: : Обобщения евклидовой геометрии бывают разные. Один сорт обобщений состоит в том, что часть аксиом евклидовой геометрии отбрасывается. Тогда получается обобщенная геометрия, содержащая меньше аксиом, чем евклидова (множество аксиом обобщенной геометрии является подмножеством аксиом евклидовой геометрии) В этом случае действительно из непротиворечивости евклидовой геометрии следует непротиворечивость обобщенной геометрии. Примером такой непротиворечивой обобщенной геометрии является аффинная геометрия, которая получается из евклидовой геометрии отбрасыванием аксиом, относящихся к определению скалярного произведения.
: : Риманова геометрия тоже является обобщением евклидовой геометрии. Однако, это обобщение совсем другого сорта. Риманова геометрия - это не одна геометрия. Это - МНОГО 'бесконечно малых кусочков' евклидовой геометрии, склеенных между собой некоторым образом. (Точнее было бы сказать, что риманово пространство является результатом склейки многих бесконечно малых евклидовых пространств.) Характер склейки определяет вид римановой геометрии. Возможна такая склейка, что из многих 'бесконечно малых кусочков' евклидовой геометрии получается одна 'БОЛЬШАЯ' евклидова геометрия. В этом смысле можно говорить, что евклидова геометрия является частным случаем римановой геометрии. Тогда можно сказать, что риманова геометрия является обобщением евклидовой геометрии. Однако, это обобщение не является результатом отбрасывания каких-то аксиом из евклидовой геометрии, как это было в случае аффинной геометрии. Аксиомы евклидовой геометрии остаются и продолжают работать на каждом бесконечно малом кусочке риманова пространства.
:
: Как вы относитесь к другому взгляду:
: Риманова геометрия - это не одна геометрия. Это - МНОГО геометрий на различных многообразиях, параметризованных некоторой единой функцией (полем метрического тензора), которая позволяет все эти геометрии перебрать. Возможна в частности такая функция, что получается евклидова геометрия. В этом смысле можно говорить, что евклидова геометрия является частным случаем римановой геометрии. Тогда можно сказать, что риманова геометрия является обобщением евклидовой геометрии. Аксиомы евклидовой геометрии можно перевести в эквивалентный вид "аксиомы римановой геометрии & (параметризующая функция = функции для евклидовой геометрии)" (*). В этом случае риманова геометрия как обобщение евклидовой геометрии БУДЕТ являться результатом отбрасывания каких-то аксиом евклидовой геометрии - конкретно аксиомы "параметризующая функция = функции для евклидовой геометрии". И при этом аксиомы евклидовой геометрии (в виде (*)) будут продолжать работать на ВСЕМ римановом пространстве - все, за исключением одной отброшенной аксиомы.
:
Мое отношение скептическое, причем не только к тому, что предлагаете Вы, но и к тому способу, который я изложил чуть выше, взяв его из традиционного изложения римановой геометрии. На мой взгляд, при традиционном изложении риманова геометрия получается дефективной, причем не имеет значения, почему она дефективна, из-за противоречивости аксиом, их переопределенности, или по какой-нибудь еще причине.
Дело в том, что риманова геометрия предполагается выведенной из неких аксиом. Иначе говоря, предполагается, что множество всех утверждений римановой геометрии может быть выведено из некоторого подмножества этих утверждений (т.е. риманова геометрия может быть аксиоматизирована.) Это факт совсем не очевидный. Для евклидовой геометрии аксиоматизация возможна, а возможность аксиоматизации для римановой геометрии еще надо доказать. Почему для нас так важна возможность аксиоматизации? Да просто потому, что нам неизвестны другие способы построения геометрии.
Евклид вывел свою геометрию из системы аксиом. Мы позаимствовали у Евклида его способ построения геометрии, предполагая, что возможна аксиоматизация любой геометрии. Однако, можно позаимствовать у Евклида не его способ построения геометрии, а саму евклидову геометрию. Евклидова геометрия представляет собой множество всех утверждений о свойствах геометрических объектов. Если это множество известно, то не имеет значения, как мы получили это множество утверждений. Выразим теперь все это множество утверждений евклидовой геометрии через мировую функцию (функцию расстояния), а это возможно. (На сей счет есть теорема). Тогда мы получаем возможность деформировать евклидову геометрию, заменяя во всех утверждениях евклидовой геометрии евклидову мировую функцию на мировоую функцию интересующей нас геометрии. При этом нас совсем не волнует вопрос, можно ли аксиоматизировать вновь полученную геометрию, или нет. (Скорее всего нет, но это зависит от геометрии).
О дефективности римановой геометрии я заключил, когда построил ее двумя способами: (1) традиционным способом, предполагающим возможность аксиоматизации римановой геометрии и (2) методом деформации, не предполагающим возможность аксиоматизации. Поскольку результаты не во всем совпали, то был сделан вывод о дефективности римановой геометрии, построенной традиционным способом, предполагающим возможность аксиоматизации.
Копаться в деталях аксиоматизации римановой геометрии я не вижу необходимости, коль скоро аксиоматизацию можно просто обойти (это - просто не очень совершенный способ построения геометрии).
:
: : Конструкция, называемая многообразием, по идее, должна описываться некоторой системой дополнительных аксиом. Однако, у меня нет уверенности, что это описание можно, вообще, описать аксиомами. Насколько я знаю, этого никто не сделал.
:
: Почему-то при чтении, например, математической энциклопедии по статьям "Топологическое пространство", "Метрическое пространство" такого впечатления не складывается.
:
Я думаю, что в этом нет ничего удивительного, поскольку эти статьи основаны на предположении о возможности аксиоматизации геометрии.
: ===================================================
:
: : Но как использовать евклидову геометрию для построения римановой геометрии? Очень просто! Если считать, что геометрия является наукой о взаимном расположении геометрических объектов в пространстве или в пространстве-времени, то это самое взаимное расположение полностью описывается заданием расстояния между любыми двумя точками пространства. Эта функция, заданная на множестве пар точек, называется функцией расстояния S, и задание функции расстояния однозначно определяет геометрию. Любое утверждение P_Е евклидовой геометрии может быть выражено в терминах евклидовой функции расстояния S_Е (есть такая теорема евклидовой геометрии). Если теперь в утверждении P_Е евклидовой геометрии заменить евклидову функцию расстояния S_Е некоторой другой функцией расстояния S, то получится утверждение P другой геометрии, описываемой функцией расстояния S. Если эту процедуру проделать для всех утверждений евклидовой геометрии, то получатся все утверждения геометрии, описываемой функцией расстояния S, т.е. будет построена геометрия, описываемая функцией расстояния S.
:
: Скажите, а какие требования вы накладываете на эту процедуру и эти функции? Как насчет непрерывности? Дифференцируемости?
:
На мировую функцию накладываются условия
S(P,P)=0, S(P,Q)=S(Q,P) для любых P,Q
Это все. Ни непрерывности ни тем более дифференцируемости не накладывается. Это позволяет с одинаковым успехом строить как непрерывные, так и дискретные геометрии. Второе условие не является обязательным. Возможны геометрии с несимметричной S(P,Q).
: : Итак, всякая геометрия может быть получена из евклидовой геометрии заменой евклидовой функции расстояния на функцию расстояния, описывающую, интересующую нас геометрию. Замена одной функции расстояния на другую, по определению, означает деформацию геометрии. Это определение термина 'деформация' полностью соответствует тому значению, с каким этот термин употребляется в физике и технике применительно к твердым телам.
:
: Будьте любезны, продемонстрируйте эту процедуру для, скажем, получения из евклидовой геометрии внутренней геометрии на поверхности тора.
:
Для этого достаточно задать функцию расстояний на торе в трехмерном евклидовом пространстве, причем из нескольких возможных вариантов функции расстояния берется наименьшее значение. Все топологические особенности геометрии на торе получаются автоматически. Но извините, формул я писать не буду, а то получится целая научная статья. |
» Общий форум