: : : Да-да. Вообще, получается интересная штука. Из ограничения порядка уравнений движения достаточно легко выводится постоянство скорости свободного тела, то есть, фактически, принцип относительности.
: : Сомнительно как-то. Это как?
:
: Ну, постоянство скорости понятно как получаем -- лагранжиан у нас зависит от координат и скорости, но не от более высоких производных. Для свободной частицы остается зависимость только от скорости (пространство однородно), точнее, от ее квадрата (пространство изотропно). L = f(v2). Варьируем все это хозяйство и получаем уравнение движения v'=0.
:
: Теперь строим из таких свободных тел систему отсчета, и видим, что в ней свободные тела тоже движутся равномерно-прямолинейно. Получили первый закон Ньютона, т.е. ИСО.
Чтобы записать квадрат скорости, нужно сначала задать метрику.
Так ведь?
Изотропность-однородность сидят в метрике (векторы Киллинга), т.е. в геометрии. Свободная скалярная частица - чистая геометрия.
Спиновая свободная частица - тоже геометрия. Спиновые степени свободы можно описать через репер векторов (в касательном пространстве), навешенных на точку (волчок). Этот репер можно ввести и через высшие производные (репер Френеля). Именно таким образом, кажется, Шульман в конце 60-х годов получал пропагатор для свободных частиц с целым и полуцелым спином в фейнман-дираковском подходе интегрирования по путям. В 80-е годы этот трюк обыгрывался Поляковым (ферми-бозе трансмутация в контексте моделирования высокотемпературной сверхпроводимости).
Поэтому в присутствии высших производных в действии нет ничего
столь уж необычного.
Резюме: если частица скалярная, тогда без высших производных можно.
Но не всегда. Стоит немного продеформировать (на классическом уровне) обычного Галилея, и для скалярной частицы всплывает некоммутативная геометрия (скобки Пуассона координат частиц ненулевые), для которой обычного лагранжева формализма недостаточно (снова нужны высшие производные). |
» Общий форум