: Он сказал примерно следующее: 'Во всех учебниках вектор определяется как элемент линейного векторного пространства.
И Ваш математик несомненно прав. Поэтому если употребляете понятие "вектор" без контекста, то следует ожидать, что читатель будет думать об объекте, для которого определено двуместное сложение, а также умножение на число.
Но с другой стороны, любой автор имеет право на расширительное употребление термина в своей теории. Это противоречие с общеупотребительным смыслом разрешается с помощью контекста: если Вы определите "обобщенный вектор" как упорядоченную пару точек, а в дальнейшем скажете, что в рамках своей теории будете называть его просто "вектором", то у внимательного читателя, который остается в контексте Вашей теории, никаких проблем не возникнет.
: Здесь нужно сделать некоторые пояснения. В работе предлагалось строить любую обобщенную геометрию как деформацию евклидовой геометрии. ... Таким образом, любая обобщенная геометрия получалась как деформация евклидовой геометрии, потому что замена мировой функции (метрики) евклидовой геометрии другой мировой функцией (метрикой) представляет собой деформацию евклидовой геометрии.
Правильно ли я понял, что Вы оперируете понятием "глобальной метрики", т.е. функции `g(A, B)`, определяющей расстояния между любой парой точек `A` и `B`, а не только в пределе бесконечно малых расстояний `f(A, B) rarr 0`?
Меня только несколько озадачивает, зачем Вы вытягиваете ее из евклидовой геометрии (каковая есть весьма специфический частный случай метрической геометрии)? Или Вам это нужно для получения n-мерного гладкого многообразия? Но его можно получить и вообще без метрики, "деформировать" для этого именно евклидову метрику необязательно...
: Поскольку речь шла о построении обобщенной геометрии, в которой, вообще говоря, не было никакого линейного пространства, а были только точки и расстояния между этими точками, то все понятия обобщенной геометрии выражались, в конечном счете, через точки и расстояния. С другой стороны в евклидовой геометрии определение вектора как упорядоченного множества из пары точек совпадало с определением вектора как элемента векторного пространства, которое можно ввести для евклидовой геометрии, но, вообще говоря, нельзя ввести для произвольной обобщенной геометрии. Таким образом, в евклидовой геометрии оба определения совпадали, а в не-евклидовой геометрии одно из определений не работало, поскольку никакого векторного пространства просто не было.
Понятие вектора как упорядоченной пары точек вполне физично. При этом мы действительно столкнемся с проблемой определения операций сложения векторов (за исключением случая, когда начало одного вектора совпадает с концом другого) и умножения вектора на число. Традиционным для дифференциальной геометрии способом решения является переход к пределу бесконечно малых (срабатывает только для непрерывных многообразий), т.е. к построению т.н. "касательных пространств", каковые являются по определению линейными, но не обязательно евклидовыми.
Но есть и другие подходы. Например, можно определить понятие глобального параллельного переноса, что позволяет перенести второй вектор началом в конец первого, обеспечив таким образом возможность сложения любой пары векторов (не обязательно коммутативного, конечно). |
» Общий форум