П.В.Маковецкий

Задача 16. Прыгуны на Луне

А.

Лучшие прыгуны на Земле преодолевают высоту 2 м и больше. Как высоко они прыгали бы на Луне, где ускорение свободного падения в шесть раз меньше?

Б.

На 12 м, говорите? Ваше заблуждение простительно, если учесть, что даже некоторые книги советуют умножить земной рекорд на шесть. Намного меньше! И дело не в том, что на Луне прыгуна будет отягощать скафандр. Попробуйте учесть, что спортсмен отталкивается от земли в вертикальном положении, а проходит над планкой – в горизонтальном, т.е. берет высоту не столько силой, сколько хитростью.

В.

Центр масс спортсмена перед прыжком находится на высоте около 1,2 м, в момент прохода над двухметровой планкой – на высоте около* 2,1 м, т.е. поднимается всего лишь на 0,9 м. Затрачивая ту же энергию на Луне, прыгун поднял бы центр масс своего тела на высоту 0,9 · 6 = 5,4 м и, таким образом, прошел бы на высоте 1,2 + 5,4 = 6,6 м. Это почти вдвое ниже, чем казалось с первого взгляда. Правда, здесь не учтено, что непосредственно перед прыжком спортсмен несколько приседает и, следовательно, общий подъем центра масс во время прыжка несколько больше вычисленного. Но как первое приближение эта цифра вполне корректна.

---

* В принципе, если сильно изогнуться, то можно пройти над планкой так, что центр масс все время будет даже ниже планки.

В таком виде задача была опубликована в первом издании книги. Как и следовало ожидать, многие читатели не удовлетворились первым приближением и попытались перевести на язык цифр оговорку автора о необходимости учитывать приседание. Ответы у читателей оказались неожиданно разными, причем самый оптимистичный читатель нашел, что высота прыжка на Луне будет порядка 100 м! Самое интересное, однако, то, что каждый из этих ответов был более или менее обоснован, причем большинство из них опиралось на метод, отличный от приведенного в задаче. Поэтому имеет смысл найти второе приближение сначала по методу автора, затем по методу читателей и, наконец, сравнить их.

Итак, учтем глубину приседания (длину толчка) Δ спортсмена. На Земле прыгун поднимает свой центр масс с высоты h₀ на высоту h₀ + Δ + h_З, на Луне – на высоту h₀ + Δ + h_Л. Предполагая для простоты равные затраты энергии, мы получаем равенство приращений потенциальных энергий в наивысшей точке траектории прыжка:

mg_З (h_З + Δ) = mg_Л (h_Л + Δ),

где g_З и g_Л – ускорения свободного падения на Земле и Луне.

Учитывая, что g_З = 6g_Л, и решая это уравнение относительно h_Л, получаем подъем центра масс:

прибавив к которому начальную (в приседании) высоту h₀ и длину толчка Δ, мы узнаем значение лунного рекорда.

Глубина приседания перед прыжком у рекордсменов, по данным Ленинградского института физкультуры им. Лесгафта, колеблется около 35 см (для спортсменов, имеющих рост 180...185 см). Для людей среднего роста (170 см) она будет порядка Δ = 0,3 м. Если, как и раньше, h_З = 0,9 м, то

h_Л = 6 · 0,9 + 5 · 0,3 = 6,9 м,

а рекорд

h₀ + Δ + h_Л = 0,9 + 0,3 + 6,9 = 8,1 м.

Теперь учтем приседание методом, предложенным читателями. Основная нить рассуждений у многих выглядела так. Чтобы человек прыгнул, нужно, чтобы его ноги развили силу, бОльшую силы тяжести тела. Если сила тяжести на Земле равна P, а спортсмен развивает силу 1,5P, то 1P уйдет на компенсацию силы тяжести, а 0,5P – на придание скорости телу. Однако сила тяжести того же человека на Луне равна P/6, следовательно, на компенсацию силы тяжести потребуется меньше, а на придание скорости останется больше, а именно 1,33P. Это в 2,67 раза больше 0,5P. Следовательно, и скорость отрыва от Луны будет в 2,67 раза больше. Высота подъема h связана со скоростью взлета v и ускорением свободного падения g формулой

h = v² / 2g.

Написав эту формулу для Земли и Луны и разделив одну на другую, получим

h_Л / h_З = (v_Л² / v_З²) · (g_З / g_Л) = 2,672 · 6 ≈ 46.

На Луне спортсмен прыгнет не в 6, а в 46 раз выше, чем на Земле. На сорок с лишним метров!

Давайте, однако, от ориентировочных расчетов перейдем к точным. Будем при этом следовать методике читателя С.Л. Полонского (Рыбинск), решение которого оказалось самым точным из присланных.

Найдем силу ног прыгуна массой m = 60 кг, преодолевающего на Земле высоту 2 м, т.е. поднимающего во время полета центр масс на h_З = 0,9 м за счет скорости, приобретенной на пути Δ = 0,3 м. Скорость его отрыва от Земли

Ускорение в толчке

Мы замечаем, что можно было бы скорость и не вычислять, а просто найти a_З из пропорции

но знание скорости нам пригодится. Сила, вызвавшая ускорение aЗ.

Полную силу ног P₀ найдем, прибавив к Q_З силу тяжести прыгуна на Земле (P_З = 60 кгс):

Теперь можно приступить к расчетам прыжка на Луне, исходя из гипотезы, что сила ног у человека не уменьшилась от переноса его с Земли на Луну. Сила толчка на Луне, где сила тяжести прыгуна в шесть раз меньше (P_Л = 10 кгс).

Ускорение в толчке (масса прыгуна по-прежнему m = 60 кг)

Скорость отрыва прыгуна от Луны

Высота подъема на Луне

Результат совпадает с тем, что мы получили с помощью формулы (1). Единственное различие состоит в том, что для расчета по первому методу достаточно одной формулы, а по второму их требуется около десятка.

Но, может быть, это случайное совпадение? Или даже умысел коварного автора, подобравшего так удачно численный пример? Чтобы не проверять бесконечное число примеров, совпадение стоит проверить в общем виде. Подставьте формулы (3) – (10) одну в другую, начиная, например, с (10):

Выписывая отдельно начало и конец этой длинной цепи равенств, получаем

h_Л = [(g_З / g_Л) · (Δ + h_З)] – Δ = 6(Δ + h_З) – Δ,

что и дает формулу (1).

Теперь у нас есть полная уверенность, что оба метода всегда будут давать одно и то же и оба они правильны (или неправильны) одновременно. Чувствует себя спокойнее и автор: две опоры надежнее одной, это Козьма Прутков заметил тонко.

Но почему же ориентировочные расчеты давали такой экзотический результат? Потому что там есть две ошибки. Первая: сила ног взята наугад равной 1,5P, в то время как она у берущего высоту 2 м оказывается равной 4P. Вторая: если сила в n раз больше, то это не значит, что и скорость отрыва возрастет во столько же раз. Так было бы, если бы время на разгибание ног в обоих случаях было одинаковым. Но этого нет. В обоих случаях одинаков путь разгибания Δ, а не время (ноги на Луне имеют ту же длину, что и на Земле). В результате большее ускорение будет действовать меньшее время, и скорость возрастет не так уж сильно (сравните результаты расчета по формулам (9) и (2)).

Ошибки весьма поучительные. Ноги прыгуна намного сильнее, чем это подсказывает интуиция. В то же время прибавка скорости намного меньше, чем подсказывает все та же интуиция. Анализ ошибок полезен тем, что он позволяет глубже познать истину. Выстраданная истина прочнее и дороже.

В качестве дополнительных задач полезно рассмотреть, как высоко прыгнул бы на Луне кузнечик (в скафандре, разумеется), берущий на Земле забор высотой 1,5 м. Сможет ли прыгнуть на Луне тот, у кого на Земле хватает сил только на поддержание себя в положении стоя? Чего достиг бы на Луне прыгун с шестом?

И, наконец, не понадобится ли следующий раз вновь дополнять решение? Все ли уже учтено? Нет, конечно. Не учтено еще множество факторов. Главный из них: сила толчка не постоянна, она меняется в процессе толчка, так как при разгибании ног меняются углы между «рычагами» и «пружинами», из которых построена нога. Меняется она и чисто физиологически: сила мышцы в каждое мгновение зависит от характера команд, подводимых к ней по нерву, управление мышцей идет по сложному закону. Кроме того, высота прыжка будет зависеть от массы скафандра и от условий внутри него. Но это все проблемы для диссертации. Здесь их не рассмотреть. Впрочем, и мы можем подсказать кое-что диссертантам. Судя по формуле (1), высота h_Л рекордного прыжка на Луне зависит от глубины приседания Δ. На Земле она, разумеется, тоже зависит от нее, и многолетний опыт приводит каждого спортсмена к своему оптимальному значению Δ. Но одинаковы ли у данного спортсмена оптимальные значения Δ для Земли и Луны? Можно ли это рассчитать теоретически, так сказать, с участием одной головы? Или этот вопрос надежнее решается экспериментально, ногами? Не это ли имел в виду Козьма Прутков, утверждая, что две опоры надежнее одной?

Из книги: П.В.Маковецкий, "Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов".