Scientific.ru » Старый форум

Валентин Федоров, Дмитрий Пономарев (@) - 00.00.0000 00:00
О кинетической теории газов

Маленькие трагедии в классической физике
Валентин Федоров, Дмитрий Пономарев
04 января 2002 года
Продолжение, начало см. "ВРЕМЯ АТОМ МОЛЕКУЛА"
www.timeam.zaporozhye.net

Пример 6. О КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ.
Причиной того, что многие существующие теории обладают весьма скромной предсказательной способностью, является гипотетический метод их разработки. Суть этого метода заключается в принятии некоторой гипотезы, а критерием правдоподобия в этом случае считается величина расхождения расчетных результатов с экспериментальными данными, причем количество используемых параметров состояния и их всестороння обоснованность, а также количество
всевозможных "физических констант" во внимание вообще не принимается.
Поскольку уровень современной вычислительной техники обеспечивает с помощью n-го количества подгоночных коэффициентов практическое совпадение расчетных результатов с экспериментальными, то становится очевидным, что предсказательная способность таких теорий сводится к минимуму (если не к нулю!).
Используя математический аппарат для вычисления количественных характеристик свойств тел (количественных изменений свойств тел), теоретическая физика мало заботится о существующем различии между абстрактными понятиями математики и физическими величинами, а поэтому
возможно, что наиболее тесно связанные между собой в природе явления могут оказаться даже разъединенными друг от друга, а явления и объекты, имеющие мало общего между собой,
совпадут.
Из всех теорий структурной организации материи имеет право на свое существование лишь та, которая утверждает, что все тела являются материальными взаимодействующими системами, и построена на совокупности ограниченного числа исходных физических понятий, отражающих материальность и взаимодействие тел друг с другом, а поэтому физика должна сначала с учетом
всего предыдущего человеческого опыта принять ряд исходных основополагающих понятий (определить аксиоматическое ядро) и уж только потом заниматься установлением закономерностей явлений и процессов в природе.
Согласно неопровержимому свидетельству опыта, свойства тел, составляющих закрытую систему, не изменяются, если давление в системе и удельный объем тел постоянны. Это является экспериментальным определением равновесия в системе, а поэтому механически изменяемая величина давления и удельный объем тел принимаются в качестве параметров состояния и заслуживают особого внимания при истолковании их физического смысла. Изменение любого из
указанных параметров состояния тел свидетельствует о прохождении каких-либо процессов в системе, которую уже нельзя считать равновесной.
Согласно опыту, под количественной характеристикой давления равновесного газа понимают величину, численно равную отношению величины нормальной силы к величине нормальной поверхности. Статистическая физика (раздел физики, посвященный описанию свойств макроскопических тел, т. е. систем, состоящих из очень большого числа одинаковых частиц, с использованием математического аппарата теории вероятностей) трактует давление как меру средней
кинетической энергии поступательного движения молекул (атомов), содержащихся в единице объема газа, т. е.
P = 2/3(n*m*v²/2). (1)
Поскольку давление есть энергетическая характеристика единицы объема, занимаемого газом, (Дж/м³), то утверждение о том, что оно равно двум третям средней кинетической энергии беспорядочного движения молекул (атомов) газа, содержащихся в единице объема, сразу ставит под сомнение справедливость самой кинетической теории газов.
Действительно, если давление равно двум третям средней кинетической энергии хаотического движения молекул (атомов), содержащихся в единице объема равновесного газа, то куда "испарилась" одна треть этой энергии частиц, обладающих вполне определенной массой? На этот вопрос (вполне
закономерный) кинетическая теория газов ответа не дает. Более того кинетическая теория такого вопроса не затрагивает вообще, делая вид, что его не существует.
Отмеченное однозначно заявляет о том, что вывод закона распределения молекул (атомов) по скоростям, мягко говоря, ошибочен, а поэтому кинетическая теория газов, основу которой составляет ошибочный закон, ничего общего с реальностью не имеет. Подтвердим это.

Вывод закона Максвелла таков [1]:
"Найти среднее число частиц, скорости которых после большого числа столкновений между большим числом равных частиц лежат между данными пределами.
Пусть N - целое число частиц. Пусть x, - компоненты скорости каждой частицы в трех взаимно перпендикулярных направлениях, и пусть число частиц, для которых x лежит между x и x+dx, будет Nf(x)dx, где f(x) - функция от x, которая должна быть определена.
Число частиц, для которых y лежит между y и y+dy, будет Nf(y)dy, а число частиц, для которых z лежит между z и z+dz, будет Nf(z)dz, где под f подразумевается всегда одна и та же функция.
Наличие скорости x никак не влияет на скорости y и z потому, что все составляющие направлены под прямыми углами друг к другу и не зависят друг от друга, так что число частиц, скорости которых лежат между x и x+dx, а также между y и y+dy и между z и z+dz, равно
Nf(x)f(y)f(z)dxdydz . (2)
Если предположить, что эти N частиц начинают свое движение из начала координат в один и тот же момент, то это число означает число частиц в элементе объема (dxdydz) через единицу времени, а число, отнесенное к единице объема, будет
Nf(x)f(y)f(z) . (3)
Но направления координат вполне произвольны, а поэтому это число должно
зависеть только от расстояния от начала, т. е.
f(x)*f(y)*f(z) = ф(x² + y² + z²), здесь ф есть "фи". (4)
Разрешая это функциональное уравнение, находим
f(x) = Ce^(Ax²), ф(R²) = C³*e^(AR²). (5)
Если считать А положительным, то это число частиц будет возрастать со скоростью и мы найдем, что полное число частиц бесконечно. Поэтому допустим, что А отрицательно, и равно -1/a² (здесь a есть "альфа"), так что число частиц, заключенных между x и x+dx, равно
NCe^(-x²/a²)dx. (6)
Интегрируя от x равно минус бесконечность до x равно плюс бесконечность, находим полное число частиц
NCa*sqrt(Пи) = N, (7)
откуда
C = 1/(a*sqrt(Пи)), (8)
а поэтому
f(x) = 1/(a*sqrt(Пи))*e^(-x²/a²). (9)
Отсюда мы можем вывести следующие заключения:
1. Число частиц, скорости которых после разложения по определенному направлению лежат между x и x+dx, есть
N*1/(a*sqrt(Пи))*e^(-x²/a²)dx. (10)
2. Число частиц, фактическая скорость которых лежит между v и v + dv, равно
N*4/(a³*sqrt(Пи))*v²*e^(-v²/a²)dv. (11)
3. Чтобы найти среднее значение v², необходимо сложить скорости всех частиц и разделить на число частиц. В результате получим: средняя скорость 2a/sqrt(Пи).
4. Для того, чтобы найти среднее значение v, нужно сложить все значения вместе и разделить на N: среднее значение v² = 3a²/2. Это больше, чем квадрат средней скорости, как и должно быть."

Замечание 1. Повторяя аналогичные рассуждения Максвелла для компонент скорости y и z, получим следующие выражения:
f(y) = 1/(a*sqrt(Пи))*e^(-y²/a²), (12)
f(z) = 1/(a*sqrt(Пи))*e^(-z²/a²). (13)
Поскольку распределение системы трех случайных величин x, y, z или трехмерного случайного вектора задается функцией совместного распределения F(x, y, z), которая однозначно определяется через плотности вероятностей статистически независимых событий [2], то подставляя (9), (12) и (13) в (4), находим
1/(a³*Пи^(3/2))*e^(-(x² + y² + z²)/a²) = ф(x² + y² + z²), (14)
где x, y, z - компоненты скоростей частиц, постулированных Максвеллом в качестве исходных статистически независимых переменных, а значит под
R² = x² + y² + z² (15)
не следует понимать квадрата самостоятельного статистически независимого вектора. Принципиальное отличие функций распределения (14) и (11) на такую ошибку и указывает.
Замечание 2. Заключения Максвелла 1 и 2 противоречивы.
Действительно, выражение (10) утверждает, что в равновесном газе (даже в идеальном) есть покоящиеся молекулы (атомы) (f(x)f(y)f(z)=0 при x=0, y=0, z=0), а (11) наличие таковых исключает. Такое взаимоисключающее противоречие подтверждает, что функция распределения (11) получена не из первоначальной гипотезы о статистической независимости компонент скоростей частиц, а из
дополнительной, в которой утверждается о статистической независимости фактической скорости частиц, да и не только.
Утверждение, что число частиц зависит от фактической скорости (модуля или величины скорости), определяет функцию распределения аналогичной (10) (следует заменить x на v) лишь с той разницей, что постоянная интегрирования запишется так:
C1 = 2/(a*sqrt(Пи)) (16)
(обусловлено изменением пределов интегрирования при нормировке). В этом случае число частиц, фактическая скорость которых лежит между v и v + dv, равно
N*[2/(a*sqrt(Пи))]*e^(-v²/a²)dv. (17)
Сравнение между собой функций распределения (11) и (17) указывает на иной путь получения (11), о котором предпочитают умалчивать, но отыскать его особого труда не составляет.
Функция распределения (11) есть не что иное, как следствие следующего интегрального соотношения [3]:
Se^(-x²/a²)*x^n*dx = (n-1)*a²/2*Se^(-x²/a²)*x^(n-2)*dx (18)
(n больше или равно 2), здесь S - интеграл с пределами интегрирования от 0 до плюс бесконечности.
Действительно, воспользуемся этим интегральным соотношением в обратном порядке и трансформируем функцию распределения (17) в (11) Максвелла:
N*[2/(a*sqrt(Пи))]*Se^(-v²/a²)dv =
N*(4/a³*sqrt(Пи))*Sv²*e^(-v²/a²)*dv, (19)
где v - фактическая скорость движения частиц.
Результат не нуждается в комментариях, а отсутствие хоть каких-либо математических обоснований для записи выражения (11), не являющегося математическим следствием (10), (12) и (13), необходимо считать подтверждением того, что Максвелл для записи функции распределения частиц от
фактической скорости и воспользовался интегральным соотношением (19), проигнорировав свою же первоначальную гипотезу о статистической независимости компонент скоростей частиц. Однако следует отметить, что отказ от чуждой реальности гипотезы о статистической независимости компонент
скоростей частиц и использование по существу эквивалентной о статистической независимости фактических скоростей самих молекул ничего принципиально не изменило, если не считать, что после трансформации функции распределения (17) появилась возможность величину 4(Пи)v²*dv одномерного полупространства скоростей ошибочно выдать за величину элементарного объема сферического слоя, да еще это подкрепить мысленным экспериментом.
Итак, указанное выше противоречие между (10) и (11) устраняется, если в качестве функции распределения частиц от фактической скорости признается функция распределения (17).
Замечание 3. Закон Максвелла (11) представляет собой семейство кривых, а для того, чтобы из этого семейства выбрать единственную, соответствующую рассматриваемому равновесному состоянию газа, необходимо знать величину параметра распределения a. Поскольку условие нормировки не накладывает каких-либо конкретных ограничений на его величину, а требует лишь одного, чтобы параметр распределения a не зависел от скорости движения частиц. Если a является функцией скорости движения частиц, то все математические операции по выводу закона распределения следует считать несостоятельными.
Как ни странно, но методика Максвелла по определению скоростей движения частиц этого отрицательного момента не исключает. Поскольку средняя и средняя квадратичная скорости согласно заключений 3 и 4 зависят от параметра распределения a, то значит верно и обратное утверждение о зависимости параметра распределения от величины любой из указанных скоростей. В этом случае получаем замкнутый круг для закона Максвелла: записать конкретное распределение можно только в том случае, когда известен параметр a, а чтобы его определить, надо знать, например, величину средней квадратичной скорости, определяемой этим же параметром распределения.
Разорвать этот замкнутый круг можно следующими способами: под a подразумевать единицу измерения скорости или однозначно доказать, что закона распределения просто не существует.
В первом варианте распределение получается единственным, но поскольку, например, давление газа изменяется при изменении внешних условий, то этот вариант отвергается, а значит остается второй, к доказательству которого и приступим, предварительно озвучив мнение самого Максвелла об этой работе. Он отмечает, что исследует "законы движения неопределенного количества малых
твердых и совершенно упругих шаров, действующих друг на друга только во время столкновения. Если окажется, что свойства подобной системы тел соответствуют свойствам газов, то этим будет создана важная физическая аналогия, которая может привести к более правильному познанию свойств
материи" [4].
Обратим внимание на сам метод вывода рассматриваемого закона, суть которого сводится к следующему.
Если N - целое число одинаковых частиц в изучаемой системе и оно не изменяется, то
N = N = const или M = N*m = const, (20)
где m - масса частицы (закон сохранения массы системы).
Умножим правую и левую части этого тождества на единицу, но в правой части тождества эту единицу представим в виде несобственного интеграла с бесконечным пределом (пределами от функции
e^(-R²)), т. е.
1 = 2/sqrt(Пи)*Se(-R²)dR, (21)
и получим
N = N*2/sqrt(Пи)Se^(-R²)dR, (22)
здесь S - интеграл с пределами интегрирования от 0 до плюс бесконечности.
Каркас будущего закона готов, остается только "офизичить" НЕПРЕРЫВНУЮ ПЕРЕМЕННУЮ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ЕДИНИЦЕ так, чтобы у неискушенных в вопросах высшей математики и физики оппонентов сложилось мнение, что выводу закона предшествуют физико-математические обоснования, якобы отражающие представления о структурной организации материи на атомно-молекулярном уровне.
Например, записи выражения (7) у Максвелла предшествуют рассуждения о статистической независимости компонент скоростей частиц и, следовательно, самих скоростей, но эти рассуждения принципиально ошибочны, т. к. компоненты скоростей частиц являются по определению первыми производными координат самих частиц по общему для рассматриваемой системы параметру t, именуемому в классическом естествознании временем, а значит все координаты частиц задаются параметрическими уравнениями от этого общего параметра, чем и обуславливается их математическая взаимосвязь. В этом случае величины компонент скоростей частиц могут быть некоторыми постоянными, включая и нулевые значения не только для отдельных частиц, но и для всей
рассматриваемой равновесной системы, или функциями общего параметра - времени. Оба варианта все предисловие Максвелла переводят в разряд несостоятельного, создающего видимость математического обоснования считать рассматриваемую систему в качестве статистической.
Поскольку выражение (22) верно только в интегральной форме и оно лишено смысла при изменении пределов интегрирования, то сразу возникают непреодолимые трудности физического характера при истолковании НЕПРЕРЫВНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ЕДИНИЦЕ.
Если под непрерывной переменной в интегральной единице подразумевается относительная скорость движения молекул (v/a), то предел интегрирования "плюс-минус бесконечность" лишен здравого смысла, а поэтому лишена смысла и сама интерпретация непрерывной переменной посредством относительной скорости движения молекул. С бессмысленностью бесконечного значения величины скорости отдельных молекул в рассматриваемой системе из N частиц согласны все
сторонники кинетической теории газов, а для спасения распределения они прибегают к методу "обрезания хвостов экспоненты", который с математической точки зрения якобы не приводит к значительной количественной ошибке в расчетных результатах, но ведь за этим стоит нарушение закона сохранения частиц в рассматриваемой системе (закона сохранения массы системы), что
недопустимо.
Наконец, следует особо подчеркнуть, что сама запись выражения (22) по своей сути есть попытка соединить заведомо несовместимое - дискретность, отраженную числом частиц (самостоятельных атомных или молекулярных структур материи) в рассматриваемой равновесной системе, и непрерывность, отраженную Максвеллом в законе распределения частиц по относительным скоростям. Подобное исключено в принципе, а значит вопроса об экспериментальной проверке закона распределения частиц по скоростям в равновесной системе не существует.

Литература

1. Буш С. Дж., Развитие кинетической теории газов (Максвелл). В сб.: Дж. К. Максвелл, Статьи и речи, М., 1977.
2. Корн Г. и Корн Т., Справочник по математике (для научных работников и инженеров), М., "Наука", 1973.
3. Рейф Ф., Статистическая физика, М., "Наука", 1986.
4. Максвелл Дж. К. Пояснение к динамической теории газов. В кн.: Основатели кинетической теории материи, М.-Л., ОНТИ, 1937.

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...

Спасибо за внимание.

Приглашаем посетить наш сайт
<A HREF="http://www.timeam.zaporozhye.net">;
"ВРЕМЯ АТОМ МОЛЕКУЛА"

[прямые ответы (1)]