САНКТ ПЕТЕРБУРГ 1999

ГЛАВА 2 

Принцип максимума энтропии в физике, технике связи и экологии. 
Первая  вариационная задача равновесной статистической термодинамики.

2.1

ОСНОВНАЯ ТЕМА

 Таким образом, очевидно, что для задач оптимизации функционирования приемных систем, анализ и поиск распределений обеспечивающих максимальную энтропию представляется крайне важным. Такого рода задачи в термодинамике получили название вариационных задач.

 1. Изучим простейший вид вариационной задачи.

 Рассмотрим газ, состоящий из N частиц, свободно двигающихся в ящике. Изучается пространственное распределение частиц внутри ящика. Разделим сосуд на n одинаковых ячеек. Обозначим число частиц в к-ой ячейке через Nk. Полное число частиц N. Отсюда можно задать функцию распре деления частиц по ячейкам как Pi=Ni/N, i=1,2,3,....,n

Фактически распределение вероятностей вычисляется через вычисление относительной частоты, с которой частица попадает в ячейку. Предполагается, что ячейки имеют одинаковый объем и их структуры одинаковы.

Требуется найти вид распределения частиц, при котором энтропия систем (21-22) экстремальна. Задача количественно формулируется следующим образом:

 Задача поиска экстремума решается методом множителей Лагранжа. Для этого, суммируем оба выражения, умножив дополнительно выражения для условия на произвольный параметр q называемый множителем Лагранжа:

Затем дифференцируем полученное выражение и приравниваем его нулю. Это дает уравнение:

Данное уравнение имеет решение Pi=exp(q-1) Как можно видеть в этом уравнении индекс для Р можно не писать и поэтому легко понять что вероятность является константой. Величину этой константы можно найти, если подставить полученное выражение для вероятности в условие в виде суммы :

  Таким образом, мы получили равномерное распределение вероятности для данной задачи, что и получается в эксперименте (23-25).

Как правило, достигаемый максимум энтропии является условным, ибо всегда есть ограничения, препятствующие росту энтропии. Ограничения зависят от конкретной физики систем. Как правило, это могут быть ограничения на энергию, вещество, время, пространство, количество операций. В экологии эти ограничения называют ресурсами системы.

 ПРИМЕР

 Примеры ограничений: стенки цилиндра ограничивают возможность расширения газа фиксированным пространством, конечный запас энергии ограничивает среднюю скорость молекул. 

ОСНОВНАЯ ТЕМА

 2. Рассмотрим еще одну разновидность первой вариационной задачи, где учитываются эти ограничения.

 Для случая газа в качестве ограничения рассмотрим конечный запас энергии W(x), который вызывает ограничения на средние скорости молекул. Требуется определить распределение частиц, которое приводит к максимизации энтропии системы с огpаничениями c(X) на средние скорости частиц. 

Введем аналитический вид ограничений: c(x_i)- ограничение на i - состояние

 Составляем сумму, следуя методу множителей Лагранжа, используя два множителя Лагранжа B,q: 

Дифференцируем выражение :

 Решаем полученное уравнение (31):

Выделяем один из сомножителей и находим его выражение из условия нормирования:

 

 Подставляем новое выражение для сомножителя в (32) и получаем классическое распределение Больцмана:

Ограничение здесь - это ограничение на энергию частиц:

P(x) - распределения частиц по энергиям. Здесь - А это описанный выше множитель: A= 1 / exp (j/kT); j-химический потенциал.

Распределение Больцмана характеризует число частиц в ячейке с заданной энергией. Как видно из распределения (37), чем больше энергия частицы, тем реже она встречается в ячейках.

В более общей форме выражение (37) называется распределением Гиббса:

Здесь нормировочная постоянная А связывается со свободной энергией F. При этом F = -T ln Z, Z=1/A; Z- называется статистической суммой.

Таким образом, найдено распределение вероятностей для различных состояний подсистем термодинамической системы это распределение и является решением основной задачи статистической физики.

ГЛАВА 1 
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7

ГЛАВА 2
2.1
2.2
2.3