:
: Мне не очевидно, что все понятия евклидовой геометрии вообще могут быть выражены только через расстояния между точками. Это нужно обосновывать.
:
Существует теорема: Сигма-пространство является n-мерным евклидовым пространством, если и только если мировая функция удовлетворяет следующим условиям, записанным в терминах мировой функции. Условий этих 4. Извините, я не буду записывать их в явном виде. Это достаточно длинные формулы.
См. Напр. 'Deformation principle as a foundations of physical geometry and its application to the space-time geometry ". (Available t http://arXiv.org/abs/physics/0411103 русс. вер. http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/dfpgas1r.ps ).
Сигма-пространство -это множество точек, на котором задана мировая функция.
0. Условие симметрии мировой функция относительно перестановки аргументов (его можно включить в определение сигма-пространства)
1. Определение размерности через мировую функцию с помощью определителя Грама . (Одновременно определяется некоторый базис из n векторов и координаты любого вектора в этом базисе. Они определяются через скалярные произведения базисных векторов с этим вектором. Кроме того, определяется метрический тензор в этом базисе как матрица скалярных произведений базисных векторов)
2. Линейные свойства евклидова пространства. (Квадратичное выражение для мировой функции через через координаты концов векторов. Все выражается в терминах мировой функции)
3. Положительность собственных значений матрицы метрического тензора.
4. Условие непрерывности (определяется как существование одного и только одного решения системы уравнений, определяющей координаты вектора)
Все четыре условия евклидовости содержат ссылку на размерность пространства.
Из этой теоремы следует, что любое понятие евклидовой геометрии может быть выражено через мировую функцию. Как только это сделано это понятие может быть представлено в любой Т-геометрии с помощью деформации евклидовой геометрии (замены евклидовой мировой функции на мировую функцию той геометрии, которая нам интересна).
Здесь есть некоторая тонкость, заключающаяся в следующем. В выражении для какого-нибудь понятия, например, понятие эквивалентности для евклидовой геометрии, мы можем использовать одно или несколько специфических свойств евклидовой мировой функции. Тогда выражение для понятия эквивлентности будет иметь другой вид. Например, мы можем определить равенство векторов в евклидовой геометрии как равенство их координат в некоторой системе координат, которую мы можем определить, задав n+1 точку, определяющую базис. Соотношения равенства координат векторов можно выразить через мировую функцию и затем перенести это определение равенства векторов на любую геометрию. Тогда определение равенства векторов будет содержать ссылку на точки определяющие базис. В евклидовом пространстве ссылка на точки базиса фиктивна. Однако, в деформированном пространстве фиктивность точек базиса исчезает. Определение равенства двух векторов будет содержать кроме точек, определяющих векторы еще задав n+1 точку, определяющую базис. Это разумеется, не приемлемо. Избежать подобных коллизий можно, если не использовать в определениях понятий евклидовой геометрии ссылок на специфические свойства евклидовой мировой функции. Формально, для этого достаточно, чтобы определения понятий через мировую функцию не содержали ссылки на размерность, потому что размерность есть СПЕЦИФИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ, а не геометрии, вообще. См детали в цитируемой работе.
:Со скалярным произведением векторов Вы это продемонстрировали. А с параллельным переносом, например, такой ясности нет: введенное Вами понятие "эквивалентности" векторов не гарантирует, что вектор с началом в данной точке, эквивалентный данному, будет единственным.
:
Разумеется, что число эквивалентных векторов никак не задается определением эквивалентности. Возможны геометрии, где, вообще, нет эквивалентных векторов. (Такая геометрия! Что здесь неприемлемого?) В евклидовой геометрии мы привыкли, что в каждой точке всегда есть эквивалентный вектор и притом только один. Это специфическое свойство евклидовой геометрии. Мы привыкли считать, что это свойство является свойством любой геометрии, и выражаем озабоченность, если это не так. Но никаких несуразностей здесь нет, и от этого стереотипа придется отвыкать.
: А стереотипы тут не причем. Естественно, если Вы без объяснений употребляете некий общеупотребительный термин, я понимаю его в традиционном смысле. Но чтобы вложить в него другой смысл Вам нужно всего лишь привести собственное определение.
:
Если Ваше недоумение на следующем посте по поводу отсутствия эквивалентных векторов не является стереотипом прежнего мышления, то, что это такое? А никаких новых определений я не давал. Все определения - это нормальные определения евклидовой геометрии, может быть за тем исключением, что теоремы евклидовой геометрии превращаются в определения Т-геометрии. Например, теорема Пифагора превращается в определение прямого угла, а теорема косинусов превращается в определение скалярного произведения. |
» Общий форум