: : Начинается все с анализа на многообразиях. Вводятся отображения в эвклидовы пространства, векторы - как, например, классы эквивалентностей кривых, 1-формы - как линейные функции на векторах, тензоры - как линейные функции на том и другом и т.д. На этом уровне формулируются классическая механика и термодинамика. Связей между векторами и формами еще никакой (кроме дуальностей), свободы куча.
: :
:
: И тем не менее, в этом месте уже сделано определенное допущение. Можно ведь и джеты более высокого порядка в точке взять, это будет уже другая структура.
: Кстати, если мне не изменяет склероз, как раз именно с помощью Финслеровой структуры механика вводится самым естественным образом.
Можно ввести джеты более высокого порядка, и они вводятся, можно, например, рассматривать касательные расслоения на касательных расслоениях (рассматривая касательное расслоение как многообразие, каковым оно является хотя бы в силу локальной тривиальности) и т.д. Все это есть и все это прямое следствие дифференциальной структуры многообразия - сказали а), надо говорить б). Поскольку мы потребовали локальной изоморфности эвклидовому пространству и дифференцируемости функций перехода от одной карты к другой, то автоматически придали такому объекту определенные свойства. Таким образом, единственное допущение здесь - сама структура многообразия.
Далее. _Оказывается, что_ дифференциальная структура многообразий позволяет установить некоторое соответствие между некоторыми дифференциальными уравнениями и многообразиями. Так, например, классическая механика есть теория отображений фазовых пространств, сохраняющих форму объема (а точнее, чтобы не было аллюзий с метрикой, максимальную дифференциальную форму). Т.е. механика появляется на уровне, где еще нет никакой разницы между римановой и финслеровой геометрией, поскольку здесь никакой метрики нет.
Вина ли механики, что ее основные положения удалось сформулировать на языке тензоров? Разумеется нет. Имеет ли смысл вводить более сложные объекты (например джеты) для того или иного задания классической механики? Тоже да. Одно другому, понятно, не мешает. Однако тут есть вот какое обстоятельство. Предположим, что мы пытаемся построить геометрическую теорию систем со сложными связями, может быть при этом еще и диссипативных или там с памятью и т.д. Оказалось, что все естественно и красиво формулируется на языке некоторого сложного объекта А. Вопрос, можно ли ту же теорию сформулировать на языке тензоров? Ответ, по-видимому, положительный - теория симметрий уравнений в частных производных существовала еще до появления всяких вторичных дифференциальных исчислений, хотя (вполне допускаю эту возможность) именно на языке последней эта теория формулируется наиболее компактно, красиво и внутренне согласованным образом и т.д.
: : Теперь мы можем навешивать всякие причиндалы. Первым таким причиндалом является фиксирование некоторого тензора второго ранга (2-формы), которое 1) устанавливает изоморфность пространства векторов и 1-форм и 2) наделяет пространство векторов скалярным произведением (наверное что-то еще происходит, но в голову не приходит). Доказывается, что скалярное произведение можно ввести всегда. Если соответствующая билинейная форма положительно определена, то она определяет метрику (в каноническом смысле), и тензор называют метрическим. Ну, а если у нас есть метрика, то пространство становится очень хорошим.
:
: Понятно, что скалярное произведение на касательном пространстве можно ввести, тут и доказывать нечего. Но: ведь все, что на этом этапе нужно обеспечить, это чтобы асимптотикой от была Эвклидова геометрия! Навряд ли скалярное произведение на касательном пространстве - единственный вариант, и не факт даже, что самый естественный.
Если честно, то не понял, хотя честно старался. Единственный вариант для чего? Для того, чтобы ввести метрику? Разумеется нет, можно построить большие содержательные теории, имея под рукой только само представление о метрике. А вот возможность введения скалярного произведения, вообще говоря, факт не автоматический: функциональный анализ доставляет множество примеров, когда метрика есть, а скалярного произведения нет.
Для многообразий, однако, отсюда получается, что всегда можно ввести риманову метрику.
: : Интересно, однако, следующее. Хотя метрический тензор можно ввести аксиоматически, однако, есть естественным образом индуцированная метрика. Действительно, по построению многообразия у нас есть его отображение в эвклидово пространство с естественной (эвклидовой) метрикой.
:
:
: Вы про карты? Дык их же немеряно, и каждая даст свою метрику!
Признаюсь, тут у меня уверенности нет, но и ясности нет. Т.е. я, конечно, понимаю, о чем Вы говорите - отобразим как-нибудь поизощренней эвклидово пространство в себя (введение другого координатного отображения к этому и сводится), на этом изощренном образе введем эвклидову метрику, а потом два раза открутим ее назад - получим все, что угодно. Разумеется при этом новая метрика на многообразии может быть преобразованием координат сведена к старой.
Пару слов предварительно, почему мне индуцированная метрика кажется чем-то большим. Метрический тензор есть объект, существующий на многообразии (понятно, что сечение и бла-бла-бла, сейчас дело не в этом), а координатные преобразования - это преобразования координат, которые сам по себе объект не изменяют. Т.е. он всегда присутствует, хотим мы этого или нет. Можно, конечно, забыть про его существование, но это все равно, что я Вас сейчас скажу "давайте представим, что мы забыли русский язык, договорились?". В идеале слово "договорились" уже не может быть ни прочитано, ни написано, поскольку мы как бы забыли русский. Но мы его знаем!
Теперь дальше. Возникает естественный вопрос, мол, а существуют ли (римановы) метрики иные кроме эвклидовой? Приходится признать, что по-видимому нет, поскольку единственное, что фиксируется у 2-форм это сигнатура. И вот здесь у меня о-о-очень большая неясность (точнее нестыковка некоторых представлений), с которой с разбегу разобраться не могу. Дело в том, что все эти нестыковки происходят от того, что многообразие здесь мыслится слишком уж топологически, т.е. фактически с точностью до гладких преобразований, а на этом уровне метрика отдыхает. С другой стороны у физики к многообразиям другой интерес. В частности это проявляется в том, что нам интересны не какие угодно преобразования, а только сохраняющие вид уравнений движения, т.е. наблюдатель представляется отбирающим классы преобразований. Так, например, если наблюдения происходят с помощью электромагнитных явлений, то существенны преобразования, сохраняющие вид уравнений Максвелла. При этом класс преобразований режется страшным образом и оказывается, что индуцированная метрика не такой уж расслабленный объект и существуют неэквивалентные метрики.
(Взялся тут было писать большой текст, но и так уж слишком все большое получается, да и время уже позднее. Надо думать.)
: : Другими словами (здесь я несколько фантазирую надо признаться) индуцированная метрика действительно тем или иным образом отражает структуру многообразия, сравнивая ее с эвклидовой. И тем самым появление метрики вовсе не является какой-то уж совсем дополнительной структурой
:
:
: имо таки является дополнительной
Скажем так, метрика-то индуцируется в любом случае (уровень дифференциальной структуры многообразия), но вот ее полезность обеспечивается некоторыми дополнительными условиями (фиксация преобразований, какой-то совсем уровень).
: : Теперь что происходит в финслеровой геометрии. Здесь считается, что метрика не задана (в смысле дифгеометрических книжек), зато определена другая функция на векторах. Оказалось, что имеют место два обстоятельства: такая структура тоже фиксирует какие-то степени свободы, но принципиально новых идей к жизни не вызывает.
:
: Ну дык вчера не вызывала, сегодня вызовет! Возможно, им пока никто всерьез не занимался.
В общем занимаются, но, действительно, не слишком активно.
: : Такое подозрение высказывал еще Риман, что, мол, можно рассматривать более сложные конструкции, но новых идей ждать не приходится, а сил потребуется очень много. Тем не менее задание финслеровой метрики с точки зрения определения свойств многообразия, по видимому, является равноправным партнером римановой метрике (тут надо спрашивать специалистов или самим разбираться).
: :
:
: Афаир Риманова метрика - частный случай, когда функция Финслера квадратичная.
Именно так. Люди доказали определенное соответствие между римановой геометрией и финслеровой, потому и с новыми идеями не шибко. Здесь опять же вопрос естественности. Например, есть математики, которые не признают теорию вероятностей как отдельную область (мол, есть теория меры и все тут). Однако, в рамках теории вероятностей естественным образом возникают объекты, которые в теории меры выглядят искусственно. Подобного эффекта можно бы ожидать и от финслеровой геометрии.
: : Все это, конечно, здорово, однако вопрос о том, почему ОТО не построена на основе финслеровой геометрии лежит за пределами геометрий, т.к. фактически этот вопрос звучит так - почему метрика является той самой величиной, которую нужно искать (по которой варьируется лагранжиан).
:
: Вот именно, что взялись искать именно метрику. А, может, надо - связность (например).
:
: : Неизвестно, мир так устроен.
:
: Не факт.
Вопрос в том, как это можно опровергнуть или как можно самого себя убедить. Во-первых, ОТО работает с псевдоримановыми многообразиями, а там все эти выкрутасы с метриками, описанные выше, не очень-то работают, т.к. pullback не обязан быть невырожденным. Во-вторых, какая дополнительная структура сидит на многообразии (например какие уравнения сохраняются). Все это в совокупности вызывает вопрос насколько фиксируется многообразие. Если оно таки в каком-то смысле фиксируется, тогда, значит, нет никакой разницы какая величина будет выступать в качестве базисной.
:
: : Любопытно заметить, что проверяемых относительно доступными средствами отличий между финслеровой ОТО и римановой пока нет, насколько я понял.
: :
:
:
: А таковая (Финслерова ОТО) уже есть?? Насколько я себе представляю, технические трудности там должны быть на порядок выше, а ведь даже для уравнений Эйнштейна пока ни одного нетривиального решения не удалось построить.
В книжке Рунда Дифференциальная геометрия финслеровых пространств есть два приложения. В одном из них и описывается какое-то финслерово обобщение ОТО.
: : : А Вы не пробовали читать, к примеру, Васильева?
: :
: : Нет, не пробовал. И у меня, вроде, даже и книжек такого автора нет.
: :
:
: Я не уверен, что он писал книги. Если только издания МГУ. Но имхо это был математик много более серьезный, нежели тот же Виноградов. У меня где валялась копия его статьи.
Если попадется надо будет посмотреть. Но мне тяжело оценивать работы математиков, если только с точки зрения стиля написания работ, мол, тяжело читать или нет.
: : : : но и сказать, что это (по выражению Неструева) абстрактная чепуха, тоже не решусь. В частности, как они говорят, построена процедура алгоритмического вычисления интегралов движения тех или иных сложных систем.
: : : :
: : :
: : : Если речь идет о соответствующих по т-ме Нетер симметриям, то так оно и есть..
: :
: : Ну, других законов сохранения почти и нет,
:
: Не факт.
В смысле не факт? В том смысле, что других законов сохранения очень даже много? :) Я большого количества примеров не знаю. Говорят, что сохранение вектора Рунге-Ленца не является нетеровским законом сохранения, но я сам не разбирался в этих вещах.
: : проблема в том, чтобы найти симметрии. Вон, в Кортевеге- де Фризе их бесконечно много. Но найти их не так уж и легко.
: :
:
: Ну вроде есть же реккурренции (мастер-симметрии), бери и клепай в неограниченном количестве (правда, все более высокого порядка).
: Но м.б. они ищут прямо? просто расщепляют уравнения и как-то их прорубают? В принципе задача техническая, хотя и имо неподъемная.
С Кортевегом - де Фризом задача решена, вопрос как быть каким-нибудь общим уравнением.
Технически у Виноградова это выглядит как работа с группами когомологий (или чего-то в таком духе). Как именно это происходит понятия не имею. Потенциально меня это интересует, но пока по приоритетам стоит далеко не на первом месте.
: Есть? Рискен?? Конечно, выкладывайте!!! Моя благодарность будет безграничной в пределах разумного (с)
: Только мне тогда дайте ссылку и доступ..
Забирайте
http://webfile.ru/21734 |
» Общий форум