: : : : : : : : : какое максимальное количество компонент связности может иметь подгруппа Ли группы GL(n,R)?
: : : : : : : : : (ответа не знаю)
: : : : : : : :
: : : : : : : : м.б. можно рассуждать так: О(1,1) имеет 4 компоненты связности а всякая группа Ли порождается своими однопараметрическими подгруппами, поэтому, если 4 это максимальное число для однопараметрической группы Ли, то существует подгруппа GL(n,R), которая имеет 2n(n-1) компонент связности.
: : : : : : :
: : : : : : : Подгруппа, состоящая из диагональных матриц имеет `2^n` компонент связности
: : : : : : И то верно, значит тут нужен другой подход.
: : : : :
: : : : : Группа Ли, состоящая из матриц, в каждом столбце и каждой строке которых по одному ненулевому элементу, имеет 2^n n! компонент связности. Похоже, что это максимально возможное число.
: : : : да, похоже, Вы правы, доказать бы это
: : :
: : : С доказательствами у меня слабовато, хотя когда-то наспор дал элементарное доказательство того, что ортогональная группа порождается своими однопараметрическими подгруппами.
: : :
: : : Что касается нашего случая, то хотел бы заметить, что 2^n n! это порядок группы мономиальных подстановок, т.е. сплетенного произведения S_2 на S_n, причем, это максимально возможный порядок конечной матричной группы. Может быть этот факт поможет Вам с искомым доказательством.
: :
: : спасибо за интересное общение, я подумаю, если, обнаружите доказательство, пожалуйста пишите
:
: Схема доказательства, по-моему, тут простая. Всякая матричная группа Ли раскладывается в произведение односвязной группы Ли и конечной группы, а порядок конечной группы равен количеству компонент связности исходной группы Ли. В нашем случае группа Ли раскладывается в произведение односвязной группы Ли, состоящей из прямого произведения n экземпляров R^+, и конечной группы, состоящей из матриц, в каждом столбце и каждой строке которых по одному ненулевому элементу +1 или -1. А поскольку такая конечная группа имеет максимально возможный порядок, то нечего тут и доказывать. Впрочем, может быть надо доказывать, что порядок мономиальной группы действитьельно максимально возможный.
Всякая матричная группа Ли раскладывается в произведение односвязной группы Ли и конечной группы (подгруппы) подстановок базиса R^n. |
» Общий форум