Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.sai.msu.ru/neb/PracticumCM/PracticumCM_N03.pdf Дата изменения: Wed Apr 30 16:25:05 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:38:26 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

Кафедра небесной механики, астрометрии и гравиметрии физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова. Специальный практикум по небесной механике. Задача No. 3. Ширмин Г.И. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ АСТЕРОИДА ПО ТРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ. В В Е Д Е Н И Е.
Проблема определения орбит небесных тел из астрономических наблюдений появилась фактически одновременно с возникновением самой динамической астрономии как естественно-научной дисциплины. И произошло это благодаря Эдмунду Галлею, уговорившему своего друга Исаака Ньютона помочь ему вычислить орбиту кометы, известной теперь как знаменитая комета Галлея. В результате возник первый (геометрический по форме) метод решения такой задачи, по праву связываемый с именем самого автора "Математических начал натуральной философии" г.). (1687

Однако подлинный триумф динамической астрономии в качестве эффективно-

го набора аналитических процедур для прогнозирования движений небесных светил принято связывать с именем Карла Фридриха Гаусса, вычислившего поисковую эфемериду первой малой планеты Цереры,потерянную ее первооткрывателем Джузеппе Пиацци (1801 г.), все усилия которого определить элементы ее орбиты оказались безуспешными. Кстати, К.Гаусс не только предложил метод определения орбиты, идейно близкий предложенномму Жозефом-Луи Лагранжем (1778 г.). Более того, К.Гаусс свой метод "довел до числа". Так возник метод, впоследствии получивший название "метод Лагранжа-Гаусса" и ставший затем наиболее распространенным в

практике определения орбит и вычисления эфемерид. Тем самым молодой выпускник Геттингенского университета Карл Фридрих Гаусс не просто решил актуальнейшую научную задачу, но и заложил основы прикладной и вычислительной математики, благодаря чему и получил всеобщее признание как "primas matematicus т.е."король математиков". Поэтому не подлежит сомнению утверждение о том, что могущество современной прикладной и вычислительной математики генетически связано с чисто астрономической проблемой прогнозирования движений небесных светил. Из теоретической астрономии известно, что для определения гелиоцентрической орбиты какого-либо тела, принадлежащего Солнечной системе, необходимо

1


иметь в своем распоряжении по крайней мере три полных набора его небесных координат, охватывающих, к тому же, достаточно продолжительный промежуток времени. В противном случае точность вычисленных значений орбитальных элементов будет неудовлетворительной. Однако указанный временной интервал не должен быть и чрезмерно большим, так как используемые при этом бесконечные ряды по возрастающим степеням малых параметров, роль которых выполняют как раз интервалы времени между парами наблюдений, будут сходиться недостаточно быстро. А). В том случае, когда речь идет о топоцентрических небесных координатах "светила" (прямых восхождениях и склонениях, приведенных к экватору и рав-

ноденствию одной и той же эпохи), их значения должны быть еще "приведены к центру Земли что предполагает введение в координаты соответствующих поправок за суточный параллакс.

Преобразование от топоцетрических небесных координат к геоцентрическим осуществляется по нижеследующим формулам. Пусть ческие координаты объекта, а

0 ,

0

- наблюдаемые топоцентри-

,

- его геоцентрические координаты. Далее пусть

,



и

s

- геоцентрическое расстояние, геоцентрическая широта и звездное время места

наблюдения соответственно. Тогда геоцентрические значения сферических небесных координат



и



вычисляются по формулам:

= 0 + p , = 0 + p ,
где "параллактические смещения" телями"

p

и

p

связаны с "параллактическими множи-

M

и

M

равенствами:

M = p , M = p ,
причем через



обозначено геоцентрическое расстояние объекта. Параллактические

множители обычно принято публиковать вместе с наблюдаемыми небесными координатами и если (например, из эфемериды) известно геоцентрическое расстояние то параллактические смещения

,

p

и

p

легко определяются с помощью формул;

1 p = M , 1 p = M .
Однако в том случае, когда параллактические множители могут быть рассчитаны по формулам:

M

и

M

не известны, они

2


M = C s sec 0 sin(s - 0 ),
где

M = S cos 0 - C sin 0 cos(s - 0 ), S = 8. 80 sin ,





(1)

C s = 0s .5867 cos ,

C = 8 .80 cos ,

(2)

причем обе части первого из равенств (2) выражены в секундах времени, а оставшихся двух - в секундах дуги. В Астрономическом Ежегоднике СССР приводятся вспомогательные таблицы для вычисления коэффициентов C и S по заданным значениям геоцентрических координат (расстояния мических обсерваторий Земли.



и широты





) основных астроно-

Б). В случае только что открытого

(т.е. впервые наблюдавшегося)

небесного

тела описанный выше (в разделе А) путь ("приведения к центру Земли") неприменим, так как геоцентрическое расстояние взять неоткуда (оно неизвестно ввиду отсутствия эфемериды такого объекта). Тогда следует к наблюдаемым топоцентрическим координатам объекта добавить топоцентрические значения прямоугольных координат Солнца, вычисленные по геоцентрическим прямоугольным экваториальным координатам Солнца из таблиц Астрономического Ежегодника СССР (за год, к которому относятся наблюдения), публикуемым на начало суток каждой даты года.

АЛГОРИТМ ЛАГРАНЖА-ГАУССА.
I. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТЫ АСТЕРОИДА.
а). Моменты трех наблюдений астероида:

t1 , t 2 , t

3

(t1 < t < t2 );

б).Наблюденные сферические небесные координаты астероида:

(1 , 1 ),

(, ),

(2 , 2 );

в).Декартовы прямоугольные координаты Солнца:

(X1 , Y1 , Z1 ),

(X, Y , Z ),

(X2 , Y2 , Z2 ),

получаемые интерполированием из соответствующих таблиц Астрономического Ежегодника СССР (на год наблюдений). Координаты астероида и Солнца должны быть выражены в одной и той же системе координат (геоцентрической или топоцентрической), а также должны быть отнесены к небесному экватору и весеннему равноденствию одной и той же эпохи.

3


I I. СВОДКА ФОРМУЛ И ПОРЯДОК ВЫЧИСЛЕНИЙ. I Iа). В ы ч и с л е н и е геоцентрических р а с с т о я н и й.

No 1. Вычисление элементов фундаментального определителя ,
то есть направляющих косинусов радиус-вектора астероида относительно осей выбранной системы координат по его сферическим небесным экваториальным координатам:

1 = cos 1 cos 1 , = cos cos , 2 = cos 2 cos 2 , ч1 = sin 1 cos 1 , ч = sin cos , ч2 = sin 2 cos 2 , 1 = sin 1 , = sin , 2 = sin 2 .
дества:

(3)

В качестве контрольных соотношений используются следующие очевидные тож-

2 2 + ч2 + 1 = 1, 1 1

2 + ч 2 + 2 = 1 ,

2 2 + ч2 + 2 = 1. 2 2

No 2. В ы ч и с л е н и е

констант,

связанных с фундаментальным определителем D метода Лагранжа-Гаусса, по значениям направляющих косинусов, вычисленным в предыдущем разделе: а). Ф у н д а м е н т а л ь н ы й определительD

вычисляется согласно формуле Лапласа (в форме разложения по элементам его первого столбца):

D = 12 + чч12 + 12 .
Здесь алгебраические дополнения элементов первого столбца определителя D заданы выражениями



12

= ч1 2 - ч2 1 ,

ч12 = 1 2 - 2 1 , 12 = 1 ч2 - 2 ч1 .
Через

U1 , U

и

U2

далее обозначены так называемые "производные"определители

U1 = X1 12 + Y1 ч12 + Z1 12 , U = X 12 + Y ч12 + Z 12 , U2 = X2 12 + Y2 ч12 + Z2 12 ,
получаемые из фундаментального определителя D заменой элементов его первого столбца на прямоугольные экваториальные координаты Солнца, соответствующие моментам трех наблюдений.

4


б).В ы ч и с л е н и е

постоянных

R, C, S, cos ,
определяемых формулами:

R2 = X 2 + Y 2 + Z 2 , C = -(X + чY + Z ), S 2 = R2 - C 2 , C cos = . R
Контроль в ы ч и с л е н и й : с помощью значений вспомогательных констант

L, M

и

N

, определяемых равенствами:

L = 1 + + 2 + X1 + X + X2 , M = ч1 + ч + ч2 + Y1 + Y + Y2 , N = 1 + + 2 + Z1 + Z + Z2 ,
а в качестве контрольного используется соотношение:

L12 + M ч12 + N

12

= D + U1 + U + U2 ,

обе части которого должны совпадать в пределах заданной точности вычислений.

No 3. Вычисление геоцентрических расстояний небесного объекта методом последовательных приближений.
Первое приближение.

No 3.1. В ы ч и с л е н и е

промежутков

времени

1 , ,

2

между парами наблюдений по формулам:

1 = k (t2 - t), 2 = k (t - t1 ), = k (t2 - t1 ),
где через

k

обозначена постоянная Гаусса

k = 0, 01720209895,
5


а также отношений указанных выше промежутков времени

n1

0

и

n

2

0

:

n n
и величин коэффициентов Энке

1

0

= =

1 , 2 ,

2

0

c

1и

c

2 по формулам:

1 c1 = 1 2 (1 + n1 0 ), 6 1 c2 = 1 2 (1 + n2 0 ). 6
Контрольным с о о т н о ш е н и е м служит равенство:

1 1 (c1 + c2 ) = 1 2 , 3 6
обе части которого должны совпадать в пределах заданной точности вычислений.

No 3.2. С о с т а в л е н и е

уравнений

Л а г р а н ж а.

В этом разделе составляется система уравнений Лагранжа, определяющая геоцентрическое расстояние светила



в момент среднего из трех наблюдений:

DP = U - n1 0 U1 - n2 0 U2 , DQ = c1 U1 + c2 U2 .....(A) =P- Q , r3

r2 = ( + C )2 + S 2 ....(B )

Критерий

О п п о л ь ц е р а единственности орбиты, соответствующей

используемому набору наблюдательных данных , состоит в удовлетворении неравенства:

3P cos > R.

6


Если последнее неравенство не удовлетворяется, то это означает, что используемому набору наблюдательных данных соответствует двойное решение задачи Лагранжа-Гаусса. В таком случае какое-либо одно из трех наблюдений должно быть исключено и заменено другим, чтобы новый набор трех наблюдений удовлетворял критерию Оппольцера.

No 3.3.

Численное

решение

системы (B)

уравнений

Л а г р а н ж а.

Система (В) уравнений Лагранжа - это система двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными: геоцентрическим расстоянием янием



и гелиоцентрическим рассто-

r

исследуемого небесного тела. Решение такой системы может быть найдено

лишь приближенно, например, каким-либо из итерационных способов. Это, разумеется, предполагает выбор стартового значения для искомой переменной



из области

сходимости применяемого итерационного процесса. С этой целью используется следующее одно уравнение:

p = 1 - (x 2 + 2x cos + 1)

-3 2

... (a) x ,

относительно другой (безразмерной) неизвестной ством:

определяемой равен-

x = , r
и с двумя параметрами

p

,

cos ,

,

таких что

p=
а

R , P C . R

cos =

Уравнение (a) выводится из системы (B) путем исключения из последней гелиоцентрического расстояния

r

при условии, что коэффициенты

P

и

Q

свя-

заны приближенным соотношением

7


Q P R3 .
Вышеупомянутое уравнение (a) в принципе позволяет найти значение искомой величины

x



по заданным значениям параметров

p

и

cos

. Однако безразмерное

геоцентрическое расстояние двух аргументов

x



определяется уравнением (а) как неявная функция

p

и

cos

:

x = (p, cos ),
так что вычисление этой последней неявной функции связано с определенными трудностями, чреватыми потерей точности. Эти трудности легко преодолимы, если обратить внимание на то обстоятельство, что приближенное значение получено из таблицы с двумя входами для значений но по формуле (а) как функции

x

может быть

p

, вычисляемых непосредствен-

x



и

cos

:

p = (x , cos ).
Такая таблица содержится в монографии: М.Ф.Субботин."ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРЕТИЧЕСКУЮ АСТРОНОМИЮ изд."Наука М., 1968, cc. 780-783.Таблица

X.

"При-

ближенное решение уравнений Лагранжа". Эта таблица позволяет легко находить значение

x



для заданных значений

p

и

cos

. Таким образом, стартовое значение

геоцентрического расстояния



(0)

определяется приближенно из равенства:



(0)

= x R.
подлежит уточнению

Это приближенное значение геоцентрического расстояния

с помощью какого-либо из итерационных способов решения алгебраических уравнений. Например, для применения метода касательных Ньютона уравнение (B) следует привести к виду:

f () = 0,
где для левой части этого уравнения использовано обозначение

f () = - P +
так что ее первая производная

Q , r3

f ()

представима формулой

f () = 1 -

3Q( + C ) . r5

Итерации начинаются со стартового значения:



(0)

= x R,
8


причем итерационная схема метода касательных Ньютона приобретает вид:


где номер итерации

(k+1)

=

(k)

-

f ((k) ) , f ((k) )

k

принимает значения

k = 0, 1, 2, ...
Напротив,если вместо метода касательных Ньютона для уточнения геоцентрического расстояния



испольэуется клаассический метод итераций, то итерационная схема

для системы (B) уравнений Лагранжа такова:

(

k+1)

=P-

Q (r
(k) )3

,

,

(r

(k) 2

) = [

(k )

+ C ]2 + S 2 ,

k = 0, 1, 2, ...,
(0)

причем по-прежнему через центрического расстояния



обозначено стартовое значение искомого гео-



, определяемое равенством:



(0)

= x R.

No 3.4.Вычисление г е о ц е н т р и ч е с к и х

расстояний



1и

2

,

соответствующих моментам крайних наблюдений.

Прежде всего по значению гелиоцентрического расстояния r , вычисленному в первом приближении (см. предыдущий раздел No 3.3), по формулам Энке:

n1 = n n2 = n
(1)

(1)

(0) 1

+

c1 , r3 c2 , r3

(0) 2

+

9


вычисляются отношения площадей треугольников центрическое расстояние

n

(1) 1

и

n2 .

(1)

Затем гео-



1

вычисляется по тому из трех нижеследующих урав-

нений, левая часть которого имеет наибольший коэффициент при определяемом неизвестном



1

:

[n1 12 ]1 = (2 ч - ч2 ) - (2 Y - ч2 Z ) + n1 (2 Y1 - ч2 Z1 ) + n2 (2 Y2 - ч2 Z2 );

[n1 ч12 ]1 = (2 - 2 ) - (2 Z - 2 X ) + n1 (2 Z1 - 2 X1 ) + n2 (2 Z2 - 2 X2 ); [n1 12 ]1 = (ч2 - 2 ч) - (ч2 X - 2 Y ) + n1 (ч2 X1 - 2 Y1 ) + n2 (ч2 X2 - 2 Y2 ... (C ).
Так, например, если :



12

по модулю превосходит как

ч

12 ,

так и



12 :

|12 | max(|ч12 |, |12 |),
то для вычисления



1 надо выбрать первое из трех соотношений (C).

Что же касается геоцентрического расстояния



2 , оно определяется из трех сле-

дующих соотношений, превращающихся (после вычисления одним неизвестным



и

1 )

в уравнения с

2

:

(n2 2 )2 = - (n1 1 )1 - X + n1 X1 + n2 X2 ; (n2 ч2 )2 = ч - (n1 ч1 )1 - Y + n1 Y1 + n2 Y2 ; ... (D) (n2 2 )2 = - (n1 1 )1 - Z + n1 Z1 + n2 Z2
Например, при выполнении условия, что как



2 по абсолютной величине превосходит

ч2

, так и



2 , т.е.

|2 | max(|ч2 |, |2 |),
с наибольшей точностью последнее геоцентрическое расстояние тьим соотношением

2

определяется тре-

(D).
гелиоцентрических координат

No 3.5. В ы ч и с л е н и е и расстояний

объекта.

10


Значения гелиоцентрических координат вычисляются по формулам

x1 = 1 1 - X1 , x = - X, x2 = 2 2 - X2 y1 = ч1 1 - Y1 , y = ч - Y , y2 = 2 2 + Y2 z1 = 1 1 - Z1 , z = - Z, z2 = 2 2 - Z2
после чего вычисляются квадраты гелиоцентрических расстояний

(E )

(r1 )2 = (x1 )2 + (y1 )2 + (z1 )2 , r2 = x2 + y 2 + z 2 , (r2 )2 = (x2 )2 + (y2 )2 + (z2 )2
Контроль. Во-первых, вычисленное в этом разделе значение величины

r

должно совпадать с ее значением, полученным в процессе численного решения

системы уравнений Лагранжа (см. раздел No 3.3), то есть должно быть выполнено условие:

r=r
где через

(k)

, r
из последней итерации (в процес-

r

(k )

обозначено значение переменной

се уточнения геоцентрических расстояний). Во-вторых, вычислнные в этом разделе значения гелиоцентрических координат небесного объекта должны удовлетворять (разумеется, в пределах заданной точности вычислений) также и соотношениям:

x = n1 x1 + n2 x2 , y = n1 y1 + n2 y2 , z = n1 z1 + n2 z2 .

П р и м е ч а н и е 1. Для астероидов иногда оказывается достаточно той точности,которую дает первое приближение гауссовой процедуры определения геоцентрических расстояний. Так, например, можно сразу переходить к вычислению элементов орбиты, предназначенных для вычисления так называемой "поисковой"эфемериды, чтобы астрономынаблюдатели смогли продолжить наблюдения и, благодаря ей, сумели не потерять интересующий их небесный объект.

No 3.6.

Учет

планетной

аберрации.

11


Эффект планетной аберрации является следствием того обстоятельства, что свет распространяется не мгновенно, т.е. скорость света имеет конечное значение. Поэтому за тот промежуток времени, пока свет проходит расстояние от источника света до наблюдателя, сам светящийся объект успевает передвинуться в пространстве на новое место. Таким образом, фиксируемое наблюдателем положение объекта на небесной сфере соответствуют не моменту наблюдения, а некоторому более раннему моменту времени. Следовательно, вычисленные в предыдущем разделе гелиоцентрические координаты светила:

(x1 , y1 , z1 ), (x, y , z ), (x2 , y2 , z2 )


должны относиться,

соответственно, к исправленным ( за планетную аберрацию) моментам времени:

t

1

= t1 - L1 ,

t = t - L, t
где

2



= t2 - L2 ,

L = 0d .0057756
- это так называемое "световое время"(в средних солнечных сутках), за которое свет проходит расстояние, равное одной астрономической единице.

No 4.

Второе и последующие приближения в гауссовой процедуре уточнения расстояний.
приближение

No 4.1. В т о р о е

начинается с вычисления новых значений промежутков времени между парами наблюдений (с исправленными за планетную аберрацию моментами наблюдений) по формулам:

1 = k (t2 - t ), 2 = k (t - t1 ), = k (t
2

- t1 ).

Затем вычисляются новые значения отношений промежутков времени между парами наблюдений:

n1 0 = n2 0 =
12

1 , 2 .


Далее во втором приближении вычисляются отношения площадей треугольников по формулам Гиббса:

n1 n2
где коэффициенты

(2)

=n =n

1

0

[1 + B1 (r1 )-3 ] , (1 - B r-3 ) [1 + B2 (r2 )-3 ] , (1 - B r-3 )

(2)

2

0

B , B1

и

B

2 суть постоянные величины,определяемые формулами:

1 2 (1 + n1 0 n2 0 ), 12 1 B1 = 2 (n2 0 - n1 0 n1 0 ), 12 1 B2 = 2 (n1 0 - n2 0 n2 0 ). 12 B=
П р и м е ч а н и е 1.

Не следует упускать из виду то обстоятельство, что во втором приближении значения величин





,

1 , 2 , n

1

0

и

n

2

0

предполагаются исправленными за планетную

аберрацию (т.е. перевычисленными на моменты времени

t1 ,

t ,

t 2 ).

Дальнейшие вычисления по уточнению значений геоцентрических расстояний производятся в соответствии с разделом No 4.2.

В

третьем

приближении

( а также во всех последующих

приближениях) лам Гаусса:

отношения площадей треугольников рассчитываются по форму-

n n
где

(k) 1 (k) 2

, 1 = n2 0 , 2 =n
1 0

(k 3),

причем

n1 0 , n

2

0

вычисляются по формулам

n1 0 = n
0

1 , 2

2

=

с исправленными за планетную аберрацию моментами наблюдений

t1 = t1 - L1 ,
13


t = t - L, t2 = t2 - L2 ,
а также с соответственно исправленными значениями промежутков времени между парами наблюдений:

= k (t2 - t1 ), 1 = k (t2 - t), 2 = k (t - t1 ).
В формулах Гаусса щадям треугольников,

,

1 ,



2

суть отношения площадей секторов к пло-

образованных парами гелиоцентрических радиус-векторов Указанные отно-

объекта, соответствующих моментам используемых наблюдений.

шения площадей секторов к площадям соответствующих треугольников представляются цепными дробями Ганзена. В частности величина образованного "крайними"



- это отношение площади эллиптического сектора,

радиус-векторами, к площади треугольника, образован-

ного теми же радиус-векторами и стягивающей их концы хордой, а вычисляется с помощью следующих формул:



=1+
где

10 d ( 11 1 + 1+

d
d 1+...

),

d=
причем

22 2 , 2 [6 + 9(r1 + r2 )]

2 = 2(r1 r2 + x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ).

Аналогичный смысл имеет величина формулой в форме цепной дроби;

1 , также представляемая соответствующей

1 = 1 +
где

10 d1 ( 11 1 +

d1 d 1+ 1+1 ...

),

d1

и



1 определяются двумя следующим далее равенствами:

d1 =
и

221 2 , 1 2 [61 + 9(r2 + r)]



1

2

= 2(r2 r + x2 x + y2 y + z2 z ).

14


Наконец, значение величины Ганзена:



2 также определяет соответствующая цепная дробь

2 = 1 +
где

10 d2 ( 11 1 +

d2 d 1+ 1+2 ...

),

d2 =
а

222 2 , 2 2 [62 + 9(r1 + r)]



2

2

= 2(r1 r + x1 x + y1 y + z1 z ).

No 4.2. После второго приближения ( и всех последующих приближений) с уточненными значениями отношений площадей треугольников коэффициенты Энке

n

1и

n2

вычисляются

c

1

и

c

2

по формулам:

c1 = (n1 - n1 0 )r-3 , c2 = (n2 - n2 0 )r-3 ,
где в качестве значения, а

n

1

0

и

n

2

0

берутся их исправленные за планетную аберрацию

r=r
причем

(k)

,

"(k )"

означает номер последнего (из осуществленных) приближений в гаус-

совой процедуре уточнения расстояний.

No 4.3. Теперь по формулам (A) и (B) раздела No 3.2 вычисляются новые значения расстояний до объекта (геоцентрического

""

и гелиоцентрического

"r"),

соответствующих моменту среднего наблюдения.

No 4.4. С помощью тех же самых уравнений из числа (C) и (D) раздела No 3.3, которые использовались в первом приближении для нахождения "крайних" геоцен-

трических расстояний, после подстановки в вышеуказанные уравнения уточненных значений величин

n

1,

n2

,

определяются новые значения



1

и



2,

соот-

ветствующие моментам крайних наблюдений.

No 4.5. По формулам (E) вычисляются уточненные значения гелиоцентрических координат

xi ,

yi ,

zi

(i = 1, 0, 2),

соответствующие моментам трех наблюдений

небесного объекта.

Примечание

2.

15


Если новые значения геоцентрических расстояний более чем на

1

,



и

2

отличаются

0, 001a.e.

от тех, что были употреблены для исправления моментов

наблюдений за планетную аберрацию, то соответствующие (аберрационные) поправки иногда бывает необходимо уточнить.

Примечание

3.

Последующие приближения гауссовой процедуры уточнения геоцентрических расстояний исследуемого небесного объекта продолжаются до совпадения последующих значений отношений площадей треугольников с их предыдущими значениями (разумеется, в пределах той точности, с которой ведутся вычисления.

Таким образом, при выполнении условий:

|n

q

(k+1)

-n

q

(k )

|



(q = 1, 2;

k = 0, 1, 2, ..., n), ,

все расстояния до объекта считаются вычисленными с требуемой точностью

так что можно переходить к реализации второго этапа стратегии Леонарда Эйлера, то есть к вычислению элементов орбиты.

I Iб). В ы ч и с л е н и е

элементов

орбиты.

В методе Лагранжа-Гаусса элементы орбиты вычисляются из краевых условий невозмущенного движения объекта, в качестве которых выбираются гелиоцентрические координаты , соответствующие моментам двух крайних наблюдений:

(t1 , x1 , y1 , z1 ), (t2 , x2 , y2 , z2 ).
Эти значения выбираются из результатов последнего выполненного приближения гауссовой процедуры уточнения расстояний от наблюдателя до объекта.

No 5.1. В ы ч и с л е н и е расстояний

квадратов

"крайних"

гелиоцентрических

r1

и

r2 ,

а также вспомогательных величин



,

x

0,

y

0,

z

0,

r0

по нижеприведенным формулам:

r1 2 = x1 2 + y r2 2 = x2 2 + y

1 2

2 2

+ z1 2 , + z2 2 ,

16


= (x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 )r x0 = x2 - x1 , y0 = y2 - y1 , z0 = z2 - z 1 , r0 2 = x0 2 + y
0 2

1

-2

,

+ z0 2 .

No 5.2. В ы ч и с л е н и е

разности

истинных

аномалий

(2f ) = v2 - v

1

в двух крайних положениях исследуемого объекта по формулам:

sin(2f ) = cos(2f ) =

r0 , r2

(x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ) . r1 r2

Квадрант единичной окружности, в котором находится угол (2f ),находится по знакам

sin(2f )

и

cos(2f ),

в то время как главное значение угла

(2f )

точ-

нее определяется соотношением:

(2f ) = arctg [

r0 r1 ]. (x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 )
таково:

Основное

контрольное

соотношение

(r0 r1 )2 = (y1 z2 - y2 z1 )2 + (z1 x2 - z2 x1 )2 + (x1 y2 - x2 y1 )2 .
В целях дополнительного контроля за вычислениями

желательно использовать также равенство:

arc sin(

(x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ) r0 ) = arc cos , r2 r1 r2 (2f )
, выводимых

обеспечивающее согласие значений разности истинных аномалий из двух первых формул этого раздела.

No 5.3. В ы ч и с л е н и е с помощью соотношения:

фокального

параметра

"p"

орбиты

17




p=

(r1 )(r0 ) ,

где через

" "

обозначено отношение площади сектора к площади треугольни-

ка для среднего наблюдения ( его значение уже вычислено после операций раздела No 4.1., выполненных в последнем приближении гауссовой процедуры уточнения расстояний до объекта).

No 5.4. Оп р е д е л е н и е

истинных

аномалий

"v1 "
"e"

и

" v2 "

в

двух крайних положениях объекта, а также эксцентриситета чего используются соотношения:

его орбиты, для

e sin(v1 =

q1 cos(2f ) - q2 ) , sin(2f )

e cos(v1 ) = q1 , v2 = v1 + (2f ).
Здесь через

" q1 "

и

"q2 "

обозначены величины:

q1 =

p - 1, r1

q2 =

p - 1. r2

К о н т р о л ь вычисления параметра орбиты, определенного в разделе No 5.3, осуществляется с помощью соотношения:

p = r2 [1 + e cos(v2 )].

No 5.5. В ы ч и с л е н и е

большой

полуоси

"a"

о р б и т ы, а

также эксцентрических аномалий объекта.

"E1 "

и

"E2 "

в двух крайних положениях

Для этого служат формулы:

e = sin(), p p a= = , (1 - e)(1 + e) cos2 ()
где

= arc sin(e)
-это так называемый угол эксцентриситета.

Значения

E

1

и

E2

вычисляются по формулам:

18


E1 tg ( ) 2

= =

1-e 1+e

tg (

v1 ), 2

E2 tg ( ) 2
В целях контроля

1-e 1+e

tg (

v2 ). 2

вычислений

используется равенство:

b sin

(E2 - E1 ) (v2 - v1 ) = r1 r2 sin , 2 2

где через

"b"

обозначена малая полуось эллиптической орбиты, так что

b = a (1 - e2 ) = a cos().

No 5.6. В ы ч и с л е н и е

средних

аномалий

"M1 "

и

"M2 "

небесного объекта, соответствующих его крайним наблюдениям:

M1 = E1 - e sin(E1 ), M2 = E2 - e sin(E2 ),
причем через дуги:

e



обозначено значение эксцентриситета,выраженное в градусах

e = 57 .2957795e.

No 5.7. О п р е д е л е н и е объекта и его средней аномалии

среднего

суточного

движения

"n"

"M " n=

"эпохи оскуляции"t0 по формулам:

(M2 - M1 ) , (t2 - t1 )

M0 = M1 + n(t0 - t1 ),
где в качестве "эпохи оскуляции" есть "среднего") наблюдения:

t

0

берется момент начала суток второго (то

t0 = [t].

19


No. 5.8. В ы ч и с л е н и е "векторных элементов":

P = (Px , Py , Pz ), Q = (Qx , Qy , Qz ). - P - Q

Значения этих шести компонент векторов щью формул:

и

вычисляются с помо-

Px = Py = Pz = Qx = Qy = Qz =

x0 x1 cos(v1 ) - sin(v1 ), r1 r0 y1 y0 cos(v1 ) - sin(v1 ), r1 r0 z1 z0 cos(v1 ) - sin(v1 ), r1 r0 x1 x0 sin(v1 ) + cos(v1 ), r1 r0 y1 y0 sin(v1 ) + cos(v1 ), r1 r0 z1 z0 sin(v1 ) + cos(v1 ). r1 r0
соотношений используются следующие

В качестве

контрольных

тождественные равенства:

(Ax )2 + (Ay )2 + (Az )2 = a2 ,

(Bx )2 + (By )2 + (Bz )2 = b2 , (Ax )(Bx ) + (Ay )(By ) + (A - z )(Bz ) = 0,
где

Ax = aPx ,

Ay = aPy ,

Az = aPz ,

Bx = bQx ,

By = bQy ,

bz = bQz ,

а через

a

и

b

обозначены соответственно большая и малая оси эллипти-

ческой орбиты астероида.

20


No 5.9.

Вычисление

"у г л о в ы х

э л е м е н т о в"

орбиты орбиты узла).

(долготы восходящего узла



на эклиптике, наклонения

i

к эклиптике и углового расстояния перигелия



от восходящего

С этой целью для вычисления



и

i

используются соотношения:

sin(i) sin( ) = Pz cos - Py sin , sin(i) cos( ) = Qz cos - Qy sin ,
откуда главное значение для



определяется формулой

= arctg

(Pz cos - Py sin ) , (Qz cos - Qy sin )
уста-

а по знакам левых частей вышеупомянутых двух равенств для угла

навливается соответствующий квадрант единичной окружности. В свою очередь определяется из соотношений:



sin = (Py cos - Qy sin ) sec , cos = Px cos - Qx sin ,
причем главное значение



задается формулой

= arctg

(Pe cos - Qy sin ) sec , (Px cos - Qx sin )
и

в то время как по знакам углу

sin

cos

устанавливается соответствующий



квадрант. Во всех вышеприведенных соотношениях через



обозначен

угол наклона эклиптики к экватору, значение которого должно браться для эпохи употребляемых небесных координат (например,из Астрономического Ежегодника за тот год, к которому отнесены используемые наблюдения исследуемого объекта).

21


Контроль

вычисления "у г л о в ы х

э л е м е н т о в"

осуществляется:

во-первых, по совпадению значений угла

,

вычисленных по

sin

и

cos
ство:

в отдельности, так чтобы с заданной точностью



выполнялось равен-

arc sin[(Pz cos - Qy sin ) sec ] = arc cos(Px cos - Qx sin ),
а во-вторых, по удовлетворению условия

(Px ) sin + (Qx ) cos = - cos(i) sin .

I I I. П р е д с т а в л е н и е

наблюдений.

Наиболее полный контроль (правильности) вычисленной орбиты небесного объекта дает процедура представления исходных наблюдений при помощи найденных орбитальных элементов. Однако иногда практически достаточным считается контроль , состоящий в представлении среднего наблюдения, непосредственно при нахождении элементов орбиты не используемого. Чтобы вычислить небесные координаты объекта, соответствующие моменту дующие формулы: "t" среднего наблюдения, используются сле-

t = t - L,

L = 0d .0057756,

M = M0 + n(t - t0 ), E - e sin(E ) = M ,
где через

t

0,

как и ранее, обозначена "эпоха оскуляции то есть момент начала

суток среднего из трех использованных наблюдений, а ранее значение эксцентриситета орбиты

e



- это введенное уже

e,

выраженное в градусной мере:

e = 57 .2957795e.

22


Наконец, вычисленные геоцентрические небесные координаты

,

c

,



c

объекта

доставляются решением следующей системы трех уравнений с тремя неизвестными:

cos(c ) cos( c ) = , sin(c ) cos( c ) = , sin( c ) = ,

правые части которых заданы выражениями:

= Ax [cos(E ) - e] + Bx sin(E ) + X, = Ay [cos(E ) - e] + By sin(E ) + Y , = Az [cos(E ) - e] + Bz sin(E ) + Z.
Здесь используются значения компонент векторов

A = (Ax , Ay , Az )
и

B = (Bx , By , Bz )
, уже вычисленные в разделе

N o.5 .8. X
,

Геоцентрические экваториальные координаты Солнца момент

Y

,

Z

берутся на

"t"

среднего наблюдения небесного объекта.

Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными дает главные значения небесных координат объекта в форме:

c = arc tan[ ], c = arc tan[sin
c

],

23


а соответствующие квадранты единичной окружности определяются знаками функций

, ,

. Наконец, вычисленное значение геоцентрического расстояния опре-

деляется выражениями:

= csc( c ), = sec(c ) sec( c ), = csc(c ) sec(c ). ,

Совпадение значений

полученных по трем последним формулам, служит сви-

детельством отсутствия грубых ошибок в вычислениях.

Аберрационное время

(L)

получается путем интерполирования или экстра-

полирования из значений, имеющихся для трех исходных наблюдений.

После вычисления величины геоцентрического расстояния принятого значения величины числение повторяется.



правильность

(L)

проверяется и, в случае необходимости, вы-

(В том случае, когда исходными данными для определения элементов орбиты астероида были его топоцентрические экваториальные координаты,) Сравниваемые небесные координаты среднего наблюдения исправляются за суточный параллакс.

Примечание.

Точность представления небесных координат среднего наблюдения объекта должна быть не хуже

0".1

,

для чего все вычисления должны вестись с 7 (семью)

значащими цифрами.

Модули разностей "O - C"

("Observatum minus Calculatum"):

() = - c , ( ) = -
по прямому восхождению порядка

c

() = 0s .07
24


и по склонению

( ) = 0" .5
свидетельствуют о наличии в проведенных вычислениях значительных ошибок. Вычисленные элементы орбиты можно считать удовлетворительно представляющими используемые наблюдения астероида при выполнении условий:

|()| (0".1), |( )| (0".1).
Здесь, как и прежде, геоцентрические небесные координаты момента среднего наблюдения обозначены через "светила" для



и



,

в то время как через



c

и



c

обозначены их вычисленные значения.

25


IV. Б л о к - с х е м а

алгоритма

Лагранжа-Гаусса.

Координаты

Выбор

трех

Координаты Солн-

th , h , (h = 1, 2, .., n)
объекта

h

-

наблюдений

-

ца

6

ti , i , i (i = 1, 0, 2)

X i , Y i , Zi ( i 1, 0, 2)
?
Константы

=

D, Ui (i = 2 1, 0, 2), R , C, S 2

Решение уравнений Лагранжа итераций. ление методом Вычис- да

?
Проверка терия криСоставление уравнений Опполь-

расстояний



цера



Лагранжа

(1-е

, r
6 ?
Вычисление

3P cos - R > 0

приближение)

c1 , c2 , P, Q, n1 , n

2

Аберрационная коррекция

Проверка условий

выполнения окончания

1 ,

2,

абер-

рационных поправок

-

моментов наблюдений. Вычисление

-

гауссовых итераций

Li (i = 1, 0, 2), и x i , yi , zi , r i

|(nh )(

k+1)

-(nh )(k) | < 10

-7

n1

и

n

2

(h=1,2; k=1,2,...)

?
Представление среднего блюдения. Вычисление "невязок": наВычисление Обновление

?

эле-

уравнений Лагранжа. Вычисление



ментов

орбиты

a, e, i, , , M

0

и

c1 , c2 , P, Q, n1 , n в k - ом
приближении

2

26