразования Фурье ортогональных функций Лежандра 0-5 порядков; = 1, c = 2

[6.123]

(j ) = k (k)(k + s + 1/2) 1 = -j (-1)s ( )2 . s s + 1/2 (4s + 3) /2 + j s=0

W

[1]{Pk k

(1/2,0)

( , )}

Частные случаи для производных преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(1/2,0) { P0 ( , )} 0

W

(j )

W
(1/2,0) { P1 ( , )} 1

=-

j ; (3 /2 + j )2 3j 5j + ; 2(3 /2 + j )2 2(7 /2 + j )2 15j 35j + - 8(3 /2 + j )2 4(7 /2 + j )2

(j )

W
(1/2,0) { P2 ( , )} 2

=-

(j )

63j - ; 8(11 /2 + j )2 W
(1/2,0) {P3 ( , )} 3

=-

[6.124]

W

[2]{Pk k

(1/2,0)

- - =Ч Ч +

(j ) = j , (3 /2 + j )2 j Ч (4k + 3) /2 + j k-1 (4s + 3) /2 - j Ч (4s + 3) /2 + j s (=0 1 + (4k + 3) /2 + j ) k-1 4s + 3 , ( )2 + 2 s=0 (4s + 3) /2

( , )}

(j ) 35j 315j =- + - 16(3 /2 + j )2 16(7 /2 + j )2 693j 429j - + ; 16(11 /2 + j )2 16(15 /2 + j )2 315j 1155j + Ч 128(3 /2 + j )2 32 1 9009j 6435j Ч - + - (7 /2 + j )2 64(11 /2 + j )2 32(15 /2 + j )2 12155j ; - 128(19 /2 + j )2 =- 693j 15015j + Ч 256(3 /2 + j )2 256 1 45045j 109395j Ч - + - (7 /2 + j )2 128(11 /2 + j )2 128(15 /2 + j )2 88179j 230945j + . - 256(19 /2 + j )2 256(23 /2 + j )2 =- W
(1/2,0) ( , )} { P5 5

W

(1/2,0) ( , )} { P4 4

(j )

если

k=0

;

(j )

если

k > 0.


6.4 Производные преобразований Фурье ортогональных функций

145

[6.128]

W =

(0; 0) k

4

3

2 ImWk (j )

(j ) = 2 ( ) j (cos 0 ) - exp -2j 0 , 2 j cos k - Ч (k + 1) (( ) k -1 ) Ч exp -j k + 2 s Ч s=0 ( ) ( cos k exp -j k Ч + (k + 1) k -1 2) 2 (cosk ) + , s=0 s + 1

[3]{Pk k

(1,0)

( , )}

если

k=0

;

если

k > 0, . (k + 1)

1 0 0 -0, 2 0 -0, 4 ReWk (j )

k = arctan

-0, 2

Рис. 6.46. Вид производных преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 1 / 2, = 0

[6.126]

W

(j ) = k (k)(k + s + 1) 1 = -j (-1)s ( )2 . s s+1 (s + 1) + j s=0
Частные случаи для производных преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(1,0) {P0 ( , )} 0

[1]{Pk k

(1,0)

( , )}

W

(j )

W
(1,0) {P1 ( , )} 1

=-

j ; ( + j )2 2j 3j + ; ( + j )2 (2 + j )2 3j 12j 10j + - ; ( + j )2 (2 + j )2 (3 + j )2 4j 30j + - ( + j )2 (2 + j )2

(j )

W
(1,0) { P2 ( , )} 2

=-

(j )

[6.127]

W

[2]{P k

(1,0) k

( , )}



=-

(j )

=

-

=
если

W

(1,0) ( , )} {P3 3

(j )

j , ( + j )2 j - Ч (k + 1) + j k-1 (s + 1) - j Ч Ч (s + 1) + j s (=0 1 + Ч (k + 1) + j ) k -1 s+1 +2 , ( )2 + 2 s=0 (s + 1)



=-

k=0

;

-

60j 35j + ; (3 + j )2 (4 + j )2
(1,0) ( , )} {P4 4

(j ) 5j 60j =- + - ( + j )2 (2 + j )2 210j 280j 126j - + - ; (3 + j )2 (4 + j )2 (5 + j )2 W (j ) 6j 105j =- + - ( + j )2 (2 + j )2 1260j 1260j 462j 560j + - + . - (3 + j )2 (4 + j )2 (5 + j )2 (6 + j )2 W
(1,0) ( , )} {P5 5

если

k > 0.


146

Аналитические представления в частотной области

[6.131]

W - - =Ч Ч +

(0; 0) k

4

3

2 ImWk (j )

(j ) = 2 ( ) j (cos 0 ) exp -2j 0 , 2 j cos k Ч (2k ( 3) + ) ( k-1 ) exp -j k + 2 s Ч s=0 ( ) ( cos k exp -j k + (2k + 3) k-1 2) 2 (cosk ) , s=0 2s + 3

[3]{Pk k

(2,0)

( , )}

если

k=0

;

если

k > 0,

1

0 -0, 5 0

0 -0, 5 -1 ReWk (j )

k = arctan

. (2k + 3)

Рис. 6.47. Вид производных преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 1, = 1, = 0

[6.129]

(j ) = k (k)(k + s + 2) 1 (-1)s ( = -j )2 . s s+2 (2s + 3) + j s=0
Частные случаи для производных преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(2,0) { P0 ( , )} 0

W

[1]{Pk k

(2,0)

( , )}

W

(j )

W
(2,0) { P1 ( , )} 1

=-

j ; (3 + j )2 3j 4j + ; (3 + j )2 (5 + j )2 6j 20j 15j + - ; (3 + j )2 (5 + j )2 (7 + j )2

(j )

W
(2,0) { P2 ( , )} 2

=-

(j )

[6.130]

W

[2]{ k

=

(j ) = j - , ( + j )2 j - Ч (2k + 3) + j k -1 (2s + 3) - j Ч Ч (2s + 3) + j s (=0 1 + Ч (2k + 3) + j ) k-1 2s + 3 +2 , ( )2 + 2 s=0 (2s + 3)

(2,0) Pk

( , )}

W
(2,0) ( , )} { P3 3

=-

если

k=0

;

(j ) 10j 60j =- + - (3 + j )2 (5 + j )2 105j 56j - + ; (7 + j )2 (9 + j )2 (j ) 15j 140j =- + - (3 + j )2 (5 + j )2 420j 504j 210j - + - ; (7 + j )2 (9 + j )2 (11 + j )2 W (j ) 21j 280j =- + - (3 + j )2 (5 + j )2 2520j 2310j 792j 1260j + - + . - (7 + j )2 (9 + j )2 (11 + j )2 (13 + j )2 W
(2,0) ( , )} { P5 5 (2,0) ( , )} { P4 4

если

k > 0.


6.4 Производные преобразований Фурье ортогональных функций

147

[6.134]

W =

(0; 0) k

4

3

2 ImWk (j ) 0 0 -0, 1 0 -0, 1 ReWk (j )

(j ) = 2 ( ) 4j (cos 0 ) - exp -2j 0 , ( + 1)2 c2 2 2j cos k - Ч (2k ( + 1)c + ) ( k -1 ) Ч exp -j k + 2 s Ч s=0 ) ( ( cos k exp -j k Ч + (2k + + 1)c /2 k -1 2) 4 (cosk ) + , c s=0 2s + + 1 k = arctan

[3]{Pk k

(,0)

( , )}

если

k=0

;

если

k > 0,

1

2 . (2k + + 1)c

Частные случаи для производных преобразования Фурье функций 0-5 порядков:

Рис. 6.48. Вид производных преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 2, = 0

W

(,0) ( , )} {P0 0

(j )

W
(,0) {P1 ( , )} 1

= -(

j c ( + 1)/2 + j j ( + 1) c ( + 1)/2 + j

)2 ;

(j )

Ч( 1 c ( + 3)/2 + j
(,0) {P2 ( , )} 2

= -(

)2 + j ( + 2) Ч

)2 ; j ( + 1)( + 2) =- ( ) + j ( + 2) Ч 2 c ( + 1)/2 + j 2

[6.132]

W

[1]{P k

(,0) k

W
( , )}

(j )

(j )

Ч

(k + s + ) 1 (-1)s ( )2 . s+ (2s + + 1)c /2 + j

k (k) = -j Ч s s=0

Ч

( + 3) j ( + 3)( + 4) ; ( )-( 2 c ( + 5)/2 + j )2 2 c ( + 3)/2 + j 2
(,0) { P3 ( , )} 3

W

(j )

Ч(

=-

j ( + 3)! j ( + 4)! Ч ( )+ 2( + 1)! 6! c ( + 1)/2 + j 2

1 j ( + 5)! )- ( )+ c ( + 3)/2 + j 2 2( + 2)! c ( + 5)/2 + j 2 j ( + 6)! + ( ); 6( + 3)! c ( + 7)/2 + j 2 W
(,0) {P4 ( , )} 4

(j )

[6.133]

= j - , ( ( + 1)c /2 + j )2 j - (2k + + 1)c /2 + j Ч k -1 (2s + + 1)c /2 - j Ч =Ч (=0 (2s + + 1)c /2 + j s 1 Ч + 2c /2Ч (2k + + 1)c /2 + j k -1 ) 2s + + 1 , Ч ( )2 + 2 s=0 (2s + + 1)c /2

W

[2]{P k

(,0) k

( , )}



=-

j ( + 4)! j ( )+ Ч 6 24! c ( + 1)/2 + j 2

(j )

если

k=0

;

( + 5)! j ( + 6)! ( )- ( )+ ( + 1)! c ( + 3)/2 + j 2 4( + 2)! c ( + 5)/2 + j 2 j ( + 7)! j ( + 8)! + ( )- ( ); 6( + 3)! c ( + 7)/2 + j 2 24( + 4)! c ( + 9)/2 + j 2 Ч W
(,0) {P5 ( , )} 5

(j )

Ч

=-

j ( + 5)! j Ч ( )+ 24 120! c ( + 1)/2 + j 2

если

k>0

.

( + 6)! j ( + 7)! ( )- ( )+ ( + 1)! c ( + 3)/2 + j 2 12( + 2)! c ( + 5)/2 + j 2 j ( + 9)! j ( + 8)! + ( )- ( )+ 12( + 3)! c ( + 7)/2 + j 2 24( + 4)! c ( + 9)/2 + j 2 j ( + 10)! + ( ). 120( + 5)! c ( + 11)/2 + j 2


148

Аналитические представления в частотной области

(0; 0) (0; 0)

3

1, 5

2 1 ReWk (j ) -0, 2 -0, 4 -0, 2 0 0 ImWk (j ) б)

1 0 -0, 2 0 0, 2 0 -0, 2 ImWk (j ) а) -0, 4

ReWk (j )

Рис. 6.49. Вид производных преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 1, c = 2, [0; 4], = 0; б) [0, 75; 2], c = 2, = 1, = 0

(0; 0)
{Pk k
(0,1)

[6.135]

= k (k)(k + s + 1) 1 = -j (-1)s ( )2 . s s (2s + 1) + j s=0

W

( , )}

k

(j )

4

3

2
Частные случаи для производных преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(0,1) {P0 ( , )} 0

1 =- j ; ( + j )2 j 3j + ; ( + j )2 (3 + j )2 j 8j 10j + - ; ( + j )2 (3 + j )2 (5 + j )2 j 15j + - ( + j )2 (3 + j )2
[6.136]

W

(j )

ImWk (j ) 0 -0, 5 -0, 6 -0, 4 -0, 2 0 ReWk (j )

W
(0,1) {P1 ( , )} 1

0

(j )

W
(0,1) { P2 ( , )} 2

=-

(j )

W
(0,1) ( , )} {P3 3

=-

Рис. 6.50. Вид производных преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 0, = 1

(j )

-

=-

45j 35j + ; (5 + j )2 (7 + j )2
(0,1) ( , )} {P4 4

(j ) j 24j =- + - ( + j )2 (3 + j )2 126j 224j 126j - + - ; (5 + j )2 (7 + j )2 (9 + j )2 W (j ) j 35j =- + - ( + j )2 (3 + j )2 840j 1050j 462j 280j + - + . - (5 + j )2 (7 + j )2 (9 + j )2 (11 + j )2 W
(0,1) ( , )} {P5 5

(j ) = k (k)(k + s + 2) 1 (-1)s ( = -j )2 . s s (2s + 1) + j s=0

W

{Pk k

(0,2)

( , )}

Частные случаи для производных преобразования Фурье функций 0-5 порядков:
(0,2) ( , )} { P0 0

W

(j )



=-

j ; ( + j )2


6.4 Производные преобразований Фурье ортогональных функций

149

W

(0,2) { P1 ( , )} 1

(j )

W
(0,2) {P2 ( , )} 2

=-

j 4j + ; ( + j )2 (3 + j )2
[6.137]

(j )

W
(0,2) { P3 ( , )} 3

j 10j 15j =- + - ; ( + j )2 (3 + j )2 (5 + j )2 =- 18j j + - ( + j )2 (3 + j )2

W

{Pk k

(0, )

( , )}

(j )

(j )

-

(k + s + ) 1 Ч (-1)s ( )2 . s (2s + 1)c /2 + j

= -j

k (k) Ч s s=0

63j 56j + ; (5 + j )2 (7 + j )2
(0,2) ( , )} { P4 4

Частные случаи для производных преобразования Фурье функций 0-5 порядков:

j 28j =- + - ( + j )2 (3 + j )2 168j 336j 210j - + - ; (5 + j )2 (7 + j )2 (9 + j )2 (j ) j 40j =- + - ( + j )2 (3 + j )2 360j 1200j 1650j 792j - + - + . (5 + j )2 (7 + j )2 (9 + j )2 (11 + j )2 W
(0,2) { P5 ( , )} 5

W

(j )

W

(0, ) {P0 ( , )} 0

(j )

W
(0, ) {P1 ( , )} 1

=-

j ; (c /2 + j )2 j j ( + 2) + ; (c /2 + j )2 (3c /2 + j )2 j 2j ( + 3) + - 2(c /2 + j )2 (3c /2 + j )2

(j )

W
(0, ) {P2 ( , )} 2

=-

(j )

- j ( + 3)( + 4) ; 2(5c /2 + j )2
(0, ) {P3 ( , )} 3

=-

W (0; 0) k -

(j )



=-

j 3j ( + 4) + - (c /2 + j )2 (3c /2 + j )2

3j ( + 3)( + 4) j ( + 6)! + ; 2(5c /2 + j )2 6( + 3)!(7c /2 + j )2
(0, ) {P4 ( , )} 4

4

W

(j )

-

=-

j 4j ( + 5) + - (c /2 + j )2 (3c /2 + j )2

3

2 ImWk (j ) 0 -0, 5 -0, 6 -0, 4 -0, 2 0 ReWk (j )

3j ( + 5)( + 6) 2j ( + 7)! + - (5c /2 + j )2 3( + 4)!(7c /2 + j )2 j ( + 8)! - ; 24( + 4)!(9c /2 + j )2 W
(0, ) {P5 ( , )} 5

(j )

1

-

=-

j 5j ( + 6) + - (c /2 + j )2 (3c /2 + j )2

0

5j ( + 8)! 5j ( + 6)( + 7) + - (5c /2 + j )2 3( + 5)!(7c /2 + j )2 5j ( + 9)! j ( + 10)! - + . 24( + 5)!(9c /2 + j )2 120( + 5)!(11c /2 + j )2

Рис. 6.51. Вид производных преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 0, = 2


150

Аналитические представления в частотной области

4 3 2 1 0 0

(0; 0)



(0; 0)

1, 5

ImWk (j ) -0, 4 -0, 2 -0, 2 ReWk (j ) а) 0 0, 2

1

ReWk (j ) 0, 4 0, 2 -0, 5 0 -0, 2 ImWk (j ) 0 б)

Рис. 6.52. Вид производных преобразования Фурье ортогональных функций Якоби 2-ого порядка: а) = 1, c = 2, = 0, [0; 5]; б) [0, 75; 2], c = 2, = 0, = 1

6.5 Производные преобразований Фурье ортогональных фильтров
V
[1]{Lk ( , )} k

V4

{L4 ( , )}


{L ( , )} V5 5



( )( ) + 9j /2 j - /2 3 ; ( )6 j + /2 ( )( )4 + 11j /2 j - /2 (j ) = . ( ) j + /2 7 (j ) =

[6.138]

(j )

)s k ( k )( j - =- (s + 1). (j + /2)2 s=0 k - s j + /2
[2]{Lk ( , )} k



=
(0; 0) k

4

[6.139]

V

= ( )( ) j j - (2k + 1)/2 j - /2 k =- (j + /2)3 j + /2

(j )

-1

3

.
2 10 0 0 ImVk (j )

[6.140]

4j (-1)k (cos )2 Ч ( ) Ч exp(-j (2k + 1)) (2k + 1) cos - j sin , =- = arctan 2 .

V

[3]{Lk ( , )} k

(j )

1

-5

0

5

Частные случаи для производных преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:

Рис. 6.53. Вид производных преобразования Фурье ортогональных фильтров Лагерра 0-5 порядков; = 4

ReVk (j )

V

{L0 ( , )} 0

(j )

V
{L1 ( , )} 1

=

( + j /2) ( ); (j - /2) j + /2 2
(1)

(j )

V
{L2 ( , )} 2

V
{L3 ( , )} 3



( + 3j /2) =( ); j + /2 3 ( )( + 5j / 2 j - / (j ) = ( ) j + /2 4 ( )( + 7j / 2 j - / (j ) = ( ) j + /2 5

2

)
;

[6.141]

Vk =-

[1]{Lk ( , )}

(j )

2

)

2

;

)s k ( k )( j2 - (s + 2). (j + /2)3 s=0 k - s j + /2



=


6.5 Производные преобразований Фурье ортогональных фильтров

151

[6.142]

V

[2]{Lk ( , )} k

(1)

= ( ) ) 2 2j - (2k + 2)/2 ( j j - /2 =- (j + /2)4 j + /2

(j )

[6.144]

V

[1]{Lk ( , )} k

(2)

(j )

k -1

.

=-

)s k ( k )( j3 - (s + 3). (j + /2)4 s=0 k - s j + /2



=

[6.143]

8j (-1)k (cos )3 Ч ( ) Ч exp(-j (2k + 2)) (2k + 2) cos - 2j sin , =- = arctan 2 .
[6.145]

V

[3]{Lk ( , )} k

(1)

(j )

V

[2]{Lk ( , )} k

(2)

Частные случаи для производных преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:
(1) {L0 ( , )} 0 2

V

(j )

V
(1) {L1 ( , )} 1

=

2 ( + j /2) ( ); (j - /2) j + /2 3

(j ) = ( )( ) j 3 3j - (2k + 3)/2 j - /2 k =- (j + /2)5 j + /2

-1

.

(j )

V
(1) {L2 ( , )} 2

2 2 ( + j ) =( ); j + /2 4 = 2
2

(j )

(

V
(1) {L3 ( , )} 3

)( ) + 3j / 2 j - / 2 ; ( )5 j + /2 )( ) + 2j j - / 2 2 ; ( )6 j + /2 )( ) + 5j / 2 j - / 2 3 ; ( )7 j + /2 )( ) + 3j j - / 2 4 . ( )8 j + /2
[6.146]

(j )

V
(1) {L4 ( , )} 4

=

2

2

(

(j )

V
(1) {L5 ( , )} 5

=

2

2

(

(j )



=

2

2

(

16j (-1)k (cos )4 Ч ( ) Ч exp(-j (2k + 3)) (2k + 3) cos - 3j sin , =- = arctan 2 .

V

[3]{Lk ( , )} k

(2)

(j )

(0; 0) k
Частные случаи для производных преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:
(2) {L0 ( , )} 0

4

V

(j )

3 V 2 20 10 0 -10 -20 ReVk (j ) ImVk (j ) V
(2) {L1 ( , )} 1

=

3 3 ( + j /2) ( ); (j - /2) j + /2 4 3 (3 + 5j /2) ; ( ) j + /2 5
3

(j )


(2) {L2 ( , )} 2

=

(j )

(

1

V
(2) {L3 ( , )} 3

=

)( ) 3 + 7j /2 j - /2 ; ( )6 j + /2 )( ) 3 + 9j /2 j - /2 2 ; ( )7 j + /2 )( ) 3 + 11j /2 j - /2 3 ; ( )8 j + /2 )( ) 3 + 13j /2 j - /2 4 . ( )9 j + /2

(j )

0 -10 0 10

V
(2) {L4 ( , )} 4

=



3

(

(j )

Рис. 6.54. Вид производных преобразования Фурье ортогональных фильтров Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 4, = 1

V
(2) {L5 ( , )} 5

=



3

(

(j )



=



3

(


152

Аналитические представления в частотной области

[6.149]

Vk

[3]{Lk

( )

( , )}

(j )



=-

2+2 j (-1)k Ч

(0; 0) k

Ч (cos )+2 exp(-j (2k + + 1))Ч ( ) 2 Ч (2k ++1) cos -j (+1) sin , = arctan .
Частные случаи для производных преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:

4

3

V0

() {L0 ( , )}

(j )

2 ImVk (j ) 40 20 0 -20 -40 ReVk (j )
() {L ( , )} V1 1

=



+1

) ( + 1) + j ( + 1) /2 ( )+2 ; (j - /2) j + /2 ( ) ( + 1) + j ( + 3) /2 ; ( )+3 j + /2

(

(j )


() {L ( , )} V2 2

=



+1

1

(j )

0 -40

-20

0

20

) Ч j - /2 ; V3 (
() {L3 ( , )}

(



=



+1

(

) ( + 1) + j ( + 5) /2 Ч ( )+4 j + /2 ) ( + 1) + j ( + 7) /2 Ч ( )+5 j + /2 ) ( + 1) + j ( + 9) /2 Ч ( )+6 j + /2 ) ( + 1) + j ( + 11) /2 Ч ( )+7 j + /2

(j )

Рис. 6.55. Вид производных преобразования Фурье ортогональных фильтров Cонина-Лагерра 0-5 порядков; = 4, = 2

Ч j - /2 )
2

=



+1

(

;

() {L ( , )} V4 4

(j )

[6.147]

V

[1]{Lk k

()

( , )}

(j )

=- j (j + /2)
[2]{Lk k
()

=

( )3 Ч j - /2 ; V5
() {L5 ( , )}

=



+1

(

+1

+2

)s k ( k )( - (s++1). k-s j + /2 s=0

(j )

( )4 Ч j - /2 .

=



+1

(

[6.148]

(j ) = -j +1 Ч ( )( ) ( + 1)j - (2k + + 1)/2 j - /2 k Ч (j + /2)+3 j + /2

V

( , )}

-1

.

(0; 0) (0; 0) 3, 5 3 2, 5 2 2 -20 1 -100 0 0 ImVk (j ) а) 50 ReVk (j ) ReVk (j )

3

-10 0 0 ImVk (j ) б)

-10

Рис. 6.56. Вид производных преобразования Фурье ортогональных фильтров Cонина-Лагерра 2-ого порядка: а) = 4, [1; 4]; б) [2; 4], = 1


6.5 Производные преобразований Фурье ортогональных фильтров

153

-

109395j ; 128(17 /2 + j )2
(-1/2,0) { P5 ( , )} 5

[6.150]

V

[1]{Pk k

(-1/2,0)

( , )}

(j )

Ч

= -j (4k + 1) Ч

k (k)(k + s - 1/2) 1 (-1)s ( )2 . s s - 1/2 (4s + 1) /2 + j s=0 [2]{Pk k
(-1/2,0)

1323j 72765j + Ч 256( /2 + j )2 256 1 315315j 945945j Ч - + - (5 /2 + j )2 128(9 /2 + j )2 128(13 /2 + j )2 2297295j 969969j - + . 256(17 /2 + j )2 256(21 /2 + j )2 =-

V

(j )

[6.151]

V

=

(j ) = j - , ( /2 + j )2 j (4k + 1) Ч - (4k + 1) /2 + j k -1 (4s + 1) /2 - j Ч Ч (4s + 1) /2 + j s (=0 1 Ч + (4k + 1) /2 + j ) k -1 4s + 1 + , ( )2 + 2 s=0 (4s + 1) /2
(-1/2,0)

( , )}

(0; 0)
если

k=0

;

k

4

3

2
если

k > 0.
1 0 -5 -5 0 -10 ReVk (j )

ImVk (j )

[6.152]

= 2 - 4j (cos 0 ) exp(-2j ), 0 -2j cos k Ч (( ) k-1 ) Ч exp -j k + 2 s Ч = ( s=0 ) ( Ч 2 cos k exp -j k + (4k + 1) 4 k-1 (cosk )2 ) + , s=0 4s + 1

V

[3]{Pk k

( , )}

(j )

0

если

k=0

;

Рис. 6.57. Вид производных преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = -1/2, = 0

если

k>0

,

[6.153]

V

[1]{Legk ( , )} k

(j )

= -2j (2k+1)

=

2 k = arctan . (4k + 1)
Частные случаи для производных преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:
(-1/2,0) {P0 ( , )} 0

k (k)(k + s) 1 (-1)s ( )2 . s s (2s + 1) + j s=0

V

(j )

V
(-1/2,0) {P1 ( , )} 1

=-

j ; ( /2 + j )2 5j 15j + ; 2( /2 + j )2 2(5 /2 + j )2
[6.154]

(j )

V
(-1/2,0) ( , )} {P2 2

=-

V

(j )

-

315j ; 8(9 /2 + j )2
(-1/2,0) ( , )} {P3 3

27j 135j =- + - 8( /2 + j )2 4(5 /2 + j )2

[2]{Legk ( , )} k

(j ) 65j 1365j =- + - 16( /2 + j )2 16(5 /2 + j )2 4095j 3003j - + ; 16(9 /2 + j )2 16(13 /2 + j )2 V 595j 5355j + Ч 128( /2 + j )2 32 58905j 51051j 1 - + - Ч (5 /2 + j )2 64(9 /2 + j )2 32(13 /2 + j )2 =- V
(-1/2,0) ( , )} {P4 4

=

(j )

(j ) = 2j - , ( + j )2 2j (2k + 1) - Ч (2k + 1) + j k -1 (2s + 1) - j Ч Ч (2s + 1) + j s (=0 1 + Ч (2k + 1) + j ) k-1 2s + 1 +2 , ( )2 + 2 s=0 (2s + 1)

если

k=0

;

если

k > 0.


154

Аналитические представления в частотной области

[6.155]

V

[3]{Legk ( , )} k

(j )

=

- - Ч Ч +

( ) 2j (cos 0 )2 exp -2j 0 , 2j cos k Ч (( ) k -1 ) exp -j k + 2 s Ч s=0 ( ) ( cos k exp -j k + (2k + 1) ) k -1 2 (cosk )2 , s=0 2s + 1

=

[6.156]

Vk Ч

[1]{Pk

(1/2,0)

( , )}

(j )



= -j (4k + 3) Ч

если

k=0

;

k (k)(k + s + 1/2) 1 (-1)s ( )2 . s s + 1/2 (4s + 3) /2 + j s=0 [2]{Pk
(1/2,0)

[6.157]

Vk

если

k > 0,

k = arctan

. (2k + 1)

Частные случаи для производных преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:

V

{Leg0 ( , )} 0

(j )

V
{Leg1 ( , )} 1

=-

2j ; ( + j )2

- - =Ч Ч +

(j )

V
{Leg2 ( , )} 2

6j 12j =- + ; ( + j )2 (3 + j )2 =- =- 10j 60j 6j + - ; ( + j )2 (3 + j )2 (5 + j )2 14j 168j + - ( + j )2 (3 + j )2
;
[6.158]

(j ) = 3j , (3 /2 + j )2 j (4k + 3) Ч (4k + 3) /2 + j k -1 (4s + 3) /2 - j Ч (4s + 3) /2 + j s (=0 1 + (4k + 3) /2 + j ) k -1 4s + 3 , ( )2 + 2 s=0 (4s + 3) /2
(1/2,0)

( , )}

если

k=0

;

если

k>0

.

(j )

Vk - - Ч Ч +

[3]{Pk

V
{Leg3 ( , )} 3

(j )

-

-

-

420j 280j + (5 + j )2 (7 + j )2 {Leg4 ( , )} V4 (j ) =- ( 1620j 2520j + (5 + j )2 (7 + j )2 {Leg5 ( , )} V5 (j ) =- ( 4620j 12320j + (5 + j )2 (7 + j )2

18j 360j + - + j )2 (3 + j )2 1260j - ; (9 + j )2 22j 660j + - + j )2 (3 + j )2 13860j 5544j - + . (9 + j )2 (11 + j )2

=

(j ) = ( ) 4j (cos 0 )2 exp -2j 0 , 3 2j cos k Ч (( ) k-1 ) exp -j k + 2 s Ч ( s=0 ) ( 2 cos k exp -j k + (4k + 3) ) k-1 4 (cosk )2 , s=0 4s + 3

( , )}

если

k=0

;

если

k > 0,

k = arctan
тров 0-5 порядков:

2 . (4k + 3)

Частные случаи для производных преобразования Фурье филь-

(0; 0) k

V0

(1/2,0) { P0 ( , )}

(j )

V1
(1/2,0) { P1 ( , )}

=-

3j ; (3 /2 + j )2 35j 105j + ; 2(3 /2 + j )2 2(7 /2 + j )2

(j )

4

V2
(1/2,0) { P2 ( , )}

=-

3

2 ImVk (j ) 0 0 -5 0 -5 ReVk (j )

297j 1485j (j ) =- + - 8(3 /2 + j )2 4(7 /2 + j )2 3465j ; - 8(11 /2 + j )2 (j ) 975j 20475j =- + - 16(3 /2 + j )2 16(7 /2 + j )2 45045j 61425j + ; - 16(11 /2 + j )2 16(15 /2 + j )2 V3 11305j 101745j + Ч 128(3 /2 + j )2 32 1 1119195j 969969j Ч - + - (7 /2 + j )2 64(11 /2 + j )2 32(15 /2 + j )2 2078505j ; - 128(19 /2 + j )2 =- V4
(1/2,0) ( , )} { P4 (1/2,0) ( , )} { P3

1

(j )

Рис. 6.58. Вид производных преобразования Фурье ортогональных фильтров Лежандра 0-5 порядков; = 1,

c=2


6.5 Производные преобразований Фурье ортогональных фильтров

155

30429j 1673595j + Ч 256(3 /2 + j )2 256 1 7252245j 21756735j Ч - + - (7 /2 + j )2 128(11 /2 + j )2 128(15 /2 + j )2 22309287j 52837785j - + . 256(19 /2 + j )2 256(23 /2 + j )2 =-

V

(1/2,0) {P5 ( , )} 5

(j )

[6.161]

V =

(0; 0) k

4

(j ) = 2 ( ) 2j (cos 0 ) - exp -2j 0 , -2j cos k Ч (( ) k -1 ) Ч exp -j k + 2 s Ч s=0 ( ) ( cos k exp -j k Ч + (k + 1) k -1 2) 2 (cosk ) , + s=0 s + 1

[3]{Pk k

(1,0)

( , )}

если

k=0

;

если

k > 0, . (k + 1)

k = arctan
3

2 ImVk (j ) 0 0 -4 -2 0 ReVk (j ) -5

1

Рис. 6.59. Вид производных преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 1 / 2, = 0

[6.159]

V

[1]{Pk k

(1,0)

(j ) = -2j (k + 1) Ч k (k)(k + s + 1) 1 (-1)s ( Ч )2 . s s+1 (s + 1) + j s=0

( , )}

Частные случаи для производных преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:
(1,0) { P0 ( , )} 0

V

(j )

V
(1,0) { P1 ( , )} 1

=-

2j ; ( + j )2 8j 12j + ; ( + j )2 (2 + j )2 18j 72j 60j + - ; ( + j )2 (2 + j )2 (3 + j )2

(j )

V
(1,0) { P2 ( , )} 2

=-

(j )

[6.160]

V

[2]{ k

(1,0) Pk

=

(j ) = 2j - , ( + j )2 2j (k + 1) - Ч (k + 1) + j k-1 (s + 1) - j Ч Ч (s + 1) + j s (=0 1 + Ч (k + 1) + j ) k -1 s+1 +2 , ( )2 + 2 s=0 (s + 1)

( , )}

V
(1,0) ( , )} { P3 3

=-

если

k=0

;

(j ) 32j 240j =- + - ( + j )2 (2 + j )2 480j 280j - + ; (3 + j )2 (4 + j )2 (j ) 50j 600j =- + - ( + j )2 (2 + j )2 2100j 2800j 1260j - + - ; (3 + j )2 (4 + j )2 (5 + j )2 V (j ) 72j 1260j =- + - ( + j )2 (2 + j )2 15120j 15120j 5544j 6720j + - + . - (3 + j )2 (4 + j )2 (5 + j )2 (6 + j )2 V
(1,0) ( , )} { P5 5 (1,0) ( , )} { P4 4

если

k > 0.


156

Аналитические представления в частотной области

[6.164]

Vk - - Ч Ч +

[3]{Pk

(2,0)

(0; 0) k

4

=
3

2 ImVk (j )

(j ) = 2 ( ) 2j (cos 0 ) exp -2j 0 , 2j cos k Ч (( ) k-1 ) exp -j k + 2 s Ч s=0 ( ) ( cos k exp -j k + (2k + 3) k-1 2) 2 (cosk ) , s=0 2s + 3

( , )}

если

k=0

;

если

k > 0,

1 0 0 -5 0 ReVk (j ) -5

5

k = arctan

. (2k + 3)

Рис. 6.60. Вид производных преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 1, = 1, = 0

[6.162]

V

(j ) = -2j (2k + 3) Ч k (k)(k + s + 2) 1 Ч (-1)s ( )2 . s s+2 (2s + 3) + j s=0
Частные случаи для производных преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:
(2,0) { P0 ( , )}

[1]{Pk k

(2,0)

( , )}

V0

(j )

V1
(2,0) { P1 ( , )}

=-

6j ; (3 + j )2 30j 40j + ; (3 + j )2 (5 + j )2 84j 280j 210j + - ; (3 + j )2 (5 + j )2 (7 + j )2

(j )

V
(2,0) { P2 ( , )} 2

=-

(j )

[6.163]

V

[2]{ k

=

(j ) = 2j - , ( + j )2 2j (2k + 3) - Ч (2k + 3) + j k -1 (2s + 3) - j Ч Ч (2s + 3) + j s (=0 1 + Ч (2k + 3) + j ) k-1 2s + 3 +2 , ( )2 + 2 s=0 (2s + 3)

(2,0) Pk

( , )}

V3
(2,0) ( , )} { P3

=-

если

k=0

;

(j ) 180j 1080j =- + - (3 + j )2 (5 + j )2 1890j 1008j - + ; (7 + j )2 (9 + j )2 (j ) 330j 3080j =- + - (3 + j )2 (5 + j )2 9240j 11880j 4620j - + - ; (7 + j )2 (9 + j )2 (11 + j )2 V4 (j ) 546j 7280j =- + - (3 + j )2 (5 + j )2 65520j 60060j 20592j 32760j + - + . - (7 + j )2 (9 + j )2 (11 + j )2 (13 + j )2 V5
(2,0) ( , )} { P5 (2,0) ( , )} { P4

если

k > 0.


6.5 Производные преобразований Фурье ортогональных фильтров

157

[6.167]

V =

(0; 0) k

4

3

2 ImVk (j )

(j ) = 2 ( ) 4j (cos 0 ) - exp -2j 0 , ( + 1)c -2j cos k Ч (( ) k -1 ) Ч exp -j k + 2 s Ч s=0 ( ) ( cos k exp -j k Ч + (2k + + 1)c /2 ) k -1 4 (cosk )2 , + c s=0 2s + + 1 k = arctan

[3]{Pk k

(,0)

( , )}

если

k=0

;

если

k > 0,

1 0 0 -2 0 ReVk (j ) -2

2

2 . (2k + + 1)c

Частные случаи для производных преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:

V

(,0) ( , )} { P0 0

(j )

Рис. 6.61. Вид производных преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 2, = 0

V
(,0) { P1 ( , )} 1

= -(

j c ( + 1) c ( + 1)/2 + j

)2 ;

(j )

Ч( ( + 3) c ( + 3)/2 + j
(,0) { P2 ( , )} 2

= -(

c ( + 1)/2 + j

j c ( + 1)( + 3) )2 + j c ( + 2) Ч

)2 ; =- j c ( + 1)( + 2)( + 5) + j c Ч ( ) 2 c ( + 1)/2 + j 2

V
[6.165]

(j )

V

[1]{Pk k

(,0)


( , )}

(j )



= -j (2k + + 1)c

(k + s + ) 1 Ч (-1)s ( )2 . s+ (2s + + 1)c /2 + j

k (k) Ч s s=0

Ч

j c ( + 3)( + 4)( + 5) ( + 2)( + 3)( + 5) ( ; ( )- 2 c ( + 5)/2 + j )2 2 c ( + 3)/2 + j 2
(,0) { P3 ( , )}

V3

(j )

Ч

=-

j c ( + 3)!( + 7) ( ) + j c ( + 7) Ч 6! c ( + 1)/2 + j 2

( + 4)! j c ( + 5)!( + 7) ( )- ( )+ 2( + 1)! c ( + 3)/2 + j 2 2( + 2)! c ( + 5)/2 + j 2 j c ( + 6)!( + 7) + ( ); 6( + 3)! c ( + 7)/2 + j 2 V
(,0) { P4 ( , )} 4

(j )

[6.166]

V

[2]{Pk k

(,0)

( , )}



=-

j c ( + 4)!( + 9) j ( )+ Ч 6 24! c ( + 1)/2 + j 2

(j )

- ( , ( + 1)c /2 + j )2 j (2k + + 1)c - Ч (2k + + 1)c /2 + j k -1 (2s + + 1)c /2 - j Ч =Ч s=0 (2s + + 1)c /2 + j ( 1 Ч + 2c /2Ч (2k + + 1)c /2 + j k -1 ) 2s + + 1 Ч , ( )2 + 2 s=0 (2s + + 1)c /2

j ( + 1)c

=
если

k=0

;

c ( + 5)!( + 9) j c ( + 6)!( + 9) ( )- ( )+ ( + 1)! c ( + 3)/2 + j 2 4( + 2)! c ( + 5)/2 + j 2 j c ( + 7)!( + 9) j c ( + 8)!( + 9) + ( )- ( ); 6( + 3)! c ( + 7)/2 + j 2 24( + 4)! c ( + 9)/2 + j 2 Ч V
(,0) { P5 ( , )} 5

(j )

Ч

=-

j j c ( + 5)!( + 11) Ч ( )+ 24 120! c ( + 1)/2 + j 2

если

k>0

.

j c ( + 7)!( + 11) c ( + 6)!( + 11) ( )- ( )+ ( + 1)! c ( + 3)/2 + j 2 12( + 2)! c ( + 5)/2 + j 2 j c ( + 8)!( + 11) j c ( + 9)!( + 11) + ( )- ( )+ 12( + 3)! c ( + 7)/2 + j 2 24( + 4)! c ( + 9)/2 + j 2 j c ( + 10)!( + 11) + ( ). 120( + 5)! c ( + 11)/2 + j 2


158

Аналитические представления в частотной области

(0; 0) 4 1, 5 3 2 1 -2 0 2 0 ImWk (j ) -2 а) -4 -4 -2 0 0 ImWk (j ) б) ReWk (j ) 1 ReWk (j ) -2 (0; 0)

0

Рис. 6.62. Вид производных преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 2-ого порядка: а) = 1, c = 2, [0; 5], = 0; б) [0, 75; 2], c = 2, = 1, = 0

[6.168]

V

{Pk k

(0,1)

( , )}

(j )



=-

8j 2 (k + 1)2 Ч (2k + 3) + j

( 1 1 1 - + + j ) 3 + j ( + j 11 1 90 1 + - 11 ) 7 + j ( + j 5 + j 1 70 1 + + 9 + j 11 + j 11 + Ч V
(0,1) {P5 ( , )} 5

( 20 1 + + 3 + j ) 5 + j 1 140 + + ) 11 + j 7 + j j
;

)

Ч

k (k)(k + s) 1 (-1)s Ч s s (2s + 1) + j s=0 ( ) 1 1 Ч + . (2s + 1) + j (2k + 3) + j

Ч + + Ч

Частные случаи для производных преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:
(0,1) { P0 ( , )} 0

V

(j )

V
(0,1) { P1 ( , )} 1

=-

16j 2 (2 + j ) ; ( + j )2 (3 + j )2

(( 288j 2 1 1 + (13 + j ) + j 13 + ( ) ( 1 1 1 30 1 - + + + j ) 3 + j ( + j 3 + j ) 5 + j 13 1 1 210 1 560 - + 13 13 ( + j 5 + j ) 7 + j ( + j 7 + j 1 1 630 1 1 + - + 9 + j ) 13 + j 9 + j 11 + j 13 + 252 . 11 + j (j ) =-

) j + + j Ч

) Ч

(j )

1 Ч - + j V

(

1 3 + j (j )

(0,1) { P2 ( , )} 2

Ч

( 1 1 - + j ) 3 + j 6 1 ; + 7 + j 5 + j V
(0,1) ( , )} { P3 3



(( ) 32j 2 1 1 + Ч (5 + j ) + j 5 + j ) ) 1 2 + ; 5 + j 3 + j (( ) 72j 2 1 1 =- + Ч (7 + j ) + j 7 + j ) ( 1 6 1 + + + 7 + j 3 + j 5 + j ) =- ) j )
;

Ч 1 - + j ) 1 + 9 + j
(0,1) ( {P V4 4



(( 128j 2 1 1 + (9 + j ) + j 9 + ( ) ( 1 1 12 1 + + 3 + j ( 9 + j 3 + j ) 5 + j 30 1 1 20 - + 5 + j 7 + j 9 + j 7 + j , )} (( 200j 2 1 (j ) =- + (11 + j ) + j 11 (j ) =-

Ч

+

1 + j

) Ч


6.5 Производные преобразований Фурье ортогональных фильтров

159

+ (0; 0) k

) ( 1 12 + 11 + j ( + j 3 5 30 1 Ч - + 5 + j 7 + j 9

4

+ + Ч

3

2 5 0 0 -5 0 ReVk (j ) -5 ImVk (j )

+

1

+ + Ч + +

Рис. 6.63. Вид производных преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 0, = 1

[6.169]

V

{P k k

(0,2)

( , )}

) 1 1 1 + + Ч + j 9 + j ) 11 + j ) 1 1 20 + ; + j 11 + j 7 + j (0,2) {P ( , )} (( V4 4 2640j 3 1 (j ) =- + (11 + j )(13 + j ) + j ) ( 1 1 1 1 1 + - + + 11 + j ) 13 + j ( + j 3 + j 11 + j ) 20 1 1 1 1 + + + Ч 13 + j ( + j 3 5 + j 11 + j ) 13 + j 90 1 1 1 140 - + + + 5 7 + j 11 + j ) 13 + j ) 7 + j ( + j 1 70 1 1 + + ; 9 + j 11 + j 13 + j 11 + j (0,2) { P5 ( , )} (( V5 (j ) 4368j 3 1 =- + (13 + j )(15 + j ) + j ) ( 1 1 1 1 1 + - + + 13 + j ) 15 + j ( + j 3 + j 13 + j ) 1 30 1 1 1 + + + Ч 15 + j ( + j 3 5 + j 13 + j ) 15 + j 210 1 1 1 560 - + + + 5 7 + j 13 + j ) 15 + j ( + j 7 ( + j 1 1 1 630 1 + + - + 9 + j 13 + j ) 15 + j 9 + j 11 + j ) 1 1 252 + . 13 + j 15 + j 11 + j

(j )



8j 3 (2k + 3) )Ч = -( (2k + 3) + j
(0; 0) k

k (k + 1)(k + 2) (k)(k + s) ) Ч( (-1)s Ч s (2k + 5) + j s=0 s ( 1 1 + Ч (2s + 1) + j (2s + 1) + j

4

1 1 + + (2k + 3) + j (2k + 5) + j

) .
3

Частные случаи для производных преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:
(0,2) {P0 ( , )} 0

2 5 0 0 -5 0 ReVk (j ) -5 ImVk (j )

V

(j )

V
(0,2) {P1 ( , )} 1

=-

144j 3 (3 + j ) ; ( + j )2 (3 + j )2 (5 + j )2

1

1 5 + j 1 + 7 + j + V
(0,2) {P2 2

1 + 7 + j 1 + 9 + j 6 Ч 5 + j V

(( 240j 3 1 + (5 + j )(7 + j ) + j ) ( 1 1 1 1 + - + + 3 + j 5 + j ) 7 + j + j ) 2 ; 3 + j ( , )} (( (j ) 672j 3 1 =- + (7 + j )(9 + j ) + j ) ( 1 1 1 1 + - + + 3 + j 7 + j ) ) 9 + j ( + j 6 1 1 1 + + + Ч 5 + j 7 + j 9 + j ) 3 + j (j ) =-
;

Рис. 6.64. Вид производных преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 0-5 порядков; = 1, c = 2, = 0, = 2

(( 1440j 3 1 + (9 + j )(11 + j ) + j ) ( 1 1 1 1 1 + + - + + 9 + j 11 + j + j 3 + j 9 + j
(0,2) ( , )} {P3 3

(j )



=-


160

Аналитические представления в частотной области

(k + )! [6.170] =- Ч k! k (k)(k + s) (2k + + 1) Ч (-1)s Ч s s s=0 (2k + 2p + 1) + j
p=0

V

{Pk k

(0, )

( , )}

(j )

j

+1

( Ч

Ч

1 (2s + 1) + j

(

1 + (2s + 1) + j +
p=0

1 (2k + 2p + 1) + j

) .

) 1 1 1 + - + j (2p + 7) + j + j p=0 ( ) 1 1 12 - + + 3 + j (2p + 7) + j 3 + j p=0 ( ) 1 1 30 + - 5 + j p=0 (2p + 7) + j 5 + j ( ) 1 20 1 ; - + 7 + j (2p + 7) + j 7 + j p=0 V4
(0, ) { P4 ( , )}

(j )

( Ч ( - ( + (

=-

j 24

+1

( + 4)!( + 9) (2p + 9) + j

Ч

Частные случаи для производных преобразования Фурье фильтров 0-5 порядков:

p=0

V

(0, ) { P0 ( , )} 0

(j )



=-

j


+1

( + 1)!

(

1 + + j

1 + + j

(2p + 1) + j

+

p=0

1 1 ; (2p + 1) + j + j (j ) =- j
+1

p=0

1 3 + j 1 5 + j 1 7 + j 1 9 + j

V

(0, ) { P1 ( , )} 1

( + 1)!( + 3)

( Ч



Ч

- ( +

(2p + 3) + j )

p=0 1 1 + + j (2p + 3) + j p=0

1 - + j ( ) 1 1 2 ; - + 3 + j (2p + 3) + j 3 + j p=0 V
(0, ) { P2 ( , )} 2

) 1 1 - (2p + 9) + j + j p=0 ) 1 20 + + (2p + 9) + j 3 + j p=0 ) 1 90 - (2p + 9) + j 5 + j p=0 ) 1 140 + + (2p + 9) + j 7 + j p=0 ) 1 70 ; + (2p + 9) + j 11 + j p=0


V5

(0, ) { P5 ( , )}

(j )

( Ч ( - ( + ( - ( + ( Ч -

=-

j

+1

( + 5)!( + 11) (2p + 11) + j

120



Ч

p=0

(j )

( Ч

=-

j 2

+1

( + 2)!( + 5)

Ч

(2p + 5) + j 1 - + j 6 + + j j ;

p=0

) 1 1 + + j (2p + 5) + j p=0 ( ) 1 1 - + 3 + j (2p + 5) + j 3 p=0 ( ) 1 1 6 + 5 + j p=0 (2p + 5) + j 5 + V
(0, ) { P3 ( , )} 3

(j )



=-

j 6

+1

( + 3)!( + 7)

(2p + 7) + j

) 1 1 1 + - + j (2p + 11) + j + j p=0 ) 1 1 30 + + 3 + j (2p + 11) + j 3 + j p=0 ) 1 1 210 - 5 + j p=0 (2p + 11) + j 5 + j ) 1 1 560 + + 7 + j (2p + 11) + j 7 + j p=0 ) 1 1 630 + - 9 + j (2p + 11) + j 9 + j p=0 ) 1 1 252 . + 11 + j (2p + 11) + j 11 + j p=0

p=0


6.5 Производные преобразований Фурье ортогональных фильтров

161

4 3

(0; 0) (0; 0)

1, 5 2 1 0 0 -5 ReVk (j ) а) 0 -5 -2 0 ImWk (j ) б) -5

ImVk (j )

1 2 0

ReWk (j )

Рис. 6.65. Вид производных преобразования Фурье ортогональных фильтров Якоби 2-ого порядка: а) = 1, c = 2, = 0, [0; 5]; б) [0, 75; 2], c = 2, = 0, = 1


162

Аналитические представления в частотной области


Глава 7

Основные и расширенные свойства в частотной области
Определение.

Ортогональные функции в частотной области, как и во временной, обладают рядом общих свойств [5]

0
0



ReW


{k ( , )} k {k ( , )} k

(j )d =

k (0, ); 2

ImW

(j )d = 0.

Как и во временной, в частотной области были выделены дополнительные свойства [5]

{ ReW k { ImWk

k ( , ) k ( , )

} } (0) = -k (0, ); (0) = 0.


164

Основные и расширенные свойства в частотной области



k ( , )
0

ReW

{k ( , )} k

Таблица 7.1. Основные и расширенные свойства в частотной области } {

(j )d
0

Im

{ ( , )} Wk k

(j )d

ReWk

k ( , )

{ ImWk

(0)

k ( , )

} (0)

Lk ( , ) L L L Pk
(1) k (2) k

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

() k

(-1/2,0)

Legk ( , ) Pk P P P
(1/2,0) (1,0) k (2,0) k

( , )

( , ) ( , ) ( , )

(,0) k (0,1) k (0,2) k (0, )

P P

( , ) ( , ) ( , )

Pk

2 (k + 1) 2 (k + 1)(k + 2) (4 ) k+ 2 (-1)k 2 (-1)k 2 (-1)k 2 (-1)k 2 (-1)k 2 (-1)k 2 (k + 1) (-1)k 2 (k + 1)(k + 2) (-1)k 4( ) k k+ (-1) 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -

-1 -k - 1 (k + 1)(k + 2) (2) k+ - (-1)k (-1)
+1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

k+1 +1

(-1)k (-1)

k+1 +1

(-1)k (-1) (-1)k (-1)k
+1 +1

k+1

(k + 1)

(k + 1)(k + 2) (2) k+ (-1)k+1


Глава 8

Основные и расширенные соотношения ортогональности в частотной области
Определение.

Для ортогональных функций с единичной весовой функцией в частотной области также справедливы соотношения ортогональности [8, 10, 5]

0
0



ReW


{k ( , )} k {k ( , )} k

(j )ReW

{n ( , )} n {n ( , )} n

(j )d =

ImW

(j )ImW

k 2 k (j )d = 2

2 2



k,n

;

k,n .

Соотношение ортогональности дает возможность записать равенство, связывающее временную и частотную области (теорема Парсеваля) [5, 12]



0

( Re

{ ( , )} Wk k

) (j )

2

8.1

Основные соотношения ортогональности

d = 2


0



(

)2 k ( , ) d .

[8.2]

ImW
0

{Ls ( , )} s

(j )ImW

{Lk ( , )} k

(j )d =

, = 2 0,

если

k = s;

иначе.


[8.1]

ReW
0

{Ls ( , )} s

(j )ReW

{Lk ( , )} k

(j )d =
Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

, = 2 0,

если

k=s

;

иначе.

M[8

.1],[8.2]

1 0 0 = 2 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

.


166

Основные и расширенные соотношения ортогональности в частотной области

0

1

2

3

4

k

0

1

2

3

4

k

1

1

2

2

3

3

4

4

s
Рис. 8.1. Графическое представление соотношений [8.1], [8.2] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

s
Рис. 8.2. Графическое представление соотношений [8.4], [??] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[8.3]

ReW
0

{Ps s

(-1/2,0)

( , )}

(j )Ч
[8.5]



ReW
0

{Legs ( , )} s

(j )ReW

{Legk ( , )} k

(j )d =

Ч ReWk , = 2(4k + 1) 0,

{P

(-1/2,0) k

( , )}

(j )d = k=s
;

если

, 4(2k + 1) = 0,



если

k=s

;

иначе.

иначе.


[8.4]

ImW
0

{Ps s

(-1/2,0)

( , )}

(j )Ч
[8.6]



ImW
0

{Legs ( , )} s

(j )ImWk k=s

{Legk ( , )}

(j )d =

Ч ImW , = 2(4k + 1) 0,

{ k

(-1/2,0) Pk

( , )}

(j )d = k=s
;



если

=

, 4(2k + 1) 0,

если

;

иначе.

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[8

.4],[

1 0 0 ??] = 4 0 0 0

0 1 /5 0 0 0 0

0 0 1/ 9 0 0 0

0 0 0 1/13 0 0

0 0 0 0 1/17 0

0 0 0 0 0 1/21

.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[8

.5],[8.6]

1 0 0 = 4 0 0 0

0 1/ 3 0 0 0 0

0 0 1 /5 0 0 0

0 0 0 1 /7 0 0

0 0 0 0 1/9 0

0 0 0 0 0 1/11

.


8.1 Основные соотношения ортогональности

167

0

1

2

3

4

k

0

1

2

3

4

k

1

1

2

2

3

3

4

4

s
Рис. 8.3. Графическое представление соотношений [8.5], [8.6] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

s
Рис. 8.4. Графическое представление соотношений [8.7], [8.8] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[8.7]

ReW
0

{Ps s

(1/2,0)

( , )}



(j )Ч

[8.9]

ReW
0

{Ps s

(1,0)

( , )}

(j )Ч

Ч ReWk k , = 2(4k + 3) 0,

{P

(1/2,0)

( , )}

(j )d = k = s;

если

иначе.

Ч ReWk k , = 4(k + 1) 0,

{P

(1,0)

( , )}

(j )d = k=s
;

если

иначе.


[8.8]

ImW
0

{Ps s

(1/2,0)

( , )}



(j )Ч

[8.10]

ImW
0

{Ps s

(1,0)

( , )}

(j )Ч

Ч ImWk k , = 2(4k + 3) 0,

{P

(1/2,0)

( , )}

(j )d = k = s;

если

иначе.

Ч ImWk k , = 4(k + 1) 0,

{P

(1,0)

( , )}

(j )d = k=s
;

если

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M

[8.7],[8.8]

1 = 4

/3 0 0 0 0 0

0 1/ 7 0 0 0 0

0 0 1/11 0 0 0

0 0 0 1/15 0 0

0 0 0 0 1/19 0

0 0 0 0 0 1/23

.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[8

.9],[8.10]

1 0 0 = 4 0 0 0

0 1 /2 0 0 0 0

0 0 1/ 3 0 0 0

0 0 0 1 /4 0 0

0 0 0 0 1 /5 0

0 0 0 0 0 1/

. 6


168

Основные и расширенные соотношения ортогональности в частотной области

0

1

2

3

4

k

0

1

2

3

4

k

1

1

2

2

3

3

4

4

s
Рис. 8.5. Графическое представление соотношений [8.9], [8.10] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

s
Рис. 8.6. Графическое представление соотношений [8.11], [8.12] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[8.11]



ReW
0

{ s

(2,0) Ps

( , )}

(j )( , )Ч

[8.13]

ReW
0

{P s s

(,0)

( , )}

(j )( , )Ч

Ч ReW , = 4(2k + 3) 0,

{Pk k

(2,0)

( , )}

(j )d = k=s
;

если

Ч ReWk k (j )d = , если k = s; = 2c(2k + + 1) 0, иначе.

{P

(,0)

( , )}

иначе.


[8.14]

ImW
0

{Ps s

(,0)

( , )}

(j )( , )Ч


[8.12]

ImW
0

{Ps s

(2,0)

( , )}

(j )( , )Ч

Ч ImWk k , = 4(2k + 3) 0,

{P

(2,0)

( , )}

(j )d = k=s
;

Ч ImWk k (j )d = , если k = s; = 2c(2k + + 1) 0, иначе.

{P

(,0)

( , )}

если

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[8.13],[8 1
Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

.14]

=

M[8

.11],[8.12]

1 = 4

/3 0 0 0 0 0

0 1 /5 0 0 0 0

0 0 1 /7 0 0 0

0 0 0 1/9 0 0

0 0 0 0 1/11 0

0 0 0 0 0 1/13

.

Ч

(+1)

0 0 0 0 0

(

Ч 2c 0 0 1 0 +3) 1 0 (+5) 0 0 0 0 0 0

0 0 0
1 (+7)

0 0 0 0
1 (+9)

0 0

0 0 0 0 0
1 (+11)

.

0


8.2 Расширенные соотношения ортогональности

169

ReWk

{P

(,0) }2 k

ReW

{P k

(,0) }2 k

0, 6

0, 6 0, 4 0, 2

0, 4

0, 2 k 1 2 3 4 1 0 2 3 4 0, 5 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 0 1 2 3 4 k

0

а)

б)

Рис. 8.7. Графическое представление соотношения [8.13], [8.14] при k = 0..5 и k = s: а) = 1, c = 2, [0; 5]; б) [0, 5; 5, 5], c = 2, = 1

8.2

Расширенные соотношения ортогональности


M[8

.16]

1 -1 0 = 2 2 0 0 0
1



-1 3 -2 0 0 0
2

0 -2 5 -3 0 0

0 0 -3 7 -4 0
3

0 0 0 -4 9 -5

0 0 0 0 -5 11
4

. k

0

[8.15]

ImW

{Ls ( , )} s

(j )


0

ReW

{Lk ( , )} k

(j )d =
1

(k + 1) , 2 2 (2k + 1) - , = 2 2 k 2, 2 0,

если

k = s - 1; k=s
;

если

2
;

если

k =s+1

иначе.

3

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M

[8.15]

-1 1 0 = 2 2 0 0 0


1 -3 2 0 0 0

0 2 -5 3 0 0

0 0 3 -7 4 0

0 0 0 4 -9 5

0 0 0 0 5 -11

.
4

s
[8.16]

ReW

{Ls ( , )} s

(j )


0

ImW

{Lk ( , )} k

(j )d = k = s - 1; k=s
;

Рис. 8.8. Графическое представление соотношений [8.15], [8.16] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

- (k + 1) , 2 2 (2k + 1) , = 2 2 k - 2 2 , 0,

если


[8.17]

{ ReW
s

Ls ( , )

} (j )ReW

если

{Lk ( , )} k

(j )d = k>s k=s

0
если

k =s+1

;

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

- =- 0,

, 2 , 4

если если

; ;

иначе.


170

Основные и расширенные соотношения ортогональности в частотной области


[8.18]

{ ImW
s

Ls ( , )

} (j )ImW

{Lk ( , )} k

(j )d =
[8.20] если если

0



{ ReW
s

- =- 0,

, 2 , 4

Ls ( , )

} (j )

ImW

{Lk ( , )} k

(j )

k>s k=s

; ;


если если

d =

0

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[8.17],[8 -1/2 -1 -1 Ч -1 -1 -1
0

Ч .18] = 2 0 - 1 /2 -1 -1 -1 -1
1

(k + 1) , 4 , = 4 k - 4 , 0,
-1 1 2 0 0 0 0 -2 1 3 0 0
2

k =s-1 k = s; k =s+1

;

если

;

иначе.

0 0 -1/2 -1 -1 -1

0 0 0 - 1 /2 -1 -1
2

0 0 0 0 - 1 /2 -1
3

0 0 0 0 0 -1/
4

. 2 k

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[8

.20]

1 1 0 = 4 0 0 0

0 0 -3 1 4 0

0 0 0 -4 1 5
3

0 0 0 0 -5 1

.
4

0

1

k

1 1

2 2

3 3

4 4

s s
Рис. 8.9. Графическое представление соотношений [8.17], [8.18] при k = 0..5, s = 0..5; = 1 Рис. 8.10. Графическое представление соотношений [8.19], [8.20] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[8.19]

{ ImW
s

Ls ( , )

} (j )



{ ReW
s

ReW

{Lk ( , )} k

(j )

[8.21]

Ls ( , )

} (j ) Re W

{
k

Lk ( , )

} (j )d -


если если

d =

0

0

- (k + 1) , 4 - , 4 = k 4 , 0,

k = s - 1; k=s
;

- (k - s) , 2 (2k + 1) = - , - 8 4 0, { ImW
s
Ls ( , )

если если

k>s k=s

; ;

иначе.

если

k =s+1

; [8.22]



} (j ) Im W

{
k

Lk ( , )

} (j )d -

иначе.

0

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[8

.19]

-1 -1 0 = 4 0 0 0

1 -1 -2 0 0 0

0 2 -1 -3 0 0

0 0 3 -1 -4 0

0 0 0 4 -1 -5

0 0 0 0 5 -1

.

- (k - s) , 2 (2k + 1) - = - , 8 4 0,
= Ч 2

если если

k>s k=s

; ;

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[8

.21],[8.22]


8.2 Расширенные соотношения ортогональности

171

- 1 /4 -1 -2 Ч -3 -4 -5
0

0 -1/4 -1 -2 -3 -4
1

0 0 - 1 /4 -1 -2 -3

0 0 0 - 1 /4 -1 -2
2

0 0 0 0 -1/4 -1
3

0 0 0 0 0 -1/
4

. 4 k
1 0 1 2 3 4

k

1

2

2

3

3

4

4

s
Рис. 8.12. Графическое представление соотношений [8.23], [8.24] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

s
Рис. 8.11. Графическое представление соотношений [8.21], [8.22] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[8.23]

ImW
0

{Ls ( , )} s

(j )ReW

{Lk ( , )} k



(j )d = mod 2 = 0

[8.25]

ReW
0

{Ls ( , )} s

(1)

(j )ReW

{Lk ( , )} k

(1)

(j )d -

1 s - k, 1 , - 2k + 1 1 - , k+s+1

если если

(k + 1) k=s
;

;

(k - s) (k + 1) - , - = 2 0, 2

если

k>s

;

иначе.

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[8.

= -1 1 -1/3 = 1 /3 -1/5 1 /5
23]

-1 - 1 /3 1 - 1 /5 1 /3 - 1 /7

- 1 /3 -1 - 1 /5 1 - 1 /7 1 /3

-1/ -1/ -1 -1/ 1 -1/

3 5 7 9

-1/ -1/ -1/ -1 -1/ 1

5 3 7 9

- 1 /5 - 1 /7 - 1 /3 - 1 /9 -1 -1/11

.
[8.26]




[8.24]

ImW
0

{Ls ( , )} s

(1)

(j )ImW

{Lk ( , )} k

(1)

(j )d -

ReW
0

{Ls ( , )} s

(j )ImW

{Lk ( , )} k

(j )d = mod 2 = 0

1 - s- 1 2k + 1 k+s

, k , 1 +1 ,

если если

(k + 1) k=s
;

;

(k - s) (k + 1) - , - = 2 0, 2

если

k>s

;

иначе.

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[8.

= -1 -1 -1/3 = -1/3 -1/5 - 1 /5
24]

1 -1/ -1 -1/ -1/ -1/

3 5 3 7

-1/ 1 -1/ -1 -1/ -1/

3 5 7 3

1 /3 -1/5 1 -1/7 -1 -1/9

- 1 /5 1/ 3 - 1 /7 1 - 1 /9 -1

1/ 5 - 1 /7 1/ 3 - 1 /9 1 -1/11

.

M[8.25],[8 0 -1 -2 Ч -3 -4 -5

.26]

=

0 0 -1 -2 -3 -4

Ч 2 0 0 0 0 0 0 -1 0 -2 -1 -3 -2

0 0 0 0 0 -1

0 0 0 0 0 0

.


172

Основные и расширенные соотношения ортогональности в частотной области

0

1

2

3

4

k

0

1

2

3

4

k

1

1

2

2

3

3

4

4

s
Рис. 8.13. Графическое представление соотношений [8.25], [8.26] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

s
Рис. 8.14. Графическое представление соотношений [8.27], [8.28] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[8.27]

{ ReW
s

(-1/2,0) Ps ( , )

} (j )Ч
[8.29]



{ ReW
s

Legs ( , )

} (j )Ч

0

0 {Pk k
(-1/2,0)

Ч ReW

( , )}

(j )d = (-1) - 2 = -, 4 0,

Ч ReW
k +s

{Legk ( , )} k

,

если если

k>s k=s

; ;

иначе.

(j )d = (-1) - 2 = -, 4 0,

k +s

,

если если

k>s k=s

; ;

иначе.


[8.28]

{ ImW
s

(-1/2,0) Ps ( , )

} (j )Ч
[8.30]



{ ImW
s

Legs ( , )

} (j )Ч

0

0 {Pk k
(-1/2,0)

Ч ImW

( , )}

(j )d = (-1) - 2 = -, 4 0,

Ч ImW
k +s

{Legk ( , )} k

,

если если

k>s k=s

; ;

иначе.

(j )d = (-1) - 2 = -, 4 0,

k +s

,

если если

k>s k=s

; ;

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[8.27],[8 -1/2 1 -1 Ч 1 -1 1

.28]

=

Ч 2

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

0 - 1 /2 1 -1 1 -1

0 0 -1/2 1 -1 1

0 0 0 - 1 /2 1 -1

0 0 0 0 - 1 /2 1

0 0 0 0 0 -1/

. 2

M[8.29],[8 - 1 /2 1 -1 Ч 1 -1 1

.30]

=

Ч 2

0 -1/2 1 -1 1 -1

0 0 - 1 /2 1 -1 1

0 0 0 -1/2 1 -1

0 0 0 0 - 1 /2 1

0 0 0 0 0 -1/

. 2


8.2 Расширенные соотношения ортогональности

173

0

1

2

3

4

k

0

1

2

3

4

k

1

1

2

2

3

3

4

4

s
Рис. 8.15. Графическое представление соотношений [8.29], [8.30] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

s
Рис. 8.16. Графическое представление соотношений [8.31], [8.32] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


[8.31]

{ ReW
s

(1/2,0) Ps ( , )

} (j )Ч
[8.33]



{ ReW
s

(1,0) Ps ( , )

} (j )Ч

0

0 {Pk k
(1/2,0)

Ч ReW

( , )}

(j )d - =- 0,

= (-1) 2 , 4
k +s

Ч ReW ,
если если

{Pk k

(1,0)

( , )}

k>s

;

k = s;

иначе.

(j )d - =- 0,

= (-1) 2 , 4
k +s

,

если если

k>s k=s

; ;

иначе.


[8.32]

{ ImW
s

(1/2,0) Ps ( , )

} (j )Ч
[8.34]



{ ImW
s

(1,0) Ps ( , )

} (j )Ч

0

0 {Pk k
(1/2,0)

Ч ImW

( , )}

(j )d - =- 0,

= (-1) 2 , 4
k +s

Ч ImW ,
если если

{Pk k

(1,0)

( , )}

k>s

;

k = s;

иначе.

(j )d - =- 0,

= (-1) 2 , 4
k +s

,

если если

k>s k=s

; ;

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[8.31],[8. - 1 /2 1 -1 Ч 1 -1 1

32]

=

Ч 2

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

0 -1/2 1 -1 1 -1

0 0 - 1 /2 1 -1 1

0 0 0 - 1 /2 1 -1

0 0 0 0 -1/2 1

0 0 0 0 0 -1/

. 2

M[8.33],[8 -1/2 1 -1 Ч 1 -1 1

.34]

=

Ч 2

0 - 1 /2 1 -1 1 -1

0 0 -1/2 1 -1 1

0 0 0 - 1 /2 1 -1

0 0 0 0 - 1 /2 1

0 0 0 0 0 -1/

. 2


174

Основные и расширенные соотношения ортогональности в частотной области

0

1

2

3

4

k

- 1 /2 1 -1 Ч 1 -1 1
0

0 -1/2 1 -1 1 -1
1

0 0 - 1 /2 1 -1 1

0 0 0 -1/2 1 -1
2

0 0 0 0 - 1 /2 1
3

0 0 0 0 0 -1/
4

. 2 k

1

2

1

3

2

4

3

s
Рис. 8.17. Графическое представление соотношений [8.33], [8.34] при k = 0..5, s = 0..5; = 1

4

s

[8.35]

{ ReW
s

(2,0) Ps ( , )

} (j )Ч

Рис. 8.18. Графическое представление соотношений [8.35], [8.36] при k = 0..5, s = 0..5; = 1


0

Ч ReW

{Pk k

(2,0)

( , )}

{ ReW
s

(j )d - =- 0, }

= (-1) 2 , 4
k +s

[8.37]

(,0) Ps ( , )

} (j )Ч

,

если если

k>s k=s

; ;

0

Ч ReW

{Pk k

(,0)

( , )}

иначе.


[8.36]

{ ImW
s

(2,0) Ps ( , )

(j )Ч


(j )d - =- 0, }

= (-1) 2 , 4
k +s

,

если если

k>s k=s

; ;

иначе.

0

Ч ImW

{Pk k

(2,0)

( , )}

{ ImW
s

(j )d - =- 0,

= (-1) 2 , 4
k +s

[8.38]

(,0) Ps ( , )

(j )Ч

0

,

если если

k>s k=s

; ;

Ч ImW

{P k k

(,0)

( , )}

иначе.

Матрица значений при k = 0..5; s = 0..5:

M[8

.35],[8.36]

=

Ч 2

(j )d - =- 0,

= (-1) 2 , 4
k +s

,

если если

k>s k=s

; ;

иначе.


Глава 9

Рекуррентные соотношения
Определение.

Для ортогональных многочленов Якоби справедливо следующее рекуррентное соотношение [13, 15]:

2(k + 1)( + + k + 1)( + + 2k )Pk+1 (x) = ( ) (, ) = ( + + 2k )( + + 2k + 2)x + 2 - 2 ( + + 2k + 1)Pk (x)- - 2( + k )( + k )( + + 2k + 2)P
(, ) k -1

(, )

(x).

Для обобщенных многочленов Лагерра справедливо следующее рекуррентное соотношение [13, 15]:

(k + 1)Lk

() +1

(x) = ( + 2k + 1 - x)Lk (x) - ( + k )Lk

()

() -1

(x).

Аналогичные соотношения для ортогональных функций получены с учетом замен переменных, приведенных в Главе 1 [9].

9.1

Рекуррентные соотношения для ортогональных функций
Lk ( , ) = 2k - 1 - Lk k
-1

[9.5]

Pk =

(-1/2,0)

[9.1]

( , )- - k-1 Lk k
-2

Ч 4k(4k - 5)(2k - 1) (k - 1)(2k - 3)(4k - 1) (-1/2,0) Ч (4k - 3)Pk-1 ( , ) - Ч k(2k - 1)(4k - 5) Ч Pk
[9.6]

( , ) = ( ) ( ) (4k - 5)(4k - 1) 1 - 2 exp(-2 ) + 1

( , ). Legk ( , ) =

(-1/2,0) -2

( , ).

[9.2]

Lk ( , ) =
(2) Lk

(1)

2k - (1) (1) Lk-1 ( , ) - Lk-2 ( , ). k

[9.3]

2k + 1 - (2) Lk-1 ( , )- ( , ) = k k + 1 (2) - Lk-2 ( , ). k 2k + - 1 - () Lk-1 ( , )- k k + - 1 () - Lk-2 ( , ). k

2k - 1 ( 1 - 2 exp(-2 k k- Ч Legk-1 ( , ) - k

) )Ч 1 Legk
-2

( , ).

[9.7]

Pk =

(1/2,0)

( , ) = ( ) ( ) (4k - 3)(4k + 1) 1 - 2 exp(-2 ) + 1 4k(4k - 3)(2k + 1)
(1/2,0) -1

Ч

[9.4]

Lk ( , ) =

()

Ч (4k - 1)Pk

( , ) -

(k - 1)(2k - 1)(4k + 1) Ч k(2k + 1)(4k - 3) Ч Pk
(1/2,0) -2

( , ).


176

Рекуррентные соотношения

[9.8]

Pk =

(1,0)

( , ) = ( ) ( ) (2k - 1)(2k + 1) 1 - 2 exp(- ) + 1 (2k - 1)(k + 1) Ч Pk
(1,0) -1

Ч

9.2 Рекуррентные соотношения для производных ортогональных функций
[9.14]

( , ) -

(k - 1)(2k + 1) (1,0) P ( , ). (2k - 1)(k + 1) k-2

Pk ( -

(-1/2,0)

( , )

(4k + 1) ( Pk 2

=

P

(-1/2,0) k -2

( , )



-
(-1/2,0) -1
1 2

-1/2,0)

[9.9]

(2,0) Pk

( , ) = ( ) ( ) k(k + 1) 1 - 2 exp(-2 ) + 1 (2k + 1) k2 (k + 2) Ч Pk
(2,0) -1

( , ) - (4k - 3)Pk + (4k - 7) ( Pk 2
- -

( , )+ )

,0)

=

Ч
[9.15]

2

( , ) .

( , ) -

(k - 1)(k + 1)2 (2,0) Pk-2 ( , ). k2 (k + 2)

Legk ( , ) Legk-2 ( , ) = - ( - (2k + 1)Legk ( , ) - 2(2k - 1)Legk

-1

( , )+ ) ( , ) .

+ (2k - 3)Legk
[9.10]

-2

Pk ( , ) = ( ) ( ) ( + 2k)( + 2k - 2) 1 - 2 exp(-c ) + 2 Ч = 2k( + 2k - 2)( + k) Ч ( + 2k -
(,0) 1)Pk-1

(,0)

[9.16]

Pk ( -

(1/2,0)

( , )



=

Pk

(1/2,0) -2

( , )



-
(1/2,0) -1

( + k - 1)(k - 1)( + 2k) ( , ) - Ч k( + 2k - 2)( + k) Ч
(,0) Pk-2

(4k + 3) (1 Pk 2

/2,0)

( , ) - (4k - 1)Pk +

( , )+

( , ). Pk
(1,0)

) (4k - 5) (1/2,0) Pk-2 ( , ) . 2 - ( , )+
(1,0) -2

[9.17] [9.11]

( , )

(0,1) Pk

( , ) = ( ) ( ) (2k - 1)(2k + 1) 1 - 2 exp(-2 ) - 1 (k + 1)(2k - 1) Ч Pk
(0,1) -1

( (1 - (k + 1)Pk Ч
[9.18]



=
,0)

P

(1,0) k -2

( , )

( , ) - 2kPk

(1,0) -1

=

+ (k - 1)Pk Pk
(2,0)

) ( , ) .

( , ) -

(k - 1)(2k + 1) (0,1) P ( , ). (k + 1)(2k - 1) k-2

( , )

( (2 - (2k + 3)Pk



=

P

(2,0) k -2

( , )



-
(2,0) -1

,0)

( , ) - 2(2k + 1)Pk

( , )+ ) ( , ) .

[9.12]

(0,2) Pk

+ (2k - 1)Pk
[9.19]

(2,0) -2

( , ) = ( ) ( ) k(k + 1) 1 - 2 exp(-2 ) - 1 (2k + 1) k2 (k + 2) Ч Pk
(0,2) -1

=

Ч

( , ) -

(k - 1)(k + 1)2 (0,2) Pk-2 ( , ). k2 (k + 2)

( , ) - ( (,0) - c /2 ( + 2k + 1)Pk ( , ) - 2( + 2k - 1)Ч ) (,0) (,0) Ч Pk-1 ( , ) + ( + 2k - 3)Pk-2 ( , ) . Pk ( , ) = Pk
(0,1)

(,0)

Pk

(,0) -2

[9.20] [9.13]

( , ) (

Pk ( , ) = ( ) ( ) ( + 2k)( + 2k - 2) 1 - 2 exp(-c ) - 2 = Ч 2k( + 2k - 2)( + k) Ч ( + 2k - 1)Pk
(0, ) -1

(0, )

( , ) -

( + k - 1)(k - 1)( + 2k) Ч k( + 2k - 2)( + k) Ч
(0, ) Pk-2

) (2k + 1) Legk ( , ) Legk-1 ( , ) + - (k + 1) ( ) (0,1) (2k - 1)(2k + 1) + 1 Pk-1 ( , ) - - (k + 1)(2k - 1) = - (k - 1)(2k + 1) Pk-2 ( , ) . (k + 1)(2k - 1)
(0,1)



=

( , ).


9.3 Рекуррентные соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций 177

[9.21]

P

(0,2) k

( , )

( (0,1) P P ( , ) 2(k + 1) kk + (k + 1) k(k + 2) ( ) (0,2) Pk-1 ( , ) k(k + 1) + 1 - (2k + 1) - k2 (k + 2) = -



=
(0,1) k -1

[9.28]

( , )

) -



(k - 1)(k + 1)2 P k2 (k + 2)

(0,2) k -2

Lk ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d = (1) k+1 2(k + 1) (1) =- Lk+1 ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d + Ч (1) (1) Ч Lk ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d - (1) k+1 (1) - Lk-1 ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d .
(1)



(1)

( , )



.
[9.29]



Lk ( , )ч{
(2) (1)

Lk ( , )}
(1)

(2)

( , )d = ( , )d +
Lk ( , )}
(1)

[9.22]

P ( Ч -

(0, ) k

( , )

k

=

( + 2k) Ч k( + k) + (k + - 1) P
(0, -1) k -1

= ) -
[9.30]

Lk ( , )ч +

{Lk ( , )}



(0, -1) Pk

Lk
(2)

(2) -1

( , )ч{

( , )d .

( , )

( , )



P
(0, ) k -1

( ) ( + 2k)( + 2k - 2) + 1 2k( + 2k - 2)( + k) -

( + 2k - 1)

( , )


(0, )

-

( + k - 1)(k - 1)( + 2k) Pk-2 ( , ) . k( + 2k - 2)( + k)
[9.31]

Lk ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d = (1) 1 2 (1) =- Lk+1 ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d + Ч 2 (1) 1 (1) (1) Ч Lk+1 ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d - 2 Lk+1 ( , ).
(2)



9.3

Рекуррентные соотношения для неопределенных интегралов от ортогональных функций
Lk ( , )d = -2
k-1 =0

L ( , )d -

[9.23]

2 Lk ( , ).
[9.32]

Lk ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d = (2) k+1 2k + 3 (2) =- Lk+1 ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d + Ч (2) (2) Ч Lk ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d - (2) k+2 (2) - Lk-1 ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d .
(2)



(2)

=

[9.24]

k+1 Lk+1 ( , )d + Lk ( , )d = - 2k + 1 k + Lk ( , )d - Lk-1 ( , )d .

Lk ( , )ч Lk
(-1)

()

{Lk

( )

( , )}
( )

( , )d =

( , )ч{Lk ( , )} ( , )d + ( ) () + Lk-1 ( , )ч{Lk (
( )

, )}

( , )d .

[9.25]

4 Lk ( , )d = - L ( , ) - =0 ) ) 2( - L ( , )d (-1)k+ - Lk ( , ) - Lk ( , )d .



k-1(

[9.33]

Lk ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d = (-1) 1 (-1) ( , )} =- Lk+1 ( , )ч{Lk ( , )d + Ч 2 (-1) 1 (-1) {L k ( , )} Ч Lk+1 ( , )ч ( , )d - Ч
()



[9.26]

=

(1) Lk

( ,

)ч{Lk ( , )}

(1)

Ч Lk ( , )d =
{Lk ( , )}
(1)

(-1) +1

( , ).

(1) Lk ( , )d + Lk-1 ( , )ч

( , )d .

[9.34]

[9.27]

Lk ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d = 1 1 1 Lk+1 ( , )d + Lk+1 ( , )d - Lk =- 2
(1)



(1)

+1

( , ).

Lk ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d = ( ) k+1 () Lk+1 ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d + =- ( ) 2k + + 1 () Lk ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d - + ( ) k+ () Lk-1 ( , )ч{Lk ( , )} ( , )d . -
()



( )


178

Рекуррентные соотношения

[9.35]

2(4k - 3) Ч 4k + 1 (4k - 7) (-1/2,0) (-1/2,0) Ч Pk-1 ( , )d - Pk-2 ( , )d - 4k + 1 ( ) 2 (-1/2,0) (-1/2,0) - Pk ( , ) - Pk-2 ( , ) . (4k + 1) Pk
(-1/2,0)



( , )d =

[9.41]

[9.36]

2(4k - 3) Ч 4k + 1 (4k - 7) (-1/2,0) Ч Pk-1 ( , )d - Ч 4k + 1 2 (-1/2,0) Ч Pk-2 ( , )d - Ч (4k + 1) ( ( ) (-1/2,0) (-1/2,0) Ч Pk ( , ) - Pk-2 ( , ) - Pk
(-1/2,0)



2(4k - 1) Ч 4k + 3 (4k - 5) (1/2,0) (1/2,0) Ч Pk-1 ( , )d - Pk-2 ( , )d - 4k + 3 ( ) 2 (1/2,0) (1/2,0) - P ( , ) - Pk-2 ( , ) . (4k + 3) k Pk
(1/2,0)



( , )d =

( , )d =

[9.42]

-

Pk

(-1/2,0)

( , )d +

) Pk
(-1/2,0) -2

2(4k - 1) Ч 4k + 3 (4k - 5) (1/2,0) (1/2,0) Ч Pk-1 ( , )d - Pk-2 ( , )d - 4k + 3 ( ( ) 2 (1/2,0) (1/2,0) - Pk ( , ) - Pk-2 ( , ) - (4k + 3) ) (1/2,0) (1/2,0) - Pk ( , )d + Pk-2 ( , )d . Pk
(1/2,0)



( , )d =

( , )d .
[9.43]


[9.37]

Pk Ч -
k-1 =0

(1/2,0)

( , )d = - ( , ) -
/2,0)

4 Ч (4k + 3) P
(1/2,0)

Pk Ч -
k-1( =0

(-1/2,0)

( , )d = - ( , ) -
1/2,0)

4 Ч (4k + 1) P
(-1/2,0)

( (1 P

/2,0)

) ( , )d -
(1/2,0)

P

(-1/2,0)

) ( , )d - ) ( , )d .
[9.44]

( 2 (- P (4k + 1) k

( , ) -

( 2 (1 P (4k + 3) k Pk
(1,0)

( , ) -

Pk

) ( , )d .

Pk

(-1/2,0)

[9.38]

2(2k - 1) Legk ( , )d = Legk-1 ( , )d - 2k + 1 (2k - 3) 1 Ч - Legk-2 ( , )d - 2k + 1 (2k + 1) ( ) Ч Legk ( , ) - Legk-2 ( , ) .

2k (1,0) Pk-1 ( , )d - ( , )d = k+1 (k - 1) 1 (1,0) Ч - Pk-2 ( , )d - k+1 (k + 1) ( ) (1,0) (1,0) Ч Pk ( , ) - Pk-2 ( , ) . Pk - k-1 k+1
(1,0) -2 (1,0)

[9.45]

( , )d =
(2,0) -2



2k k+1



Pk

(1,0) -1


[9.39]

Pk

( , )d -
,0)

Ч -



2(2k - 1) Ч 2k + 1 (2k - 3) Legk-1 ( , )d - Legk-2 ( , )d - 2k + 1 ( ( ) 1 Legk ( , ) - Legk-2 ( , ) - (2k + 1) ) - Legk ( , )d + Legk-2 ( , )d . Legk ( , )d =

-Pk
[9.46]

) (1 ( , ) - Pk

1 (k + 1) ) (1,0) ( , )d + Pk-2 ( , )d .

( , )d - ( ( (1,0) Pk ( , )-

Pk Ч
k-1 =0

(1,0)

( , )d = - ( , ) -
,0)

2 Ч (k + 1) P
(1,0)

( (1 P

,0)

) ( , )d - Pk
(1,0)

-
[9.40]

( 1 (1 P (k + 1) k

( , ) -

) ( , )d .

Legk ( , )d = - Ч
k-1( =0

2 Ч (2k + 1) ) Leg ( , )d -



[9.47]

Leg ( , ) -

-

( ) 1 Legk ( , ) - Legk ( , )d . (2k + 1)

2(2k + 1) (2,0) Pk-1 ( , )d - ( , )d = 2k + 3 (2k - 1) 1 (2,0) - Pk-2 ( , )d - Ч 2k + 3 (2k + 3) ( ) (2,0) (2,0) Ч Pk ( , ) - Pk-2 ( , ) . Pk
(2,0)


9.4 Рекуррентные соотношения для преобразований Фурье

179


[9.48]

Ч -

Pk

(2,0)

( , )d =

Pk

(2,0) -1

1 (2k + 3)

2(2k + 1) Ч 2k + 3 2k - 1 (2,0) ( , )d - Pk-2 ( , )d - 2k + 3 ( ( ) (2,0) (2,0) Pk ( , ) - Pk-2 ( , ) - Pk
(2,0)


[9.54]

Pk

( , )} ( , )ч{Pk ( , )d = ( ) 1 Legk+1 ( , )d + Legk ( , )d . = 2 (0,1)

(0,1)


[9.55]

( , )d +

) Pk
(2,0) -2

Pk =

(0,2)

( , )ч

{Pk

(0,2)

( , )}

( , )d =

-
[9.49]

( , )d .

Pk Ч
k-1( =0

(2,0)

( , )d = - ( , ) -
,0)

2 Ч (2k + 3) P
(2,0)

1 2(2k + 3) Ч Legk

( (k + 1) Legk
+1

( , )d + (2k + 3)Ч ) ( , )d + (k + 2) Legk ( , )d .
+2

P

(2,0)

) ( , )d - Pk
(2,0)


[9.56]

Pk =

(0,2)

( , )ч

{Pk

(0,2)

( , )}

( , )d =

-

( 1 (2 P (2k + 3) k
(,0)

( , ) -

) ( , )d .

[9.50]

2( + 2k - 1) Ч + 2k + 1 ( + 2k - 3) (,0) (,0) Ч Pk-1 ( , )d - Pk-2 ( , )d - + 2k + 1 ( ) 2 (,0) (,0) - Pk ( , ) - Pk-2 ( , ) . c ( + 2k + 1) Pk ( , )d = 2( + 2k - 1) Ч ( , )d = + 2k + 1 + 2k - 3 (,0) (,0) Ч Pk-1 ( , )d - Pk-2 ( , + 2k + 1 ( ( ) 2 (,0) (,0) - Pk ( , ) - Pk-2 ( , ) c ( + 2k + 1) (,0) (,0) - Pk ( , )d + Pk-2 ( , )d
(,0) Pk

( 1 (k + 1) Legk+2 ( , )d + (2k + 3)Ч 2(2k + 3) ) Ч Legk+1 ( , )d + (k + 2) Legk ( , )d .



9.4 Рекуррентные соотношения для преобразований Фурье
[9.57]



W

[9.51]

{L k k

(+1)

)d - - ) .
[9.58]

(j ) = ( 1 { = 1 - Wk
( , )} {L k

( , )}

Lk

( )

( , )}

) ( ) (j ) j - /2 .

( 1 = 1+W

W

{L k k

(+1)

(j ) =
( , )}

( ) k

(j )

) exp(-j ) , 2 cos = arctan 2 .


[9.52]

Pk Ч
k-1( =0

(,0)

( , )d = - ( , ) - ( ( Pk
,0)

4 Ч c ( + 2k + 1)
(,0) P

(,0) P

) ( , )d -
(,0) Pk

[9.59]

Vk

{L k

(+1)

( , )}

(j ) = = { V (j + /2) k
Lk
( )

( , )}

2 - c ( + 2k + 1)
[9.53]

( , ) -

) ( , )d .
[9.60]

(j ).

(0,1) Pk

( , )ч 1( = Legk 2

{

(0,1) Pk

( , )}

Vk

{L k

(+1)

( , )} ( , )}

(j ) = (j ) cos exp(-j ), = arctan 2 .

+1

( , )d = ) ( , )d + Legk ( , )d .

= 2Vk

{L

( ) k


180

Рекуррентные соотношения


Глава 10

Соотношения взаимосвязи базисных функций
Определение.

Данные определения получены на основе представления функциональной характеристику k - того порядка k ( , ), связанной с k ( , ) в виде [7, 11, 5]
=0

k ( , ) =
где



k,

( , ),



k,

=

1 ( )
2


0



k ( , ) ( , )ч

{ ( , )}

( , )d

коэффициенты разложения ряда, и понятии расширенного соотношения ортогональности [5]. [10.1] k ( , ) ( , )ч{ ( , )} ( , )d = hk, ( ) (k = 0..K, = 0..K ).

10.1

0

Соотношения взаимосвязи ортогональных функций
k =0

[10.6]

[10.2]

(1) Lk

Lk ( , ) = k L ( , ), = =0 -1 k k+p+1- L ( , ) , p+1 p=0 =0

(+1)

если

=0 >0

;

если

,

( , ) =

L ( , ).
(0,1) k 1 (2 + 1)(-1) k + 1 =0

N

0

.

[10.3]

(2) Lk

( , ) =

k

[10.7]

Pk

( , ) =

k +

Leg ( , )).

(k - + 1)L ( , ).
[10.8]

=0

Pk =

(0,2)

( , ) =

[10.4]

Lk ( , ) =
(1)

(1) Lk

( , ) -

(1) Lk-1

( , ).

[10.5]

Lk ( , ) = Lk ( , ) - Lk

(2)

(2) -1

( , ).

k 1 (2 + 1)(-1)k+ Leg ( , )Ч (k + 1)(k + 2) =0 ( ) Ч (k + 1)(k + 2) - ( + 1) .


182

Соотношения взаимосвязи базисных функций

[10.9]

Legk ( , ) =

(k + 1) (0 P 2k + 1 k

,1)

( , )+ k (0,1) + P ( , ). 2k + 1 k-1

[10.19]

k-1 Legk ( , ) = -2 (2 + 1)(-1)k =0

+

Ч

Ч Leg ( , ) - (2k + 1)Legk ( , ). Pk
(1/2,0)

[10.10]

Pk

(0,1)

( , ) =

(k + 2) (0 P 2(k + 1) k

,2)

( , )+

[10.20]

( , )

Ч P
(1,0)

= -

k -1 =0

(4 + 3)(-1)

k +

Ч ( , ).

k (0,2) + P ( , ). 2(k + 1) k-1
(0, +1)

(1/2,0)

( , ) -
k -1 =0

(4k + 3) (1 Pk 2

/2,0)

[10.11]

Pk k (2 + =0 k (2 + Ч =0 -1 (k Ч
p=0

( , ) =

(-1)k Ч k+1
если

[10.21]

Pk

( , )



= -2
(1,0)

( + 1)(-1)k

+

Ч ( , ).

1)(-1) Leg ( , ), 1)(-1) Leg ( , )Ч + p + 1 - )(k + p + 2 + ) , (p + 1)(k + p + 2)

=0

;

Ч P Pk
(2,0)

( , ) - (k + 1)Pk
k -1 =0

(1,0)

[10.22] если

( , )

>0



= -2
(2,0)

(2 + 3)(-1)

k +

Ч ( , ).

,



N

Ч P
0

( , ) - (2k + 3)Pk
k -1 =0

(2,0)

.
[10.23]

10.2 Соотношения взаимосвязи ортогональных функций и производных ортогональных функций
[10.12]

Pk

(,0)

( , )

Ч P Pk
(0,1) (,0)

= -c

( + 2 + 1)(-1)

k +

Ч

( , ) - c /2( + 2k + 1)Pk

(,0)

( , ).

[10.24]

( , )

Lk ( , ) = - L
(1) k

k -1 =0



=-

k -1 4 ( + 1)2 (-1) (k + 1) =0

k +

Ч

L ( , ) -
(1)

Lk ( , ). 2 (1) L ( , ). 2k Pk
(0,1)

Ч P ( , )

(0,1)

( , ) - (2k + 1)Pk

(0,1)

( , ).

[10.13]

( , )

L
(1) k

= -

k-1 =0

L ( , ) -

[10.25]

[10.14]

( , )



=-

k-1 ) ( 2(k - ) + 1 L ( , )- 2 =0

k-1( 2k(k + 1)- (k + 1) =0 ) - 2 ( + 1) + 2k + 1 (-1)k+ (2 + 1)Leg ( , )-

=-

- Lk ( , ). 2
[10.15]

-

(2k + 1)2 Legk ( , ). (k + 1)

L

(2) k

( , )

L
(2) k

= -

k-1 =0

L ( , ) -

(2)

(2) L ( , ). 2k

[10.26]

Pk

(0,2)

( , )



=-

k -1 2 ( + 1)Ч (k + 1)(k + 2) =0 (0,2)

[10.16]

( , )



k-1 =- (k - + 1)2 L ( , )- 2 =0

Ч ( + 2)(-1)k

+

(2 + 3)P

( , )-
(0,2)

- (2k + 1)Pk Pk
(0,2)

( , ).

-
[10.17]

Lk ( , ). 2

L

() k

( , )

P

= -

k -1 =0

[10.27]

( , )

L ( , ) -
k -1 =0

()

() L ( , ). 2k


k-1( =0

=-

Ч (k + 1)(k + 2)

Ч

( )( ) (k + 1)(k + 2) k(k + 3) + 1 - 2k(k + 3) + 3 Ч )
2

[10.18]

(-1/2,0) k

( , )

Ч P
(-1/2,0)

= -

(4 + 1)(-1)

k +

Ч

Ч ( + 1) + 2 ( + 1)

(-1)k -

+

(2 + 1)Leg ( , )-

( , ) -

(4k + 1) ( Pk 2

-1/2,0)

( , ).

2 (2k + 1)2 Legk ( , ). (k + 2)


10.3 Соотношения взаимосвязи ортогональных функций и неопределенных интегралов от ортогональных функций 183

10.3

Соотношения взаимосвязи ортогональных функций и неопределенных интегралов от ортогональных функций
Lk ( , )d = -
k-1 4 (-1)k =0 +

10.4 Соотношения взаимосвязи преобразований Фурье
[10.35]

W

{Lk ( , )} k

(1)

(j ) =

k =0

W

{L ( , )}

(j ).

[10.28]

L ( , )- - 2 Lk ( , ).

[10.36]

W

{Lk ( , )} k

(2)

(j ) =

k

(k - + 1)W

{L ( , )}

(j ).

=0


[10.29]

[10.37]

(-1/2,0) Pk k-1 =0

4 ( , )d = - Ч (4k + 1) ( , ) - 2 ( P (4k + 1) k
-1/2,0)

Wk k k W =
=0 k =0

{L

(+1)

( , )}

(j ) = (j ), (j )
-1 p=0
если

{L ( , )} {L ( , )}

=0 >0 .

;

Ч
[10.30]

P

(-1/2,0)

( , ).

W

k+p+1- , p+1

если

,

Legk ( , )d = -

k -1 2 Leg ( , )- (2k + 1) =0



N

0

-
[10.31]

1 Legk ( , ). (2k + 1)

[10.38]

W

{Pk k

(0,1)

( , )}

(j ) =

k 1 (2 + 1)Ч k + 1 =0 k +

Pk Ч

(1/2,0) k-1 =0

( , )d = -

4 Ч (4k + 3) 2 (1 P (4k + 3) k
/2,0)

Ч (-1)

W

{Leg ( , )}

(j ).

P

(1/2,0)

( , ) -

( , ).

[10.39]

W

{Pk k

(0,2)

( , )}

(j ) =
k +

1 Ч (k + 1)(k + 2)

[10.32]

Pk

(1,0)

( , )d = -

k -1 (1 2 P (k + 1) =0

,0)

( , )- ( , ).

Ч

k

(2 + 1)(-1)

( ) (k + 1)(k + 2) - ( + 1) Ч ЧW
{Leg ( , )}

=0

1 (1 - P (k + 1) k
[10.33]

,0)

(j ).

(2,0) Pk

k-1 (2 2 ( , )d = - P (2k + 3) =0

,0)

( , )- ( , ).

[10.40]

-
[10.34]

1 (2 P (2k + 3) k

,0)

Pk Ч

(,0)

( , )d = - ( , ) -

4 Ч c ( + 2k + 1) 2 ( P c ( + 2k + 1) k
,0)

k -1 =0

P

(,0)

( , ).

(0, ) (-1)k {P ( , )} Wk k (j ) = Ч k+1 k {Leg ( , )} (2 + 1)(-1) W (j ), =0 k {Leg ( , )} (2 + 1)(-1) W (j )Ч Ч =0 -1 (k + p + 1 - )(k + p + 2 + ) Ч , (p + 1)(k + p + 2) p=0

если

=0

;

если

>0

,



N

0

.


184

Соотношения взаимосвязи базисных функций


Глава 11

Обобщенные характеристики ортогональных функций
Определение.

По аналогии с известными определениями длительности и моментных характеристик введены следующие понятия: длительности ортогональных функций во временной области [6]


k ( , )d
(2){k ( , )} k

=

0

|k (0, )|
(

;

)2 k ( , ) d k (0, ) )2 ;



(4){k ( , )} k

=

0

(

длительности ортогональных функций в частотной области


ReW
(2){Re k
{ ( , )} Wk k

{k ( , )} k

(j )d (0)| ;

(j )}

=

0

|ReW
( ReW

{k ( , )} k

{k ( , )} k

)2 (j ) d ) (0)
2



(4){ReWk k

{k ( , )}

(j )}

=

0

( ReW

{k ( , )} k

;

моментные характеристики во временной области [6, 14]


(n)[1]{k ( , )} чk

=
0

n k ( , )d ;


186

Обобщенные характеристики ортогональных функций

чk

(n)[2]{k ( , )}

=j

n

dn W

{k ( , )} k d n

(j )
j =0

;

моментные характеристики в частотной области
{k ( , )} k

(n)[1]{W чk

(j )}



=
0

n W

{k ( , )} k

(j )d ;

чk

(n)[2]{W

{k ( , )} k

(j )}

=

n k ( , ) (-1)n 2 n

.
=0
[11.16]

11.1 Длительности ортогональных функций во временной области
[11.1]

k

(4){Pk

(2,0)

( , )}

=

1 . 2 (2k + 3) ( (k + 1) mod 2
2

[11.17]

(2){Lk ( , )} k

2(-1)k = , k = 0, 2, 4, ...2n, n

k

(2){Pk

(0,1)

( , )}

) , n

=

(k + 1)

k = 0, 2, 4, ...2n,

N

N

0

.

0

.
[11.18]

[11.2]

(4){Lk ( , )} k

1 =. ( 2 (k + 1) mo d 2 ) , n

k

(4){Pk

(0,1)

( , )}

=

1 . 2 (k + 1)2 4(-1)
k

[11.3]

k

(2){Lk 1)( , )}

(

[11.19]

(2){Pk k

(0,2)

( , )}

=

( (k + 2)

div 2
2

)2 ,

=

(k + 1)2 (k + 2)

(k + 1)

k = 0, 2, 4, ...2n,
[11.4]

N

0

.
[11.20]

(4){Lk 1)( , )} k (2){Lk 2)( , )}
( (

(

[11.5]

k

1 = . (k + 1) ( ) 4 (k + 2) div 2 = . (k + 1)(k + 2) = 2(2k + 3) . 3 (k + 1)(k + 2) = = 2 . (4k + 1)

k

(4){Pk

(0,2)

( , )}

=

k = 0, 2, 4, ...2n, ( ) 2 (k + 1)(k + 2) + 1 3 (k + 1)2 (k + 2)
2

n .

N

0

.

[11.6]

k k

(4){Lk 2)( , )}
(-1/2,0)

11.2 Моментные характеристики ортогональных функций во временной области
[11.21]

[11.7]

(2){Pk

( , )}

[11.8]

k k

(4){Pk

(-1/2,0)

( , )}

[11.9]

(2){Legk ( , )} (4){Legk ( , )
(1/2,0)

[11.10]

k k

1 . (4k + 1) 1 = . (2k + 1) 1 } = . 2 (2k + 1) = 2 . (4k + 3)

чk чk чk

(0){Lk ( , )}

= = = =

2(-1)k . 4(-1)k (2k + 1) . 2 ( ) 8(-1)k (2k + 1)2 + 1

[11.22]

(1){Lk ( , )}

[11.23]

(2){Lk ( , )}

[11.11]

(2){Pk

( , )}

[11.24]

чk чk

(3){Lk ( , )}

. 3 ( ) 16(-1)k (2k + 1)3 + 5(2k + 1)
4

.

[11.12]

(4){Pk k (2){Pk

(1/2,0)

( , )}

1 . = (4k + 3) 1 . (k + 1) 1 . 2 (k + 1) 1 . (2k + 3)

[11.25]

(n){Lk ( , )}

(1,0)

[11.13]

k k k

( , )}

= = =

[11.26]

чk чk чk

(0){Lk ( , )
(1)

(1)

( )n+1 ( )( k 2 k s + n) = n! (-2)s . s s s=0 ( ) 2 (k + 1) mo d 2 } . = = = 4(-1)k (k + 1) . 2 16(-1)k (k + 1)2 . 3

[11.14]

(4){Pk

(1,0)

( , )}

[11.27]

(1){Lk ( , )}
(1)

[11.15]

(2){Pk

(2,0)

( , )}

[11.28]

(2){Lk ( , )}


11.2 Моментные характеристики ортогональных функций во временной области

187

[11.29]

ч

(3){Lk ( , )} k

(1)

= (k + 1) (-2)s (s + 1)(s + 2)(s + 3). k-s

[11.43]

чk

(2){Pk

(-1/2,0)

( , )}

=

=

16 4

k s=0

=

16 3

k s=0

(k)(k + s - 1/2) 1 (-1)s . s s - 1/2 (4s + 1)3

[11.30]

ч

(n){Lk ( , )} k

(1)

[11.31]

ч ч ч

(0){Lk ( k (1){Lk ( k (2){Lk ( k
(2) (2)

(2)

[11.32]

[11.33]

= ( )n+1 k (k + 1)(s 2 = n! k-s s=0 ( ) 2 (k + 2) div 2 , )} = . ( 4(-1)k (k + 2) div , )} = 2 k (k + 1)(k + 2) 8(-1) , )} = 3 =

+ n) (-2)s . s

[11.44]

чk

(3){Pk

(-1/2,0)

( , )}

=

=

96 4

k s=0

(k)(k + s - 1/2) 1 (-1)s . s s - 1/2 (4s + 1)4

2

) .
[11.45]

.
[11.46]

k = чk ( )n+1 ( )( k 2 k k + s - 1/2) 1 = n! (-1)s s s - 1/2 (4s + 1) s=0

(n){P

(-1/2,0)

( , )}

n+1

.

[11.34]

ч

(3){Lk ( , )} k

(2)

ч

(0){Legk ( , )} k

=

1 . (2k + 1)

=

k 16 (k + 2) (s + 1)(s + 2)(s + 3)(-2)s . 4 s=0 k - s

[11.47]

чk

(1){Leg( , )}

=
k 1 1 (k)(k + s) (-1)s . 2 s s=0 s (2s + 1)2

[11.35]

ч

(n){Lk ( , )} k

(2)

= () 2 = n!

=
n+1 k (k + 2)(s + n) (-2)s . k-s s s=0

[11.48]

[11.36]

ч

(0){L k

() k

( , )}

k 2 (k + ) = (-2)s . s=0 k - s

чk

(2){Leg( , )}

=
k 2 (k)(k + s) 1 (-1)s . s 3 s=0 s (2s + 1)3

=

[11.37]

ч

(1){Lk k

()

( , )}

=

k 4 (k + ) (-2)s (s + 1). 2 s=0 k - s

[11.49]

чk

(3){Leg( , )}

=
k 1 6 (k)(k + s) (-1)s . 4 s s=0 s (2s + 1)4

[11.38]

ч

(2){Lk k

( )

( , )}

=

=

=

k 8 (k + ) (-2)s (s + 1)(s + 2). 3 s=0 k - s
[11.50]

[11.39]

ч

(3){ k

( ) Lk

чk

(n){Leg( , )}

=
k (k)(k + s) 1 (-1)s s s (2s + 1) s=0

( , )}

=

=

k 16 (k + ) (-2)s (s + 1)(s + 2)(s + 3). 4 s=0 k - s
[11.51]

=
(0){Pk k

n!
n+1

n+1

.

(1/2,0)

ч

( , )}

=

[11.40]

ч

(n){Lk k

( )

2 . (4k + 3)

= ( )n+1 k (k + )(s + n) 2 (-2)s . = n! k-s s s=0
( , )}

( , )}

[11.52]

чk

(1){Pk

(1/2,0)

( , )}

=

[11.41]

ч

(0){Pk k

(-1/2,0)

=

2 . (4k + 1)
[11.53]

k 1 4 (k)(k + s + 1/2) (-1)s . =2 s=0 s s + 1 /2 (4s + 3)2

[11.42]

ч

(1){Pk k

(-1/2,0)

( , )}

=

чk

(2){Pk

(1/2,0)

( , )}

=

k 4 (k)(k + s - 1/2) 1 =2 (-1)s . s=0 s s - 1/2 (4s + 1)2

k 1 16 (k)(k + s + 1/2) (-1)s . =3 s=0 s s + 1 /2 (4s + 3)3


188

Обобщенные характеристики ортогональных функций

[11.54]

чk

(3){Pk

(1/2,0)

( , )}

=

[11.65]

чk

(n){Pk

(2,0)

( , )} k s=0

= .

=

96 4

k s=0

(k)(k + s + 1/2) 1 (-1)s . s s + 1 /2 (4s + 3)4
[11.66]

=

n!
n+1

(k)(k + s + 2) 1 (-1)s s s+2 (2s + 3) = 2 . c (2k + + 1)

n+1

[11.55]

() 2 = n!
[11.56]

(n){ чk

(1/2,0) Pk

( , )}

чk

(0){Pk

(,0)

( , )}

= .
[11.67]

n+1

k s=0

(k)(k + s + 1/2) 1 (-1)s s s + 1/2 (4s + 3) 1 = . (k + 1)

n+1

чk

(1){Pk

(,0)

( , )}

=

ч

(0){Pk k

(1,0)

( , )}

=

4 c2

k 2 s=0

(k)(k + s + ) 1 (-1)s . s s+ (2s + + 1)2

[11.57]

(1){ чk

(1,0) Pk

( , )}

[11.68]

=

чk

(2){Pk

(,0)

( , )}

=

=

k 1 (k)(k + s + 1) 1 (-1)s . 2 s=0 s s+1 (s + 1)2
[11.69]

k 16 (k)(k + s + ) 1 = 33 (-1)s . c s=0 s s+ (2s + + 1)3
(,0)

[11.58]

(2){Pk чk

(1,0)

( , )}

чk

(3){Pk

( , )}

=

= =

k 1 2 (k)(k + s + 1) (-1)s =3 . s+1 s=0 s (s + 1)3
[11.70] [11.59]

96 c4

k 4 s=0

(k)(k + s + ) 1 (-1)s . s s+ (2s + + 1)4

чk =

(n){Pk

(,0)

( , )}

= .

(3){ чk

(1,0) Pk

( , )}

= (k)(k + s + 1) 1 (-1)s . s s+1 (s + 1)4
[11.71]

2n+1 (c )

n!

k s=0

6 =4

k s=0

n+1

(k)(k + s + ) 1 (-1)s s s+ (2s + + 1)

n+1

чk

(0){Pk

(0,1)

( , )}

=

[11.60]

чk

(n){

(1,0) Pk

( , )} k s=0

= .
[11.72]

=
(0){P k

n!
n+1

(k)(k + s + 1) 1 (-1)s s s+1 (s + 1)

k 1 1 (k)(k + s + 1) (-1)s . = s s=0 s (2s + 1) n+1
(0,1)

[11.61]

ч

(2,0) k

чk

(1){Pk

( , )}

= (k)(k + s + 1) 1 (-1)s . s s (2s + 1)2

( , )}

1 = . (2k + 3)

=

1 2

k s=0

[11.62]

чk

(1){

(2,0) Pk

( , )}

= (k)(k + s + 2) 1 (-1)s . s s+2 (2s + 3)2
[11.73]

1 =2

k s=0

чk

(2){Pk

(0,1)

( , )}

= (k)(k + s + 1) 1 (-1)s . s s (2s + 1)3

=

2 3

k s=0

[11.63]

чk

(2){Pk

(2,0)

( , )}

=

k 2 (k)(k + s + 2) 1 =3 (-1)s . s=0 s s+2 (2s + 3)3

[11.74]

чk

(3){Pk

(0,1)

( , )}

=

k 6 (k)(k + s + 1) 1 =4 (-1)s . s=0 s s (2s + 1)4
(0,1)

[11.64]

чk

(3){Pk

(2,0)

( , )}

=

[11.75]

чk

(n){Pk

( , )}

= .

k 1 6 (k)(k + s + 2) (-1)s . =4 s=0 s s+2 (2s + 3)4

=

n!
n+1

k (k)(k + s + 1) 1 (-1)s s s (2s + 1) s=0

n+1


11.3 Длительности ортогональных функций в частотной области

189

[11.76]

ч

(0){Pk k

(0,2)

( , )}

= (k)(k + s + 2) 1 (-1)s . s s (2s + 1)

=

1

k s=0

11.3 Длительности ортогональных функций в частотной области
[11.86]

[11.77]

ч

(1){Pk k

(0,2)

( , )}

=

k

(1) {L ( , )} (2){ReWk k (j )}

(k + 1) ), =( 4 (k + 1) mo d 2 n

=

k 1 (k)(k + s + 2) 1 (-1)s . 2 s s=0 s (2s + 1)2
[11.87]

k = 0, 2, 4, ...2n,
(1) ( , )} {L (j )} (4){ReWk k

N

0

.

[11.78]

ч

(2){Pk k

(0,2)

k

= n

( , )}

= (k)(k + s + 2) 1 . (-1)s (2s + 1)3 s s
[11.88]

2 =3
(0,2)

k s=0

=( 8 (k + 1) k

(k + 1) mo d 2

)2 , k = 0, 2, 4, ...2n,

N

0

.

(2) ( , )} {L (2){ReWk k (j )}

(k + 1)(k + 2) ). =( 8 (k + 2) div 2

[11.79]

ч

(3){Pk k

( , )}

= (k)(k + s + 2) 1 (-1)s . s s (2s + 1)4
[11.89]

=

6 4

k s=0

k

(2) ( , )} {L (j )} (4){ReWk k

=

(2k + 3)(k + 1)(k + 2) = . ( )2 4 (k + 2) div 2
{P (2){ReWk k k (-1)k (4 (-1/2,0) ( , )}

[11.80]

ч

(n){Pk k

(0,2)

( , )}

=
[11.90]

=

n!
n+1

k (k)(k + s + 2) 1 (-1)s s s (2s + 1) s=0



(j )}

= n

n+1

.

=

k + 1)

4
(-1/2,0)

, k = 0, 2, 4, ...2n,
(j )}

N

0

.

[11.81]

ч

(0){ k

(0, ) Pk

( , )}

=

[11.91]



{P (4){ReWk k k

( , )}

=

(4k + 1) . 8

=

k 1 1 (k)(k + s + ) (-1)s . s s=0 s (2s + 1)

[11.92]

k

(2){ReWk

{Legk ( , )}

(j )}

(-1)k (2k + 1) , 2 k = 0, 2, 4, ...2n, n 0 . =

N

[11.82]

ч

(1){ k

(0, ) Pk

( , )}

=

[11.93]

k

(4){

{Legk ( , )} ReWk

(j )}

=

=

k 1 (k)(k + s + ) 1 (-1)s . s 2 s=0 s (2s + 1)2

(2k + 1) . 4

[11.94]

k

{P (2){ReWk k

(1/2,0)

( , )}

(j )}

= n

[11.83]

ч

(2){Pk k

(0, )

( , )}

=
[11.95]

(-1)k (4k + 3) , k = 0, 2, 4, ...2n, = 4 k
{P (4){ReWk k (1/2,0) ( , )}

N

0

.

=

k 1 2 (k)(k + s + ) (-1)s . 3 s=0 s s (2s + 1)3

(j )}

=

(4k + 3) . 8

[11.84]

ч

(3){ k

(0, ) Pk

( , )} k s=0

= (k)(k + s + ) 1 (-1)s . s s (2s + 1)4

[11.96]

k

{P (2){ReWk k

(1,0)

( , )}

=

6 4

(-1)k (k + 1) , 2 k = 0, 2, 4, ...2n, n 0 .
(j )}

=

N

[11.97]

k

(4){

(1,0) ( , )} {P ReWk k

(j )}

=

(k + 1) . 4

[11.85]

ч

(n){Pk k

(0, )

( , )}

=
[11.98]

=

n!
n+1

k (k)(k + s + ) 1 (-1)s s s (2s + 1) s=0

k =

{P (2){ReWk k

(2,0)

( , )}

(j )}

= n

n+1

.

(-1) (2k + 3) , k = 0, 2, 4, ...2n, 2
k

N

0

.


190

Обобщенные характеристики ортогональных функций

[11.99]

k

{P (4){ReWk k

(2,0)

( , )}

(j )}

=

(2k + 3) . 4

[11.111]

чk

(1) {L ( , )} (2){Wk k (j )}

=

[11.100]

k

(2){

(0,1) {P ( , )} ReWk k

=
(j )}

2 (k + 1)(2k2 + 4k + 3) . 24

= n

(k + 1)2 ) , k = 0, 2, 4, ...2n, =( 2 (k + 1) mo d 2
{P (4){ReWk k (0,1) ( , )}

N

0

.

[11.112]

(1) {L ( , )} (3){Wk k (j )} чk

=

3 (k + 1)2 (k2 + 2k + 3) = . 48
(1) {L ( , )} (n){Wk k (j )}

[11.101]

k

(j )}

= n

=( 4 (k + 1)

(k + 1)

2

mo d 2

)2 , k = 0, 2, 4, ...2n,

N

[11.113]

0

.

чk

=

2

n

[11.102]

k

(2){

(0,2) ( , )} {P ReWk k

(j )}

=
[11.114]

( k+1 ) , Ч n-j+1 0,
(2) {L ( , )} (j )} (0){Wk k чk

n (n) 2 j j =0

-j

Ч
;

если

k-n+j 0

иначе.

(-1) (k + 1) (k + 2) = , ( )2 8 (k + 2) div 2
k 2 2

=

(k + 1)(k + 2) . 4

k = 0, 2, 4, ...2n,
(0,2) {P ( , )} ReWk k

n

N

0

.
[11.115]

(2) {L ( , )} (1){Wk k (j )} чk

=

[11.103]

k = ( ) (k + 1)(k + 2) + 1 (k + 1)2 (k + 2)2 = , ( )4 48 (k + 2) div 2 k = 0, 2, 4, ...2n, n

(4){

(j )}

(k + 1)(k + 2)(2k + 3) . = 24
(2) {L ( , )} (2){Wk k (j )} чk 2 (k

N

[11.116]

= + 1)(k + 2)(k2 + 3k + 3) . 48

0

.

=

11.4 Моментные характеристики ортогональных функций в частотной области
[11.104]

[11.117]

чk

(2) {L ( , )} (3){Wk k (j )}

=

3 (k + 1)(k + 2)(2k + 3)(k2 + 3k + 5) = . 480
(2) {L ( , )} (n){Wk k (j )}

ч ч ч

{L ( , )} (0){Wk k (j )} k

[11.105]

(1){ k (2){ k

{L ( , )} Wk k {L ( , )} Wk k

(j )} (j )}

[11.106]

. 2 (2k + 1) = . 4 ( ) 2 (2k + 1)2 + 1 = . 16 = =
3

[11.118]

чk

=

2

n

( k+2 ) , Ч n-j+2 0,
[11.119]

n (n) 2 j j =0

-j

Ч
;

если

k-n+j 0

иначе.

[11.107]

чk

{L ( , )} (3){Wk k (j )}

=
{L ( , )} Wk k



) ( (2k + 1)3 + 5(2k + 1) 96 2
n n j =0
если

чk

(0){

( ) {L ( , )} Wk k

(j )}

=

(k + ) . 4 k
1 (1) 2 2 j =0 j
если

.
[11.120]

чk

{L (1){Wk k

( )

( , )}

(j )}

=

-j

Ч
;

[11.108]

чk

(n){

(j )}

=

(n) 2-j Ч j k - n + j 0;
[11.121]

( k) , Ч n-j 0,
[11.109]

( ) k+2 , Ч 3-j 0,
{L (2){Wk k ( ) ( , )}

k-1+j 0

иначе.

иначе.

ч ч

(0){ k

(1) ( , )} {L Wk k

чk

(j )}

=

(j )}

(k + 1) = . 2 (k + 1)2 = . 4

[11.110]

(1) ( , )} {L (j )} (1){Wk k k

( ) k+2 , Ч 4-j 0,

2 2 (2) 2 2 j =0 j
если

-j

Ч
;

k-2+j 0

иначе.


11.4 Моментные характеристики ортогональных функций в частотной области

191

[11.122]

ч

{L (3){Wk k k

( )

( , )}

(j )}

=

( ) k+2 , Ч 5-j 0,
( ) ( , )} {L {Wk k

3 3 (3) 2 2 j =0 j
если

-j

Ч

[11.133]

чk

(n){Wk

{Legk ( , )}

(j )}

=

k - 3 + j 0;
{P (0){Wk k k

=

2

k n s=0

(k)(k + s) (-1)s (2s + 1)n . s s (-1)k . 2

иначе. [11.134]

(1/2,0)

( , )}

[11.123]

ч

(n) k

(j )}

=

2

n n j =0

(n) 2 j

ч

(j )}

=

-j

Ч
[11.135]

( k+2 ) , Ч n-j+2 0,
[11.124]

если

k - n + j 0;

чk

{P (1){Wk k

(1/2,0)

( , )}

(j )}

=

иначе.

=

{P (0){Wk k чk

(-1/2,0)

4

k s=0

(k)(k + s + 1/2) (-1)s (4s + 3). s s + 1/2

( , )}

(j )}

= (-1)k . 2 =
[11.136]

[11.125]

ч

(1){ k

(-1/2,0) ( , )} {P Wk k

(j )}

чk

{P (2){Wk k

(1/2,0)

( , )}

(j )}

=

=

k (k)(k + s - 1/2) (-1)s (4s + 1). s - 1/2 4 s=0 s
(-1/2,0) ( , )}

=

8

2

k s=0

(k)(k + s + 1/2) (-1)s (4s + 3)2 . s s + 1/ 2

[11.126]

ч

{P (2){Wk k k

(j )}

=

[11.137]

k 2 (k)(k + s - 1/2) = (-1)s (4s + 1)2 . s - 1/2 8 s=0 s
{P (3){Wk k k (-1/2,0) ( , )}

{P (3){Wk k чk

(1/2,0)

( , )}

(j )}

=

k (k)(k + s + 1/2) (-1)s (4s + 3)3 . = s + 1/ 2 16 s=0 s 3

[11.127]

ч

(j )}

=
[11.138]

= 16

k 3 s=0

(k)(k + s - 1/2) (-1)s (4s + 1)3 . s s - 1/2
( , )}

чk =

{P (n){Wk k

(1/2,0)

( , )}

(j )}

=

( /2) 2

k n s=0

(k)(k + s + 1/2) (-1)s (4s + 3)n . s s + 1/2
(j )}

[11.128]

ч

{P (n){Wk k k

(-1/2,0)

(j )}

=
[11.139]

( /2) = 2
[11.129]

k n s=0

(k)(k + s - 1/2) (-1)s (4s + 1)n . s s - 1/2
(j )}

ч

{P (0){Wk k k

(1,0)

( , )}

=

(-1)k . 2

чk

(0){

{Legk ( , )} Wk

=

(-1)k . 2

[11.140]

чk

{P (1){Wk k

(1,0)

( , )}

(j )}

=

[11.130]

ч

(1){Wk k

{Legk ( , )}

(j )}

=

=

2

k s=0

(k)(k + s + 1) (-1)s (s + 1). s s+1

k (k)(k + s) = (-1)s (2s + 1). 2 s=0 s s (2){Wk k
{Legk ( , )}
[11.141]

[11.131]

ч

(j )}

чk

{P (2){Wk k

(1,0)

( , )}

(j )}

=

=

=

k 2 (k)(k + s) (-1)s (2s + 1)2 . 2 s=0 s s (j )}

k (k)(k + s + 1) = (-1)s (s + 1)2 . 2 s=0 s s+1 2

[11.132]

ч

(3){Wk k

{Legk ( , )}

=

[11.142]

{P (3){Wk k чk

(1,0)

( , )}

(j )}

=

k (k)(k + s) = (-1)s (2s + 1)3 . 2 s=0 s s 3

k (k)(k + s + 1) = (-1)s (s + 1)3 . 2 s=0 s s+1 3


192

Обобщенные характеристики ортогональных функций

[11.143]

чk

{P (n){Wk k

(1,0)

( , )}

(j )}

=

[11.154]

чk

{P (0){Wk k

(0,1)

( , )}

(j )}

=

=

2

n

k (k)(k + s + 1) (-1)s (s + 1)n . s s+1 s=0 (j )}

(-1)k . 2

[11.155]

[11.144]

ч

(0){ k

(2,0) {P ( , )} Wk k

чk

{P (1){Wk k

(0,1)

( , )}

(j )}

=

=

(-1)k . 2

=

2

k s=0

(k)(k + s + 1) (-1)s (2s + 1). s s

[11.145]

чk

(1){

(2,0) ( , )} {P Wk k

(j )}

=
[11.156]

=

2

k s=0

(k)(k + s + 2) (-1)s (2s + 3). s s+2

чk

{P (2){Wk k

(0,1)

( , )}

(j )}

=

[11.146]

чk

{P (2){Wk k

(2,0)

k (k)(k + s + 1) = (-1)s (2s + 1)2 . 2 s=0 s s 2

( , )}

(j )}

=
[11.157]

= 2
{P (3){Wk k

2

k s=0

(k)(k + s + 2) (-1)s (2s + 3)2 . s s+2

чk

{P (3){Wk k

(0,1)

( , )}

(j )}

=

=
(2,0) ( , )}
[11.147]

2

k 3 s=0

(k)(k + s + 1) (-1)s (2s + 1)3 . s s

чk

(j )}

=
[11.158]

k 3 (k)(k + s + 2) (-1)s (2s + 3)3 . = s+2 2 s=0 s
(2,0) {P ( , )} Wk k

{P (n){Wk k чk

(0,1)

( , )}

(j )}

=

=
[11.148]

2

n

чk

(n){

(j )}

k (k)(k + s + 1) (-1)s (2s + 1)n . s s s=0
( , )}

=
[11.159]

= 2 ч
(0){ k

n

k s=0

(k)(k + s + 2) (-1)s (2s + 3)n . s s+2
(j )}

чk

{P (0){Wk k

(0,1)

(j )}

=

(-1)k . 2

[11.149]

(,0) {P ( , )} Wk k

= (-1)k . 2

[11.160]

чk

{P (1){Wk k

(0,2)

( , )}

(j )}

=

[11.150]

чk

(1){

(,0) {P ( , )} Wk k

=
(j )}

2

k s=0

(k)(k + s + 2) (-1)s (2s + 1). s s

=
{P (2){Wk k (0,2)

=

k c (k)(k + s + ) (-1)s (2s + + 1). 2 s=0 s s+
(,0) ( , )}

( , )}

[11.161]

чk

(j )}

=

[11.151]

{P (2){Wk k чk

(j )}

= =

2

k 2 s=0

(k)(k + s + 2) (-1)s (2s + 1)2 . s s

=

c

k 22

2

s=0

(k)(k + s + ) (-1)s (2s + + 1)2 . s s+
( , )}

[11.162]

чk

{P (3){Wk k

(0,2)

( , )}

(j )}

=

[11.152]

чk =

{P (3){Wk k

(,0)

(j )}

=

k (k)(k + s + 2) = (-1)s (2s + 1)3 . 2 s=0 s s 3

c

33

k s=0

2

(k)(k + s + ) (-1)s (2s + + 1)3 . s s+
[11.163]

чk

{P (n){Wk k

(0,2)

( , )}

(j )}

=

[11.153]

чk

(n){

(,0) ( , )} {P Wk k

(j )}

=
(0){

=

2

k n s=0

(k)(k + s + 2) (-1)s (2s + 1)n . s s
(j )}

cn = 2

n

k (k)(k + s + ) (-1)s (2s + + 1)n . s s+ s=0

[11.164]

чk

(0, ) ( , )} {P Wk k

=

(-1)k . 2


11.4 Моментные характеристики ортогональных функций в частотной области

193

[11.165]

ч

{P (1){Wk k k

(0, )

( , )}

(j )}

=

[11.167]

чk

{P (3){Wk k

(0, )

( , )}

(j )}

=

=

c 2
(0, )

k s=0

(k)(k + s + ) (-1)s (2s + 1). s s

=

c

k 33

2

s=0

(k)(k + s + ) (-1)s (2s + 1)3 . s s

[11.166]

ч

{P (2){Wk k k

( , )}

(j )}

=

=

c

22

2

k (k)(k + s + ) (-1)s (2s + 1)2 . s s s=0

[11.168]

чk

{P (n){Wk k

(0, )

( , )}

(j )}

=

=

c

nn

2

k (k)(k + s + ) (-1)s (2s + 1)n . s s s=0


194

Обобщенные характеристики ортогональных функций


Глава 12

Соотношения неопределенности
Определение.

На основе понятий длительности ортогональных функций во временной и частотной областях, приведенных в Главе 11, получены соотношения неопределенности.
( )2 2( k ( , ) d = ReW 0 (2){k ( , )} 0
{ ( , )} (2){ReWk k (j )} k

[12.1]

{k ( , )} k

)2 (j ) d .


[12.4]

n k ( , )d = j
0

n

dn W

{k ( , )} k d n

(j )
j =0

.

[12.2]

k



=

[12.3]

k

(4){k ( , )}

( (2) k

{ ( , )} ) {ReWk k (j )} 2

. 2 = . 2


[12.5]

n W
0

{k ( , )} k

(j )d = n k ( , ) (-1)n 2 n

{ ( , )} (4){ReWk k (j )} k

=

.
=0


196


Список использованных источников
1 Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа: пер. с англ./Б. Ван дер Поль, Х. Бреммер. М.: издательство иностранной литературы, 1952.506 с.
Ван дер Поль, Б.

2

Теория ортогональных многочленов. Обзор достижений отечественной математики/Я.Л. Геронимус. М.,Л.: Государственной издательство технико теоретической литературы, 1950.164 с.
Геронимус, Я.Л.

3

Обобщенный спектрально - аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов/Под редакцией Ф.Ф. Дедуса/Ф.Ф. Дедус, С.А. Махортых, М.Н. Устинин, А.Ф. Дедус. М.: Машиностроение, 1999.357 с.
Дедус, Ф.Ф.

4 5

Ряды Фурье и ортогональные полиномы: пер. с англ./Д. Джексон. М.,Л.: Главное издательство иностранной литературы, 1948.260 с.
Джексон, Д. Куликовских, И.М. Построение моделей корреляционно-спектральных характеристик методом аналитических разложений: диссертация ... кандидата технических наук : 05.13.18 / Куликовских Илона Марковна. Самара, 2011. 133 с.

6 7

Аппроксимативный анализ случайных процессов/С.А. Прохоров.2-е изд., перераб. и доп. Самара: СНЦ РАН, 2001.380 с.
Прохоров, С.А.

Методы оценки коэффициентов разложения ортогональных рядов/С.А. Прохоров, И.М. Куликовских// Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов (состояние, перспективы развития) (ИИИ'2009): сборник материалов международной конференции. Новосибирск: НГТУ, 2009. С. 168-171.
Прохоров, С.А.

8

О некоторых свойствах ортогональности/С.А. Прохоров, И.М. Куликовских// Информатика, моделирование, автоматизация проектирования (ИМАП2009): сборник научных трудов Российской школы-семинара аспирантов, студентов и молодых ученых. Ульяновск, 2009. С. 195-197.
Прохоров, С.А. С.А. Ортогональные модели корреляционно - спектральных характеристик случайных процессов. Лабораторный практикум/С.А. Прохоров, И.М. Куликовских. Самара: СНЦ РАН, 2008.301 с. Прохоров,

9

10

Погрешность оценки спектра по параметрам аппроксимирующего выражения корреляционной функции/С.А. Прохоров, И.М. КуликовПрохоров, С.А.


198

Список использованных источников

ских//Математическое моделирование и краевые задачи: труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч.4.Самара, 2008. С. 116-120. 11 Применение метода ортогональных разложений для выявления зависимостей между характеристиками ортогональных базисов/ С.А. Прохоров, И.М. Куликовских//Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: cборник статей IV Международной научно - технической конференции.Пенза: Приволжский Дом знаний, 2009. С. 81-83.
Прохоров, C.A.

12 13 14 15 16

Без паники! Цифровая обработка сигналов: пер. с яп. Селиной Т.Г./Ю. Сато. М.: Додэка-XXI, 2010.176 с.
Сато, Ю.

Классические ортогональные многочлены: в 2-х томах/П.К. Суэтин. М.: Наука, 1976.Т. 1. 328 с.
Суэтин, П.К.

Выбросы траекторий В.И. Хименко. М.: Наука, 1987.304 с.
Тихонов, В.И. Ismail, Mourad E.H.

случайных

процессов/В.И.

Тихонов,

Structure relations for orthogonal polynomials/Mourad E.H. Ismail//Pacic journal of mathematics.2009. 2 (240).pp. 309-319. Some new classes of orthogonal polynomials and special functions: a symmetric generalization of Sturm-Liouville problems and its consequences: Ph.D thesis supervised by Professor Wolfram KOEPF/M. Masjed-Jamei.Germany, University of Kassel, Department of Mathematics, 2006.120 p.
Masjed-Jamei, M.

17

NIST Handbook of Mathematical functions/Frank W.J. Olver, Daniel W. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark.Cambridge University Press, National Institute of Standards and Technology, 2010.967 p.
Olver, Frank W.J.

18 19

Orthogonal polynomials/ G. Szego.Rhode Island: American Mathematical Society Providence, 1939.431 p.
Szego, G.

Orthogonal polynomials/V. Totik//Surveys in Approximation Theory.2005. 1 (2005).pp. 70-125.
Totik, V.


ДЛЯ ЗАМЕТОК


ДЛЯ ЗАМЕТОК