: Вам объясню. Риманова геометрия состоит из двух объектов 1) многообразие
: 2) риманова метрика на нем. Аксиомы римановой геометрии это определение многообразия + аксиомы римановой метрики (невырожденность, положительная определенность, симметричность метрического тензора)
: В евклидовой геометрии в качестве многообразия берется плоскость (аффинное пространство)+евклидова метрика.
: Таким образом, набор аксиом евклидовой геометрии содержит в себе, как подмножество набор аксиом римановой геометрии.
На всякий случай перечитал Клейна и Пуанкаре. Ваше последнее утверждение не совпадает с их утверждениями и, в частности, они отмечают, что аксиома евклидовой геометрии: "Через две точки проходит только одна прямая" - в римановом случае ЗАМЕНЯЕТСЯ (а не исключается!) совсем другой. Иными словами, аксиомы евклидовой геометрии не явлются подмножеством аксиом ВСЕХ римановых геометрий, хотя сами евклидовы геометрии, несомненно, являются подмножествами римановых.
: И поэтому евклидова геометрия есть частный случай римановой. Или другими словами добавьте к аксиомам римановой геометрии
: аксиомы аффинности многообразия и евклидовости метрики и Вы получите евклидову геометрию.
Опять передергиваете. И история развития геометрии, и моя логика строятся не на переходе от достаточно сложной римановой геометрии (непротиворечивость которой к тому же, защищаемым мною автором, поставлена под сомнение), а от принятия и автором, и мною, и Вами факта непротиворечивости евклидовой геометрии. Давайте от этого и отталкиваться. Поэтому, возьмите любой из полных наборов аксиом приводящих к евклидовой геометрии и попытайтесь, убрав (а не заменив) некоторые из них, получить аксиомы римановой геометрии. Если получится, возможно я с Вами и соглашусь. Идя тем путем, которым предлагаете Вы и стартуя, возможно, (замечу, что я не настаиваю в отличае от Рылова на противоречивости аксиом римановой геометрии, а только ДОПУСКАЮ ее) с непрочного фундамента Вы, тем самым, валите с больной головы на точно здоровую.
Кроме того, я не собираюсь доказывать противоречивость аксиом римановой геометрии, я лишь возмутился приписыванием без должных оснований Рылову утверждения, которго он не выдвигал. А то, чего доброго, Вы и меня запишите в ряды идиотов, отвергающих стройность и полноту аксиом римановой геометрии, собственные взгляды на которые я хотел бы сохранить в определенной конспирации:)
:
: Теперь давайте разберемся с противоречивостью аксиоматики. Предположим, что аксиоматика римановой геометрии противоречива, т.е. если на основе только аксиом римановой геометрии мы разовьем некоторую теорию, то получим две теоремы, которые друг другу противоречат. Но аксиомы римановой геометрии находятся среди аксиом евклидовой,
Вот снова это логическое противоречие. Сначала покажите, что, стартуя с конкретного набора аксиом евклидовой геометрии, и, убирая некоторые из них (а не заменяя их другими), мы перейдем к аксиомам римановой геометрии. Ваш же ход с противоположной стороны попросту некорректен.
: поэтому Вы можете, не используя все аксиомы евклидовой геометрии, а используя только римановы аксиомы получить противоречие и в множестве евклидовых аксиом.
Если ходить задом наперед - много чего необычного может случиться:)
:Другими словами если несколько аксиом рождают противоречие, то это противоречие нельзя снять добавляя новые аксиомы. А если непротиворечиво множество аксиом то непротиворечиво и любое его подмножество.
: Поэтому если евклидова геометрия непроиворечива, то и риманова непротиворечива.
Приведу еще один пример. Хорошо известны семь аксиом арифметики, которым подчиняются, в частности, действительные и комплексные числа. Если от соответствующих алгебр мы хотим перейти к алгебре кватернионов, нужно отказаться от аксиомы коммутативного умножения, ЗАМЕНИВ ее аксиомой некоммутативного умножения. Ясно, что отказавшись от такой аксиомы, мы получим, кроме алгебры кватернионов много и других алгебр, часть из которых, ВОЗМОЖНО, окажутся противоречивыми. При этом абсолютно ясно, что действительные и комплексные числа останутся частным случаем всех возможных алгебр и войдут в них как подмножество. Не будете же Вы на этом основании АВТОМАТИЧЕСКИ утверждать, что все некоммутативные алгебры столь же непротиворечивы, как алгебры действительных и комплексных чисел? Рылов имел ввиду нечто похожее, а Вы ему сразу ярлык ниспровергателя евклидовой геометрии приклеили.. Тогда уж всех, кто сомневается в непротиворечивости ВСЕХ гиперкомплексных алгебр нужно срочно в психушки упрятать, так как они, тем самым, сомневаются в непротиворечивости арифметики:)
:
: Теорема о непротиворечивости евклидовой геометрии точно формулируется так:
: Аксиоматика евклидовой геометрии непротиворечива, если только непротиворечива арифметика.
А против непротиворечивости евклидовой геометрии и арифметики ни Рылов, ни я и не выступали. Рылов выступил с заявлением о противоречивости РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ, а я таковую только допускаю. Ну как здесь не заметить разницы! Просто театр абсурда какой то..
Я бы не стал так уж сильно здесь возмущаться, защищая в общем то чужую мне точку зрения на расширение геометрии, если бы косвенно Ваши выпады не касались и моих шкурных интересов. Речь, естествнно, о финслеровой геометрии. Которую чуть ли не автоматически народ срисовал именно с аксиом, защищаемой Вами, римановой геометрии. То есть как и Вы - пошел "задом наперед". В чатности рассуждали примерно так. Примем набор аксиом некоего многообразия, заменим понятие метрического тензора и получим замечательное обобщение геометрии. И дальнейший ход делают примерно как Вы. Добавляя аксиому аффинности - переходят к частному случаю финслеровой геометии... Какой бы Вы думали? Геометрии Минковского...
Позвольте, а куда же делась неквадратичная метрическая форма? Ни чего не знаем, говорят, так получается по нашей логике..
А все относительно легко разрешается, если, не парить в небесах и только иногда соизволяя себе опускаться на землю к простейшим частным случаям, а сначала разобраться с этими самыми простейшими типами геометрий (я имею ввиду аффинные финслеровы аналоги евклидовой геометрии) и разобравшись с ними и их аксиомами строить именно их обобщения, а не наоборот, как у Вас и большинства тех, кто сегодня занимается финслеровой геометрией.
Заранее извиняюсь, если где то переборщил с интонациями..
отредактировано 21.07.2007 17:54 |
» Общий форум