Вам объясню. Риманова геометрия состоит из двух объектов 1) многообразие
2) риманова метрика на нем. Аксиомы римановой геометрии это определение многообразия + аксиомы римановой метрики (невырожденность, положительная определенность, симметричность метрического тензора)
В евклидовой геометрии в качестве многообразия берется плоскость (аффинное пространство)+евклидова метрика.
Таким образом, набор аксиом евклидовой геометрии содержит в себе, как подмножество набор аксиом римановой геометрии. И поэтому евклидова геометрия есть частный случай римановой. Или другими словами добавьте к аксиомам римановой геометрии
аксиомы аффинности многообразия и евклидовости метрики и Вы получите евклидову геометрию.
Теперь давайте разберемся с противоречивостью аксиоматики. Предположим, что аксиоматика римановой геометрии противоречива, т.е. если на основе только аксиом римановой геометрии мы разовьем некоторую теорию, то получим две теоремы, которые друг другу противоречат. Но аксиомы римановой геометрии находятся среди аксиом евклидовой, поэтому Вы можете, не используя все аксиомы евклидовой геометрии, а используя только римановы аксиомы получить противоречие и в множестве евклидовых аксиом. Другими словами если несколько аксиом рождают противоречие, то это противоречие нельзя снять добавляя новые аксиомы. А если непротиворечиво множество аксиом то непротиворечиво и любое его подмножество.
Поэтому если евклидова геометрия непроиворечива, то и риманова непротиворечива.
Теорема о непротиворечивости евклидовой геометрии точно формулируется так:
Аксиоматика евклидовой геометрии непротиворечива, если только непротиворечива арифметика.
отредактировано 21.07.2007 13:28
отредактировано 21.07.2007 13:29
отредактировано 21.07.2007 13:30 |
» Общий форум