: : :
: : А потом рассматривается отвлеченно от этого пространства. Что позволяет получать мощные и полезные результаты.
: : :
: : Я сознательно ничего не говорил о возможностях применения Т-геометрии, намереваясь ограничиться логической стороной дела, а не залезать в дебри применения геометрии в физике. Уж если говорить о прикладном значении, то результаты, получаемые традиционным способом не идут ни в какое сравнение с результатами, получаемыми в Т-геометрии. Например, в Т-геометрии появляется понятие многовариантности, которое применительно к пространству-времени позволяет объяснить квантовые эффекты как простые и очевидные геометрические эффекты. Кроме того, возникает возможность рассматривать такое геометрическое свойство, как конечная делимость геометрических объектов, известное в физике как атомизм. При надлежащем выборе пространственно-временной геометрии динамика становится следствием геометрии. О таких возможностях приложений традиционная геометрия не может даже помыслить.
:
: Вы отстали от жизни. Все эти возможности традиционной геометрией давно достигнуты.
:
Боюсь, что мы тут говорим о разных вещах. Когда я говорю о применении геометрии, то имеется в виду применение чистой геометрии. Иначе говоря, можно ли так выбрать мировую функцию пространства-времени, чтобы объяснить этим, например, квантовые эффекты, ничего не меняя в динамике и не используя принципы квантовой механики. В рамках римановой геометрии этого сделать нельзя.
Однако, если использовать дополнительные структуры, например, ввести некоторую вероятность римановой геометрии и назвать геометрией риманову геометрию с дополнительными структурами на ней, то можно объяснить квантовые эффекты в рамках этой обогащенной геометрии, называемой просто геометрией. Это можно сделать многими разными способами. Однако, это свидетельствует не о возможностях геометрии, а о возможностях дополнительных структур. Это сильно напоминает сказку, как солдат из топора варил суп. В нашем случае роль топора выполняет геометрия. Формально суп из топора, а на самом деле его содержание определяется другими инградиентами.
Но не будем обсуждать вопрос о полезности и применимости геометрии. Это уводит в сторону от главного: логической стороны дела.
: : Здесь есть ма-а-ленькая тонкость. Вы рассматриваете истинные и ложные утверждения, доказуемые утверждения и недоказуемые. В Т-геометрии рассматриваются просто утверждения геометрии. Все они считаются истинными. Неистинных утверждений просто нет. Другими словами, у Вас имеется ссылка на формальную логику с ее булевыми функциями. В Т-геометрии формальная логика не используется, вообще.
:
: Это просто-напросто означает, что это вообще не математика. Математики пользуются логикой в обязательном порядке (как и головой).
:
Математика это или не математика - это вопрос во многом терминологии. В своих работах я отмечал, что возможны два разных подхода к геометрии: (1) геометрия как аксиоматическая конструкция, построенная на базе системы аксиом, (2) геометрия как наука о взаимном расположении геометрических объектов в пространстве или в пространстве-времени. Первый подход можно называть 'математической геометрией' или 'аксиоматической геометрией', второй я называю 'физической геометрией'. Евклидова геометрия является одновременно и 'аксиоматической геометрией', и 'физической геометрией'. По этой причине здесь можно не делать различия между подходами. Однако при рассмотрении обобщенных геометрий (например, римановой) это различие становится существенным. Аксиоматические геометрии (а их очень много разных) могут иметь очень отдаленное отношение к физической геометрии, т.е. геометрии, понимаемой как наука о взаимном расположении геометрических объектов в пространстве. Однако, с точки зрения математиков это не очень важно. Важным является то, что это - логическая конструкция и, следовательно, является предметом для упражнений в логике и в построении логических умозаключений.
Для меня (физика) геометрия - это наука о взаимном расположении объектов в пространстве-времени. Только в этом смысле ее можно использовать в физических приложениях. Используется при этом логика или нет, значения не имеет. Будут ли математики считать физическую геометрию разделом математики или не будут, меня мало волнует. В конце концов, это их дело. То обстоятельство, что в физической геометрии не используется формальная логика, т.е. логика, основанная на использовании булевых функций, еще не означает, что там не надо работать головой.
Дело в том, что формальная логика, основанная на использовании булевых функций, есть только специальный случай теории алгоритмов. Можно говорить об обобщенной логике, основанной на использовании более сложных функций, чем булевы функции. Т-геометрия использует 'евклидову логику', т.е. алгоритмы, основанные на использовании мировых функций, которые существенно сложнее, чем булевы функции. Если есть желание, посмотрите Euclidean geometry as algorithm for construction of generalized geometries. http://arXiv.org/abs/math.GM/0511575) русс. версия http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/egacg1r.ps .
Может быть, следующая ассоциация поможет Вам понять суть проблемы. Представьте себе, что нужно построить на множестве реальных чисел некоторую аналитическую функцию. Ее можно задать, например, задавая коэффициенты степенного ряда или каким-нибудь другим более простым способом. Представьте себе, что некто пытается приблизить аналитическую функцию с помощью многих булевых функций от многих разных аргументов. На замечания, что это трудно сделать, потому что у аргумента булевой функции только два значения, он отвечает: 'Зато я буду использовать много булевых функций от многих аргументов. При этом я использую формальную логику. Математики пользуются логикой в обязательном порядке (как и головой).'
: : : : Мы, по-видимому, по-разному понимаем термин 'аксиоматизация'. Я понимаю его как возможность получения всех утверждений геометрии из некоторого подмножества этих утверждений.
: : :
: : : При этом вы прискорбно не различаете "получение" в двух очень разных смыслах:
: : : 1. Придумать утверждение геометрии.
: : :
: : Утверждений геометрии я не придумываю. Их в свое время получил Евклид. Я беру эти утверждения у Евклида и деформирую в соответствии с исследуемой геометрией.
:
: Что-то я у Евклида не встречал утверждений о минимальном числе красок, необходимых для раскраски карты. Что на торе, что на плоскости. Если вы рассматриваете исключительно утверждения Евклида, то это ничтожно малая часть того, что в приложениях от геометрии действительно требуется.
:
Вы совершенно правы. Евклид рассматривает геометрию, как науку о взаимном расположении геометрических объектов, и полностью абстрагируется от того, что он считает не относящимся к геометрии. Например, он не рассматривает цвета геометрических объектов, и являются ли геометрические объекты съедобными. Одним словом, он много чего не рассматривает и не претендует на это.
В приложениях геометрии к физике в геометрию вводятся дополнительные структуры: как-то топология, динамика и т.д. Тогда получается уже не геометрия, а 'обогащенная геометрия', т.е. геометрия с введенными в нее дополнительными структурами. При этом дополнительные структуры должны быть согласованы с геометрией, т.е. должны быть совместны с геометрией и не должны влиять на геометрию. Когда вводят топологию, как часть геометрии, влияющую на построение самой геометрии, то я не могу с этим согласиться на том основании, что геометрию можно построить без введения топологии, а топологию следует вводить, как дополнительную структуру уже после того, как геометрия построена. При этом надо согласовывать топологию с уже построенной геометрией. Введенная таким образом топология будет различной, вообще говоря, в одновариантной геометрии и в многовариантной геометрии, где надо сильно думать, можно ли там ввести топологию и, если можно, то как именно.
Насколько я понимаю, это обстоятельство является одним из главных разногласий между мной и геометрами.
:
Например, при всей вашей нелюбви к однозначно проведенной геодезической - в приложениях свойства геодезической нужны. Их приходится изучать, доказывать о них теоремы. Вы не желаете этого делать - значит, вы не даете ничего ценного.
:
У меня нет никакой нелюбви ни к геодезическим, ни к каким бы то ни было другим геометрическим объектам. Во многих частных случаях, когда многовариантность римановой геометрии неактуальна, традиционный математический аппарат римановой геометрии прекрасно работает и его следует использовать. Я только обращаю внимание на то, что возможны случаи, когда этот аппарат не применим, и требует модификации.
: : : Это банальный факт гомотопической топологии. Кроме того, вы его формулируете некорректно.
: : :
: :
: : Согласен, что для математиков это банальный факт, который подтверждает только то, что топология построена на хлипком фундаменте.
:
: Ничего подобного он не доказывает.
:
Я уже изложил свою точку зрения по этому поводу, и дальнейшее неаргументированное перепирательство по этому поводу представляется мне неуместным.
: : По-видимому, Г.Перельман тоже заметил это.
:
: Не злословьте о других людях. Тем более не знакомых вам лично.
:
Здесь нельзя говорить о злословии. Я считаю Г.Перельмана выдающимся математиком и топологом и, кроме того, исключительно добросовестным исследователем и порядочным человеком.
Будучи выдающимся топологом, он первый обнаружил хлипкость оснований топологии, которой никто до него не обнаружил. Будучи добросовестным исследователем и порядочным человеком, он разочаровался в топологии и результатах некоторых своих работ. Его дальнейшее поведение является естественным следствием его разочарования в топологии и непризнания научным сообществом хлипкости оснований топологии. Все это характеризует Г.Перельмана с самой лучшей стороны, как выдающегося математика и порядочного человека.
Альтернативная (наиболее распространенная) точка зрения такая. С основаниями топологии все в порядке, а поведение Г.Перельмана по непонятным причинам неадекватно.
Так кто же злословит о Г.Перельмане? Я, который считает Г.Перельмана выдающимся ученым, способным обнаружить то, что другим пока не удается? Или общество, которое не допускает возможности ошибок в основаниях топологии и объясняет странность поведения Г.Перельмана его неадекватностью?
А ведь различие оценок имеет чисто научную причину (обоснована ли топология в достаточной степени).
К сожалению, верно то, что Г.Перельман, по-видимому, сломлен, и очень грустно, что научное сообщество ломает своих лучших и наиболее талантливых сынов! |
» Общий форум