: Картинки занимательные, особенно предпоследняя.
: Но почему вы ограничились мн-вом Жюлиа и взяли случай 3 и 4-х мерной геометрии?
: Публике гораздо известно изображение мн-ва Мандельброта, причем для 2-го пространства - даже на ковриках под мышь изображают.
:
: Собственно картинки красивые и эстетическая "странная" природа налицо (это в пользу теории, их породившей). Но меня интересовал именно аналог мн-ва Мандельброта.. (не верю, что его фрактальность пропадает в вашем случае i2=+1). Да и конференциях очень заманчиво предложить публике сравнить две картинки - одну знакомую и вторую новую.
А вот решением конкретно этой задачи, как это ни странно, похвастаться пока не можем.
На псевдоевклидовой плоскости, а именно она является зеркальным аналогом комплексной плоскости, есть одна до сих пор не преодоленная математиками проблема. Это проблема сходимости рядов. Собственно, именно поэтому Вы не найдете ни в одном учебнике по комплексному или гиперкомплексному анализу упоминаний о теории функций двойной переменной (последняя является аналогом комплексной переменной). Мне лишь недавно удалось убедить хотя бы одного профессионального математика заняться этой проблемой и шансы на успех с его точки зрения довольно высоки. Что касается меня - то я не сомневаюсь в возможности и тут все "устаканить" не хуже, чем на евклидовой плоскости, но я не математик, так-что, могу только искать специалистов. Моим основным аргументом является существование гиперболического аналога У КАЖДОЙ аналитической функции комплексной переменной при ее формальном распространстении на двойную переменную. Причем существует красивая возможность каждую такую функцию графически изобразить и сравнить с аналогичным рисунком для комплексной функции. Например сравните логарифм на комплексной плоскости и на плоскости двойной переменной:
http://foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-28.jpg
И там и там одна особая точка, в которой функция теряет аналитичность. И ту и другую функции мы можем интерпретировать как потенциальные поля точечного источника (во втором случае к этому утверждению требуются отдельные комментарии, но пока поверьте на слово)
Или обратные функции 1/z и 1/h:
http://foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-29.jpg
Как известно в комплексном случае такой функции ставят в соответствие поле точечного диполя. Аналогичную трактовку можно использовать и для обратной функции от двойной переменной.
Особенно важными являются функции обычного и гиперболического арктангенсов:
http://foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-30.jpg
Основным достоинством этих функций является то, что обе они отображают бесконечные евклидову и псевдоевклидову плоскости на внутренности единичного круга и единичного квадрата, соответственно. Этот прием позволяет убрать расходимости обычно сопутствующие бесконечно удаленным точкам и заменить задачу в бесконечном пространстве или пространстве-времени на аналогичную задачу в ограниченной области..
Самое забавное, что это не просто математическая развлекуха. Каждой аналитической функции от двойной переменной (точно так же как это давно и успешно делается для каждой аналитической функции обычной комплексной переменной) можно поставить в соответсвие физическую картину (правда, только двухмерную) в координатах временной и единственной пространственной переменной. Однако в отличие от печального факта, что расширение комплексных чисел (а следовательно и прекрасно работающего в физике метода комплексного потенциала) на трех- и более мерные пространства - не существует, двойные числа (а следовательно и соответствующий им метод гиперкомплексного потенциала в пространстве-времени) - расширить на любое количество измерений и в частности три и четыре - нет проблем. |
» Общий форум