: : 'Основная задача механики', как известно, звучит так: по начальным координатам и скоростям материальных точек найти оные в последующие моменты времени. Фактически, этим ограничиваем порядок (дифференциальный) уравнений движения. Во всех книжках по механике, которые я встречал, это ограничение вводится с потолка или, в лучшем случае, 'из опыта'. Может быть, кому-нибудь встречались более внятные обоснования?
:
: А не проистекает ли все от принципа наименьшего действия. А именно, от утверждения, что между точкой с координатами q_1 в момент времени t_1 и точкой с координатами q_2 в момент времени t_2 тело (или система) движется по такой траектории, вдоль которой действие (некий интеграл) минимально.
:
: На математическом языке принцип наименьшего действия это решение дифф-уравнения с двумя закрепленными концами. При задании граничных условий в виде координат концов в фиксированные моменты времени решение дифф-уравнения будет единственным, если его порядок не выше второго. Эту задачу полноценно можно заменить решением дифф-уравнения с заданием начальных условий на одном конце в виде координаты и скорости.
:
: Таким образом все уравнения механики не должны быть выше 2-го порядка. Иначе принцип наименьшего действия не будет давать единственности решения.
Хм. А вот это уже интересно: Спасибо, надо подумать.
: Почему мы пользуемся принципом наименьшего действия - это другой не менее непонятный вопрос. Наверное это ни от куда не следует кроме как из опыта. Посему это просто постулат.
:
: Стоит еще раз взглянуть на параграф 43 в 1-м томе "Механика" у Л-Л (и особенно на замечания к формуле 43.7). Там с пол пинка вся Гамильтонова механика выводится только из принципа наименьшего действия.
:
: : Или, например, это ограничение можно вывести из квановой механики?
: Уж точно не из квантовой механики, которая появилась позднее механики. Тем более ее главное уравнение (уравнение Шредингера) вообще 1-го порядка.
Речь не о временной последовательности, а о логической. В частности, в КМ есть такая милая вещь, как фейнмановские интегралы, которые к принципу наименьшего действия имеют самое непосредственное отношение. |
» Общий форум