: : : : : : Теперь пару слов о математике. Для N=1 задача решается тривиально в явном виде.
: : : : :
: : : : : А как? Навскидку уравнение отнюдь не выглядит тривиальным даже и для этого случая.
: : : :
: : : : ОК. Для N=1 имеем задачу:
: : : :
: : : :
: : : : `ipartial_t psi(x,t) = (i nabla + A)^{2} psi(x,t)`, (1)
: : : :
: : : : `A(x,t) = frac{-i}{2n_0(x)}(psi^{*}nablapsi - psinablapsi^{*})` (2)
: : : :
: : : : `psi(x,0)=psi_0(x)=sqrt{n_0(x)}e^{iphi_0(x)}` (3)
: : : :
: : : : Ищем решение в виде
: : : :
: : : : `psi(x,t)=sqrt{n(x,t)}e^{iphi(x,t)}=sqrt{n_0(x)}e^{iphi(x,t)}` (4)
: : : :
: : : : Второе равенство в (4) возникает из-за условия нулевого тока - плотность есть интеграл движения. Подствляем (4) в (2), получаем
: : : :
: : : : `A(x,t) = nablaphi(x,t)` (5)
: : : :
: : : : Теперь (4) и (5) в (1) и все готово:
: : : :
: : : : `partial_t phi(x,t) = frac{nabla^{2}sqrt{n_0(x)}}{sqrt{n_0(x)}}`
: : : :
: : :
: : : Да, действительно. Прикольно. Вся фишка тут в том, что, как я понимаю, система (1) переопределена условием
: : : `partial_t |psi| = 0`
: : : (условие нулевого тока?). Естетственно, что решение переопределенной системы проще, хотя удивительно, что решения вообще существуют (видимо, это связано с физичностью самой системы и допусловия).
: :
: : А вот это уже интересно. Я как то в эту сторону не думал. Можно поподробнее про переопределенность. Для меня это как то не очевидно. Действительно уравнение для А (2) навязывает существование ЛОКАЛЬНОГО интеграла движения -- плотности.
:
:
: А разве интеграл движения - это не типа `D_t A + D_x B = 0`, где A, B какие-то функции независимых переменных, искомых функций и их производных, `D_t, D_x` - полные производные?
С этим вроде разобрались ниже по ветке
:
:
: : Но почему это означает переопределенность.
: :
:
:
: Я в смысле, что нормально определенная система - это когда частные производные от всех зависимых переменных по некоторой выделенной независимой выражены через все остальное. Ну т.е. (1). А все, что сверху - это уже переопределенная система.
Ха, так ведь в (1) входит "зависимая переменная" А, которая определена в (2). Подставляем (2) в (1) и получаем "нормально определенную систему". Не так?
:
:
: : : Вопрос: для N>1, я полагаю, действует аналогичное условие
: : : `partial_t sum_{j=1}^{N}|psi_j|^2 = 0`?
: :
: : Да, конечно.
: :
: : : Если да, то что там с условиями совместности? Как учит нас Рикье, и переопределенную систему мы можем в конце концов свести к нормально определенной (или к противоречию).
: :
: : Поподробнее если можно плз. Ну вот, скажем, мы перепишем все в действильном виде выделив модуль и фазу каждой из N ф-ций. Исключаем А и получаем систему нелинейных чду. Ну есть у этой системы локальный интеграл движения, и что? Может в этом и есть вся собака
:
:
: Скорее всего, так и есть: условия совместности ничего интересного не дадут (типа как уравнения на дивергенцию полей в системе Максвелла; они тоже переопределяют систему, но в смысле решения это ничего особо не упрощает).
: Впрочем, я пока толком не разобрался (много работы по основной деятельности), когда разберусь (и дочитаю/вспомню прошлый разговор :), выскажусь с большей определенностью.
Вы не заморачивайтесь, хотя я буду рад если найдете время и если это вызывает любопытсво. А время в принципе терпит. Но могу сказать однозначно -- задача эта действительно по большому счету важная и стоит уже больше 20 лет примерно на одном месте без особого движения. Приклада наворочено уже очень много, а в основаниях пока порядочная дырка.
Кстати, я тот разговор недавно прочитал :( Если он в чем и поможет так это только вспомнить зачем городится весь этот огород. В смысле почему сия единственнось важна в физике. |
» Общий форум