: : : : : : : : : : : Меня интересует геометрический смысл скалярного произведения объектов и, в частности, векторов. Что-нибудь вроде "модуль векторного произведения двух векторов - площадь параллелограмма, образованного ими".
: : :
: : : : : : : Скалярное произведение двух произвольных векторов А и В есть косинус угла между ними, помноженный на произведение модулей этих векторов А и В.
: : : : : : : Подойдет?
: : : : : :
: : : : : : Ну и что это за величина? В геометрическом смысле?
: : : : :
: : : : : Разве комбинация длин векторов и угла α между ними - это не геометрия? Здесь нет проекций векторов, поэтому нет необходимости вводить какие-либо системы отсчета.
: : :
: : : : Не странно ли, для базовой операции векторной алгебры нет геометрического образа.
: : :
: : : Еще раз: есть геометрический образ, причем в самом общем виде. Заданная комбинация длин векторов и угла α между ними - это именно геометрия, которая может быть распространена на другие измерения (2D, 4D и т.д.), ибо результат - скаляр. Кстати, векторное произведение определяется как вектор с длиной, численно равной площади параллелограмма, только в 3D. Попробуйте определить "по аналогии" векторное произведение в 2D или 4D, и расскажете потом, чтО у вас вышло:) Если углубляться, то "векторное произведение" в 3D - это не полярный вектор, а аксиальный, который задается антисимметричным тензором второго ранга, но вам, думаю, такие "образы" не подходят:)
: :
: : Все, что Вы отмечаете, мне известно. Выше упомянутый вопрос возник, когда я попытался найти геометрический образ пока комплексной функции exp(iφ). С тензорами потом разберемся. Именно, пока у меня складывается интуитивное ощущение, что комплексная функция соответствует двум векторам трехмерного пространства. Действительная часть соответствует определенной билинейной форме координат этих векторов - скаляр, мнимая - также некой билинейной форме, но включающей в себя аксиальность, т.е. в проекции на плоскость это псевдоскаляр. И вот, мнимая часть понятна геометрически, а действительная - не очень. Вот я и удивился тому, что скалярное произведение, известное всем со школы, не имеет общепринятого наглядного геометрического смысла. Например, векторное произведение можно показать в 3D, а салярное нет. Я полагаю, в последнем скрыто что-то. Вот я и спрашиваю что?
:
: В смысле размерности?
:
: Это я к тому, что для постороения скалярного произведения достаточно О-мерного пространства, а для векторного надо хотя-бы 3-хмерное - правда? А почему?
: Предлагаю Вам свое самопальное определение определение, которое, однако , спасло не одну душу от вылета из института по линии матфизики:
:
: скалярное произведение (операция) - это операция численного определения меры общности двух объектов;
: скалярное произведение (результат) - это численная мера общности двух объектов
:
: векторное произведение (операция) - это операция численного определения меры различия двух объектов (и более - последовательно и некоммутативно)
: векторное произведение (результат) - это численная мера различия двух объектов
:
Не совсем так просто. Потому, что в обеих операциях присутствуют два параметра, по которым можно судить об общности и различии. Это модуль и угол.
: Все это, ессно, определяется на неком пространстве с некой метрикой или хотя бы мерой (а бес знает, как их отличать) Короче, ни за что не рассказывайте препам - уроют. Но в сказанное - вдумайтесь. Ибо Вы возжелали получить геометрический образ алгебраической ОПЕРАЦИИ, т.е. статический образ движения. Это, пардон, задача филисофического порядка. А вот геометрический образ РЕЗУЛЬТАТА операции - пожалуйста:кому скаляр, кому вектор, кому псевдо-вектор...
Пространство меня интересует евклидово.
Я бы сказал, что это вопрос геометрической интерпретации алгебраической операции с геометрическими объектами. Никакой философии. Например, есть прямоугольный треугольник и соответствующее алгебраическое соотношение между длинами сторон. Формально это соотношение между скалярными произведениями векторов самих на себя. Квадратичные формы. Как только треугольник перестает быть прямоугольным, дополнительно возникает скалярное произведение двух разных векторов. Причем получается три представления в зависимости от выбранной пары сторон. |
» Общий форум