Scientific.ru » Общий форум

Ю.А. Рылов (@) - 16.10.2007 06:36
О полезности дискуссий на форуме

Я хотел бы поделиться своим опытом участия в дискуссиях на форуме. Хотя это не дискуссионная тема, но она, как мне кажется, имеет прямое отношение к форуму. Дело в том, что дискуссия на форуме помогла мне существенно продвинуться в понимании физической геометрии (Т-геометрии), т.е. геометрии, полностью определяемой заданием мировой функции (половины квадрата расстояния) на множестве точек.
Хотя Т-геометрия исключительно проста, и никто не мог ничего возразить против нее, тем не менее, я чувствовал, что есть что-то непонятное в моем изложении Т-геометрии. Но что именно не понятно? Очень трудно понять, что именно является непонятным в твоем изложении, когда тебе не возражают и не задают вопросов. Я решил вынести вопрос на форум, придав ему дискуссионную форму. Повод вскоре представился. Когда в своем докладе на конференции, я определил вектор как упорядоченное множество из двух точек, мой коллега возразил мне, что математики меня не поймут, потому что вектором считается элемент линейного векторного пространства, в котором определены операции сложения и умножения векторов. В нашей дискуссии мы не пришли к взаимопониманию, и я вынес вопрос на общий форум «Что такое вектор? (Пара точек или элемент векторного пространства?)» (Ю.А. Рылов). На мой взгляд, наиболее плодотворной оказалась ветвь дискуссии Ю.А.Рылов - epros. Epros подошел к вопросу квалифицированно и непредвзято. Он задавал вопросы о построении Т-геометрии, а я отвечал на них. Из вопросов eprosа и возникших у него возражений я понял, что основной трудностью для понимания Т-геометрии является смена базисных понятий при переходе от изложения геометрии на основе линейного векторного пространства к изложению геометрии на базе мировой функции.
Это обсуждение дало мне бесценный материал для анализа того, что такое геометрия и какие имеются способы для ее описания. Оказалось, что имеются три разных представления евклидовой геометрии, различающиеся числом базисных элементов (кирпичей), используемых при построении собственно евклидовой геометрии. Евклидово представление (Е-представление) евклидовой геометрии было придумано еще Евклидом. Е-представление содержит три первичных (базисных ) элемента: точка, отрезок, угол. Они не являются независимыми (например, угол описывает взаимоотношение двух отрезков), но являются теми кирпичами, из которых может быть построен любой геометрический объект (фигура) в евклидовой геометрии. Свойства этих кирпичей и правила обращения с ними описываются аксиомами Евклида.
В векторном представлении (V-представлении) первичных элементов только два (точка и, направленный отрезок - вектор). Что касается угла, то он является вторичным (производным) элементом, который строится из двух направленных отрезков (векторов). Для построения угла в V-представлении используется специальная геометрическая структура, известная как линейное векторное пространство с заданным на нем скалярным произведением. С помощью векторного пространства можно построить и использовать угол, являющийся производной конструкцией в V-представлении. Геометрия в Е-представлении изучается в средней школе, тогда как геометрия в V-представлении изучается в высшей школе. Имеются определенные трудности при переходе от Е-представления к V-представлению и обратно. Эти трудности связаны с переходом от одной системы базовых понятий к другой системе базовых понятий (от одной системы аксиом - к другой). Однако, Е-представление и V-представление известны очень давно. К ним уже привыкли и научились с ними обращаться, хотя, по-видимому, понимания того, что существуют два представления евклидовой геометрии, все же не было. Во всяком случае я ничего об этом не знал и догадался об этом только после дискуссии с eprosом.
После осознания того, что существуют представления евклидовой геометрии, различающиеся числом базисных элементов, естественно было ожидать, что должно существовать представление, содержащее только один базовый элемент (точку). Оказалось, что такое представление действительно существует. Это представление я назвал сигма-представлением, потому что в нем геометрической структурой, позволяющей построить отрезок и угол, является мировая функция, обозначаемая обычно буквой сигма. Мировая функция в определенном смысле более простая структура, чем линейное векторное пространство. Мировую функцию легко модифицировать, причем каждая модификация мировой функции приводит к возникновению новой геометрии. В этом отношении мировая функция удобнее линейного векторного пространства, возможность модификации которого очень ограничена просто потому, что V-представление основано на связанных базовых элементах, модифицировать которые нужно согласованно. Такая модификация трудна, когда не понимаешь, что разные понятия геометрии берутся в разных представлениях.
Остается объяснить, как мне удалось построить математический аппарат Т-геометрии, не понимая того, что я делаю. Честно говоря, это до сих пор остается для меня загадкой. Скорее всего, аппарат мировой функции появился сам собой (методом тыка), поскольку я работаю с ним (и над ним) уже почти пятьдесят лет. Оказалось, что весь этот трудный процесс называется геометризацией физики, а СТО и ОТО - только этапы этого долгого процесса. Конечно, какие-то формальные и неформальные представления о мировой функции у меня были, но понять, что трудность заключается в одновременном использовании разных представлений евклидовой геометрии и разложить все по полочкам, мне удалось только после дискуссии на форуме. Любопытно, что когда я доложил свою работу 'Разные концепции евклидовой геометрии' на семинаре кафедры теорфизики в РУДН, где я раньше докладывал свои работы по Т-геометрии, то мне сказали, что изложение с упоминанием разных представлений евклидовой геометрии стало существенно понятнее.
Смотри формальное изложение работы http://arXiv.org/abs/0709.2755 . Русская версия http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/dceg1rw.ps